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第四章 差异量数[24页]

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第四章差异量数

第四章差异量数


Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体

X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用

比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况
04第四章 差异量数

04第四章 差异量数


第三节 标准差的应用
二、标准分数
2、标准分数的性质 、标准分数的性质
分数无实际测量单位， ①Z分数无实际测量单位，是以均值为参照点， 分数无实际测量单位 是以均值为参照点， 以标准差为单位的一个相对量，为等距数据。 以标准差为单位的一个相对量，为等距数据。
分数的平均数为0， ②一组原始数据转换得到的Z分数的平均数为 ，标 一组原始数据转换得到的 分数的平均数为 准差为1。 准差为 。若原始数据呈正态分布（normal distributions）， ） 则转换所得的Z分数服从正态分布 分数服从正态分布N（ ， ）。 则转换所得的 分数服从正态分布 （0，1）。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 平均差、 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和 标准差的应用：
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
一、全距 P80
又称两极差， 最大值与最小值之差来表示离中 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R = X max − X min 趋势，符号 （ ），公式 ），
3、标准分数的优缺点 、标准分数的优
优点：可比性；可加性；明确性；稳定性。 优点：可比性；可加性；明确性；稳定性。
缺点：计算相对繁琐；常为负数或带有小数，难理解。 缺点：计算相对繁琐；常为负数或带有小数，难理解。
第三节 标准差的应用
二、标准分数
4、标准分数的应用（适用前提：正态变量）P97 、标准分数的应用 适用前提：正态变量）
自习例 例题计算 [自习例4-2] 自习
平均差、 第二节 平均差、方差与标准差
三、方差与标准差 P87
方差：离均差平方的均值，符号S 方差：离均差平方的均值，符号 2，公式
第四章 差异量数

第四章 差异量数


用频数分布表示全距的方法是：最大一 组与最小一组组中值之差，或者是最大 一组上限与最小一组下限之差。
意义：全距概念清楚，意义明确，计 算简单，但因它仅由最大值与最小值 而求得，易受两极端数值影响。不考 虑中间数值的差异，反应不灵敏。只 能作为差异量的粗略指标，在编制频 数颁布表时决定全距范围之用。
分数 组中值x 45-50-55-60-70-75-80-85-总和 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 77.5 82.5 87.5 f 1 2 0 2 3 8 fX 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 77.5 1 2 0 2 3 8 fX2 47.52 52.52 57.52 62.52 67.52 77.52 1 2 0 2 3 3
σx, σ2x
σ 2x =148506.3 /37(2290/37)2 =183.078σ
x
7 82.5 7 7 87.5 7 37 2290.0
82.52 7 87.52 7 148506.3
= 183.078 =13.53
二、全距（Range)
全距是一组数据中最大值与最小值之差， 又称极差。用R表示。 原始数据：用最大值减去最小值。
方差和标准差计算方法
原始数据计算法 频数分布表计算法
X 2 X 2 2 x ( ) N N
X X 2 x ( ) N N
2
注意比较
fX 2 fX 2 2 x ( ) N N
fX 2 fX 2 x ( ) N N
例：48个学生数学分数方差、 标准差的组中值计算表
第四章 差异量数
Measures of Variation
心理统计
方差 Variance 标准差 Standard deviation 全距 Range 四分差 Quartile 差异系数 Relative deviation
(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
4 第四章 差异量数

4 第四章 差异量数


第三四分位为第九位和第十位的中位数，即：
Q3=（80+90）/2=85。 四分位差Q=（Q3-Q1）/2=(85-26)/2=29.5
24
在分组数据中：
n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
LQ：表示Q所在组的下限 N：表示总频数 fb:表示小于Q所在组下限的频数总和 i:表示组距
16
（五）用累加次数分布曲线图求百 分位数。P83 是一种粗略的计算方法
17
三、百分等级分数
百分等级分数与百分位数相反，它是事 先知道分布中的一个原始分数，再求这个原 始分数在分布中所处的相对位置—百分等级。
百分等级分数指出原始数据在常模团体 中的相对位置，百分等级越小，原始数据在 分布中相对位置越低；百分等级越大，原始 数据在分布中相对位置越高。
18
1 百分等级分数的计算公式
PR Fb
X Lb f
i N
100
式中:Ｌb 为某特定原始变量所在组的下限 Fb 小于Lb的累积频数
f 为某特定原始变量所在组的频数
N 为数据总的次数
i 为组距
19
2 百分等级分数的应用
例2 表4-1所列的考试分数分布中，已 知某应试者的考分为82分，问在这次考试 中低于该应试者的人数比例。
2 i 2 2 i
i
X X )
2
2X Xi N X
Xi X N X2 N X2
i

