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2011-2012学年第一学期数学分析1试卷(A)参考答案

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广州大学 2011-2012 学年第 一 学期考试卷参考答案课程 数学分析1 考试形式（闭卷，考试）学院 数学与信息科学 系 专业 数学与应用数学、信息与计算科学班级 学号 姓名_一、填 空 题 （每小题2分，共10分） 1、1lim(ln 3)nn →∞= 0；lim n →∞= 2 .2、设2ln(1)()2x f x x x-=+，则0是()f x 的可去间断点；2-是()f x 的第二类间断点.3、设11sin sin0()20ax x x f x x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，若()f x 在点0x =处连续，则a =2 .4、设()sin f x x =，则(2011)(0)f =1- ；(2012)(0)f = 0 .5、函数11y x x=+-在区间[]1,2上满足拉格朗日中值定理公式中的ξ=.二、单项选择题 （每小题3分，共15分）1、函数()y f x =在点0x x =可导是()y f x =在该点可微的（ C ）.A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件；D ．既非充分也非必要条件；2、若 ( B )，则数列{}n a 收敛于a .A ．{}n a 有两个子列都收敛于a ；B ．{}10n a +收敛于a ；C ．0,(;)U a εε∀>中有{}n a 无限项；D ．{}n a 收敛于a ； 3、设()f x 在0()U x 有定义，则下列叙述正确的是 ( D ). A ．0lim ()x x f x →存在的充要条件是0lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→、均存在；B ．lim ()x f x →∞存在的充要条件是lim ()lim ()x x f x f x →+∞→-∞、均存在；C ．()f x 在0x 可导的充要条件是()f x 在0x 的左右导数均存在；D ．()f x 在0x 连续的充要条件是()f x 在0x 既左连续又右连续；4、当0x →时，123()(1)1f x x α=+-与1cos x -为等价无穷小，则α=（ C ）.A ．0B ．23C ．32D ．15、函数()f x 在区间(,)a b 一致连续是()f x 在该区间连续的（ A ）.A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件；D ．既非充分也非必要条件； 三、计算题（每小题6分，共36分） 1、求数列极限 222111lim 242n n n n n n →∞⎛⎫⋅+++⎪+++⎝⎭. 解：由222222211122422nn n n n n n n n n ⎛⎫<⋅+++< ⎪+++++⎝⎭………… 4分 又 2222limlim122n n nnn n n→∞→∞==++ ………… 5分由迫敛性: 222111lim 1242n n n n n n →∞⎛⎫⋅+++=⎪+++⎝⎭. …………6分2、求函数极限：31ln(1)lim xx x +→+∞.解： 原式=31ln ln(1)lim xxx e +→+∞= 3ln limln(1)x x x e→+∞+ ………2分3ln limln(1)x x x →+∞+ =231lim31x x x x →+∞+=331lim3x x x→+∞+ ………4分=13………5分∴原式=13e ........6分3、设32143lim1x x ax x k x →-+-=-，确定常数a k 、.解：这是不定式极限，由于分母极限为0，如果极限存在的话，必须有：()321lim 430x x ax x →-+-= ，即：1430a -+-= …………………2分由此知2a = ……………………3分 故 322211243344lim lim311x x x x x x x k x →→-+--+===- ……………6分4、设,0()120x e x f x xx -⎧>=⎨+≤⎩，求()f x '.解：0x >时，()f x '=xe --；0x <时，()f x '=2 …………2分x =时，0()(0)(0)lim0x f x f f x ++→-'=-01lim 1xx ex+-→-==- …………3分()(0)(0)lim 0x f x f f x --→-'=-0121lim 2x x x+→+-== …………4分,0()20x e x f x x -⎧->'∴=⎨<⎩ ，(0)f '不存在. …………6分5、求函数()12cos xy x =的微分dy .解：()21ln ln cos y xx=…………………………2分两边对x 求导得：2221ln(cos )'2tan x y x y x=-- ……………4分12222ln(cos )(cos )2tan xx y x x x ⎡⎤'∴=--⎢⎥⎣⎦……………………5分 从而12222ln(cos )(cos )2tan x x dy x x dx x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦……………………6分 6、设函数f 二阶可导，2()x y f e =，求y ''.解：222()x x y e f e ''= ……………………3分222()xx y e f e ''''⎡⎤=⎣⎦22424()4()x x x x e f e e f e '''=⋅+⋅ …………………6分四、应用题 （8分） 设曲线的参数方程为21ln(1),arctan 2x t y t=+=.(1)求该曲线在1t =对应点的切线方程与法线方程； (2)计算二阶导数22d y dx.解：（1）当1t =时，1ln 2,24x y π==……………………1分2112111111t t t dy tt dxtt===+===+ ……………………3分故所求的切线方程为：1ln 242y x π-=-，即：1ln 2024x y π--+= ………4分法线方程为：1(ln 2)42y x π-=--，即：1ln 2024x y π+---= …………5分（2）22d y dx=231()d dy t dx dxt+=- . ……………………… 8分五、证明题 （4小题，共31分）1、叙述极限lim ()x f x A →-∞=的归结原则，并应用它证明1lim cos4x x →-∞不存在.（8分）解：归结原则：设f 在()U -∞上有定义，则lim ()x f x A →-∞=的充要条件是：对任何含于()U -∞且趋于负无穷的数列{}n x ，都有lim ()n n f x A →∞=。

