安徽省合肥市2017-2018学年高考数学三模试卷(文科) Word版含解析

合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z =A.5B.3C.5D.3(2)已知集合{}220A x R x x =∈-≥，1 12B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，则()C R A B =IA.∅B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.{}1D.1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，(3)已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D.13，12，3 (4)若正项等比数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，则其公比为A.12B.2或-1C.2D.-1(5)运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于A.10-B.3-C.3D.1(6)若l m ，是两条不同的直线，α为平面，直线l ⊥平面α，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(7)右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N 个，落在圆内的豆子个数为M 个，则估计圆周率π的值为A.23M N B.3M N C.3M ND.23M (8)函数()cos sin f x x x x =-的图象大致为(9)若ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=A.10B.8C.7D.4(1 0)已知双曲线2222: 1y x C a b-=(0a >，0b >)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M的直线交双曲线的下支于A 点.若M 为AF 的中点，且6AF =u u u r，则双曲线C 的方程为A.22128y x -=B.22182y x -=C.2214x y -= D.2214y x -= (11)我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A.125B.40C.16123+D.16125+(12)若函数()ln af x x a x x=+-在区间[]1 2，上是非单调函数，则实数a的取值范围是A.14 23⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.4 +3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，C.4 +3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，D.14 23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.(13)已知23x =，24log 3y =，则x y +的值等于_________. (14)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.(15)已知()()2 0 0 2OA OB ==u u u r u u u r ，，，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r ，.当OC u u u r最小时，t =. (16)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.若21S =，201820165S S -=，则2018S =.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分) 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数cos2y x =的图象.(Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ)比较()1f 与()f π的大小.(18)(本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. ()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.879(19)(本小题满分12分)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是梯形，AB CD P ，AB AD ⊥，14AA =，2DC AB =，3AB AD ==，点M 在棱11A B 上，且11113A M AB =.点E 是直线CD 的一点，1AM BC E P 平面. (Ⅰ)试确定点E 的位置，并说明理由； (Ⅱ)求三棱锥1M BC E -的体积.(20)(本小题满分12分)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆22 11612x y E +=：，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M . 收看 没收看 男生 60 20 女生2020(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆E 交于A B ，两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断ABO ∆的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数()2x f x ae x a =++(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数()f x 的图象在0x =处的切线为l ，当实数a 变化时，求证：直线l 经过定点； (Ⅱ)若函数()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围.请考生在第(22)、 (23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于AB ，两点，求cos AOB ∠的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-. (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.合肥市2018年高三第三次教学质量检测 数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)2 (14)8 (15)12(16)3027 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)(Ⅰ)将函数cos2y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数cos4y x =的图象， 再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数cos 4cos 4123y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 即()cos 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………6分(Ⅱ)()cos 4cos 33f ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而()1cos 43f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∵423πππ<-<，∴()()10f f π<<. ……………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生1824⨯=人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ………………………8分 (ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种， 所以，所求概率123287P ==. ………………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)如图，在棱11C D 上取点N ，使得111D N A M ==. 又∵11//D N A M ，∴11////MN A D AD .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACBCBADDBCDA∴四边形AMND 为平行四边形，∴//D AM N . 过1C 作1//C E DN 交CD 于E ，连结BE ， ∴//DN 平面1BC E ，//AM 平面1BC E ，∴平面1BC E 即为所求，此时1CE =. ………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，//AM 平面1BC E ，∴11111334632M BC E A BC E C ABE V V V ---⎛⎫===⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. ………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由条件知，椭圆M 的离心率12e =，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)， ∴椭圆M 的方程为22143x y += ……………………4分(Ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线:l y kx b =+. 