X
X 2(
X i2 2 X i2
N ( X i ) 2
) X i
X N (
N N
统计心理-第四章 差异量数-文档资料

统计心理-第四章 差异量数-文档资料


25% 25% 25% 25%
Q1
Q2
Q3
Q = （Q3 – Q1）/2
排序后处于25%和75%位置上的值
三、四分位差
1. 也称为内距或四分间距 2. 反映了中间50%数据的离散程度 3. 不受极端值的影响 4. 用于衡量中位数的代表性
5. 可用于顺序数据、数值型数据，但不 能用于分类数据
顺序数据的四分位数
四分位数为 Q1 = 不满意 Q3 = 一般
四分位差
甲城市 (户) 累计次数
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
24 132 225 270 300
合计
300
—
解：设非常不满意为1, 不满意为2, 一般为3, 满 意为 4, 非常满意为5 。 已知
甲城市家庭对住房状况评价的次数分布
回答类别
甲城市 次数 (户) 累计次数
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
24 132 225 270 300
合计
300
—
解：Q1位置= 300×(1/4) =75 Q3位置 =300×(3/4 ) =225
从累计频数看， Q1在“ 不 满意”这一组别中； Q3在 “一般”这一组别中
2. 差异量数包括：全距、四分位差、百分位差、 平均差、标准差与方差等等。
第一节 全距与百分位差
一、全距
1. 定义 全距(range)又称两极差，用符号R表示，
是说明数据离散程度的最简单统计量。
2. 计算
排序后 RXma xXmin
心理与教育统计学第4章差异量数

心理与教育统计学第4章差异量数

（4.21）
4.3.2 标准分数
某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲、乙两个学生的Z分数各是多少？
Z分数乘以标准差即为原始分到平均值的距离。
Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量。
标准分数的性质
所有原始分数的Z分数的平均数为0
58×0.8=46.4 46.4-40=6.4 6.4×0.71=4.54 4.54+79.5=84.04
84.50
83.79
83.07
82.36
81.64
80.93
80.21
79.50
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限；
01
fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数；
学生身高标准分数分布
(4) 若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数为均值为0、标准差为1的标准正态分布。
标准分数转换对数据分布的基本形状没有影响
01
04
02
03
可比性。不同性质的原始分数，转化为标准分数后可以进行比较。
可加性。标准分数为抽象数值。
明确性。可以知道该分数在全体分数中的位置。
稳定性。 假设有两套测量某种能力心理测验，同一个人做，其原始分可能差异较大，但是标准分较为稳定。
4.1.5 四分位差
其中：
（4.6）
四分位差：
用次数分布表计算四分位差
成绩
频数f
累加频数
95－
2
58
90－
3
56
85－
6
53
80－
7
47
75－
8
教育统计学第四章 差 异 量

教育统计学第四章 差 异 量


次数分布表的平均差的计算
如果已知次数分布表来计算平均差， 如果已知次数分布表来计算平均差，可 采用下面的公式
AD =
∑ f x −x ∑f
i i i
例3 56名学生数学成绩的次数分布表计 名学生数学成绩的次数分布表计 算步骤见表4-1。 算步骤见表 。
表4-1 56名学生数学成绩的次数分布表 名学生数学成绩的次数分布表
一、方差和标准差的定义 一组数据离差平方的算术平均数，称 一组数据离差平方的算术平均数， 方差。具体地说， 为方差。具体地说，就是一组数据中每个 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 再除以数据的个数。 表示方差: 再除以数据的个数。用б2表示方差
方差的计算公式： 方差的计算公式：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：
σ =
2 x
∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i

2
σx =
∑fx
N
2 i i
∑fx
N
i i

2
二、标准差的性质
1、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 该数组的标准差不变。 该数组的标准差不变。
4 差异量数

