圆柱、圆锥、圆台和球 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案

随堂练习：圆柱、圆锥、圆台和球
1．下列说法正确的是________．(填序号)
①直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥；
②夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；
③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
④通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
2．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是________．
3．下列说法正确的是________．(填序号)
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；
②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相
交．
4．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．
5．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？
答案
1．③
2．④
3．②④
4．圆锥
5．解假设直角三角形ABC中，∠C＝90°.以AC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．
当以BC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示．当以AB边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示．。

2、当d 0 时，截面过球心，这 时 R r ，截面圆最大，这个
圆叫大圆；
3.当 d增大时，截面圆越来越小，
当 0 d 时 R，截面是小圆，
当 d时，R 截面圆缩为一个
点，这时截面与球相切．
O
Rd r O'
P
课堂练习
口答
1．A.B 为球面上相异两点，则通 过A.B两点可作球的D大圆有（ ）
A．一个 B．无穷多个
纬度—— P点的纬度，也是 或 POA 的度数，即:
某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的 角度．
球面距离
C D
A
B
两点间的球面距离
Q P
直观的发现：过P,Q的圆中，半径越大， 在P,Q之间的劣弧的长越小！
定义
球面距离
球面距离：球面上两点
A.B之间的最短距离，就
是经过A.B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
R
O RA
距离公式： l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1.求东经 57线上, 纬度分别为北纬 38 和 68
的两地A ，B的球面距离.(设地球半径为R).
N
解 EOB EOA
球心
球的性质
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心, 半径等于球半径；小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面.
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系:

第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 棱柱、棱锥和棱台1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.伐木工人将树伐倒后，再将枝杈砍掉，根据需要将其截成不同长度的圆木，圆木可以近似地看成__________体.思路解析：根据圆柱的概念及其结构特征可知.答案：圆柱2.棱柱的侧面是__________形，棱锥的侧面是__________形，棱台的侧面是__________形. 思路解析：根据棱柱、棱锥、棱台的概念及其结构特征可知.答案：平行四边三角梯3.如图1-1-1，ABCD是一个正方形，E、F分别是AB和BC的中点，沿折痕DE、EF、FD 折起得到一个空间几何体，请你动手折一折，看看这个空间几何体是什么几何体？图1-1-1思路解析：折起后是一个三棱锥，如下图所示.答案：这个几何体是一个三棱锥.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列图形为圆柱体的是( )图1-1-2思路解析：圆柱的上、下两个底面是相互平行并且完全相等的.答案：C2.如图1-1-3，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体_________构成的.图1-1-3思路解析：旋转体要注意转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥.答案：圆锥、圆柱3.下列命题正确的是( )A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点思路解析：如果上、下两个面平行，但它们是大小不一样的多边形，即使各面是四边形，那也不能是棱柱，A错.如下图，图中面ABC∥面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱，B错.棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，而棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，所以D对.答案：D4.判断下列几何体是否是棱台，并说明为什么.图1-1-4思路解析：棱台的两个底面互相平行，且各棱延长一定会交于一点，本题可以利用此性质延长各几何体侧棱，从而判断该几何体是否是棱台.答案：(1)侧棱延长后不交于一点，故不是棱台.(2)上下两个面不平行，故不是棱台.(3)上下两个面平行，侧棱延长后交于一点，故是棱台.5.写出如图1-1-5所示几何体的名称，并简述该几何体的特征.图1-1-5思路解析：由棱柱的定义及结构特征知.答案：这是一个六棱柱；六棱柱由六个侧面围成，每个侧面都是长方形，两个底面是全等的六边形，每个侧面上的侧棱都平行且相等.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.棱柱的面至少有_________个，棱锥的面至少有_________个.思路解析：棱柱的面最少时，底面应为三角形，此时棱柱为三棱柱，有5个面；棱锥的面最少时，底面应为三角形，此时棱锥为三棱锥，也称为四面体，有4个面.答案：5 42.平行于圆柱、圆锥、圆台底面的截面都是_________.思路解析：根据圆柱、圆锥、圆台的构成特征可得.答案：圆3.棱台不具有的性质是( )A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都平行D.侧棱延长后都交于一点思路解析：根据棱台的概念及结构特征，可排除A、B、D.答案：C4.一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为( )A.一个圆锥B.一个圆锥和一个圆柱C.两个圆锥D.一个圆锥和一个圆台思路解析：这里要注意转轴，可以自己先动手画一下，再结合旋转体的概念可知.答案：C5.下面几何体的轴截面(过轴的截面)一定是圆面的是( )A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台思路解析：由旋转体的结构特征，知只有球体的轴截面是圆面.答案：C6.(1)若干个平面围成的几何体称为多面体，我们学过哪几种多面体？多面体至少有几个面？(2)由一个平面图形绕一条轴旋转而围成的几何体称旋转体，我们所学过的旋转体有几种？旋转体至少有几个面？思路解析：考查多面体、旋转体的概念.答案：(1)多面体有棱柱、棱锥、棱台，其中面最少的是三棱锥，也称四面体.(2)旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球，它们的面数分别是3、2、3、1，因此，球的面数最少为1.7.图1-1-6是一个圆台，请标出它的上底面、下底面、轴、母线，并指出它是怎样生成的.图1-1-6思路解析：由圆台的概念及旋转体的概念可得．答案：如下图所示，上底面为圆面⊙O，下底面为圆面⊙O1，轴为OO1，母线为l，它是由直角梯形O1OAB绕轴OO1旋转360°而形成的.8.如图1-1-7，AB⊥AE，CD∥AE，将五边形ABCDE绕AE边所在的直线旋转一周，由此得到的几何体是由哪些几何体构成的？你能否画出这个几何体的大致形状？图1-1-7思路解析：平面图形绕着一条直线(轴)旋转一周形成的曲面围成的几何体称为旋转体.答案：这个几何体是由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台构成的，大致形状如下图所示.9.图1-1-8是由圆台和球构成的组合体，试指出这个几何体是怎样生成的？画出这个几何体的轴截面(过轴的截面).图1-1-8思路解析：关于旋转体，不仅能由平面图形旋转出几何体来，也要能把几何体是由哪些平面图形旋转而来的复原出来.答案：这个几何体是由一个半圆和一个直角梯形绕直线旋转一周生成的，轴截面如下图所示.10.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶4，母线长为10 cm ，求圆锥的母线长.思路解析：利用轴截面研究旋转体是解决问题的主要途径.解：作出圆锥的轴截面如下图所示，设圆锥的母线长为l ，截得的圆台上底面半径为r ，则其下底面为4r ，所以4110=-l l ，解得cm l 340=.。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．下面几何体的截面一定是圆面的是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台2．点O 1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点，过O 1与底面平行的截面面积是底面面积的( )A.13B.23C.14D.193．圆台轴截面的两条对角线互相垂直，上、下底面半径之比为3∶4，高为142，则母线长为( )A ．10 3B ．25C ．10 2D ．204．下图中△SOA 沿边SO 所在直线旋转得一圆锥，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是 3 cm ，则圆台的母线长为________．5．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．下列说法中正确的是( )A ．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台一个中心的截面是等腰梯形2．