由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2223484120k x kbx b +++-=.令()()2222644344120k b k b ∆=-+-=得，2234b k =+.联立y kx b =+与2211612x y +=，化简得()2223484480k x kbx b +++-=.设A(11x y ，)，B(22x y ，)，则1222212228834448448.34kb k x x b k b b x x k b -⎧+=-=⎪⎪+⎨--⎪⋅==⎪+⎩，∴12AB x =-=，而原点O 到直线l的距离d =∴162ABO S AB d ∆=⋅=. 当直线l 的斜率不存在时，:2l x =或2x =-，则6AB =，原点O 到直线l 的距离2d =， ∴6ABO S ∆=.综上所述，ABO ∆的面积为定值6. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()2x f x ae x a =++，∴()2x f x ae x '=+，()0f a '=. 又∵()02f a =，∴直线l 的方程为2y ax a =+，∴直线l 经过定点(-2，0). ……………………………4分 (Ⅱ)∵()2x f x ae x a =++，∴()2x f x ae x '=+.设()2x g x ae x =+，则()2x g x ae '=+.当0a ≥时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，则()2x f x ae x '=+最多有一个零点，函数()f x 至多有一个极值点，与条件不符；当0a <时，由()20x g x ae '=+=，得2ln x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当2 ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0g x '>；当2ln x a⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0g x '<.∴()g x 在2 ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递增，在2ln a⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递减，∴()2ln g x g a ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()max 22ln 2ln 1g x g a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令22ln 10a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2 0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，.∵()00g a =<，2 0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴22ln 2ln 10g a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵()()g x f x '=在2 ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递增，∴()()g x f x '=在2 ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一零点1x ，当()1x x ∈-∞，时，()0f x '<；当12 ln x x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>.∴()f x 在2 ln a⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一极值点.又∵当2 0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，2122ln 4ln g a aa ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 设()ln 2xh x x =-，其中()2x e a =-∈+∞，，则()112022xh x x x-'=-=<， ∴()()102e h x h e <=-<，∴()12244ln 2ln 0h x g a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即当2 0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，2122ln 4ln 0g a aa ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而 22ln 2ln 10g a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵()()g x f x '=在2ln a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递减，∴()()g x f x '=在2ln a⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一零点2x ，当22ln x x a⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>；当()2x x ∈+∞，时，()0f x '<. ∴()f x 在2ln a⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一极值点.综上所述，当()f x 有两个极值点时，2 0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >， 则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<. ∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->.设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->，∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-==⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. (1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，， ()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。

合肥市2018年高三第三次教学质量检测.数学试题（文）(考试时间：120分钟满分:150分）注意事项：1. 答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2. 答第I卷时,每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II卷时，必须使用O.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷（满分50分）—.选择题（共10个小题,每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是1.若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（ )A. a = 1B. a = - 1C. a =0 D .a=±l2.“m=3”是“f(x)=x”为(0，）上的增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.R表示实数集,集合，，则（）A. B. C. D.4.双曲线(a>0,b >0)的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,且双曲线=1上有一点到一个焦点的距离比到另一焦点的距离大4，则（）A. b =4B. C D.5.函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. (l,)B. (,-3)C.D.6.已知|a|=1，|b| =2，a与b的夹角为60°，则“a+b 在a方向上的投影为（）A.2B. 1C.D.7.已知，若，对成立，则最小值为（）A. B. C. D.8.已知数列满足，则a5=( )A.5B. 4C.2D. 19 已知，若，•，则a =( )A. B..或 4 C.-或 4 D..或10.已知梯形ABCD中，Ab//CD，，DC=2AB=2BC=2，以对角线AC为旋转轴旋转一周得到的几何体的表面积为（）A. B. C. D.