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第四章 差异量数[24页]

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第四章差异量数

第四章差异量数

Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体

X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用

比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况

04第四章 差异量数

04第四章 差异量数

第三节 标准差的应用
二、标准分数
2、标准分数的性质 、标准分数的性质
分数无实际测量单位， ①Z分数无实际测量单位，是以均值为参照点， 分数无实际测量单位 是以均值为参照点， 以标准差为单位的一个相对量，为等距数据。 以标准差为单位的一个相对量，为等距数据。
分数的平均数为0， ②一组原始数据转换得到的Z分数的平均数为 ，标 一组原始数据转换得到的 分数的平均数为 准差为1。 准差为 。若原始数据呈正态分布（normal distributions）， ） 则转换所得的Z分数服从正态分布 分数服从正态分布N（ ， ）。 则转换所得的 分数服从正态分布 （0，1）。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 平均差、 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和 标准差的应用：
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
一、全距 P80
又称两极差， 最大值与最小值之差来表示离中 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R = X max − X min 趋势，符号 （ ），公式 ），
3、标准分数的优缺点 、标准分数的优
优点：可比性；可加性；明确性；稳定性。 优点：可比性；可加性；明确性；稳定性。
缺点：计算相对繁琐；常为负数或带有小数，难理解。 缺点：计算相对繁琐；常为负数或带有小数，难理解。
第三节 标准差的应用
二、标准分数
4、标准分数的应用（适用前提：正态变量）P97 、标准分数的应用 适用前提：正态变量）
自习例 例题计算 [自习例4-2] 自习
平均差、 第二节 平均差、方差与标准差
三、方差与标准差 P87
方差：离均差平方的均值，符号S 方差：离均差平方的均值，符号 2，公式

第四章 差异量数

第四章 差异量数

用频数分布表示全距的方法是：最大一 组与最小一组组中值之差，或者是最大 一组上限与最小一组下限之差。
意义：全距概念清楚，意义明确，计 算简单，但因它仅由最大值与最小值 而求得，易受两极端数值影响。不考 虑中间数值的差异，反应不灵敏。只 能作为差异量的粗略指标，在编制频 数颁布表时决定全距范围之用。
分数 组中值x 45-50-55-60-70-75-80-85-总和 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 77.5 82.5 87.5 f 1 2 0 2 3 8 fX 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 77.5 1 2 0 2 3 8 fX2 47.52 52.52 57.52 62.52 67.52 77.52 1 2 0 2 3 3
σx, σ2x
σ 2x =148506.3 /37(2290/37)2 =183.078σ
x
7 82.5 7 7 87.5 7 37 2290.0
82.52 7 87.52 7 148506.3
= 183.078 =13.53
二、全距（Range)
全距是一组数据中最大值与最小值之差， 又称极差。用R表示。 原始数据：用最大值减去最小值。
方差和标准差计算方法
原始数据计算法 频数分布表计算法
X 2 X 2 2 x ( ) N N
X X 2 x ( ) N N
2
注意比较
fX 2 fX 2 2 x ( ) N N
fX 2 fX 2 x ( ) N N
例：48个学生数学分数方差、 标准差的组中值计算表
第四章 差异量数
Measures of Variation
心理统计
方差 Variance 标准差 Standard deviation 全距 Range 四分差 Quartile 差异系数 Relative deviation

(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数

(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数
心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1

