数学问题杂谈 (42)

与代数相关的分类讨论问题一、考点聚焦分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

(1).实数的分类。

(2).()()00a a a a a ≥==-⎧⎪⎨⎪⎩ (3).各类函数的自变量取值范围(4).函数的增减性： 0,0,k k y x y x k y x >=<⎧⎨⎩时随的增大而增小时随的增大而减大0,20,a a y ax bx c ⎧>⎪⎨<⎪⎩=++时抛物线开口向上时抛物线开口向下 (5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。

(6).三角形的分类、四边形的分类二、热点分析热点1：与数与式有关的分类讨论【例1】化简：①︱x-1 ︳ ②热点2：与方程有关的分类讨论【例2】解方程：①（a -2）x =b -1分析：对于方程a x=b ，一般要对字母a ,b 进行分类讨论当a ≠0时方程有惟一解x =ab ;当a =0,b =0时，方程有无数个解； 当a =0,b ≠0时，方程无解 ②试解关于x 的方程111=--x )x (热点3：与函数及图象有关的分类讨论【例3】 设一次函数21y ax a =-+-的图象不经过第一象限，求a 的取值范围。

解：由题意得：0,210.a a -- < （1） 当210a -=，即12a =时，一次函数21y ax a =-+-变形为12y x =-，其图象只经过第二、四象限。

0,0,k y x k y x y kx b ⎧⎪⎨⎪⎩=+ 时随的增大而增大时随的增大而减小（2） 当0a -<且210a -<，即12a 0<<时，一次函数21y ax a =-+-的图象只经过第二、三、四象限。

综上所述，a 的取值范围是12a £0<。

小学数学杂谈----因数与倍数1.因数和倍数如果整数A能被整数B整除，A就叫做B的倍数，B就叫做A的因数，（在自然数的范围内）。

如：6÷3＝2 6是3和2的倍数：2和3是6的因数必须注意：①、被除数、除数、商都必须是整数如10÷4=2.5 4就不能说是10的因数，也不能说10是4的倍数②、不能把一个数单独的叫做倍数或因数；只能说谁是谁的倍数或因数，如：6÷3=2，不能说6是倍数，2是因数，只能说6是3的倍数，3是6的因数。

③、什么是自然数：自然数是用来表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11……都是自然数，0也是自然数，最小的自然数是0，自然数的个数是无限的。

2.整除的特征⑴能被2或5整除的数的特征能被整数2正常的数：个位上的数是0、2、4、6、8. 能被5整除的数：个位上的数是0或5.个位上的数是0的数，既能被2整除又能被5整除。

⑵能3或9整除的数的特征一个数各个数位上的数字的和能被3整除这个数就能被3整除。

1一个数各个数位上的数字的和能被9整除这个数就能被整除。

如：9231各个数位上的数字的和是9+2+3+1=15,能被3整除所以9231能被3整除72702各个数位上数字和是：7+2+7+0+2=18能被9整除所以72702能被9整除⑶能被4或25整除的数的特征一个数末两位能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。

末两位数是0的，即整百数，既能被4整除，又能被25整除。

如：1928、17500能被4整除925、7700能被25整除其中17500和7700既能被4整除又能被25整除⑷能被8或125整除的数的特征一个数的末三位能被8或125整除那么这个数就能被8或125整除。

末三位数是0的，即整千数，既能被8整除，又能被125整除。

如：8712、7000能被8整除；1625、35000能被125整除，其中7000和35000既能被8整除又能被125整除⑸能被7,11,13整除的数的特征一个数字末三位上的数字所组成的数字与末三位以前的数字所组成的数字之差能被7,11,13整除，那么这个数就能被7,11,13整除2如：246288，由于288－246=42.42能被7整除所以246288能被7整除。

数学课堂教学杂谈摘要:新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。

教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。

关键词:激发兴趣培养探索能力辅导学生感受生活变式练习创新能力新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。