4 差异量数


0
Starting Salary
jinggangshan
第四章 差异量数
•差异量数就是描述一组数据离中趋势的量数。
•集中量数虽然能较好地描述一组数据的集中趋势，但 这还远远不够，它还不能代表一列数据分布的全貌。 客观世界的事物总是千差万别的，这其中不仅有质的 差异，而且还有量的差异，这种事物的差异则是统计 分布的另种特征——离中趋势或离散程度 。
•差异量数主要有：全距 (Range) 、四分位差 (Quartile) 、 百分位距(Percent Rank)、平均差(AD)、方差和标准差 (Variance & SD) 、差异系数(相对标准差CV).
jinggangshan
全距
• 全距是指一列数据最大差距，即一列数 据中最大数与最小数的差距，又称极差， 用符号RN（Range）表示. • 全距意义简明，计算简单，但容易受极 端数据的影响，不反映全部数据的差异 情况 ，使用价值极小。
jinggangshan
四分位差(Quartile)
N i Q1 LQ1 Fb 4 fQ1
N i Q3 LQ3 Fb 4 fQ3
jinggangshan
N i Q90 LQ90 Fb 4 fQ90
N i Q10 LQ10 Fb 4 fQ10
jinggangshan
•平均差(AD）
•是指一组数据的离差绝对值的算术平均数。 •未归表数据求平均差； •已归表数据求平均差。
0 0. 50 62 0.0 50 57 .0 0 50 52 0.0 50 47 0.0 50 42 0.0 50 37 .0 0 50 32 0.0 50 27 0.0 50 22 .0 0 50 17 0.0 50 12 0 . 00 75
第四章 差异量数

第四章 差异量数


通过比较：方差、标准差的价值较大，由于方 通过比较：方差、标准差的价值较大， 差具有可分解性， 差具有可分解性，能做进一步的数据分析和检 因此应用较广，被称为高效差异量 高效差异量。 验，因此应用较广，被称为高效差异量。
五、 标准差的应用
CV） 一）、差异系数（coefficient of variation CV） ）、差异系数（ 差异系数
R = Xmax − Xmin
（公式4-1） 公式 ）
全距的特点： 全距的特点： 1.全距是最简单、最易理解的差异量数； 全距是最简单、最易理解的差异量数； 全距是最简单 2.计算最简单； 计算最简单； 计算最简单 3.也是最不可靠、最不稳定的差异量数。 也是最不可靠、最不稳定的差异量数。 也是最不可靠
2.但是在计算时要对离均差求绝对值，不利于进一步做统计 但是在计算时要对离均差求绝对值， 但是在计算时要对离均差求绝对值 分析，在实践中应用较少。 分析，在实践中应用较少。
和标准差（ ） 三、方差（s2）和标准差（s） 方差（
一）、定义 ）、定义
方差（variance）也称变异数，是每个数据离均差乘方后 方差（variance）也称变异数，是每个数据离均差乘方后 变异数 离均差乘方 的平均值。 的平均值。 2
100
Q3 − Q1 Q= 2
0
Q1
Q3
成绩
95 ~ 90 ~ 85 ~ 80 ~ 75 ~ 70 ~ 65 ~ 60 ~ 55 ~ 50 ~ 45 ~
频数f
2
2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
累积频数
52 50 48 45 40 32 21 12 7 3 1
计
算
3N − Fb Q 3 =L b + 4 •i f
04心理统计学-第四章 差异量数

04心理统计学-第四章 差异量数


第三节 标准差的应用
▪ 一、差异系数（coefficient of variation） P94
绝对差异量数 vs. 相对差异量数（不带测量单位）
➢ 用以比较多组数据之间离散程度的大小。
➢ 计算公式：CV s 离散程度的比 较（如，身高 vs. 体重）；②（各均值相差较大时）不 同团体同种观测值离散程度的比较（如，成人体重 vs. 小孩体重）。
➢ 1、计算公式 ： Z X X
s
例题计算 [自习例4-7]
➢ 例：某中学体检，全校身高平均为160cm，标准差为 24cm；体重平均为55kg，标准差为11kg。小明身高 172cm，体重66kg。问：①身高与体重哪个的分布更 为离散？②若从相对排名来看，小明是身高排名更靠前、 还是体重排名更靠前？（高的、重的排名在前）
例题计算 [自习例4-5、例4-6]
➢ 注意：①适用资料至少是等距，理论要求为比 率数据；②尚不能进行统计推论。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数（standard score，又称Z分数） P95
是以标准差为单位来表示一个原始分数在团体中 所处的相对位置量数。可用以比较多个数在其所 在数组分布中的相对位置的高低（Z分数越大，表 明该数据在其分布中的相对位置越高）。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
▪ 一、全距 P80
➢ 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R X max X min
计算所得数值越大，表明数据越离散/分散 [下同]
➢ 3、标准分数的优缺点

