江苏省淮安市洪泽中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷(9月份)
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2014-2015学年江苏省淮安市洪泽中学高一（上）月考数学试卷（9月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在横线上.1．不等式x2﹣x＜0的解集为．2．已知等差数列{a n}的公差d≠0，又a1，a2，a4成等比数列，公比为q，则q= ．3．如图的伪代码中，当n=5时执行后输出的结果是．4．如图是一个边长为1的正方形及其内切圆，现随机地向该正方形内投一粒黄豆（视为一点），则黄豆落入圆内的概率为．5．一组数据9，7，8，6，5的方差为．6．若实数x，y满足x+2y=2，则2x+4y的最小值为．7．一份共三道题的测试卷，每道题1分，现用这份试卷去测试某班学生，测试结果全班得3分、2分、1分、0分的学生所点比例依次为30%，50%，10%，10%，则全班的平均分为．8．不等式组表示的平面区域的面积为．9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=2S n（n≥1），则a6= ．10．若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．11．已知n∈N*，则数列{}的前n项和S n= ．12．已知直线a，b，c，d，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a⊥c，b⊥c，则a∥b；③若a，b分别和异面直线c，d都相交，则a，b是异面直线；④已知a，b是异面直线，若AB∥a，BC∥b，则∠ABC是异面直线a，b所成的角，则以上命题中正确命题的序号是．13．已知实数a，b满足4a2+b2+ab=1，则2a+b的最大值是．14．已知当x＞1时，有f（3x）=3f（x）；当1＜x＜3时，f（x）=3﹣x，记f（3n+2）=k n，则k i= ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．一只口袋中有形状大小都相同的小球，其中白球1个，红球2个，黄球1个，现从中随机摸出2个小球，试求：（1）两个都是红球的概率；（2）至少一个是红球的概率．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面EFGH依次交AB，BC，CD，DA于E、F、G、H．（1）若直线EH与FG相交于点O，求证：O在直线BD上；（2）若EH∥FG，求证：EH∥BD．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=．（1）求角B；（2）若b=，a+c=4，求边a．18．如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏和下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a（cm），b（cm），铝合金的透光部分的面积为S （cm2）．（1）试用a，b表示S；（2）若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？19．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b，c∈R），F（x）=．（1）若f（x）的最小值为f（﹣1）=0，且f（0）=1，求F（﹣1）+f（2）的值；（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，求b的取值范围；（3）若a=1，b=﹣2，c=0，且y=F（x）与y=﹣t的图象在闭区间[﹣2，t]上恰有一个公共点，求实数t的取值范围．20．已知各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，且0＜q＜．（1）在数列{a n}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，a k﹣（a K+1+a k+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若b n=﹣log（+1），S n=b1+b2+…+b n，T n=S1+S2+…+S n，试用S2011表示T2011．2014-2015学年江苏省淮安市洪泽中学高一（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在横线上.1．不等式x2﹣x＜0的解集为（0，1）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：因式分解即可求出不等式的解集．解答：解：x2﹣x＜0的即x（x﹣1）＜0；解得0＜x＜1∴原不等式的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的方法步骤进行解答，是基础题．2．已知等差数列{a n}的公差d≠0，又a1，a2，a4成等比数列，公比为q，则q= 2 ．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差数列以及等比数列推出关系式，即可求出公比q的值．解答：解：由题意可知：a2=a1+d，a4=a1+3d，a1，a2，a4成等比数列，公比为q，∴a22=a1•a4，即：（a1+d）2=a1（a1+3d），解得：a1=d，a2=a1+d=2d，q==2．故答案为：2．点评：本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．3．如图的伪代码中，当n=5时执行后输出的结果是9 ．考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：模拟算法运行的过程，得出该程序运行后输出的是什么，从而得出正确的结果．解答：解：根据题意，该算法运行后输出的是c=，∴n=5时，c=5+2×（5﹣3）=9．故答案为：9．点评：本题考查了算法程序的应用问题，解题时应模拟程序运行的过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．如图是一个边长为1的正方形及其内切圆，现随机地向该正方形内投一粒黄豆（视为一点），则黄豆落入圆内的概率为．考点：几何概型．专题：应用题；概率与统计．