教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。

笔者从近几年的课改教学经历中,深感新课改的重要作用,尝试到素质教育得到的实效。

现谈几点认识。

一、激发学生学习兴趣是搞活课堂教学的关键1、巧设导语,激发兴趣俗话说:“好的开头是成功的一半。

”一个新颖的导语可以活跃课堂气氛,激发学生的学习兴趣。

在讲一元一次方程应用时,我引用这样一段导语:“有一位山区的农民担着空筐,手拉刚会走路的儿子去地里干活。

半路上,儿子走不动了,他就把儿子放在一个框里,另一个框里放几块石头挑起来走,这样逗得他儿子直乐,”我问大家他儿子了什么?他为什么要在另一个框里放石头?这样一来,学生的兴趣一下子被调动起来,争着发言:“他儿子坐着晃悠悠的,很美。

”“我也这样坐过,真舒服。

”“放石头是让两个框里的重量相等。

”“扁担就像方程里的一个等号。

”等等。

从而引出课题——“再探实际问题与一元一次方程。

”2、创设情境,激发兴趣兴趣能激发学生的思维活动,而思维的进一步深化又往往从疑问开始。

课堂上巧妙地推出一系列恰到好处的问题,能诱导学生很快地投入到思维状态之中。

初一的学生对性质定理和判定定理容易混淆。

我采用现实生活中的常见的动物“猫”来启发大家。

当问猫都有哪些习性时,学生的注意力和想象力都集中起来了,通过议论大家把会逮老鼠看做是猫的特性,它酷似一个定理的性质,把“会逮老鼠的动物才是猫”作为对猫这种动物的判定,又恰如是一个定理的判定,这样加深了对定理性质和判定的区分和理解,又引导学生对数学其他问题的探讨。

二、注意培养学生探索能力1、明确探索目的,让学生带着问题去探索由于初中学生年龄尚小,好奇心强,思维能力有限,不能自主地去发现问题、研究问题。

数学问题解答在解答数学问题时，我们常常需要运用一定的方法和技巧，下面将介绍一些常见的数学问题解答方法，帮助你更好地理解和应用数学知识。

一、代数问题解答代数问题是数学中常见的一种问题类型，它可以通过建立方程或者利用代数运算来解决。

1. 建立方程：当遇到等式关系时，可以通过建立方程将问题转化为代数问题。

例如：某数的三倍与另外一个数的和等于12，求这两个数分别是多少？首先设被求的两个数分别为x和y，根据题意可以得到方程3x + y = 12.2. 利用代数运算：代数运算是解决代数问题的基本方法之一，通过灵活运用加减乘除、整除余数、因式分解、多项式展开等运算法则，可以简化问题的推导过程。

例如：(2x + 3)^2的展开式为4x^2 + 12x + 9.二、几何问题解答几何问题需要运用几何知识和几何推理方法来解答。

下面介绍两种常见的几何问题解答方法。

1. 利用几何定理：几何定理是几何问题解答的重要依据，例如勾股定理、相似三角形定理等。

当遇到几何问题时，首先要分析题目中给出的几何条件，然后运用相应的几何定理来解决问题。

2. 利用几何推理：几何推理是通过逻辑推理方法解答几何问题的重要手段，包括反证法、推广法、归纳法等。

通过分析图形特点、构造辅助线、运用几何定理和几何推理方法，可以解决各种几何问题。

三、概率问题解答概率问题是与随机事件相关的问题，需要通过计算概率来解决。

下面介绍两种常见的概率问题解答方法。

1. 利用频率法：频率法是通过实际试验进行统计，计算事件发生的频率来估计概率的方法。

例如：掷一颗均匀的骰子，出现奇数的概率是多少？通过掷骰子多次，记录下奇数出现的次数，然后计算频率就可以得到概率的近似值。

2. 利用计数法：计数法是通过数学计数的方法来计算概率的方法。

例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，得到黑桃的概率是多少？通过计算黑桃牌的数量与总牌数的比值，就可以得到概率的精确值。

四、函数问题解答函数问题是数学中常见的一类问题，需要通过给定的函数关系求解特定的未知量。

勾股定理中的数学问题(分类整理版)
勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是代数几何中的重要定理
之一。

