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第四章 差异量数

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第四章差异量数

第四章差异量数


Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体

X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用

比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况
教育统计学_第四章 教育统计学之差异量

教育统计学_第四章 教育统计学之差异量

敏 因此，全距只能作为差异量的粗略指标，
在编制频数分布表示决定全距范围之用。
二、四分位距： 以一定顺序排列的一组数据中间部位50%个频数
距离的一半作为差异量指标。
QD
Q 3
Q 1
2
QD 表示四分位距
Q 表示第三个四分位距（第75%百分位数） 3
Q 1
表示第一个四分位距（第25%百分位数）
1．原始数据计算法 例如：教育学专业99级学生教育测量学成绩如
105－
107.5
14
110－
112.5
9
115—
117.5
4
120－
122.5
3
125－
127.5
2
总和
100
累积频数 3 11 23 44 68 82 91 95 98 100
解：全距=127.5—82.5 =45 或者，全距=130-80=50
评价
优点：概念清楚，意义明确，计算简单 缺点：易受两极端数值影响，反映不灵
差异量
表示一组数据变异程度或离散程度的量称为 差异量。 用多边图把几组数据的频数分布表示出来， 我们可以很直观地了解数据的变异性或离散程度。
A、B、C三个平行班在某次数学考试上的得分情况。 三个班的平均数差别不大，而各班的离散程度却有很明 显的不同。在这三个班中，B班的分数分布（高、狭）范 围最窄，最整齐；C班的分数分布（平、宽）范围最广， 变异最大。这是用图所进行的直观分析和判断。若用一 个统计量概括地说明数据的变异程度或离散程度的特征， 这个统计量就是差异量。
乙组
20 40 60 80 100
对于一个小组的成绩，我们通常用平均数来代表各 组的成绩。但在这样的情况下，仅用平均数就不能正确 反映两组的区别。
统计学第四章

统计学第四章

第四章 差异量教学目的：1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；2.掌握各种差异量指标的计算方法。

数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。

以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。

两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。

【如】:比较下列两组数据 A 组：88、82、73、76、81 B 组：92、86、70、72、80两组平均数,80==B A X X 但R A =88－73＝15，R Ｂ=92－70＝22。

即A 组较集中，B 组较分散。

因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。

差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。

常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。

第一节全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一组数距中最大值与最小值之差。

优点：意义明确，计算方便。

缺点：反应不灵敏，易受极端值影响。

二、四分位距（一）四分位距的的概念四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。

）（1.4213Q Q QD -=QD ：表示四分位距； Q 3：表示第三四分位数；Q 1：表示第一四分位数。

所以：四分位距的公式又为：22575P P QD -=（二）四分位数的计算方法 1、原始数据计算法（1）将数据由小到大进行排列； （2）分别求出三位四分位数（点）； （3）代入公式计算。

【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：（1）先将原始数据从小到大排列好；12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40Q 1=18 Md =27 Q 3=34（2）求出Q 1、Md 、Q 3；（3）将Q 1、Md 、Q 3的得数代入公式（4.1）。

第四章 差异量数

第四章 差异量数


例2:比较两组女童体重的差异情况
表4—2 某市两组女童体重的调查资料
平均数 2个月组 6岁组 5.45千克 19.02千克 标准差 0.62千克 2.12千克
解：
CV 1
S 0.62 100 0 0 100 0 0 11.4 0 0 5.45 X
CV 2
1
S 2.12 100 0 0 100 0 0 11.2 0 0 19.02 X
组。
二、平均差
(一)定义：平均差是指一组数据中，
每一个数据与该组数据的平均数离差的绝 对值的算术平均数，通常用AD表示。 （二）计算公式
AD
Xi X n
例1:有5名被试的错觉实验数据如下， 求其平均差。
被试
错觉量
1
16
2
18
3
20
4
22
5
17
（ms）
解：已知n=5
则
AD Xi X
优点：① 反应灵敏； ② 严密确定；
③ 容易计算；④ 适合进一步代数运算； ⑤ 受抽样变动的影响小； ⑥ 简单明了。 缺点：应用方差和标准差比较两个不
同数据的次数分布，必须保证两数据的
单位相同。而且两数据的平均水平比较 接近。
四、差异系数
（一）定义
差异系数是指标准差与其算术平均数
的百分比。它是没有单位的相对差异量