……2分由1cos4x在(,)-∞+∞上有定义，设8,82(1,2,)nn x n x n n πππ'''=-=-+= ， ……………4分 显然 ,()nn x x n '''→-∞→-∞→∞ (5)分而 1lim coslim cos(2)1,4nn n x n π→∞→∞'=-= 1lim coslim cos(2)0,42nn n x n ππ→∞→∞''=-+= (7)分由11lim coslim cos 44nnn n x x →∞→∞'''≠以及归结原则知：1lim cos 4x x →-∞不存在 (8)分2、设1x >，证明不等式：1ln 1x x x x-<<- .（8分）证明：(1)令()ln 1f x x x =-+ (1)分则1x >时：1()10f x x'=-< ………………2分()f x ∴在(1,)+∞严格递减，由()f x 在1x =处连续且(1)0f =知：1x >时，()(1)0f x f <= (3)分 故：1x >时，ln 1x x <-； ………………4分（2）令1()ln x g x x x-=-， ……………5分则1x >时，22111()0x g x x xx-'=-=> ……………6分()g x ∴在(1,)+∞严格递增，由()g x 在1x =处连续且(1)0g =知：1x >时，()(1)0g x g >= (7)分故：1x >时，1ln x x x->………………8分综（1）（2）命题得证.注：本题也可以用拉格朗日定理证明（略）3、证明：()cos f x x =在(,)-∞+∞上一致连续. （6分） 证明：12,(,),x x ∀∈-∞+∞12121212|()()||cos cos |2sinsin22x x x x f x f x x x +--=-=- ……………2分122sin2x x -≤1222x x -≤12x x ε=-< ……………5分120,,,(,),x x εδε∴∀>∃=∀∈-∞+∞当12||x x δ-<时，有12|()()|f x f x ε-<故()cos f x x =在区间(,)-∞+∞上一致连续. ……………6分 4、若()f x 在[,]a b 可导，(),a f x b <<且(,),x a b ∀∈()1f x '≠， 证明：方程()f x x =在(,)a b 有且只有一个根. (9分)证明：（1）设()()F x f x x =- ……………1分 由()f x 在[,]a b 连续得：()F x 在[,]a b 连续 ……………2分 又(,),()x a b a f x b ∀∈<< 得：()0,()0F a F b >< ……………3分 故由根的存在定理知：至少存在一点0(,)x a b ∈，使000()()0F x f x x =-= 即：方程()f x x =在(,)a b 至少有一个根. ……………5分 （2）假设方程()f x x =在(,)a b 有两个根，即12(,),(,)x a b x a b ∃∈∈，使12()()0F x F x == ……………6分 由()f x 在(,)a b 可导得：()F x 在(,)a b 可导 ……………7分 故由罗尔中值定理知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=……………8分 即：()1f ξ'=，这与“(,),()1x a b f x '∀∈≠”矛盾！ ……………9分 故方程()f x x =在(,)a b 只能有一个根.综（1）（2）命题得证.。