它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

简介
勾股定理得名自古希腊数学家毕达哥拉斯。

他的发现是在直角
三角形中，边长为a和b的两个直角边，斜边的长度为c，有如下
关系式成立：
a^2 + b^2 = c^2
这一定理在数学、物理和工程学等领域有广泛的应用。

使用方法
快速计算和验证一个三角形是否满足勾股定理，可以使用下列
方法之一：
1. 验证：将三边的长度代入定理的关系式，检查等式是否成立。

2. 推导：已知两个边的长度，可以通过关系式求解第三边的长度。

3. 应用：可以使用这一定理解决各种三角形问题，例如计算三角形的周长、面积或角度。

数学问题
在勾股定理的应用中，涉及到许多有趣的数学问题。

以下是一些常见的数学问题分类：
1. 求解直角三角形的边长
问题：已知一个直角三角形的斜边长度为5，其中一条直角边的长度为3，求另一条直角边的长度。

2. 寻找特殊直角三角形
问题：找到一个直角三角形，其中所有边的长度都是整数。

3. 探索勾股数
问题：寻找满足勾股定理的整数解。

4. 应用于几何问题
问题：使用勾股定理解决几何问题，如计算三角形的面积或寻找角的度量。

总结
勾股定理是数学中的重要定理，可以解决许多与直角三角形有关的问题。

了解如何使用和应用这一定理，有助于提高数学技能并解决实际问题。

在初中数学中，分类讨论是一种重要的解题方法。

它主要应用于一些涉及多种可能性的问题，需要将问题拆分成几个子问题进行单独讨论。

下面我将以具体的数学问题为例，说明如何进行分类讨论。

题目：已知一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 经过点(1, 2) 和(0, 1)，求该函数的解析式。

解析：题目给出了两个点(1, 2) 和(0, 1)，这两个点都在函数图像上。

因此，我们可以根据这两个点的坐标来求解k 和b 的值。

根据题意，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}k + b = 2 \quad (1) \\ b = 1 \quad (2)\end{cases}$
由方程(2) 可得$b = 1$。