第II卷（满分100分）二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置）11.函数y=f(x)是定义在（)上的奇函数.若x>0时、，则f( -2) +f(0) =_______；12.如图所示，程序框图的输出结果S=_______；13.不等式组所表示的平面区域在圆内的部分的面积等于=_______；14.先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点)两次，落在水平桌面后记正面朝上的数字分别为x,y,则概率=_______；15.对于曲线y=f(x)，若存在直线l使得曲线y=f(x) 位于直线l的同一侧，则称曲线y =f(x) 为半面曲线，下列曲线中是半面曲线的序号为 _______.(填上所有正确的序号）①Y=②Y =x3 ③y=x4 +x3④y=x +⑤Y=1-x2+x sinx三.解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分）ΔA B C中,A B=，BC=5，tan(C-) = -7.(1) 求ΔA BC的面积；(2) 求）的值.17.(本小题满分12分）随机询问720名某高校在校大学生在购买食物时是否阅读营养说明，得到下表已知这720名大学生中随机抽取1名，阅读营养说明的概率为(1) 求p,q的值；(2) 请根据独立性检验的知识来分析，有多少把握认为性别与阅读营养说明之间有关系.温馨提示：随机变量，其中n=a+b+c+d参考数据：P(K2k)18. (本题满分13分）在菱形ABCD中，AC=2,BD=4，AC与BD交于0，将ΔABC)沿着AC折起，使D点至点D'，且D'点到平面ABC 距离为，如右图所示.(1) 求证AC丄BD(2) E是BO的中点，过C作平面ABC的垂线l，直线l上是否存在一点F，使EF//平面AD'C?若存在，求出CF的长；若不存在,请说明理由.19.(本小题满分12分）在数列{a n}中，a1=1,(1) 是否存在实数A，B，使得为等比数列(其中A,B为常数）；(2) 求数列的前n项和.20.(本小题满分13分）某小微企业日均用工人数a(人）与日营业利润f(x)（元）、日人均用工成本x(元)之间的函数关系为，.(1) 若日均用工人数a= 20，求日营业利润f(x)的最大值；(2) 由于政府的减税、降费等一系列惠及小微企业政策的扶持,该企业的日人均用工成本x的值在区间[10，20]内,求该企业在确保日营业利润f(x)不低于24000元的情况下，该企业平均每天至少可供多少人就业.21.(本小题满分13分）椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，左顶点为A，上顶点为B, ΔBF1F2是等边三角形，椭圆C上的点到F1的距离的最大值为3.(1) 求椭圆C的方程；(2) 过F1任意作一条直线l交椭圆C于M、N(均不是椭圆的顶点），设直线AM与直线l0:x =- 4交于P 点，直线与l0交于Q点,请判断点F1与以线段PQ为直径的圆的位置关系.。

(A) a 3 15b b3 15a (B) a 3 15b b3 15a
(C) b 2 a a 2b
(D) b 2 a a 2b
本卷包括必考题和选考题两部分．第
第Ⅱ卷 (13)题～第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
(23) 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡的相应位置．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题 可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出， 确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚． 必须在题号所指示的
答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．
整数 m=
．
a2 m 1 170 ， a2 +a4
a2m 340 ，则正
x2 (15)双曲线 E： a 2
y2 b2
1 (a>0,b>0) 的左、右焦点分别为
F 1， F2，点 M 是双曲线 E 渐近线上的一点，
1
MF1
MF2 ， sin
MF1 F2
，则该双曲线的离心率为
3
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
2016 年 1.2 30
(Ⅰ )求 y 关于 x 的回归方程； (Ⅱ )2017 年度该电商准备投入广告费
1.5 亿元，利用 (Ⅰ )中的回归方程，预测该电商
2017 年的销售收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
xi yi nx y
b
i1
n
xi 2

2017届安徽省合肥市高三数学（文）一模试题答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x﹣4）＜0}，则P∩Q=（）A．（0，4） B．（4，+∞）C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【解答】解：∵集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x﹣4）＜0}={0，1，2，3}，∴P∩Q={1，2，3}．故选：C．2．设i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：∵=，∴复数的虚部是：．故选：B．3．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：执行程序框图，如下；k=5，n=1，不满足条件k＜；k=3，n=2，满足条件k＜；k=2，n=3，不满足条件k＜；k=，n=4，不满足条件k＜；k=，n=5，满足条件k＜；退出循环，输出n=5．故选：C．4．若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，则平移后的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，则平移后得到y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，令2x+=kπ，可得x=﹣，故函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故排除A、C；令2x+=kπ+，可得x=+，故函数的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故排除B，故选：D．5．若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为（）A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．3【解答】解：画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=x﹣2y，作出目标函数对应的直线，直线过B时，直线的纵截距最小，z最大，由：，可得B（1，1），z最大值为﹣1；故选：C．6．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（）A．1 B．C．D．4【解答】解：双曲线的两条渐近线方程是y=±2x，又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±p，又△AOB的面积为1，∴=1，∵p＞0，∴得p=．故选B．7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=2，整理解得：c=2，又∵，可得：sinC==，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R===6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．故选：C．9．设圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心为C，直线l过（0，3）与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣12=0或4x﹣3y+9=0 B．3x+4y﹣12=0或x=0C．4x﹣3y+9=0或x=0 D．3x﹣4y+12=0或4x+3y+9=0【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，∴|AB|=2，成立．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，∵圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心为C，直线l与圆C交于A，B两点，，∴圆半径r==2，圆心C（1，1）到直线y=kx+3的距离d==，∵d2+（）2=r2，∴+3=4，解得k=﹣，∴直线AB的方程为y=﹣+3，即3x+4y﹣12=0．综上，直线l的方程为3x+4y﹣12=0或x=0．故选：B．10．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）A．72+6πB．72+4πC．48+6πD．