教育与心理统计学第四章：差异量数


良好的差异量数应具备的条件
①反应灵敏，每个数据取值的 变化，方差或标准差都随之变化；
②有一定的计算公式严密确定； ③容易计算； ④适合代数运算； ⑤受抽样变动的影响小，即不 同样本的标准差或方差比较稳定； ⑥简单明了。
方差与标准差的性质
1、每一个观测值都加一个相同常数C之后，计算得到的 标准差等于原来标准差。
①两个或多个样本所测的特质不同，即所使用的观测 工具不同，如何比较其离散程度?
②即使使用的是同种观测工具，但样本的水平相差较 大时，如何比较它们的离散程度?
例： 已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体 重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为6.2厘 米，问体重与身高的离散程度哪个大?
意义：某一分数的百分等级指该分数在样本总数 据中的相对位置
如表某示人他考 的试 成成 绩绩比8为49%3的分人，更该好分。数的百分等级PR=85
PR
100 N
Fb
f ( X Lb )
i
三、四分位差 ——把整个数据的次数等分为四个部分，它的值等于P25
到P75距离的二分之一。
Q1——第一个四分位数 Q2——第二个四分位数 Q3——第三个四分位数
74 74.72 74 74.72 73 74.72
2.62
s乙2
1 15
75 74.92 73 74.92 75 74.92
8.2
s s 因为
2 甲
2 乙
，所以选择甲厂鸡腿加工。
方差与标准差的意义
特点
1、一组数据离散程度最好的 指标 2、方差越大，数据分布的离 散程度越大
(二)分组的数据求方差与标准差基本公式是：
式中d＝(Xc - AM) / i，AM为估计平均数 Xc为各分组区间的组中值 f为各组区间的次数 N=Σf 为总次数或各组次数和 i为组距。

第四章差异量数


一组数据的特征？
答:
在教育研究中，要全面描述数据的特征，不
但要了解数据的典型情况，而且还要了解特殊情况。 这些特殊性常表现为数据的变异性。因此，只有集中
量数不可能真实地反映它们的分布情况。为了全面反
映数据的总体情况，除了使用集中量数外，还需要引 入差异量数。
第一节 全距与百分位差
全距的概念
全距是一组数据中最大值与最小值之差。全距用R表示。
• 方差与标准差的优缺点 • 优点：标准差基本具备一个良好的差异量数应 具备的条件：① 反应灵敏； ② 严密确定；③ 容易计算；④ 适合代数运算； ⑤ 受抽样变动 的影响小； ⑥用样本推断总体时，是最好的估 计量。 • 缺点：不容易理解；易受极端数据的影响；有 个别数值不清时，无法计算。
思考题
为什么说标准差是重要而完善的差异量？
百分位差是指两个百分位数之差。
常用的百分位距有两种：一为第90与第10百分位数之差， 用 P90 P10 表示。一为第93与第7百分位数之差，用 P93 P7 表示。 百分位差的意义与应用 百分位差与全距相比，虽然少受两极端数值的影响，但仍
然不能很好地反映中间数据的散布情况，因此只作为主要差
fdd 72 75 64 72 44 17 0 14 40 63 48 25 36 570
2 2 2 fd 570 28 2 fd 2 2 s i * 3 50.5944 N N 100 100
s
fd 2 fd N N
2
i
• 试计算30, 40,45,50,60,65,70, 80的标准差
• • • • （1）未分组数据（原始数据）计算法 A)直接用公式 B）用Excel软件 （2）数据分组后（次数分布表）计算法