将$b = 1$ 代入方程(1)，解得$k = 1$。

所以，该一次函数的解析式为$y = x + 1$。

在这个问题中，我们没有使用分类讨论的方法，因为题目只涉及一个函数和一个方程组，没有多种可能性需要单独讨论。

但在一些复
杂的问题中，分类讨论可能会非常有用。

例如，在求解一元二次方程时，可能需要考虑判别式$\Delta$ 的正负情况；在求解绝对值方程时，可能需要考虑绝对值内表达式的正负情况等等。

在这些情况下，我们可以通过分类讨论来简化问题，提高解题效率。

常见数学问题解答常见的数学问题和疑惑数学作为一门基础学科，在我们的学习生活中扮演着重要的角色。

然而，常常有一些数学问题和疑惑困扰着我们。

本文将解答一些常见的数学问题和疑惑，帮助读者更好地理解数学知识。

一、为什么除以0是没有意义的？在数学中，当我们进行除法运算时，我们将一个数除以另一个数得到一个商。

然而，当我们试图用0去除一个数时，结果就会变得模糊不清。

为什么呢？假设我们有一个数a，我们想要用0去除它，即a ÷ 0。

我们可以假设存在一个数x，使得0 * x =a。

但是，这个假设不成立，因为0与任何数相乘得到的结果都是0。

因此，我们无法找到一个确切的数x来满足等式0 * x =a。

这也就是为什么除以0是没有意义的。

数学上，我们称这种情况为“除以0的结果为无穷大”。

二、为什么分母不能为0？在分式中，分母表示我们将某个数分成多少份。

然而，当我们把一个数分成0份时，这个概念就变得没有意义了。

假设我们有一个分数a/b，其中b表示分母。

如果b等于0，那么我们试图将a分成0份。

但是，仔细思考一下，我们会发现没有任何一种情况下我们能够把一个数分成0份。

因此，分母为0是没有意义的，数学上称之为“分母不能为0”。

三、为什么负数乘以负数得到正数？在初学数学的时候，我们知道两个正数相乘得到正数，两个负数相乘得到负数。

但是为什么负数乘以负数得到正数呢？假设我们有两个负数a和b，我们知道它们的乘积为ab。

现在，我们来考虑一个简单的例子，-2乘以-3，即-2 * -3。

根据之前的规律，我们知道这个结果应该是一个正数。

我们可以通过纸上计算来理解这个现象。

我们知道-2表示向左移动两个单位，而-3表示向左移动三个单位。

那么，我们把-2 * -3理解为“向左移动两个单位再向左移动三个单位”，这就相当于向左移动5个单位。

而向左移动5个单位，实际上就是向右移动5个单位，也就是正数5。

因此，负数乘以负数得到正数是根据数学定义和规律得出的。

目录1.前言 (1)2.利用整除性判别法解决整除问题 (1)2.1能被2k或5k整除的判别法 (1)2.2割尾判别法 (2)3.利用整除的基本性质解题 (5)4.最大公因数 (7)5.抽屉原理在数论中的应用 (9)6.致谢 (12)7.参考文献 (14)中学数学中与初等数论相关的几个问题陈琴 (指导老师: 左可正)(湖北师范学院 数学系 湖北 黄石 435002)1.前言在中学数学中，整数是特殊常用的一类数.而初等数论是研究整数的性质的、与算术有密切关系的一门学科，可以说初等数论是算术的延续.初等数论问题更是数学竞赛试题多发区.而对于整除性质和抽屉原理的考察一直是中学数学竞赛中应用范围最广的核心内容,作为高中教师,有必要对这些知识进行系统的考查.2.利用整除性判别法解决整除问题一个数能不能被另一个数整除，虽然可以用长除法去判别，但当被除数位数较多时，那是很麻烦的。