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浙江大学2011-2012数学分析1-试卷及答案baidu

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浙江大学20 11 -20 12 学年 秋冬 学期《 数学分析（Ⅰ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2012 年 1 月 11 日，考试时间： 120 分钟. 考生姓名： 学号： 所属院系： _一、6分）0002()()00013214()().lim ()..0min{1}00251251322.lim 3.111x x x f x U x A x x x x x x x x f x A f x x x x A f x x x A εδδεδεεδε→→∀>∃><-<<<<+<∀>∃=><-<----=<-<=+++-<=设在内有定义，如果存在常数，对，，当时，不妨令，则：对，，，当，有；则称在处有极限，记作：：因此二、 计算下列极限：（每题6分，共18分）1. ()21211cos 12cos 101lim cos lim 1(cos 1).x ux u u u x u u e x =--⋅-→∞→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭令2.222303330003322200limlim limarcsin [()]()662arctan 26lim 6lim 4.33x x x x x x x x x x x x xx x o x xo x x x x xx +++++→→→→→==⋅-++-+===⎰⎰⎰ 3. tan 0.x x n x e e x n αα→-设当时，与为等价无穷小量，求：常数、的值tan tan 3330000(1)tan 1lim lim lim lim 1313.3x x x x x n n n n x x x x e e e e x x x x x x x x x n ααααα-→→→→---==⋅====，因此，，三、 导数及应用：（每题7分，共21分） 1.21211(1)11111..242x y x x x y x y x π='=⋅=-+-'===+-则：故，在处的切线方程为2.342242444cos 42(1)2.(2).2cos 2cos cos dy dy dy t t d y t dt dt t dx dx dx t t dx t t t dt dt'======3.(2012)2(2012)12(2011)22(2010)2012201220122201120102(2012)0(2)()(2)()(2)()(1)(2)(1)2012(22)(1)20122011(2)2012(22)20122011.=20122x x x x x x xxxx y x x e C x x e C x x e x x e x e e x x e x ee y ---------='''=-+-+-=--+--+-⨯=---+⨯⨯因此，013=4050156.四、 计算下列积分：（每题7分，共28分） 1.ln(1)x x dx +⎰222222111ln(1)ln(1)ln(1)2221111ln(1)1221111ln(1)(1)ln(1).242x x x dx x dx x x dx x x x x dxx x x x x C +=+=+-+⎛⎫=+--+ ⎪+⎝⎭=+---++⎰⎰⎰⎰2.66333(2(2(3)63(27.2x x x u u π--+=+-==+==⎰⎰⎰⎰令3.22222tan 1422220002124220002(1).1(1)2=2sin 1(1)3132.4228(2)sin 2sin cos .3sin tan 2sin cos 2sin .8u t u uu x dx du u u u u u du tdtu u x u dx u udu u u u udu udu ππππππ=+∞===++⋅⋅=++=⋅⋅⋅====⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，则：，则：令：，则：则：4. 211()().xt f x e dt f x dx -=⎰⎰设，计算：()22111111001()()().22xxe ef x dx xf x xf x dx xedx ----'=-=-==⎰⎰⎰五、(1)(2)2.D D x =计算：的面积；绕直线旋转一周所得立体的体积 （9分）322221111222001(1)(21).211(2)21.23144(3)212(22(1).335444(2)(1).335l y x A D S V x x dx V x dy y dy ππππππππππ==⋅⋅-=⎫=⋅⋅--=--=⎪⎭=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰切线的方程为，切点，的面积或：证明题：（每题6分，共18分）1.21121111311(1)()()0.().41(41)11111(2).1()().22222(3){}.2()().3{}{}.(4n n n n n n n n n n n n n x f x f x f x x x x x x x f x f x x x x x x f x f x x x x +-+--'==>-->=>>=>==<<=<=【方法一】：令，则：则：单调递增下面证明：显然；假设，则：下面证明：单调递减，假设，则：由此可得，单调递减且有下界，因此，数列收敛11121113111)lim .lim .41221(1){}.21113112110.2224122(41)11.{}.222(2){}.3n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x n N x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞+++-+-==⇒==-∀∈>--•=>>-=-=>-->=<<设，则：故，【方法二】：数列有下界：对，；假设，则：因此，即：数列有下界数列单调递减，假设，则：111131310.{}.4141(41)(41)(3)(1)(2){}{}.3111lim .lim .4122n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→+∞→+∞----=-=>-----==⇒==-因此，单调递减由、可得，数列单调递减有下界，因此，收敛令：，则：故，().()[)()f x I f x a g x +∞叙述函数在区间上一致连续的定义设在，上一致连续，[)lim[()()]0.()[).x a f x g x g x a →+∞+∞-=+∞在，上连续，且证明：在，上一致连续(1)00()()().li (2)()[)00()().300.m [()()]0()(300)x x x I x x f f x a x f x f x I f x g x f x g x x x f x f x G x G x x εδδεεδδεεδεε→+∞'''+∞'''''''''∀>∃>∈-<-<∀>∃>-<'''-<∀>∃->><'''=∀>->∃由于在，内一致连续，则对，，当时，由于对，，当时，则：对，对，，当、，且时，，当，则称在区间上一致连续，、()()()[1)()()()()()()()()()()()()()().()[1).()[1]()[).G x x g x g x g x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x g x g x G g x a G g x a δε'''∈++∞-<''''''''''''-=-+-+-'''''''''≤-+-+-<++∞++∞，，且时，因此，在，内一致连续而，在，上一致连续，因此，在，内一致连续2. 2240()[02](02)()2(2).x f x e f x dx f -=⎰设在，上连续，在，内可导，且 (02)()2().f f ξξξξ'∃∈=证明：，，使得()2222242(1)()()()()2().(2)(02)2()2(2)()(2).()(2).(3)()[2](2)(2)(02)()0.()2().x xF x e f x F x e f x xf x e f f e f e f F F F x Rolle F f f ηηηηηηηηξηξξξξ-----''==-∃∈=⇒==∃∈⊂''==令：，则：根据积分中值定理，，使得，即：又在，上连续，在，内可导，根据定理，，，使得即：友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