第四章 差异量数


（二）方差和标准差的计算公式
1.基本计算公式 1.基本计算公式
Байду номын сангаас
Σ X −X S = N
2
(
)
2
2
公式1
Σ X −X S= N
例4－3 －
(
)
公式2
2.原始数据计算公式 基本公式的变式 原始数据计算公式(基本公式的变式 原始数据计算公式 基本公式的变式)
ΣX 2 ΣX NΣ X 2 − ( Σ X ) 2 S = − = N N2 N
组别 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
次数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
累积次数
计算这个数列的四分位差
52 50 48 45 40 32 21 12 7 3 1
Q3 −Q1 Q= 2
第二节
平均差、 平均差、方差与标准差
组别 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
次数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
累积次数
52 50 48 45 40 32 21 12 7 3 1
计算P90和P10之间 计算P90和P10之间 P90 的百分位差
（四）百分位数与百分等级
表5-1 52名学生数学成绩方差和标准差计算表
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－ 合计 组中值Xc 97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47 频数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
计 算

4第四章 差异量数


•方差与标准差的性质和意义 方差与标准差的性质和意义
方差与标准差的意义 标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性， 标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性， 特别是当已知一组数据的平均数与标准差后，就可以知道落在 特别是当已知一组数据的平均数与标准差后， 平均数上下各一个标准差、两个标准差， 平均数上下各一个标准差、两个标准差，或三个标准差范围之 内的数据所占的百分比。 内的数据所占的百分比。
思考题
为什么说标准差是重要而完善的差异量？ 为什么说标准差是重要而完善的差异量？
答：
（1）标准差具有简单明了，反映灵敏，严密 标准差具有简单明了，反映灵敏， 确定，容易计算，适合代数运算， 确定，容易计算，适合代数运算，受抽样变动的 影响较少等优点。 影响较少等优点。 （2）标准差在避免两极端数值影响方面大大 超过全距、百分位差和四分位差； 超过全距、百分位差和四分位差；在避免绝对值 方面，优于平均差；在考虑单位方面，优于方差。 方面，优于平均差；在考虑单位方面，优于方差。
•差异系数 差异系数
差异系数的概念 差异系数是指标准差与其算术平均数的百分比， 差异系数是指标准差与其算术平均数的百分比，用 CV表示。其计算公式如下： CV表示。其计算公式如下： 表示 差异系数的应用 （1）同一团体不同观测值离散程度的比较（即不同单位 同一团体不同观测值离散程度的比较（ 资料差异程度的比较）； 资料差异程度的比较）； 对于水平相差较大， （2） 对于水平相差较大，但进行的是一种观测的各种 团体，进行观测值离散程度的比较（ 团体，进行观测值离散程度的比较（即单位相同而平均 数相差较大的两组资料差异程度的比较）。 数相差较大的两组资料差异程度的比较）。
•动差体系 动差体系
一级动差

统计第四章


计算公式
f ( X − Lb ) 100 PR = × Fb + N i PR：百分等级；X：给定的原始分数； f ：该分数所在组的频数； Lb：该分数所在组的精确下限； Fb：小于Lb的各组次数的和； N：总次数；i：组距。
百分位量表的优缺点
优点： 计算简便，意义明确，对各种测验普遍适用。 缺点： （1）是一个顺序量表，不具有相等单位，不 1 能做进一步的统计。 （2）由于百分位量表的分布成长方形，当测 验分数的分布为正态或接近正态时，百分位量 表将夸大分布中间的原始分数的差异而缩小分 布两端的原始分数的差异。而标准分数和T分 数很好的解决了这个问题。
应用
差异系数在心理与教育研究中的应用： 1、同一团体不同观测值离散程度的比较。 2、对于水平相差较大，但进行的是同一种观 测的各种团体，进行观测值离散程度的比较。
例4-6
某校高考考生语文科平均分为63 分，标准差为11分，数学科平均 分为75分，标准差为12分，试比 较该校考生哪一科离散程度大。
一、百分位分数
百分位分数是一种相对地位量数，它是次数分 布中的一个点。把一个次数分布排序之后，分 成100个单位，百分位分数就是次数分布中相 对于某个特定百分点的原始分数，它表明在次 数分布中特定个案百分比低于该分数。百分位 分数用P加下标m或p来表示，m或p为特定的 百分点，例如P30＝60，表明在该次数分布中 有30％的个案低于60分。
补充
平均差有时候也可以用中位数来求：
∑ X −M AD=
i
d
n
评价
优点：（1）反应灵敏，每个数据都参与了计 算，所以能较好地反映次数分布的离散程度。 （2）意义明确。如果将一个观测值与平均数 的离差看作误差，平均差就是误差平均的结果， 离差有正有负，和为0，所以取绝对值。 缺点：计算时用绝对值，不适合进一步代数运 算，这大大限制了它的应用范围。

