有四个工人,要指派他们分别完成4 项工----数学建模1.5

4个人5个任务指派问题建模摘要：1.问题描述2.解决方案3.建模过程4.结果分析5.总结正文：1.问题描述在现实生活和工作中，我们常常会遇到需要分配任务给不同人员的情况。

如何合理、高效地分配任务以提高工作效率，减少人力成本，成为了一个亟待解决的问题。

本文将以一个具体案例为例，探讨如何解决这类问题。

假设有4 个人，分别为A、B、C、D，他们需要完成5 个任务，分别为任务1、任务2、任务3、任务4、任务5。

现在需要为他们合理分配任务，使得总工作效率最大。

2.解决方案为了解决这个问题，我们可以采用线性规划方法进行建模。

具体步骤如下：首先，我们需要建立一个数学模型来描述这个问题。

假设4 个人分别需要在5 个任务上花费的时间为a1, a2, a3, a4, a5（单位：小时），他们的工作效率分别为v1, v2, v3, v4, v5（单位：任务/小时）。

我们的目标是最小化总时间，即：最小化：总时间= max(a1, a2, a3, a4, a5)接下来，我们需要列出线性规划问题的约束条件。

首先，每个人需要完成所有任务，因此有：a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1（任务1）a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1（任务2）a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1（任务3）a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1（任务4）a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1（任务5）其次，每个人需要在任务上花费的时间不能为负，因此有：a1 >= 0, a2 >= 0, a3 >= 0, a4 >= 0, a5 >= 0最后，我们需要考虑每个人的工作效率。

为了使总时间最小，我们需要将任务分配给工作效率较高的人。

因此，我们可以将每个人分配给他们效率最高的任务，即：任务1：a1 = max(v1, v2, v3, v4, v5)任务2：a2 = max(v2, v3, v4, v5, v1)任务3：a3 = max(v3, v4, v5, v1, v2)任务4：a4 = max(v4, v5, v1, v2, v3)任务5：a5 = max(v5, v1, v2, v3, v4)3.建模过程根据上述分析，我们可以建立如下的线性规划模型：min a1, a2, a3, a4, a5s.t.a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1a1 >= 0, a2 >= 0, a3 >= 0, a4 >= 0, a5 >= 0a1 = max(v1, v2, v3, v4, v5)a2 = max(v2, v3, v4, v5, v1)a3 = max(v3, v4, v5, v1, v2)a4 = max(v4, v5, v1, v2, v3)a5 = max(v5, v1, v2, v3, v4)4.结果分析通过求解上述线性规划问题，我们可以得到最优的任务分配方案以及对应的总时间。

√ 运筹学
STEP 4: 调整
GO TO STEP 1
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
√ √
0 20 40 √ 60 √ 95 √
运筹学
45 0 40 65 45 55 55 0 0 5 0 45 0 55 60 55 45 45 0 45
M ≥ m cij ), bij = M − cij ax(
则有
∑∑b x = ∑∑(M −c )x
i=1 j =1 ij ij n i=1 j =1 n ij n n i=1 j =1 i=1 j =1
n
n
n
n
ij n n
= M∑∑xij − ∑∑cij xij = nM − ∑∑cij xij
i=1 j =1
运筹学
32a 12a 0 0 0 0 640a 0 48a 176a 96a 0 8a 56a 26a 0
运筹学
32a 12a 0 0 0 0 640a 0 48a 176a 96a 0 8a 56a 26a 0
√ √
0 20 40 √ 60 √ 95 √
运筹学
50 0 45 65 50 55 60 0 0 0 0 40 0 50 60 50 45 40 0 40
0 20 35 55 90
运筹学
0 0 (xij ) = 0 1 0
指派问题
Assignment Problems
指派问题（分配问题）
1. 指派问题及其数学模型 2. 求解指派问题的匈牙利法 3. 非标准指派问题的求解 4. 指派问题的应用举例

指派问题（Assignment Problem ）1. 标准指派问题的提法及模型指派问题的标准形式是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人做第j 件事的费用为cij （i ，j=1，2，…，n ），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n 件事的总费用最小。

设n2个0-1变量1,i j 0,i j ij x ⎧=⎨⎩若指派第个人做第件事若不指派第个人做第件事(i,j=1,2,…, n) 数学模型为:1111min 1.101,,1,2,,n nij iji j nij i n ij j ijZ c x x s t x x or i j n =====⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑ 其中矩阵C 称为是效率矩阵或系数矩阵。

其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即 (xij)n ⨯n 。

标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。

1955年W. W. Kuhn 利用匈牙利数学家D. Konig 关于矩阵中独立零元素的定理, 提出了解指派问题的一种算法, 习惯上称之为匈牙利解法。

2. 匈牙利解法匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij ）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k ，得到一个新的矩阵C ’=（c ’ij)，则以C 和C ’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。

（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k ，所以，最优解并不改变。

）对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n 个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。

匈牙利法的步骤如下：步1：变换系数矩阵。

对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。

若某行或某列已有0元素，就不必再减了（不能出现负元素）。

步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。

x1 2 x 2 d1 d1 10 x1 12 x 2 d 2 d2 2 x1 x 2 x , x , d , d 0, 1 2 i i i 1,2
10 62.4 8
x1 x 2 d1 d1 2 x1 2 x 2 d 2 d2 6 x1 4 x 2 d 3 d 3 x , x ,d ,d 0 1 2 i i i 1,2,3
5、解 0 - 1 规划 min z 4 x1 3 x 2 2 x3
2 x1 5 x 2 3 x3 4 x x 3x 1 2 3 x 2 x3 x1 , x 2 , x3 0

，要指派他们分别完成 4 种工作，每人做各种工作所消耗的时间 如下表所示，问指派哪个人去完成哪种工作，可使总的消耗时间为最小？
高阶运筹学课后习题
1、某商标的酒是用三种等级的酒兑制而成。若三种等级的酒每天供应量和单位 成本为：
等级 I II III 日供应量（kg） 1500 2000 1000 成本（元/kg） 6 4.5 3
设该种牌号酒有三种商标（红、黄、蓝） ，各种商标的酒对原料酒的混合比及售 价，见附表。决策者规定：首先必须严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获 利最大；再次是红商标的酒每天至少生产 2000kg，试列出数学模型。
1 4 50
工种 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
7、求解下列目标规划问题的满意解（可以采用规划求解宏计算方法） （1） min z P （2） min z P1 ( d 1 d 2 ) P2 d 3 1d 2 P 1 d 2 P2 d 1