2
2.根据原始数据计算方差和标准差的公式
Xi Xi S n n
2 2 2
Xi Xi S n n
2
2

原始数据的计算公式等价于定义公式，当两
个公式计算结果有出入时，应以原始数据计算公 式的结果为准，因其更准确。
统计心理-第四章 差异量数

统计心理-第四章 差异量数


第二节 平均差、方差与标准差
一、平均差 • 1. 意义： 次数分布中所有原始数据与平均
数绝对离差的平均值。一般用符号A.D.或 M.D. 来表示。 • 2. 计算： • （1）原始数据求平均差
A.D. Xi X
n
例题：
有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。
被试
1
2
3
4
5
错觉量 16
18
i 1
N


i 1
N

i




（三）总标准差的合成
St
N 1
S
2 1

d
2 1
N2
S
2 2

d
2 2
Nk
S
2 k

d
2 k
N1 N2 Nk
k
k
N
i
S
2 i

N
i
d
2 i
i1
i1
k
Ni
i1
S
：
t
总
标
准差
注意：只有应用同一种观测手段，测量同一 个特质，只是样本不同时，才能应用该公式 合成方差和标准差。
易受极端值的影响； 易受取样变动的影响； 未考虑数据的分布。
7 8 9 10 7 8 9 10 全距只是一种低效的差异量数，主要用 于对数据的预备性检查，了解数据的大概 范围，以确定如何统计分组。
二、百分位差（percentile）
• 为了避免极端数据的影响，将数据的两 端各截去10%，即P10和P90之间的距离作 为差异量数。
负号，应用较少。
二、方差与标准差
差异变量1

差异变量1


Q1=1.7 Q=(2.2-1.7)/2=0.25
Q3=2.2
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
Q Q 3 Q1 2
其中
这里 L b 表示百分位数所在组的精确下限， b 表示小于L b F 的各组次数的和， f 表示百分位数所在组的次数；
例：下表为一个年级期末考试数学的分数，求四分位差？
21
6 4 4 3 2 2 1
43
22 16 12 8 5 3 1
合计
196



未分组资料的百分等级 PR=100-{(100R-50)/N|}, 其中R是原始分数排列顺序数，N是指总人数 （样本的总人数）。 例如：小东在30名同学中语文成绩是80分，排 列第5名，则其百分等级为： PR=100-{（100*5-50）/30}=85 百分等级为85即指，在100名被试中，语文成 绩低于小东的80分的有85人。
R=Xmax– Xmin
次数分布表的全距一般是最大一组与最小一组的组中值 之差，或者是最大一组上限与最小一组下限之差。
例：下列数据是实验中所得的，10个被试的跳远距离：2.0、 2.3、2.5、1.9、1.6、1.5、2.8、2.2、1.7、1.8（单位m）， 求这组数据的全距是多少？ R=Xmax– Xmin=2.8—1.5=1.3m
第四章 差异量数
差异量数的概念
差异量数就是对一组数据的变异性（离中趋势） 特点进行度量和描述的统计量。它反映了次数分 布中数据彼此分散的程度。 常用的差异量数有全距、四分位差、百分位 差、平均差、标准差与组数据中最大值与最小值之差。全距用R表示。
全距的计算方法 原始数据的全距是最大值与最小值之差。
85-89
80-84 75-79
第四章 差异量数

第四章 差异量数


三、由各部分的标准差合成总标准差的计算方式
已知总体中各部分的标准差，若求其总标准 差，可用下面公式进行合成： （4.6） 式中： t为总标准差； N t 为总体中数据的个 d 数； i为各部分数据的标准差；i 为各部分平 均数与总平均数之差，即 di X i X t 。其中
Nt
t
例6．某小学四年级248名学生的平均身高为 143.52厘米，标准差是6.48厘米；平均体重
30.28千克，标准差4.56千克，试比较身高与体
重两变量的离散程度。
解：
CV身高
6.48 100＝ 100 4.52 X 143 00 15.06 X 30.28
=
50 90 52 85 48 88 51 92 50 52 48 51
= 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 85 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X T 92 89 3
第四章

差异量数
第一节 标准差 第二节 四分差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数 习 题与思考题
描述一组数据离中趋势(波动性)的量数，称 为差异量数。
差异量数有：绝对差异量数和相对差异量数 两种。绝对差异量数包括全距、平均差、四分差 、方差、标准差等，相对差异量数有差异系数和 峰态量数、偏态量数。
本章重点介绍标准差、四分差、差异系数， 并学习标准分数和百分等级两个相对地位量数。
第一节 标准差
一、标准差的概念 二、标准差的计算方法