分析：由于正方形的边长为1，则内切圆半径为，然后求出正方形面积及其内切圆的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．解答：解：∵正方形的边长为1，∵正方形的面积S正方形=12=1，其内切圆半径为，内切圆面积=故向正方形内撒一粒豆子，则豆子落在圆内的概率P=故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型，以及圆与正方形的面积的计算，解题的关键是弄清几何测度，属于中档题．5．一组数据9，7，8，6，5的方差为 2 ．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题；概率与统计．分析：根据平均数与方差的公式，先计算数据的平均数，再求方差．解答：解：数据9，7，8，6，5的平均数是==7，∴它的方差是s2=[（9﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（6﹣7）2+（5﹣7）2]=2．故答案为：2点评：本题考查了求数据平均数与方差的问题，解题时应根据平均数与方差的公式进行计算，是基础题．6．若实数x，y满足x+2y=2，则2x+4y的最小值为 4 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：直接利用基本不等式进行求解，注意等好成立的条件．解答：解：∵x+2y=2，∴，当x=2y=1时取等号，故答案为：4点评：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是基本不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．7．一份共三道题的测试卷，每道题1分，现用这份试卷去测试某班学生，测试结果全班得3分、2分、1分、0分的学生所点比例依次为30%，50%，10%，10%，则全班的平均分为2分．考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：根据加权平均数的公式进行计算，即可得出正确的结论．解答：解：根据题意，得；全班的平均分为=3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2分．故答案为：2分．点评：本题考查了求加权平均数的问题，解题时应用加权平均数的公式进行计算，是基础题．8．不等式组表示的平面区域的面积为16 ．考点：简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，联立方程组求出三角形三点的坐标，直接由三角形的面积公式得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，分别联立方程组，可得A（2，﹣2），B（2，6），C（﹣2，2）．∴平面区域的面积为S=．故答案为：16．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．9．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=2S n（n≥1），则a6= 162 ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到数列{a n}从第二项起构成以2为首项，以3为公比的等比数列，求出其通项公式后得答案．解答：解：由a n+1=2S n（n≥1），得a n=2S n﹣1（n≥2），两式作差得：a n+1﹣a n=2a n（n≥2），即a n+1=3a n（n≥2），由a1=1，a n+1=2S n得a2=2．∴数列{a n}从第二项起构成以2为首项，以3为公比的等比数列．∴（n≥2）．∴．故答案为：162．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．10．若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则= ．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：又A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．解答：解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得： a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．11．已知n∈N*，则数列{}的前n项和S n= ．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用错位相减法求数列的和．解答：解：①，②，①﹣②得：==．∴=．故答案为：．点评：本题考查了错位相减法求数列的和，一个等差数列和一个等比数列积数列，常采用错位相减法求其前n项和，是中档题．12．已知直线a，b，c，d，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a⊥c，b⊥c，则a∥b；③若a，b分别和异面直线c，d都相交，则a，b是异面直线；④已知a，b是异面直线，若AB∥a，BC∥b，则∠ABC是异面直线a，b所成的角，则以上命题中正确命题的序号是①．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，即可判断①；空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，即可判断②；比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，即可判断③；已知a，b是异面直线，若AB∥a，BC∥b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b所成的角，即可判断④．解答：解：对于①，若a∥b，a⊥c，由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，可得b⊥c，故①对；对于②，空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故②错；对于③，比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC 相交，故③错；对于④，已知a，b是异面直线，若AB∥a，BC∥b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b所成的角，故④错．