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方差分析1

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方差分析(1)

方差分析(1)

品 A B C D 合计 种 2 6 3 8.5
3 8 5 9.5
4 10 7 10.5
Tig 9 24 15 28.5 T.. 76.5
xi 3 8 5 9.5 x.. 6.4
一、线性模型与基本假定
线性模型 每个观察值的大小取决于两个方面的原因：处理 和误差。因此，任一观察值可分解为：
xij x.. (xi. x..) (xij xi.) x.. ti eij
其中 ti xi. x.. : N (0, 2 )
处理效应
eij xij xi. :
N
(0,
2 e
)
试验误差
一、线性模型与基本假定
线性模型 本例 xij x.. (xi. x..) (xij xi.)
2 6.4 （3 6.4）（2 3） 6 6.4 （8 6.4）（6 8）
然后判断品种间的差异显著性
方差分析的基本步骤
一、线性模型与基本假定 二、平方和与自由度的分解 三、方差的比较—F测验 四、平均数的比较—多重比较 五、方差分析的结论
方差分析的基本步骤
例5.1 现有四个水稻品种A、B、C和D，完全随机地种 在一个划分为12个小区的试验地中，每品种种了3个小 区。田间排列和小区产量如图7.1所示。欲了解这四个 品种的产量是否有显著差异。
第一节 方差分析的基本原理与步骤
方差分析的思路: 将总方差分解来研究
1. 将试验数据的总变异分解为各个原因变异 2. 比较各个原因变异的重要性 3. 判断各个样本所属总体平均数是否有显著差异
第一节 方差分析的基本原理与步骤
方差分析的思路: 将总方差分解来研究
1. 将试验数据的总变异分解为各个原因变异 2. 比较各个原因变异的重要性 3. 判断各个样本所属总体平均数是否有显著差异

单因素方差分析(1)

单因素方差分析(1)

H
0：
2 1
2 2
2 r
vs
H1：诸
2 i
不全相等
感谢下 载
第六章 方差分析
第一节 单因素方差分析 第二节 双因素方差分析
第一节 方差分析
一、问题的提出
方差分析(analysis of variance)就是采用数理 统计方法对数据进行分析，以鉴别各种因素及因素间 的交互作用对研究对象某些试验指标的影响大小的一 种有效方法. 注：方差分析简记为ANOVA.
水平 Ａ１
Ａ２
…
Ａr 合计
重复数
m1 m2
mr n
试验数据 y11, y12 ,…., y1m1
y21, y22 ,…., y2m2
…….
yr1, yr2 ,…., yrmr
T
和
平均
T1
y1
T2
y2
……
Tr
yr
T
y
2. 基本假定、平方和分解、方差分析及判断准则相
同
计算公式稍有不同。特别注意 SA 的计算公式！
( yij
y)2,
fT
n 1
它反映了观测数据 总的变异程度
i1 j1
组间(因子A的)偏 差平方和:
r
SA m ( yi y)2, fA r 1 i1
r
m (i i )2
反映因子A的不同水平效 应间的差异
i1
rm
组和内: (误差)偏差平方Se
i 1
( yij yi
j 1
)2 ,
例２（第一节中例１续）检验不同饲料对鸡增重 的效应中，饲料因子显著．试进行多重比较．
补充：方差齐性检验
(齐性,即相等)

5第三章 方差分析1

5第三章 方差分析1
i 1
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05

CH6方差分析(1)_讲义版_2014

CH6方差分析(1)_讲义版_2014
P(reject in at least one test) = 1-0.857 = 0.143 0.143即是犯第一类假设检验错误的概率，远大于0.05
3
内容
• 方差分析基本概念 • 单因素方差分析 • 单因素方差分析—均数的多重比较 • 双因素方差分析(1): 无交互作用方差分析 • 附录：均数的多重比较—几种常用方法
P(reject in at least one test) = 1-0.857 = 0.143 0.143即是犯第一类假设检验错误的概率，远大于0.05
25
单因素方差分析--均数的多重比较
Bofferoni 校正法 (Bofferoni Correction)
在均值的多重检验中，设犯Ⅰ类错误的总概率为
生物统计学
第6讲 实验设计与方差分析(1)
2014.10
1
引言
对于 H0: μ1= μ2 vs. HA: μ1≠μ2 可采用两独立样本 t 检验
如果需要检验多个总体均值是否存在显著性差异, 需采用
什么方法？
若考虑仍采用两独立样本t 检验
在只有3个总体的情况下，将样本两两配对，需做3次独立 样本t 检验
方差分析应用条件 1. 各样本是相互独立的随机样本(变异的可加性) ； 2. 各样本来自正态总体； 3. 各处理组总体方差相等，即方差齐性或齐同 （homogeneity of variance）。 上述条件与两均数比较的 t 检验的应用条件相类似。 当组数为2时，方差分析与两均数比较的t检验是等价 的
MSB