要判别一个正整数a 能否被另一个正整数d 整除，往往可变为只要找出另一（绝对值）较小的整数b ，而去判别b 能否被d 整除。

这个新的整数b 也就称为判别数。

要看一种整除判别法是否优越，就在于能否用较快的速度而得出很小的判别数。

因为判别数b 越小，就越容易判别能否被d 整除。

下面我将阐述两种判别法。

2.1能被2k 或5k 整除的判别法令整数01n a a a a =⋯(0<0a ≤9,0≤i a ≤9, i =1,2, ⋯,n). i a ∈N.因为210k k |,但k 2不整除110k -,故要判别a 是否能被k 2整除,就是要而且只要判别122n k n k n n a a a a -+-+-⋯能否被k 2整除.我们可以用一个例子来证实这个判别法.例1:试判别51024能否被16整除?解:显然16=42,故相当于来判别a 是否能被42整除.但1024=1000+24而321000∣,42不整除1000,故知以42除1000的余数为8,而8+24=32可被16整除,故知1651024∣.与能被2k 整除的道理一样,判别a 是否能被5k 整除,只需要看122n k n k n na a a a -+-+-⋯能否被5k 整除就行了.对不同的k 如何判别,现分述如下:(1) 当k =1时,即要判别a 是不是5的倍数,这时的充分必要条件是n a =0或5.(2) 当k =2时,即要判别a 是否能被25整除,这时只要看1n n a a -.而25∣1n n a a -的充分必要条件是1n n a a -=25,70,75或1n a -=n a =0.(3) 当k =3时, 即要判别a 是否能被125整除, 这时只要看a 的最右边三位数21n n n a a a --,而21n n n a a a --125∣的充分必要条件是21n n n a a a --=125,250,375,500,625,750,875或2n a -=1n a -=n a =0.(4) 当4k ≥时,要判别a 是否能被5k 整除,则可用“逐步约商”判别法.例2:试判别21401375能否被45整除.解:我们只需要判别1375能否被45整除就行了.75显然可以被25整除.现用“逐步约商”判别法.因为1375=25•55,即25除1375的商为55.而55不能被25整除.可见1375不整除45,从而21401375不整除45.2.2割尾判别法先给出一个定理:假定自然数011n k n k n a a a a a a ⋯--+=⋯,如果a 能被奇质数p 整除,则将a 的右端任意割去k 位(不妨设割去的k 位数不是p 的倍数,否则无讨论之必要),必存在唯一的正整数1m p <(只与p 和k 有关),使得a 的判别数10111()n k n k n b a a a m a a --+=⋯-⋯ (1)仍是p 的倍数.同时也存在唯一的正整数2m p <,使得a 的判别数20121()n k n k n b a a a m a a --+=⋯+⋯ (2)也是p 的倍数.下面我将对此定理作出证明.证明:我们只要就该定理中之(1)式证明就行了(因(2)式完全同理可证).事实上,由于从a 的尾部割去的k 位数1n k n a a -+⋯和p 互质,则可知同余方程1()n k n a a -+⋯x ≡01n k a a a -⋯(mod )p有唯一解.令它为1(mod )x m p ≡.于是该定理得到证明.对于p 的倍数a 割去k 位并按(1)式的要求而定出1m 后,由于1m 的唯一性,若a 不是p 的倍数,则按(1)式的要求作出的判别数1b 也一定不是p 的倍数.反过来,由1b 是否为p 的倍数也可判定a 是否为p 的倍数.而且对(2)式也可同理应用.为了进一步阐述割尾判别法,我们可以看一个例子:例3:试判别816751136124能否被7整除?解:我们用(1)式,割去3位或6位.割去3位时, 1m =1.割去6位时1m =6我们用长除法的形式来解出判别数由上述过程我们可以看出:割三位的方法经过三步得出的判别数为77,故可断定816751136124能被7整除;而割六位的方法只要一步就得出判别数7,故也能断定816751136124能被7整除.通过上面的例子我们应作几点说明:(1) 当将要判别的数割去1位,2位,3位,…时, 1m 是为多少是怎样知道的?确定方法是:当割去一位时,则可在7的倍数中取一简单的两位数(最好个位数为1).比如21.将21的个位数1割去,此时剩下一个2,而2减去1的2倍就等于零.而零显然可以被7整除.故此法可确定1m =2.当割去两位时,则可在7的倍数中取一简单的三位数.比如301.将301的右端两位数割去,此时剩下一个3,而3减去01的3倍就等于零.故此时可确定1m =3.同理可确定其它位数的1m ,这个1m 就叫做割尾判别法的“乘数”.它随割去的位数不同而异.(2) 在例3中很碰巧,经三步割三位后的判别法只有两位,经一步割6位数后得判别数只有一位.若有3位或3位以上,则应再割去1位或2位,就是说,有时判别一个数需要几种割尾法交错使用,直到得出最后的判别数是一位或两位为止.将例3加以推广,割尾法同样可以判定a被13,17,19整除.3.利用整除的基本性质解题整除是初等数论中最基本的内容之一，b︱a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq成立.因此这一标准作为我们讨论整除性质的基础.也为我们提供了解决整除问题的方法.即当我们无法用整除语言来叙述或讨论整除问题时，可以将其转化为我们很熟悉的等号问题.例4：证明3∣n（n+1）（2n+1），这里n是任意整数.证法一：根据题意，n可以写成n=3q+r，这里r=0，1，2，q为整数.