故答案为：①．点评：本题考查空间两直线的位置关系：平行和相交或异面，考查异面直线所成的角的概念，是一道易错题，也是基础题．13．已知实数a，b满足4a2+b2+ab=1，则2a+b的最大值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：题中实数a，b没有给出正实数，则利用基本不等式不好处理，可以利用判别式法求最值即可．解答：解：令t=2a+b，则b=t﹣2a，所以4a2+（t﹣2a）2+a（t﹣2a）=1，即6a2﹣3at+t2﹣1=0，则△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0，解得，所以2a+b的最大值是．故答案为：点评：本题主要考查了利用判别式法求最值，题中实数a，b没有给出正实数，则利用基本不等式不好处理，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．14．已知当x＞1时，有f（3x）=3f（x）；当1＜x＜3时，f（x）=3﹣x，记f（3n+2）=k n，则k i= 3n+1﹣2n﹣3 ．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意求得k n=f（3n+2）=f[3n（1+）]=3n•f（1+）=3n[3﹣（1+）]=3n（2﹣）=2（3n﹣1），利用分组求和法求和即可得出结论．解答：解：k n=f（3n+2）=f[3n（1+）]=3n•f（1+）=3n[3﹣（1+）]= 3n（2﹣）=2（3n﹣1），∴则k i=2[（31+32+…+3n）﹣n]=2×﹣2n=3n+1﹣2n﹣3．故答案为3n+1﹣2n﹣3．点评：本题考查数列与函数的关系，考查分组求和及等比数列的求和公式，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．一只口袋中有形状大小都相同的小球，其中白球1个，红球2个，黄球1个，现从中随机摸出2个小球，试求：（1）两个都是红球的概率；（2）至少一个是红球的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：确定基本事件的个数，利用古典概型、互斥事件的概率公式，即可求解．解答：解：（1）由题意，从中随机摸出2个小球，共有4×3=12种情况，两个都是红球，有2种情况，∴两个都是红球的概率是=；（2）至少一个是红球的对立事件是从中随机摸出2个小球，没有红球，有2种情况，∴至少一个是红球的概率是1﹣=．点评：求一个事件的概率时，应该先判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面EFGH依次交AB，BC，CD，DA于E、F、G、H．（1）若直线EH与FG相交于点O，求证：O在直线BD上；（2）若EH∥FG，求证：EH∥BD．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知条件推导出点O∈平面ABD，点O∈平面BCD，由此利用公理2，能证明点O在直线BD上．（2）由EH∥FG，得EH∥平面BCD，由此能证明EH∥BD．解答：证明：（1）因为点O在直线EH上，直线EH⊂平面ABD，所以点O∈平面ABD，同理，点O∈平面BCD，因为平面ABD∩平面ABD=BD，据公理2，点O在直线BD上．（2）因为EH∥FG，EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，所以EH∥平面BCD，又因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面ABD=BD，所以EH∥BD．点评：本题考查点在直线上的证明，考查直线平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=．（1）求角B；（2）若b=，a+c=4，求边a．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B为三角形的内角求出B；（2）利用余弦定理表示出关于a与c的关系式，再由条件联立方程求出a、c的值即可．解答：解：（1）根据正弦定理得：，又，所以，所以sinBcosC=2sinAcosB+cosBsinC，整理得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，又A+B+C=π，即B+C=π﹣A，则sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，所以2sinAcosB+sinA=0，又sinA≠0，所以cosB=，又0°＜B＜180°，所以B=120°；（2）根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即a2+c2+ac=b2，又b=，a+c=4，所以（a+c）2﹣ac=13，得ac=3，由a+c=4、ac=3得，或，所以a=1或a=3．点评：本题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及整体代换求值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏和下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1：2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a（cm），b（cm），铝合金的透光部分的面积为S （cm2）．（1）试用a，b表示S；（2）若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：（1）先根据题意分别求出上、下两栏的高和宽，然后利用矩形的面积公式将三个透光部分的面积求出相加即可得到所求；（2）抓住ab=28800进行化简变形，然后利用基本不等式进行求解，注意等号成立的条件，最后求出取等号时a与b的值即可．解答：解：（1）根据题意可知上栏的高为cm，长为（a﹣12）cm．下栏的高为cm，宽为cm．∴铝合金的透光部分的面积为S=（a﹣12）+××2=（b﹣18）（a﹣16）（2）∵ab=28800∴S=（b﹣18）（a﹣16）=29088﹣2（9a+8b）≤29088﹣4=29088﹣1440×4=23328当且仅当9a=8b时，而ab=28800解得a=160，b=180时不等式取等号∴若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为160cm，180cm．