SSB B
νW = N – a νB = a – 1
MS: 均方差 (Mean Square, MS)
19
单因素方差分析

完全随机设计的方差分析(1)

完全随机设计的方差分析(1)

.
21
.
22
方差分析(Analysis of variance，ANOVA)
方差分析的定义
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个 均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下 的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验 的一种引伸。为纪念Fisher，以F命名，故方差分析 又称F检验 。
1.特点 单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理 因素分为若干个不同的水平，每个水平代表一个样本，只 能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单， 计算方便，应用广泛，是一种常用的分析方法，但其效率 相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分，
•
即SS总＝SS组间＋SS组内。
2.常用符号及其意义
.
29
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计：(completely random design)是采
用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个
处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验 结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推 论处理因素的效应。
.
30
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
离均差平方和 X2

总体方差 样本方差
2 X 2
N
S2XX2X2X2/n
n1
n1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
.
13
试验指标（experimental index）： 为衡量试验
结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。

方差分析1实验报告

方差分析1实验报告

.. . . . .实验报告课程名称生物医学统计分析实验名称方差分析1专业班级姓名学号实验日期实验地点2015—2016学年度第 2 学期组内38.842 20 1.942总数85.340 24分析：表2是方差分析的统计结果，由此可知，F=5.986，P=0.002〈0.01，可认为5个品种猪存在极显著差异，故须进行多重比较。

表3 5个品种猪增重的多重比较（LSD法）(I) 品种(J) 品种均值差 (I-J) 标准误显著性95% 置信区间下限上限LSD 1 2 3.0000*.8046 .001 1.322 4.6783 1.8667*.8439 .039 .106 3.6274 .5417 .8996 .554 -1.335 2.4185 3.5417*.8996 .001 1.665 5.4182 1 -3.0000*.8046 .001 -4.678 -1.3223 -1.1333 .8439 .194 -2.894 .6274 -2.4583*.8996 .013 -4.335 -.5825 .5417 .8996 .554 -1.335 2.4183 1 -1.8667*.8439 .039 -3.627 -.1062 1.1333 .8439 .194 -.627 2.8944 -1.3250 .9348 .172 -3.275 .6255 1.6750 .9348 .088 -.275 3.6254 1 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.3352 2.4583*.8996 .013 .582 4.3353 1.3250 .9348 .172 -.625 3.2755 3.0000*.9854 .006 .944 5.0565 1 -3.5417*.8996 .001 -5.418 -1.6652 -.5417 .8996 .554 -2.418 1.3353 -1.6750 .9348 .088 -3.625 .2754 -3.0000*.9854 .006 -5.056 -.944*. 均值差的显著性水平为 0.05。

第7章 方差分析-1


第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验，即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差，并作出其数量估 计。

一、数学模型

假设有k组观测数据，每组有n个观 测值，则用线性可加模型来描述每 一个观测值，有：
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df )，则 F 值在α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体，即H0:σt2=σe2，对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，
整个试验共有3×3=9个水平组合，实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中， 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加，得：
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )

方差分析(ANOVA)1

Duncan 检验方法，探索性研究
Dunnet 检验方法，证实性检验，常用于多 个试验组与一个对照组间的比较。
单因素方差分析
例1 在肾缺血再灌注过程的研究中，将36只雄性大鼠随机等 分成三组，分别为正常对照组、肾缺血60分组和肾缺血60 分再灌注组，测得各个体的NO数据见数据文件no.sav，试 问各组的NO平均水平是否相同？
P2,45=3.20-3.21<8.87，本次F值处于F界值之 外，说明组间均方组内均方比值属于小概率 事件，因此拒绝H0，接受H1，三个总体均 数不等或不全相等
方差分析的关键条件
第一、各组服从正态分布！ 第二、各组符合方差齐性！ 第三、独立性
方差齐性检验
Bartlett检验法 Levene F 检验 最大方差与最小方差之比<3，初步认为方
H0：三个总体均数相等，即三组工作人员 的体重指数总体均数相等
H1：三个总体均数不等或不全相等 a=0.05
（2）计算检验统计量F值
变异来源
组间 组内 总变异
SS 自由度（df）
MS
143.406 363.86 507.36
2
71.703
45
8.09
47
F 8.87
（3）确定p值，作出统计推断
18~岁 21.65 20.66
… … 18.82 16 22.07 8.97
30~岁 27.15 28.58
… … 23.93 16 25.94 8.11
45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 7.19
一、方差分析的基本思想
思想来源： 观察值总变异可以分解为组间变异和组内变异
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值

第八章 方差分析(1)

2.处理内误差(sum of squares for error)，记为SSE § 因素的同一水平下数据误差的平方和 比如，施用A种氮肥下水稻产量的误差平方和
§ 只包含随机误差
3.处理间误差(sum of squares for category)，记为SSC § 因素的不同水平之间数据误差的平方和 比如，不同氮肥下水稻产量之间的误差平方和
2.由误差平方和除以相应的自由度求得 3.三个平方和对应的自由度分别是
▪ SST 的自由度为nk-1，其中nk为全部观察值的个数 ▪ SSt的自由度为k-1，其中k为因素水平的个数 ▪ SSe 的自由度为k（n-1）
8 - 21
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
计算均方 MS
1.处理间均方：SSt的均方，记为MSt，计算公式为
▪SST=(242+302+…+212）-13833.8= 402.2
8 - 15
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
处理间误差SSt
2、各组平均值 与x总i 平(i均值1,2的,离差, k平) 方和
x
反映各总体的样本均值之间的差异程度
该平方和既包括随机误差，也包括系统误差
计算公式为
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
ni
xij xi 2
i1 j1
i1
i1 j1
SST = SSC + SSE
▪ 前例的计算结果
402.2=301.2+101.0
8 - 20
第四章 概率论与抽样分布
8.1 方差分析概述
均方(Mean square)
1.各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值 多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均 方，记为MS

方差分析(1)