48+4π【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，（也可以看成一个凹六棱柱与四分之一圆柱的组合体），其底面面积为：4×4﹣2×2+=12+π，底面周长为：4+4+2+2+=12+π，柱体的高为4，故柱体的表面积S=（12+π）×2+（12+π）×4=72+6π，故选：A11．从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，则函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点，即4x﹣a•2x+1+1=0有解，即a=，∵从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，∴函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点时，1≤a≤2，区间长度为1，∴函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点的概率是=，故选：A．12．设函数f（x）=，（e是自然对数的底数），若f（2）是函数f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣1，6]B．[1，4]C．[2，4]D．[2，6]【解答】解：x≤2时，函数的对称轴为x=a，∵f（2）是函数f（x）的最小值，∴a≥2．x＞2，f（x）=+a+10，f′（x）=，x∈（2，e），f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0，∴f（e）是函数的极小值，∵f（2）是函数f（x）的最小值，∴f（e）≥f（2），∴1≤a≤6，∴1≤a≤6．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是83．【解答】解：根据茎叶图知，该组数据为65，72，73，79，82，84，85，87，90，92；排在中间的两个数是82和84，所以这组数据的中位数是=83．故答案为：83．14．若非零向量，b满足||=1，||=2，且（+）⊥（3﹣），则与的夹角余弦值为．【解答】解：非零向量，b满足||=1，||=2，且（+）⊥（3﹣），可得（+）•（3﹣）=0，即有32+2•﹣2=0，即为3+2•﹣4=0，解得•=，则与的夹角余弦值为==．故答案为：．15．已知sin2a=2﹣2cos2a，则tana=0或．【解答】解：∵已知sin2a=2﹣2cos2a=2﹣2（1﹣2sin2a）=4sin2a，∴2sinacosa=4sin2a，∴sina=0，或cosa=2sina，即tana=0，或tana=，故答案为：0或．16．函数f（x）=﹣x3+3x2﹣ax﹣2a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，则a的取值范围是．【解答】解：由题意设g（x）=﹣x3+3x2，h（x）=a（x+2），则g′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），所以g（x）在（﹣∞，0）、（2，+∞）上递减，在（0，2）上递增，且g（0）=g（3）=0，g（2）=﹣23+3•22=4，在一个坐标系中画出两个函数图象如图：因为存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＞0，即g（x0）＞h（x0），所以由图得x0=2，则，即，解得23≤a＜1，所以a的取值范围是，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4=24，S7=63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2an+a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}为等差数列，∴．（Ⅱ）∵=2×4n+（2n+1），∴+（3+5+…+2n+1）==．18．一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：x[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21）[21，23）频数2123438104（Ⅰ）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；（Ⅱ）若x＜13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表作出频率分布直方图为：估计平均值： +16×0.34+18×0.38+20×0.10+22×0.04=17.08．估计众数：18．（Ⅱ）∵x＜13或x≥21，则该产品不合格．∴不合格产品共有2+4=6件，其中技术指标值小于13的产品有2件，现从不合格的产品中随机抽取2件，基本事件总数n==15，抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件包含的基本事件个数m=C C=8，∴抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB=2．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD；（Ⅱ）求多面体PAECF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AE．底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，得△ABC为等边三角形，又∵E为BC的中点，得AE⊥BC，∴AE⊥AD．∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；+V C﹣PAF．（Ⅱ）解：令多面体PAECF的体积为V，则V=V P﹣AEC∵底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB=2，∴=；××．∴多面体PAECF的体积为．20．已知椭圆经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A1，A2是椭圆E的左右顶点，过点A2作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点（不同于椭圆E的四个顶点），联结PA；交直线l与点B，点Q 为线段A1B的中点，求证：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，解得：a=，b=，c=1，∴椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）证明：设P（x0，y0）（x0≠0且，直线PA1的方程为：，令得，则线段A2B的中点，则直线PQ的斜率，①∵P是椭圆E上的点，∴，代入①式，得，∴直线PQ方程为，联立，又∵，整理得，∵△=0∴直线PQ与椭圆E相切，即直线PQ与椭圆E只有一个公共点．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀x∈[1，+∞]，不等式f（x）＞﹣1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解（Ⅰ），当时，x2﹣2x﹣2a≥0，故f'（x）≥0，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴当时，函数f（x）的递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间．当时，令x2﹣2x﹣2a=0，，列表：xf'（x）+﹣+f（x）递增递减递增由表可知，当时，函数f（x）的递增区间为和，递减区间为．（Ⅱ）∵⇔2a＞x2﹣e x，∴由条件，2a＞x2﹣e x对∀x≥1成立．令g（x）=x2﹣e x，h（x）=g'（x）=2x﹣e x，∴h'（x）=2﹣e x当x∈[1，+∞）时，h'（x）=2﹣e x≤2﹣e＜0，∴h（x）=g'（x）=2x﹣e x在[1，+∞）上单调递减，∴h（x）=2x﹣e x≤2﹣e＜0，即g'（x）＜0∴g（x）=x2﹣e x在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）=x2﹣e x≤g（1）=1﹣e，故f（x）＞﹣1在[1，+∞）上恒成立，只需2a＞g（x）max=1﹣e，∴，即实数a的取值范围是．请考生在22、23中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即；（Ⅱ）将，代入得，，即t=0，从而，交点坐标为，所以，交点的一个极坐标为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）．（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）对于任意实数x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），当m=1时，由或x≤﹣3，得到，高考必胜！∴不等式f（x）≥1的解集为；（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，即[f（x）]max＜[|2+t|+|t﹣1|]min，∵f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|（x﹣m）﹣（x+3m）|=4m，|2+t|+|t﹣1|≥|（2+t）﹣（t﹣1）|=3，∴4m＜3又m＞0，所以．高考必胜！2017年4月5日。