点评：本题考查将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查利用基本不等式求函数的最值注意满足的条件：一正、二定、三相等，属于中档题．19．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b，c∈R），F（x）=．（1）若f（x）的最小值为f（﹣1）=0，且f（0）=1，求F（﹣1）+f（2）的值；（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，求b的取值范围；（3）若a=1，b=﹣2，c=0，且y=F（x）与y=﹣t的图象在闭区间[﹣2，t]上恰有一个公共点，求实数t的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）直接由f（0）=1求出c的值，结合f（x）的最小值为f（﹣1）=0，可知对称轴为x=﹣1，由此联立方程组求得a，b的值，则F（x）可求，进一步求得F（﹣1）+f（2）的值；（2）把a=1，c=0代入f（x），|f（x）|≤1转化为﹣1≤x2+bx≤1对x∈[0，1]恒成立，然后分x=0和x∈（0，1]求解b的取值范围；（3）由题意知t＞﹣2，然后对t分类借助于二次函数根的范围求解实数t的取值范围．解答：解：（1）由f（0）=1，得c=1，再由f（﹣1）=0，得，∴a=1，b=2，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，∴，则F（2）+F（﹣1）=5；（2）∵a=1，c=0，∴f（x）=x2+bx，∵|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，∴﹣1≤x2+bx≤1对x∈[0，1]恒成立，当x=0时，f（0）=0，∴b∈R；当x∈（0，1]时，﹣1≤x2+bx≤1对x∈（0，1]恒成立等价于恒成立，∴b∈[﹣2，0]，综上，b的取值范围是[﹣2，0]；（3）由题意知，t＞﹣2，，当t=0时，不合题意；当t＜0时，由F（x）=﹣t在[﹣2，t]上恰有一解，即x2+2x﹣t=0在[﹣2，t]上恰有一解，令g（x）=x2+2x﹣t，得g（﹣2）•g（t）≤0，∵g（﹣2）=﹣t＞0，∴g（t）=t2+t≤0，解得﹣1≤t＜0，当t＞1时，不合题意，当0＜t≤1时，由F（x）=﹣t在[﹣2，t]上恰有一解，即x2﹣2x+t=0在[﹣2，t]上恰有一解，令g（x）=x2﹣2x+t，得g（﹣2）•g（t）≤0，∵g（﹣2）=8+t＞0，∴g（t）=﹣t2+t≤0，解得0＜t≤1．综上，t的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数解析式的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．20．已知各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，且0＜q＜．（1）在数列{a n}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；（2）若a1=1，且对任意正整数k，a k﹣（a K+1+a k+2）仍是该数列中的某一项．（ⅰ）求公比q；（ⅱ）若b n=﹣log（+1），S n=b1+b2+…+b n，T n=S1+S2+…+S n，试用S2011表示T2011．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由题意知数列{a n}是递减正项数列，因此设a k、a m、a n（k＜m＜n）成等差数列，根据等差中项的定义列式并化简可得2q m﹣k=1+q n﹣k，结合公比0＜q＜可得此方程没有实数根，故数列{a n}中不存在三项成等差数列．（2））（i）化简得a k﹣（a k+1+a k+2）=a1q k﹣1[﹣（q+）2]，结合[﹣（q+）2]∈（，1）讨论可得只有a k﹣（a k+1+a k+2）=a k+1，得到方程q2+2q﹣1=0解之得q=（舍负）；（ii）由等比数列的通项公式，结合对数运算性质得b n=，从而得到S n=1+++…+，进而得到T n=1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+），对此式重新组合整理得T n=（n+1）S n﹣n，由此将n=2011代入即可得到用S2011表示T2011的式子．解答：解：（1）根据题意，a n=a1q n﹣1，其中0＜q＜．∵a n＞0，∴a n+1＜a n对任意n∈N+恒成立，设{a n}中存在三项a k、a m、a n（k＜m＜n），满足成等差数列则2a m=a k+a n，即2q m﹣k=1+q n﹣k，由2q m﹣k＜1且1+q n﹣k＞1，可得上式不能成立．因此数列{a n}中不存在三项，使其成等差数列．（2）（i）a k﹣（a k+1+a k+2）=a1q k﹣1（1﹣q﹣q2）=a1q k﹣1[﹣（q+）2]∵[﹣（q+）2]∈（，1），∴a k﹣（a K+1+a k+2）＜a k＜a k﹣1＜…＜a2＜a1，且a k﹣（a K+1+a k+2）＞a k+2＞a k+3＞…因此，只有a k﹣（a k+1+a k+2）=a k+1，化简可得q2+2q﹣1=0解之得q=（舍负）；（ii）∵a1=1，q=，∴a n=（）n﹣1，可得b n=﹣log（+1）==，因此，S n=b1+b2+…+b n=1+++…+，T n=S1+S2+…+S n=1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+）=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+[n﹣（n﹣1）]=n（1+++…+）﹣（++…+）=nS n﹣[（1﹣）+（1﹣）+…+（1﹣）]=nS n﹣[（n﹣1）﹣（++…+）]=nS n﹣[n﹣（1+++…+）]=nS n﹣n+S n=（n+1）S n﹣n由此可得：T2011=2012S2011﹣2011．点评：本题给出公比小于的正项等比数列，讨论它的某三项成等差数列，求数列的通项公式并依此解决数列{b n}的前n项和的问题．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列与函数的综合等知识，属于中档题．。