表9-2 各秩次距下的Rα
K
2
3
SSR0.05 SSR0.01
第九章 方差分析
第一节 方差分析的意义
当试验的处理数目K≥3时，不能直接应用t测验及u测验 的两两测验方法进行平均数假设测验的原因有三：
1. 当有K个处理平均数时，将有[k(k-1)]/2 个差数， 要对这诸多差数逐一进行比较测验，程序实为繁琐。
2. 试验误差估计的精确度要受到损失。
3. 两两测验的方法会随着K的增加而大大增加犯α错误 的。概率。
多重比较常用的方法有以下两种：
（一）保护性最小显著差数法，即 PLSD法。 步骤：1. 根据 dfe 查出 tα 。 2. 计算平均数差数标准误 3. 计算显著尺度PLSDα值： PLSDα = tα × 平均数差数标准误 4. 将处理平均数由大到小排序，并依次求出各处理之间的差值，
将各差值均与PLSDα相比较，作出差异显著性判断。 PLSD0.01 > 平均数差值 ≥ PLSD0.05，则两处理平均数间差异为显著； 平均数差值 ≥ PLSD0.01，则两处理平均数间差异为极显著； PLSD0.05 > 平均数差值 ，则两处理平均数间差异为不显著。
因此，当处理数目K≥3时应该采用方差分析法。方差分 析的特点是将全部数据看成是一个整体，分析构成变量的变 异原因，进而计算不同变异来源的总体方差的估值。然后
进行F测验，判断各样本的总体平均数是否有显著差异，在 达到差异显著的基础上，再对两两样本的总体平均数间的 差异显著性作出判断。（看表9-1解释）
二、F测验
St2 = SSt / dft
Se2 = SSe/ dfe
F = St2 / Se2
此步骤分析的目的是判断各个处理平均数之间是否存在显著差异。
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试验指标: 薄板的厚度
因素: 机器
水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平
假定除机器这一因素外, 其他条件相同, 属于 单因素试验.
试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响.
例2 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）.
X ij j ij ,
ij～N (0, 2 ),各 ij 独立 ,
i 1, 2, , nj , j 1, 2, , s ,
j 与 2 均未知 .
单因素试验方差分析的数学模型
需要解决的问题
1.检验假设
H0 : 1 2 s , H1 : 1 , 2 , , s不全相等.
j1
检验假设
等价于
H0 : 1 2 s , H1 : 1 , 2 , , s不全相等.
检验假设 H0 : 1 2 s 0, H1 : 1 , 2 , , s不全为零.
二、平方和的分解
X
1 n
s j 1
nj i 1
X ij
—数据的总平均
s nj
ST
( X ij X )2 —总偏差平方和（总变差）
一、单因素试验
机器设备
反应时间
原料成分 原料剂量
化工产品的 数量和质量
溶液浓度 操作水平
反应温度
压力
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
试验指标——试验中要考察的指标.
因 素——影响试验指标的条件.
因
可控因素
素
不可控因素
水 平——因素所处的状态. 单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
表9.2 电路的响应时间
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
19 15
22 20 18
20 40
21 33 27
16 17 18
15
22
18
19
26
试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型
水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验
试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无
显著的影响.
例3 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.
例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示.
表9.1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236
0.238 0.248 0.245 0.243
0.257
0.253 0.255 0.254 0.261
0.258
0.264 0.259 0.267 0.262
0.264
0.248
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
0.243
0.261
0.262
问题分析 在每一个水平下进行独立试验,结果是一
个随机变量.将数据看成是来自三个总体的样本值.
设总体均值分别为1 , 2 , 3 .
检验假设 H0 : 1 2 3 ,
H1 : 1 , 2 , 3不全相等.
j1 i1
1 nj
X•j
nj
X ij
i 1
— 水平Aj下的样本平均值
s nj
ST
( X ij X )2
j1 i1
s nj
[( X ij X • j ) ( X • j X )]2
j1 i1
s nj
s nj
( X ij X• j )2
(X•j X )2
j1 i1
j1 i1
ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立,
i 1, 2, , nj , j 1, 2, , s,
改写为
j 与 2 均未知 .
X ij j ij ,
i
ij～N (0, 2
1,2, ,n
), j,
各 ij 独立 ,
j 1,2, , s,
s
nj j 0.
1,2, , s)下,进行nj (nj 2)次独立试验,得到如下表
的结果.
表 9.4
观察结果 水平
A1
A2
As
X 11
X 12
X1s
X 21
X 22
X 2s
X n11
X n2 2
样本总和
T•1
T•2
样本均值 总体均值
X1•1
X •2
2
X nss
T•s
X
•s s
假设 1.各个水平Aj ( j 1,2, , s)下的样本X1 j , X 2 j ,
2.估计未知参数1 , 2 , , s , 2 .
数学模型的等价形式
记n
snj,j1 Nhomakorabea1 n
s j 1
nj
j
.
总平均
水 平A j的 效 应,表示水平
A
下
j
的
总体
平均值与总
平均的差异.
j j , j 1,2, , s. n1 1 n2 2 ns s 0.
原数学模型 X ij j ij ,
, X nj j来自具有相同方差 2 ,均值分别为 j ( j 1, 2, , s)的正态总体N ( j , 2 ), j与 2均未知;
2.不同水平Aj下的样本之间相互独立.
因为X ij～N ( j , 2 ), 所以X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij ,表示随机误差,那么X ij可写成
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
48.7 41.4
试验指标: 射程
因素: 推进器和燃料
水平: 推进器有3个,燃料有4个 双因素试验
试验目的: 考察推进器和燃料两因素对射程有 无显著的影响.
例1
表9.1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236
0.257
0.258
0.238
0.253
每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得
射程如下（以海里计）. 表9.3 火箭的射程
推进器(B)
B1
B2
B3
A1
58.2 52.6
56.2 41.2
65.3 60.8
燃料(A) A2 A3
49.1 42.8 60.1 58.3
54.1 50.5 70.9 73.2
51.6 48.4 39.2 40.7
检验假设 H0 : 1 2 3 ,
H1
:
1
,
2
,
不全相等
3
.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知.
问 题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.
解决方法——方差分析法,一种统计方法.
数学模型
设因素A有s个水平A1 , A2 , , As ,在水平Aj ( j
s nj
2
( X ij X • j )( X • j X )
j1 i1
0
s nj
s nj
ST
( X ij X• j )2
(X•j X )2
j1 i1