第四章-差异量数

第一节 全距、百分位差、四分位差、平均差一、全距全距是一列数据中最大数与最小数的差距，又称极差，用符号Rg （Range ）表示，其公式为min max X X Rg -=全距是说明数据离散程度最简单的统计量。

全距的局限：该统计量只依据分布中的两个极端值，未利用到分布的大部分信息。

它不能反映观察值的整个变异度，样本的例数越多，全距越大，不够稳定。

二、百分位差百分位差表示某两个百分位数之间差异程度的指标。

常用的百分位差如793P P -，1090P P -。

百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比，符号为Pp 。

其计算公式为：例4-1：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P 90- P 10。

组别f d 65～ 1 157 60～ 4 156 55～ 6 152 50～ 8 146 45～ 16 138 40～ 24 122 35～ 34 98 30～ 21 64 25～ 16 43 20～ 11 27 15～9 16 20～7 7 ∑100—解：先计算P 90 和P 10第1步：确定P 百分位数对应的位置， ，ifF N pL P bb p ⨯-⨯+=1003.14110090157=⨯7.1510010157=⨯第2步：确定百分位数所在的分组区间，P 90在“50～”这组，P 10在“15～”这组第3步：确定公式中的符号，5.49=b L ，5.14=b L ，138=b F ，7=b F ，5=i ，8=f ，9=f第4步：代入公式计算P 90 ，P 10第5步：计算P 90-P 1023.3233.1956.511090=-=-P P答：该分布的百分位差P 90-P 10是32.23。

百分等级：任意分数在整个分数分布中所处的百分位置，百分等级是一种相对位置量数。

计算公式为：三、四分位差四分位差是百分位差的特例，用于分析75P （3Q ）与25P （1Q ）之差的一半，即213Q Q Q -=四、平均差（一）概念及计算公式平均差是一组数内各个数据之间与平均数的绝对离差的平均数。

