04第四章 差异量数

Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体

X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用

比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况

用频数分布表示全距的方法是：最大一 组与最小一组组中值之差，或者是最大 一组上限与最小一组下限之差。
意义：全距概念清楚，意义明确，计 算简单，但因它仅由最大值与最小值 而求得，易受两极端数值影响。不考 虑中间数值的差异，反应不灵敏。只 能作为差异量的粗略指标，在编制频 数颁布表时决定全距范围之用。
分数 组中值x 45-50-55-60-70-75-80-85-总和 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 77.5 82.5 87.5 f 1 2 0 2 3 8 fX 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 77.5 1 2 0 2 3 8 fX2 47.52 52.52 57.52 62.52 67.52 77.52 1 2 0 2 3 3
σx, σ2x
σ 2x =148506.3 /37(2290/37)2 =183.078σ
x
7 82.5 7 7 87.5 7 37 2290.0
82.52 7 87.52 7 148506.3
= 183.078 =13.53
二、全距（Range)
全距是一组数据中最大值与最小值之差， 又称极差。用R表示。 原始数据：用最大值减去最小值。
方差和标准差计算方法
原始数据计算法 频数分布表计算法
X 2 X 2 2 x ( ) N N
X X 2 x ( ) N N
2
注意比较
fX 2 fX 2 2 x ( ) N N
fX 2 fX 2 x ( ) N N
例：48个学生数学分数方差、 标准差的组中值计算表
第四章 差异量数
Measures of Variation
心理统计
方差 Variance 标准差 Standard deviation 全距 Range 四分差 Quartile 差异系数 Relative deviation

样本的标准差为： S=∑（X-）2n-1=∑x2n-1
四、分组数据的标准差和方差
在需要手工计算大量数据的时候，通 常的策略是先对数据进行分组。上一章中 已经提及分组数据的平均数、中位数的计 算方法，那么分组数据的标准差和方差又 是如何计算的呢？公式如下：σ=∑f（Xc-） 2N或σ=∑fX2cN-（∑fXcN）2
6.假定数据服从正态分布，求总体中小于-2σ的 百分比以及大于+3σ的百分比。
练习与思考
7.有些统计书中将数据集的异常值定义为距离其 均值三个标准差的测量值，其根据是什么？
8.假设某数据集近似服从正态分布，那么其全距 与标准差之间的关系如何？
9.某班期末考试，语文平均成绩为82分，标准差 为6.5分；数学平均成绩为75分，标准差为5.9分； 外语平均成绩为66分，标准差为8分。问哪一科成 绩的离散程度大？
R=Xmax-Xmin
第二节 平均离差、方差和标准差
一、平均离差
平均离差（average mean deviation）是所有原始 数据与平均数离差的平均值。一般用符号 AMD表示。
AMD=∑(X-)n=∑xn
二、方差
为了避免负数的出现，最好的办法是 取离均差的平方，然后相加起来，就得到 了离均差的平方和，即∑（X-）2 ，用这 个平方和再除以总个数，得到的值就是方 差。
练习与思考
4.某工厂制造一种手电筒电池，该工厂声称其制 造的电池中，至少有96％的电池寿命为95~105小 时，该厂随机抽取1 000节电池进行测试，测得平 均寿命为100小时，若该厂的声明是正确的，那么 样本标准差的最大可能值是多少？
5.已知某组数据近似正态分布，平均数是50，标 准差是5。那么，有多少人的成绩在平均数上下 一个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 两个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 三个标准差之内？

3.标准差在心理与教育研究中除度量 数据的离散程度处还有哪些用途？
• 作为一个非常优秀的差异量数，标准差有着非常广 泛的用途。 • （1）差异系数。 • 比较同质性数据的离散程度的大小时，如果平均数 相同，可以直接比较标准差的大小。但是： • ①当进行两个或两个以上的样本资料不同质； • ②即使是同质性数据，其平均数相差较大时；比较 其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与 平均数的比值（相对值）来比较。 • 变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对 两个或多个资料变异程度比较的影响。
P100例4－10利用Z分数求总和
问题：如果这两个考生只录取一个该录取谁？
• ③表示标准测验分数
• 经过标准化的心理或教育测验，如果其常模分数 接近正态，常转化为标准正态分数。其转化公式 为： • Z′＝aZ＋b • 式中Z′为正态标准分数z＝（X－X） /σ ， a,b为常数，σ为测验常模的标准差。 • 如：韦氏离差智商为：IQ＝15Z＋100 注：T分数一般是指对学生的各科成绩计算 标准分数。转换公式为T＝ 10 *Z+50
• ②已知不同质的观测值的次数分布为正态时， 可用Z分数求不同的观测值的总合或平均值， 以表示个体在团体中的相对位置。 • 例如高考各科成绩为正态分布，但各科成绩 的难易度不同，因此各科成绩就属于不同质 的分数，如果简单地将各科成绩加起来或求 平均数，这是不科学的。如果用Z分数求综 合才更有意义，也更科学。
第四章
差异量数思考与练习题
• 1.度量离中趋势的差异量数有哪些？为什么要度量 离中趋势？ • （1）有全距、四分位差、百分位差、平均差、标准 差和方差等。 • （2）在心理与教育研究中，要全面描述一组数据的 特征，不但要了解数据的典型情况，而且还要了解 特殊情况。这些特殊性常常表现为数据的变异性。 因此，只用集中量数不可能真实地反映出它们的分 布情形。为了全面反映数据的总体情况，除了必须 求出集中量数外，这时还需要使用差异量数。