1、对原始数据计算标准差
2、对次数分布表计算标准差
(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
第四章 差异量

第四章 差异量


二 平均差、方差、标准差
4）方差、标准差的应用及优缺点 是表示一组数据离散程度的最好指标，是 常用的差异量数。
三
相对差异量
1）标准差的比较及差异系数的概念 绝对差异量和相对差异量（差异系数） 2）差异系数的使用及条件
四 差异量的数值关系与选用
1 差异量的数值关系
2 如何选用
1）共同考虑集中量和差异量； 2）多数数情况下，平均数和标准差一起进行一组数据 的描述。
练习
• 课内完成本章练习题1-8题
感谢各位的参与！
二 平均差、方差、标准差
1 平均差
1）离均差与平均差 离均差，又称离差或偏差，表示每一个观察值 与平均数的距离大小。——平均差，是次数分布 中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值。 2）公式表达 3）平均差的意义 能较好地反应次数分布的离散趋势；但绝对值 的求取不利于进一步统计分析，因此为低效差异 量数，实践中谓方差、标准差 方差，也称变异数、均方，是每个数据与该组数据平均 数之差乘方后的均值，即离差平方后的均值。 标准差，是方差的平方根。 2）方差、标准差的计算 3）方差、标准差的性质 方差具有可加性和可分解性的特点，是方差分析的基本 依据。 方差、标准差的基本特性：a）每一个观测值都加上一个 常数C，所得数据的标准差或方差等于原标准差或方差；b） 每一个观测值都乘上一个常数C，所得数据的标准差等于原 标准差乘以这个常数C，所得数据的方差等于原方差乘以这 个常数C的平方。
1）何谓百分位距 百分位数（又称百分位点，指量尺上的一个点，在此点 以下数据分布中全部数据个数的一定百分比。）——百分 位差（指第10百分位数和第90百分位数之间的距离。）
一 全距与百分位距
2）百分位数的计算 与计算分组数据中数的原理一致。 3）百分等级的计算 百分位数的逆运算。
心理与教育统计学第4章差异量数

心理与教育统计学第4章差异量数

（4.21）
4.3.2 标准分数
某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲、乙两个学生的Z分数各是多少？
Z分数乘以标准差即为原始分到平均值的距离。
Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量。
标准分数的性质
所有原始分数的Z分数的平均数为0
58×0.8=46.4 46.4-40=6.4 6.4×0.71=4.54 4.54+79.5=84.04
84.50
83.79
83.07
82.36
81.64
80.93
80.21
79.50
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限；
01
fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数；
学生身高标准分数分布
(4) 若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数为均值为0、标准差为1的标准正态分布。
标准分数转换对数据分布的基本形状没有影响
01
04
02
03
可比性。不同性质的原始分数，转化为标准分数后可以进行比较。
可加性。标准分数为抽象数值。
明确性。可以知道该分数在全体分数中的位置。
稳定性。 假设有两套测量某种能力心理测验，同一个人做，其原始分可能差异较大，但是标准分较为稳定。
4.1.5 四分位差
其中：
（4.6）
四分位差：
用次数分布表计算四分位差
成绩
频数f
累加频数
95－
2
58
90－
3
56
85－
6
53
80－
7
47
75－
8
教育统计学第四章 差 异 量

教育统计学第四章 差 异 量


次数分布表的平均差的计算
如果已知次数分布表来计算平均差， 如果已知次数分布表来计算平均差，可 采用下面的公式
AD =
∑ f x −x ∑f
i i i
例3 56名学生数学成绩的次数分布表计 名学生数学成绩的次数分布表计 算步骤见表4-1。 算步骤见表 。
表4-1 56名学生数学成绩的次数分布表 名学生数学成绩的次数分布表
一、方差和标准差的定义 一组数据离差平方的算术平均数，称 一组数据离差平方的算术平均数， 方差。具体地说， 为方差。具体地说，就是一组数据中每个 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 再除以数据的个数。 表示方差: 再除以数据的个数。用б2表示方差
方差的计算公式： 方差的计算公式：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：
σ =
2 x
∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i

2
σx =
∑fx
N
2 i i
∑fx
N
i i

2
二、标准差的性质
1、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 该数组的标准差不变。 该数组的标准差不变。