2011(1)高数试卷参考答案

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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim2x xx→= 。

2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。

3．设()0f x >，且可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。

4．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ ） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导 2．曲线y =在点4x =处的切线方程是 （ ）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21x B ．3x C ．xD ．211x + 4．设()f x 为可导函数，则下列等式中正确的是 （ ） A ．()()f x dx f x '=⎰ B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。

2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。

第一学期数学分析A考卷A答案

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北 京 交 通 大 学2012-2013学年第一学期《数学分析A 》期末考试试卷(A)学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共八道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、选择题（每小题3分，满分15分）1．已知当0→x 时，)sin 1ln(x ax +与2tan x 为等价无穷小，则=a （ A ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．函数x y 2sin =在R 上的原函数与导函数分别为（ C ）． （A ）x 2cos 2，x 2cos 21 （B ）x 2cos 21，x 2cos 2 （C ）x 2sin ，x 2cos 2 （D ）x 2cos ，x 2cos 23．设函数)(x f y =在R 上二阶可导，且0)(,0)(>''>'x f x f ，则当0>∆x 时有（ A ）． （A ）0>>∆dy y （B ）0<<∆dy y （C ）0>∆>y dy （D ）0<∆<y dy 4．下列广义积分中收敛的是（C ）．（A ）⎰+10)1(1dx x x （B ）⎰-213)1(x dx （C ）⎰+∞e x x dx 2)(ln （D ）dx x x⎰+∞∞-+215．设函数)(x f 在点0=x 处连续，下列命题中正确的个数是（ C ）．① 若xx f x )(lim0→存在，则0)0(=f ．② 若xx f x )(lim 0→存在，则)0(f '存在．③ 若xx f x f x )()(lim 0-+→存在，则0)0(=f ．④ 若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则)0(f '存在．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题（每小题3分，满分15分） 1．=++∞→n nnn 321lim 3 ．2．若)100()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=')0(f 100! ．3．=-+⎰-dx x x x )1cos (11232π． 4．若点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则=),(b a ⎪⎭⎫⎝⎛-29,23 ． 5．微分方程12='-''y y 的通解为=y x e C C x2212++- ． 三、（每小题6分，满分12分）求下列极限1．设24053111)(2xx dt e x x f xt +-=⎰-，求)(lim 0x f x →．解:222322544003333311lim ()limlim lim 3155xt x x Lx x x x e dt x x e x e x f x x x x ---→→→→-+-+-+===⎰ 20301lim 101422lim 5122x e x x xe x x x x L--=+-=-→-→101=；2．设xx e e x f x x 1sin ||12)(2+++=，求)(lim x f x -∞→，)(lim x f x +∞→，)(lim x f x ∞→．