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样本的标准差为： S=∑（X-）2n-1=∑x2n-1
四、分组数据的标准差和方差
在需要手工计算大量数据的时候，通 常的策略是先对数据进行分组。上一章中 已经提及分组数据的平均数、中位数的计 算方法，那么分组数据的标准差和方差又 是如何计算的呢？公式如下：σ=∑f（Xc-） 2N或σ=∑fX2cN-（∑fXcN）2
6.假定数据服从正态分布，求总体中小于-2σ的 百分比以及大于+3σ的百分比。
练习与思考
7.有些统计书中将数据集的异常值定义为距离其 均值三个标准差的测量值，其根据是什么？
8.假设某数据集近似服从正态分布，那么其全距 与标准差之间的关系如何？
9.某班期末考试，语文平均成绩为82分，标准差 为6.5分；数学平均成绩为75分，标准差为5.9分； 外语平均成绩为66分，标准差为8分。问哪一科成 绩的离散程度大？
R=Xmax-Xmin
第二节 平均离差、方差和标准差
一、平均离差
平均离差（average mean deviation）是所有原始 数据与平均数离差的平均值。一般用符号 AMD表示。
AMD=∑(X-)n=∑xn
二、方差
为了避免负数的出现，最好的办法是 取离均差的平方，然后相加起来，就得到 了离均差的平方和，即∑（X-）2 ，用这 个平方和再除以总个数，得到的值就是方 差。
练习与思考
4.某工厂制造一种手电筒电池，该工厂声称其制 造的电池中，至少有96％的电池寿命为95~105小 时，该厂随机抽取1 000节电池进行测试，测得平 均寿命为100小时，若该厂的声明是正确的，那么 样本标准差的最大可能值是多少？
5.已知某组数据近似正态分布，平均数是50，标 准差是5。那么，有多少人的成绩在平均数上下 一个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 两个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 三个标准差之内？
总体的方差为： σ2=∑(X-μ)2N=∑x2N
样本方差为： S2=∑(X-X)n=∑x2n
三、标准差
由于使用了平方，所以导致方差的单 位和原始数据的单位不同。为了解决这个 问题，我们取方差的平方根，得到的值称 为标准差。这样，标准差的单位和原始数 据的单位就一样了。
总体的标准差为： σ=∑（X-μ）2N=∑x2N
Q=Q3-Q12
第六节 标准分数
标准分数是以标准差为单位表示一个原始 分数在团体中所处位置的相对位置量数。 它说明了原始数据距离平均数有多少个标 准差，符号为z。
z=X-s=xs 其中，X代表原始数据；为一组数据的平均
数；sБайду номын сангаас标准差。
本章要点
1.差异量是表示数据之间差异程度的量。 2.差异量主要有全距、百分位距、四分位差、
第四节 相对地位量数：百分位差和 百分等级
一、百分位数 百分位数（percentile），又叫百分位点，
是指量尺上的一点，在此点以下的数据分 布中数据个数占总体个数的百分比。第P个 百分位数（P percentile）就是指在其值为P 的数据以下，包括分布中全部数据的百分 之P，其符号为Pp。 Pp=Lb+p100×N-Fbf×i
二、百分等级
反过来，利用百分位数的计算公式也 可以计算出任意分数在整个分数分布中所 处的百分位置，称为该分数的百分等级 （percentile rank,即PR）。 PR=100N×Fb+f(X-Lb)i
第五节 四分位差
四分位差是指在一个次数分布中，中 间50％次数的全距的一半，即25％位数与75 ％位数之间全距的一半，即为这组数据的 四分位差。
五、合成总标准差
由于方差具有可加性，在已经知道了 部分数据的标准差和方差的情况下，可以 求出全部数据的方差和标准差。比如，先 了解各班小学生的心理健康状况，再了解 全校小学生总的心理健康状况。
由各部分的标准差计算总的标准差的公式如下：
σt=∑Ni（σ2i＋d2i）Nt di=i-t
六、方差与标准差的性质和意义
10.求表4—7数据的四分位差。
练习与思考
11. 90名学生的语文成绩如表4—8，请分别求其平 均数、中位数、标准差和四分位差。
12.我们想知道12名学员经过一个阶段的学习后成 绩的情况。假设12名学员的考核成绩分别是：
98，93，62，65，66，90， 87，78，86，81，85，83 怎样比较每位考生的成绩？
第四章 差异量数
第一节 全距 第二节 平均离差、方差和标准差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数：百分位差和百分等级 第五节 四分位差 第六节 标准分数
学习目标
1.掌握各种差异量数的概念、性质。 2.掌握各种差异量数的计算方法和运用。
第一节 全距
全距又称两极差，用符号R表示。把一组数 据按从小到大的顺序排列，用最大值减去 最小值所得的数值，就是全距。
1.方差的性质 2.标准差的性质 3.方差和标准差的意义
第三节 差异系数
差异系数又称相对标准差，即标准差与 平均数之比，用符号表示为CV，公式为： CV=σ×100%
标准差反映了使用同一种测量工具对同一 个特质进行测量时数据的离散程度，但是 如果两个及以上的样本因为使用的观察工 具不同、特质不同，或虽然单位相同但平 均数相差较大时，就需要使用差异系数来 表示各组数据的离散程度。
平均差和标准差、差异系数等。 3.全距、百分位距和四分位差都是利用数据中
的某些百分位数计算得到。 4.平均差和标准差需要每个数据参与运算，结
果可信，比较常用。 5.差异系数用于比较不同变量的差异程度，或
同一变量在不同群体之间的差异程序。
练习与思考
1.某年级四个班学生人数分别为50人，52人，48人， 51人。期末数学考试各班的平均成绩分别是90分， 85分，88分，92分，标准差分别为6分，5.5分，7 分，8.2分。求年级成绩的标准差。
2.请证明：对于任意的样本x1， x2， x3，…，xn， 当且仅当a=x1+x2+x3+…+xnn时的∑（xi-a）2 取值 最小。
3.下述度量是某一长度测量的样本：n=10 000,=20.0cm，σ2=0.25cm2，利用切比雪夫定理， 求该样本落入区间19.0cm~21.0cm内的观测值至少有 多少个。