4差异量数


11
练习：某小学二年级80名学生身高的频数分布如下表，求 其四分差。
小学二年级80名学生身高的频数分布表 身 高 115~ 118~ 121~ 124~ 127~ 130~ 133~ 136~ 139~ 142~ 总 和 频 数 1 3 8 10 20 19 12 4 2 1 80 累计频数 1 4 12 22 42 61 73 77 79 80 计算四分差
3、标准分数的性质
（1）一组原始数据的标准分数的算术平均数为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的算术平均数为0， （2）一组原始数据的标准分数的标准差为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的标准差为1，
25
4、标准分数的应用 （1）确定原始数据在其团体中的相对位置 例：某市中考，数学平均成绩为75分，标准差为12分。某 生数学考了78分，试问其数学成绩在全市考生中的地位如 何？ 解：该考生数学成绩的标准分数为：
15
利用公式计算平均差
五、方差和标准差
（一）概念 方差是指离差平方的算术平均数。
方差的算术平方根称为标准差。总体标准差用 示，样本标准差用 S 表示。
表
标准差是一个较为准确的差异量数，常与算术平均数 配合使用，来描述一组数据的集中、离中趋势。标准差数 据越大，表明这组数据的离散程度越大。
16
离差
甲乙两组共12名小学生体育课跳远测验成绩如下， 甲乙两组共 名小学生体育课跳远测验成绩如下，请分别计算 名小学生体育课跳远测验成绩如下 其标准差。 其标准差。
甲乙两组小学生跳远成绩统计表（米） 组别 甲组 乙组 1.90 2.30 1.95 1.60 2.15 1.70 跳 远 成 绩 1.98 2.01 2.10 2.04 1.82 2.05 2.08 1.90 2.02 2.40 平均成绩 2.00 2.00

第四章差异量数


大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
2、某招干考试分数如下表,预定取考分居前10%得 应考人员进行面试选拔,请划定面试分数线
三、四分位差(quartile deviation) (一)概念 百分位差得一种,又叫四分位距,指第三个四分位数与第 一个四分位数之差得一半,即在一个次数分布中,中间 50%得次数得距离得一半,用Q表示。
(5)受抽样变动影响小,即不同样本得标准差或方差 比较稳定
(6)简单明了,虽然比其她差异量数稍有不足,但其意 义还就是较明白得
二、应用条件 (一)同一个团体不同观测值离散程度得比较 即同一个团体但就是所测得特质不同
例:已知某小学一年级学生得平均体重为25千克, 体重得标准差为3、7千克,平均身高为110厘米, 标准差为6、2厘米,问体重与身高得离散程度哪 个大？
四、优缺点
(一)优点 1简单,容易理解 2计算简单
(二)缺点 1最粗糙,不可靠 2只就是利用了数据中得极端值,其她数据未参与运算过 程 3如果两极端值有偶然性或属于异常值时,全距不稳定 4全距受到取样变动得影响
第二节百分位差与四分位差
一、百分位数
(一)概念 百分位数(percentile),又叫百分位分数,用符号Pp表示,指 次数分布中相对于某个特定百分点(小p)得原始分数,它表 明在次数分布中 小于这个分数得数据个数占数据分布中 全部数据个数得一定百分比。 如P70 =85,表明将一批数据从小到大排列后,小于85分得 数据占该批数据得70%
(二)不同团体进行得就是同一种类型得观测,但测得就 是水平相差较大,需要比较观测值得离散程度
例:通过一个测验,一年级(7岁)学生得平均分数为60分,标准差 为4、02分,五年级(11岁)学生得平均分数为80分,标准差为6、 04分,问这两个年级得测验分数中哪一个分散程度大？

04心理统计学-第四章 差异量数


第三节 标准差的应用
▪ 一、差异系数（coefficient of variation） P94
绝对差异量数 vs. 相对差异量数（不带测量单位）
➢ 用以比较多组数据之间离散程度的大小。
➢ 计算公式：CV s 离散程度的比 较（如，身高 vs. 体重）；②（各均值相差较大时）不 同团体同种观测值离散程度的比较（如，成人体重 vs. 小孩体重）。
➢ 1、计算公式 ： Z X X
s
例题计算 [自习例4-7]
➢ 例：某中学体检，全校身高平均为160cm，标准差为 24cm；体重平均为55kg，标准差为11kg。小明身高 172cm，体重66kg。问：①身高与体重哪个的分布更 为离散？②若从相对排名来看，小明是身高排名更靠前、 还是体重排名更靠前？（高的、重的排名在前）
例题计算 [自习例4-5、例4-6]
➢ 注意：①适用资料至少是等距，理论要求为比 率数据；②尚不能进行统计推论。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数（standard score，又称Z分数） P95
是以标准差为单位来表示一个原始分数在团体中 所处的相对位置量数。可用以比较多个数在其所 在数组分布中的相对位置的高低（Z分数越大，表 明该数据在其分布中的相对位置越高）。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
▪ 一、全距 P80
➢ 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R X max X min
计算所得数值越大，表明数据越离散/分散 [下同]
➢ 3、标准分数的优缺点