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为( )A ．一个圆锥B ．一个圆锥和一个圆柱C ．两个圆锥D ．一个圆锥和一个圆台3．一个圆台的上、下底面的面积分别为1 cm 2、49 cm 2，一个平行于底面的截面的面积为25 cm 2，则这个截面与上下底面的距离之比是( )A ．2∶1B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶14．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( )A ．10 cmB ．5 2 cmC ．5π2＋1 cm D.52π2＋4 cm 5．把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是1∶4，圆台的母线长是10，则原来的圆锥的母线长是( )A.103B.703C.403 D ．136．将一个边长为a 的正方形卷成圆柱面，则圆柱的轴截面面积为__________．7．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，则过该顶点的圆锥截面中最大截面面积为__________．8．用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得的圆台的上下底面半径的比是1∶4，若截去的圆锥的母线长是3 cm ，则圆台的母线长是多少？9．如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，P点为母线B′B的中点，∠AOB＝2π3，试问一蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到P点的最小路程．【参考答案】课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．【解析】与圆柱底面平行的截面是圆面，与轴平行的截面是矩形；与圆锥底面平行的截面是圆面，过圆锥顶点的截面是等腰三角形，两腰都是母线；与圆台底面平行的截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形；球的截面总是圆面，故四种几何体中只有球的截面一定是圆面．【答案】C2．【解析】如图，由题知SO 1∶SO ＝1∶3，∴O 1B ∶OA ＝1∶3.∴S ⊙O 1∶S ⊙O ＝1∶9.【答案】D3．【解析】如下图，设上、下底面半径分别为r ，R ，母线长为l ，则r R ＝34＝O 1O OO 2.又O 1O 2＝142，∴O 1O ＝62，OO 2＝8 2.∵OB ⊥OC ，∴OB ＝12，OC ＝16，∴l ＝OB 2＋OC 2＝20.【答案】D4．【解析】设圆台的母线长为l cm ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r cm,4r cm ，根据相似三角形的性质得33＋l ＝r 4r，解得l ＝9. 所以圆台的母线长为9 cm.【答案】9 cm5．解：(1) 如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，由已知可得上底面半径O 1A ＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，又腰长AB ＝12 cm ，所以圆台的高为AM ＝122－（5－2）2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，∴l ＝20(cm)． 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．【解析】由截面的性质知，平行于圆锥、圆台母线的截面的边界都有可能是抛物线的一部分．C 正确．【答案】C2．【解析】所形成的两个圆锥对底，其底面半径是这个直角三角形斜边上的高，这两个对底圆锥的高的和等于这个直角三角形斜边的长．【答案】C3．【解析】把圆台O 1O 还原成圆锥SO ，其轴截面如图所示，其中O 2为截面圆的圆心，由SO 1SO ＝149，SO 1SO 2＝125，得SO ＝7SO 1，SO 2＝5SO 1， ∴O 1O 2＝SO 2－SO 1＝4SO 1，OO 2＝SO －SO 2＝2SO 1，∴O 1O 2OO 2＝2∶1. 【答案】A4．【解析】作出侧面展开图，如图所示．注意G 、F 在侧面展开图上应是长的中点，连接EG ，则HE ＝5 cm ，HG ＝π·52＝52π(cm)，所以EG ＝ 52＋⎝⎛⎭⎫52π2＝52π2＋4(cm)，故选D.【答案】D5．【解析】利用轴截面l －10l ＝14，所以l ＝403. 【答案】C 6．【解析】由题意得2πr ＝a ，所以r ＝a 2π，所以圆柱的轴截面面积为S ＝2r ·a ＝2a ·a 2π＝a 2π. 【答案】a 2π7．【解析】因为圆锥的轴截面的顶角为120°，大于90°，所以过顶点的所有截面中，面积最大的是等腰直角三角形的截面，且其面积为母线长的平方的一半．【答案】128．解：如图所示，设圆台的母线长为y cm ，截去的圆锥的底面与原圆锥的底面的半径分别是x cm,4x cm ，根据相似三角形性质可得33＋y ＝x 4x，解此方程可得y ＝9， 即得圆台的母线长为9 cm.9．解：将圆柱侧面沿母线A ′A 剪开展平得到如图所示的平面图．则知最短路径为平面图中线段AP .在Rt △ABP 中，AB ＝2π3×2＝4π3，PB ＝2. ∴AP ＝ 16π29＋4＝2 4π29＋1＝234π2＋9 cm. 故蚂蚁从A 点沿圆柱表面爬到P 点的最小路程为234π2＋9 cm.。