解:11211sin lim 12lim 1sin 12lim )(lim 22=-=-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-∞→-∞→-∞→-∞→x x e ex x e ex f x x xx x xx x ； 11011sinlim 12lim 1sin 12lim )(lim 22=+=+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∞→+∞→+∞→+∞→xx e e x x e e x f x x xx x x x x ；由单侧极限与极限关系可得：1)(lim =∞→x f x ．四、（每小题6分，满分12分）求下列导数或微分 1．设1ln 2++=x x y ，求dy 与y ''．解：显然，)1ln(212++=x x y ．由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得： 121)21211(1121222+=⋅++++⋅='x x x x x y ， dx x dy 1212+= ，3222)1(22121)11(21+-=⋅+⋅+-=''x xx x x y ． 2．设)(x y y =是由⎩⎨⎧=++=-+01,0)1(y te t t x y 所确定的函数，求0=t dx dy．解：当0=t 时，1,0-==y x ．由0)1(=-+t t x 可得：t t x -=2，1|)12()0(0-=-='=t t t x ；由01=++y te y对t 求导可得：0='+'+t t y y y y te e ，1)0(--='e y t ，由参量函数求导法可得：10)0()0(-==''=e x y dx dy t t t ．五、（本题满分12分）求下列积分： 1．dx x ⎰arctan．解:⎰=tdt t I arctan 2⎰⎰+-==dt tt t t t td 22221arctan )(arctan C t t t C t t t t +-+=++-=arctan )1(arctan arctan 22C x x x +-+=arctan )1(2．dx x x ⎰-π53sin sin ．解: 注意到|cos |sin )sin 1(sin sin sin 32353x x x x x x ⋅=-=-，故 ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x I 54|sin 52|sin 522252025=-=πππx x ． 六、（本题满分13分）（I ）判定函数x xe x f -=)(的单调性，并求其极值；（II ）讨论方程x ae x =的实根个数．解：（I ）∵⎪⎩⎪⎨⎧><==<>-='-,1,0,1,0,1,0)1()(x x x e x x f x ∴),1()(),1,()(+∞∈↓-∞∈↑x f x f ，且极大值为ef f 1)1(max ==． （II ）x ae x =的实根个数xxe y -=⇔与a y =的交点个数．由（I ）及-∞==-∞→-∞→xx x e xx f lim)(lim （)()(+∞⋅-∞），01lim lim )(lim ===+∞→+∞→+∞→x x L x x x ee x xf ， 可知 ① 当0≤a 或ea 1=时，原方程只有一个实根；② 当ea 10<<时，原方程有两个实根； ③ 当ea 1>时，原方程没有实根． 七、（本题满分13分）（I ）求曲线x y ln =与其在点)1,(e 处的切线、x 轴所围成的平面图形G 的面积A ；（II ）求上述平面图形G 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积V ． 解：（I ）∵e y x y 1)0(,1='='，∴切线方程为)(11e x e y -=-，即exy =． ⎰-=exdx e A 1ln 212|)]1(ln [21-=--=e x x e e． （II ）⎰-=e xdx e V 12ln 31ππ]1ln 2|ln [31112dx x x x x x e ee⎰⋅⋅--=ππ]|)1(ln 2[31)ln 2(3111e ex x e e dx x e e ---=--=⎰ππππ )31(2)2(31e e e -=--=πππ．八、（本题满分8分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)0f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明：存在点)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf ． 证：设x x f x F -=)()(，则]1,0[)(C x F ∈，且1)1(,21)21(,0)0(-===F F F ． ① ∵111()[,1],()0,(1)10222F x C F F ∈=>=-<， ∴由零点定理可知：存在点)1,21(∈η，使得0)(=ηF ．② ∵)()0(),,0()(],,0[)(ηηηF F D x F C x F =∈∈，∴由罗尔定理可知：存在点)1,0(),0(⊂∈ηξ，使得0)(='ξF ，即1)(='ξf ．。