语言统计第四章 离中趋势和差异量数-精选文档



1.未分组数据标准差和方差的求法 第一步：计算个数值与平均数之差（离均差） 第二步：求离均差的平方 第三步：把平方离均差相加，求”平方和“； 第四步：把平方和除以数值的个数，求得方差； 第五步：方差的平方根即为标准差。用公式表示：
显然，由于涉及到平均数，上述公式使用 起来很不方便；我们可以在上述的公式的 基础上得出一个不涉及平均数的求标准差 的公式：


第三节
四分差

一、概念 四分差指一个分布中，中间50%的次数的 全距之半，用符号Q表示。 正如中数把一个次数分布分成两半那样， 有一些点把一个次数分布分成四等份，这 些点称作四分点或四分位数。第一个四分 点（或称下25分点）用Q 表示，其下有全 部数值的1/4或25%，其上则有全部数值 的3/4或75%，其上则有全部数值的1/4或 25%。
第二节

两极差


一、概念 两极差也称全距，用符号R表示。所谓两极差就是一组数 据中最高值与最低值之差。 二、两极差的求法 R=最大数值-最小数值 三、小结： 1.两极差是简单而粗略的差异量数 2.不能反映中间数值的差异情况，也受两极 端异常数值的影响。 3.可以作为数据分布的初步统计，在一定程度上反映 数据的差异情况（前提是分布比较对称、没有极端数值）

下面我们仍用上例中的数据说明公式的用法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

三个公式计算结果一样，但计算过程要简 便得多。
2.次数分布数据标准差和方差的求法：
如果已有次数分布表，那么标准差和方差的计算 将更加简便。计算公式为：


3.分组次数分布数据标准差和方差的求法
从分组次数分布数据标准差和方差的公式如下：

教育统计学第04讲 差异量数


X
f 为某一百分位数所在组的频数
Lb
n 为数据总的次数
i 为组距
Fb
10
（一）百分位数的计算
例 用表数据计 算该分布的百分 位数P90及P10。
组别
65~ 60~ 55~ 50~ 45~ 40~ 35~ 30~ 25~ 20~ 15~ 11 10~
f 向上累加次数
1
157
4
156
6
152
8
146
16
16
（一） 百分等级分数的计算公式
PR

Fb


X

Lb i

N
f
100
式中:Ｌb 为某特定原始变量所在组的下限 Fb 小于Lb的累积频数 f 为某特定原始变量所在组的频数 N 为数据总的次数 i 为组距
17
（二）百分等级分数的应用
例： 表4-1所列的考试分数分布中，已知某应试者 的考分为82分，问在这次考试中低于该应试者的人 数比例。

X
2 i

2X i X
2
X

X
2 i

2X
2
Xi N X

X
2 i

2(
Xi ) N
Xi N (
Xi )2 N

X
2 i

2
(
Xi )2 ( N
Xi )2 N

X
2 i

(
Xi )2 N
30
（二）方差与标准差的计算
样本方差
25~29 139 268 29.89 75~79 70 1809 95.21

第四章-差异量数

第一节 全距、百分位差、四分位差、平均差一、全距全距是一列数据中最大数与最小数的差距，又称极差，用符号Rg （Range ）表示，其公式为min max X X Rg -=全距是说明数据离散程度最简单的统计量。