对r取不同值进行讨论，得出结论.证法二：根据整除定义，任何连续三个整数的乘积必是3的倍数.证法三: 根据n（n+1）（2n+1）,利用222112(1)(21),6n n n n++⋯+=++来证明.证法四：利用数学归纳法也可以证明.竞赛中关于数论的论证题主要是讨论整除的整除性和整数解，证明方法通常有：直接证明法，间接证明法（反证法）.例5：已知24∣62742ab,求a,b.由于24=3×8，而(3,8)=1,3和8都是特殊数，故本题往往习惯于利用整除特征加以解决.但利用整除特征解答有两个弊端,即(1)解题过程一般较烦琐;(2)若非特殊数无法解.可利用整除的因式分解法得出一般的解法.对于特殊数的整除规律要求能掌握其一般定理的证明，并熟记一些特殊数的整除规律，这对解题大有帮助.例如：1、一个整数被2整除的充要条件是它的末位为偶数.2、一个整数被3整除的充要条件是它的各位数字之和能被3整除.3、一个整数被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除.4、一个整数被5整除的充要条件是它的末位数字为0或5.5、一个整数被4，25整除的充要条件是它的末二位能被4，25整除.6、一个整数被8，125整除的充要条件是它的末三位能被8，125整除. 例6:证明:对于整数x 与y , 23x y +与95x +能同时被17整除或不可整除. 证:记23u x y =+, 95v x =+,则有3517v u x -=即3517v u x =+ (1)5317u v x =- (2)若对0,0x y z ∈, 017u |.其中00023u x y =+,由(1)知0173v |,其中00095v x y =+.又(17,3)=1,所以017v |.同理可证,对11,x y z ∈,117v |,其中11195v x y =+,则 117u |,其中11123u x y =+.证毕.【分析】将本题加以推广:用,ax by cx dy ++代替23x y +与95x y +.令,u ax by v cx dy =+=+.设0ad bc -≠消去y ,()a bdu bv ad bc x c d -=-=x .记a bs c d =.du bv sx =+,bv du sx =-若(,)(,)1d s b s ==,则对同样的,x y ,u 与v 同时被s 整除(或同时不被s 整除)若(,)(,)1,a s c s ==结论成立.例6中231795=-,而(3,17)(5,17)1-=-=,(2,17)(9,17)1-=-=.所以例4成立.例7: 1000!的末尾有几个零?解:考虑1000!的标准分解式中2与5这两个素数的指数,若1000!1225r r A =,A N ∈,A 不能被2与5整除,则1000!中末尾有r 个零, r 是1r 和2r 中较小者.在1,2,3, ⋯,1000中,有200个数能被5整除,在这200个数中,有40个能被25整除,在这40个数中,有8个能被35整除,在这8个数中,有1个能被45整除.不大于1000的自然数中没有能被5的5次幂或更高次幂整除的数.可见在1000!的标准分解式中,5的指数22004081249r =+++=.显然12r r >,所以249r =,即1000!的末尾有249个零.4.最大公因数和整除性一样，二个数的最大公约数实质上也是用等号来定义的，因此在解决此类问题是如果有必要的话可化为等式问题.最大公约数的性质中最重要的性质之一为：若a=bq+c ，则一定有（a ，b ）=（b ，c ），这就是求二个整数的最大公约数的理论根据.最小公倍数实际上与最大公因数为对偶命题.特别要指出的是a 和b 的公倍数是有无穷多个.所以一般地在无穷多个数中寻找一个最小数是很困难的，为此在定义中所有公倍数的最小的正整数.这一点实际上是应用自然数的最小自然数原理.即自然数的任何一个非空子集一定有一个最小自然数存在.最小公倍数的问题一般都可以通过以下式子转化为最大公因数的问题.两者的关系为,,a b N ∈ [,](,)ab a b a b = 例8：对于任意的非负整数n ，求形式为 228577n n +++=的一切数的最大公因子.在解答初等数论的习题中，如果我们把题目有关的概念，例如整除，最大公因子，互素等用等式表示出来，再经过这些等式的恒等变形，常常能够找到解题的方法.解:当0n =时, (1)22(1)17857k k +++++=;假设n k =时, 2215778k k +++|;当1n k =+时,(1)22(1)1221787788k k k k +++++++=+221221221227(78)8(87)7887k k k k k k ++++++=+++--21257(78647)k k q ++=-+212257(7877577)k k k q +++=-++221257[7(78)577]k k k q +++=-++57p = (,)p q N ∈故形为22278n n +++的一切数的最大公因子为57.例9:证明:若,a b N ∈,那么等差数列,2,3,a a a ⋯ba 中能被b 整除的项数等于a 与b 的最大公约数.证明:设(,)a b d=,于是,,,.(,)1a drb ds r s N r s==∈=.,2,3,a a a⋯ba被b整除之后为r s ,2rs,⋯()ds rs由于(,)1r s=.上式中各项为整数者的项数,仅为1s ,2s,⋯,dss中为整数的项数,所以共计d项,证毕.5.抽屉原理在数论中的应用抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。