华南农业大学2011-2012学年第 1 学期大学数学1期末考试试卷(A卷)答案

华南农业大学2011-2012学年第 1 学期大学数学1期末考试试卷(A卷)答案

2011-2012学年第1学期 大学数学Ⅰ 期末考试A 卷 参考答案一、1. C. 2. D. 3. B. 4. C. 5. A.二、1. cot t 2. 3. 3. 321132y x e e C --=+. 4.22ydx xdyx y-++ 5.()1,dy f x y dx ⎰⎰. 6. 5292⎛⎫⎪--⎝⎭.三、1. 求极限1ln 1lim .arccotx x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解 221111ln 11lim lim1arccot 1x x x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭=-+ (3分) 221lim x x x x→+∞+=+ (4分) 211lim 11x x x→+∞+=+1=. (6分) 2. 解 1y y xe =+两边同时对x 求导，得y y y e xe y ''=+⋅，所以12y yye e y xe y'==--. (2分) 22(2)()(3)(2)(2)y y y e y y e y e y y y y y '''----''==--，把y '代入，得 23(3).(2)y e y y y -''=- (6分) 3．解 2212(1)1222323x x dx dx x x x x ⨯+++=++++⎰⎰222111(23)(1)223(1)2d x x d x x x x =++++++++⎰⎰ (3分) 21ln(23)2x x C =+++ (6分) 4．解20xxe dx +∞-⎰2012x xde +∞-=-⎰ (2分)22001122x x xe e dx +∞+∞--⎡⎤=-+⎣⎦⎰ 22011lim 24x x x xe e +∞--→+∞⎡⎤=--⎣⎦ (4分) 14=. (6分) 5. 解()()212122121y y z y xy y y xy x--∂=+⋅=+∂ (2分) 由()2ln 1,y xy z e += 得()()2ln 122ln 11y xy z xy e xy y xy +⎛⎫∂=⋅++ ⎪∂+⎝⎭()()2212ln 1.1y xy xy xy xy ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭ (6分)6. 解 积分区域D 可表示为121x y x x≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，所以2221221x x Dx x d dx dy y y σ=⎰⎰⎰⎰ (2分) 22111xxx dx y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰(4分) 231()x x dx =-⎰24211112424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦. (6分)7．解 110012001T A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, （2分）110131122012011013001002002T A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4分）1222001222013220213002042040T A B A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （7分）8. 解 把()03,3,1η'=-代入方程组中第二个方程，得4k = （2分）该方程组对应的齐次线性方程组的系数矩阵221313212152114114114103141055011011112022000000r r r r r r r r r A ⨯+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-−−−→−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，对应的齐次线性方程组的同解方程组为13233x x x x =-⎧⎨=-⎩（3x 为自由未知量）. （5分） 令31x =，得方程组的对应的齐次方程组的一个基础解系：()3,1,1ξ'=--. 故方程组的通解为0x c ηξ=+（其中c 为任意常数）. （7分） 四、1. 解 (1) 当1x =时，1y =. 曲线2y x =在点(1,1)处的切线斜率为1122x x k y x =='===，所以所求切线方程为12(1)y x -=-， 即 21y x =-. （3分） （2）所求面积()13122001121(124312y A dy y y ⎡⎤+==+-=⎢⎥⎣⎦⎰， （6分） 所求体积()1222111325630x V xdx πππππ=-⋅⋅⋅=-=⎰. （9分） 2. 解 232y x ax b '=++，62y x a ''=+，依题意，有100200x x x y b y a b yc ===⎧'==⎪''=+=⎨⎪==⎩ 解得3,0,1a b c =-==. （5分） 于是3231y x x =-+， 2363(2)y x x x x '=-=-， 令0y '=，得驻点 120,2x x ==.66y x ''=-, 由260x y =''=>知, 22x =是极小值点，极小值为23x y ==-.（8分）。