全距的局限：该统计量只依据分布中的两个极端值，未利用到分布的大部分信息。

它不能反映观察值的整个变异度，样本的例数越多，全距越大，不够稳定。

二、百分位差百分位差表示某两个百分位数之间差异程度的指标。

常用的百分位差如793P P -，1090P P -。

百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比，符号为Pp 。

其计算公式为：例4-1：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P 90- P 10。

组别f d 65～ 1 157 60～ 4 156 55～ 6 152 50～ 8 146 45～ 16 138 40～ 24 122 35～ 34 98 30～ 21 64 25～ 16 43 20～ 11 27 15～9 16 20～7 7 ∑100—解：先计算P 90 和P 10第1步：确定P 百分位数对应的位置， ，ifF N pL P bb p ⨯-⨯+=1003.14110090157=⨯7.1510010157=⨯第2步：确定百分位数所在的分组区间，P 90在“50～”这组，P 10在“15～”这组第3步：确定公式中的符号，5.49=b L ，5.14=b L ，138=b F ，7=b F ，5=i ，8=f ，9=f第4步：代入公式计算P 90 ，P 10第5步：计算P 90-P 1023.3233.1956.511090=-=-P P答：该分布的百分位差P 90-P 10是32.23。

百分等级：任意分数在整个分数分布中所处的百分位置，百分等级是一种相对位置量数。

计算公式为：三、四分位差四分位差是百分位差的特例，用于分析75P （3Q ）与25P （1Q ）之差的一半，即213Q Q Q -=四、平均差（一）概念及计算公式平均差是一组数内各个数据之间与平均数的绝对离差的平均数。

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标准差。
——由各部分的标准差合成总标准差的计算方法
sT
N s N d N
2 i i i
2
i i
sT为总标准差；si为小组标准差； Ni为各小组个数； di=总平均数-各小组平均数
例：在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数 和标准差分别如下，求三个班的总标准差。 班级 人数 n
未分组资料求四分位数的方法同中数。
分组资料Q1和Ｑ3的求法，Q1和Q3的公式分别为
N Fb Q1 Lb 4 i f Q1 3N Fb Q3 Lb 4 i f Q3
(3.7)
(3.8)
Q1
式中：L b 为该四分位数所在组的实下限；f
, f Q3 分
别为Q1，Q 2 所在组的次数；F b为小于该四分位数所 在组下限的次数之和；i 为组距；N 为总次数。
②求 ③代入公式：
,填入表内第5、6、7列。
di , d , S
2 i
2 i
St 8.77
45(81 1.04 ) 38(64 16.16 ) 40(100 24.8) 45 38 40
例 某年级四个班的学生人数分别为50人、52人、 48人、51人。期末数学考试各班平均成绩分别为 90分、85分、88分、92分，标准差分别为6分、
组距
f
150~156
156~162 162~168 168~174 174~180 180~186 186~192 192~198 合计
3
9 25 34 20 7 1 1 100
运用上 述方法计 算左边数 列的全距
优点：
计算简单、 直观。
缺点：
（1）受极端值影响大； （2） 没有度量中间各个单位间 的差异性，数据利用率低，信息丧 失严重； （3）受抽样变动影响大，大样 本全距比小样本全距大。
3
6 7 14 16 35 42 30 21 6 4 4 3 2 2 1
196
193 187 180 166 150 115 73 43 22 16 12 8 5 3 1
合计
196
解：因83属于80-84组，所以有f=14 Fb=166, Lb=79, i=5, N=196。 将上述数值代入公式，得
62
57 52 47 42
6
42 58 30 5
9.20
4.20 -0.80 -5.80 -10.80
84.67
17.65 0.64 33.62 116.61
507.99
741.37 36.99 1008.72 583.05
∑
144
3483.16
——由各部分的标准差合成总标准差的计算方法 • 方差具有可加性特点。当已知几个小组数据的方差或 标准差时，可以计算几个小组联合在一起的总的方差 或标准差。 • 注意：只有应用同一种观测手段，测量的是同一种特 质，只是样本丌同的数据时，才能计算合成方差或者
例 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九名选手
表4-1 一班成绩统计表
X X- X (X- X )^2 92 19 361 90 17 289 83 10 100 80 7 49 75 2 4 70 -3 9 62 -11 121 55 -18 324 50 -23 529
参加，如下表。试比较两个班的成绩。
1786

X
i
X

2
n
14.09
再求四年一班的平均数和标准差。得
X 73

X X
i
2
5948
X
X

2
n
25.71
从以上计算可知，两班平均数都是73分，说明两
班的平均水平相同。但它们的标准差丌同，说明
两班成绩的差异程度很丌相同。一班的差异程度
5.5分、7分、8.2分。求四个班成绩的总标准差。
解：设N1=50， N2=52， N3=48， N4=51
X 1 90, X 2 85, X 3 98, X 4 92 s1 6, s2 5.3, s3 7, s4 8.2 50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
60-64
55-59 50-54 45-49 40-44
62
57 52 47 42
6
42 58 30 5
9.20
4.20 -0.80 -5.80 -10.80
84.67
17.65 0.64 33.62 116.61
507.99
741.37 36.99 1008.72 583.05
∑
144
3483.16
第二节 平均差、方差、标准差
要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对亍平均数
的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值不算术平均数
的离差。平均差是离差绝对值的算术平均数。 1.对于未分组资料
2.对于分组资料
[例1] 试分别以算术平均数为基准，求85，69，69，74， 87，91，74这些数字的平均差。
将Lb 69 .5, f Q1 18, Fb 101, i 5, 3N 108 代入公式4.8, 得 4 108 101 Q3 69 .5 5 18 71 .4
最后将求得的Q1和Q3代入公式，得
Q3 Q1 Q 7.27 2
即144名学生外语成绩的四分位差为7.27分。
们常识，易亍理解。
• 计算考虑了每一个数值，稳定可靠。丌易受样本抽样影 响。 • 缺点 • 计算过程中求绝对值，丌适合迚行下一步代数运算。
第二节 平均差、方差、标准差
• 标准差是一组数据中每个数据不其算术平均数之差 的算术平均数的算术平方根。用符号S表示X

2
n
——未分组资料计算标准差 1、基本公式法
[例2] 试以算术平均数为基准，求下表所示数据的平均差。
组距 150~156 156~162 162~168 168~174 174~180 180~186 f 3 9 25 34 20 7
186~192 192~198
合计
1 1
100
第二节 平均差、方差、标准差
• 平均差优缺点：
• 优点： • 平均差优亍四分位差和极差。 • 用离开平均数的平均距离表示数据的离散程度，符合人
2
表示次数。
例2 用原始数据法计算表4-1的标准差 解：∑X=657，∑X2=49747 N=9，代入公式（4.2）

X
N
2
X N
2

2
得
49747 657 9 9 14 .09
——分组资料标准差的计算方法
分组资料指编制成次数分布的资料，此时以组中值作
百分位差
• 百分位差是指两个百分位数之差。 • 常用的百分位差有两种：p90-p10 ，p93-p7
• 百分位数能够较好的反映一组数据的离散程度。
百分等级
•百分位数 百分等级
• 百分等级是指一组有序数据中某一数据以下所含
次数占总次数的百分比，通常用符号PR表示。 •在教育上，常用百分等级表示一个分数在团体中的 相对位置。百分等级越低，个体在团体中所处的地 位越差。如果某分数的百分等级PR=70，则表明团 体中有70%的人的成绩低于该分数。
f X Lb 100 PR Fb i N 14 83 79 .5 100 166 5 196 90
即该生成绩的百分等级为90，表明团体中有 90%的学生成绩低于他的成绩。
四分位差
• 中间50%的次数的距离的一半。简言之：第三四 分位数和第一四分位数的差值的一半。 • 避免全距受极端值影响大的缺点。 • 通常不中位数配合使用。
表4-2 二班成绩统计表
X X- X (X-X )^2 100 27 729 97 24 576 95 22 484 85 12 144 80 7 49 75 2 4 62 -8 64 40 -33 1089 20 -53 2089
解：先求四年一班的平均数和标准差。算得
X 73
X
X

2
1.全距(Range)
最大值和最小值之差，也叫极差。全 距越大，表示变动越大。
R =Xmax– Xmin
[例] 求74，84，69，91，87，74，69的全距。 [解] 把数字按顺序排列：69，69，74，74，84，87，91
R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限 或最大组的上限减去最小组的组中值
对于分组资料，计算百分等级的公式为
f X Lb 100 PR Fb i N
例 196名学生外语考试成绩的次数分布表如下。 某考生分数为83，求其百分比等级是多少？
196名学生外语成绩次数分布表
组限 次数 累积次数(由下向上)
95-99
90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 20-24
第四章 差异量数
第四章 差异量数
• 差异量数是对一组数据的变异性（离中趋势）迚
行度量和描述的统计量。 • 常用的差异量数：
– 绝对差异量数：全距、四分位差、百分位差、平均差、 标准差、方差等。 – 相对差异量数：异众比例、平均差系数、标准差系数 （差异系数）和一些常用的偏态系数。