4 第四章 差异量数

4 第四章 差异量数

第三四分位为第九位和第十位的中位数，即：
Q3=（80+90）/2=85。 四分位差Q=（Q3-Q1）/2=(85-26)/2=29.5
24
在分组数据中：
n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
LQ：表示Q所在组的下限 N：表示总频数 fb:表示小于Q所在组下限的频数总和 i:表示组距
16
（五）用累加次数分布曲线图求百 分位数。P83 是一种粗略的计算方法
17
三、百分等级分数
百分等级分数与百分位数相反，它是事 先知道分布中的一个原始分数，再求这个原 始分数在分布中所处的相对位置—百分等级。
百分等级分数指出原始数据在常模团体 中的相对位置，百分等级越小，原始数据在 分布中相对位置越低；百分等级越大，原始 数据在分布中相对位置越高。
18
1 百分等级分数的计算公式
PR Fb
X Lb f
i N
100
式中:Ｌb 为某特定原始变量所在组的下限 Fb 小于Lb的累积频数
f 为某特定原始变量所在组的频数
N 为数据总的次数
i 为组距
19
2 百分等级分数的应用
例2 表4-1所列的考试分数分布中，已 知某应试者的考分为82分，问在这次考试 中低于该应试者的人数比例。
2 i 2 2 i
i
X X )
2
2X Xi N X
Xi X N X2 N X2
i

X
X 2(
X i2 2 X i2
N ( X i ) 2
) X i
X N (
N N

统计心理-第四章 差异量数-文档资料

统计心理-第四章 差异量数-文档资料

25% 25% 25% 25%
Q1
Q2
Q3
Q = （Q3 – Q1）/2
排序后处于25%和75%位置上的值
三、四分位差
1. 也称为内距或四分间距 2. 反映了中间50%数据的离散程度 3. 不受极端值的影响 4. 用于衡量中位数的代表性
5. 可用于顺序数据、数值型数据，但不 能用于分类数据
顺序数据的四分位数
四分位数为 Q1 = 不满意 Q3 = 一般
四分位差
甲城市 (户) 累计次数
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
24 132 225 270 300
合计
300
—
解：设非常不满意为1, 不满意为2, 一般为3, 满 意为 4, 非常满意为5 。 已知
甲城市家庭对住房状况评价的次数分布
回答类别
甲城市 次数 (户) 累计次数
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
24 132 225 270 300
合计
300
—
解：Q1位置= 300×(1/4) =75 Q3位置 =300×(3/4 ) =225
从累计频数看， Q1在“ 不 满意”这一组别中； Q3在 “一般”这一组别中
2. 差异量数包括：全距、四分位差、百分位差、 平均差、标准差与方差等等。
第一节 全距与百分位差
一、全距
1. 定义 全距(range)又称两极差，用符号R表示，
是说明数据离散程度的最简单统计量。
2. 计算
排序后 RXma xXmin

心理与教育统计学第4章差异量数

（4.21）
4.3.2 标准分数
某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94.2分，乙生得89.1分，求甲、乙两个学生的Z分数各是多少？
Z分数乘以标准差即为原始分到平均值的距离。
Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量。
标准分数的性质
所有原始分数的Z分数的平均数为0
58×0.8=46.4 46.4-40=6.4 6.4×0.71=4.54 4.54+79.5=84.04
84.50
83.79
83.07
82.36
81.64
80.93
80.21
79.50
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限；
01
fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数；
学生身高标准分数分布
(4) 若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数为均值为0、标准差为1的标准正态分布。
标准分数转换对数据分布的基本形状没有影响
01
04
02
03
可比性。不同性质的原始分数，转化为标准分数后可以进行比较。
可加性。标准分数为抽象数值。
明确性。可以知道该分数在全体分数中的位置。
稳定性。 假设有两套测量某种能力心理测验，同一个人做，其原始分可能差异较大，但是标准分较为稳定。
4.1.5 四分位差
其中：
（4.6）
四分位差：
用次数分布表计算四分位差
成绩
频数f
累加频数
95－
2
58
90－
3
56
85－
6
53
80－
7
47
75－
8

教育统计学第四章 差 异 量


次数分布表的平均差的计算
如果已知次数分布表来计算平均差， 如果已知次数分布表来计算平均差，可 采用下面的公式
AD =
∑ f x −x ∑f
i i i
例3 56名学生数学成绩的次数分布表计 名学生数学成绩的次数分布表计 算步骤见表4-1。 算步骤见表 。
表4-1 56名学生数学成绩的次数分布表 名学生数学成绩的次数分布表
一、方差和标准差的定义 一组数据离差平方的算术平均数，称 一组数据离差平方的算术平均数， 方差。具体地说， 为方差。具体地说，就是一组数据中每个 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 数据与该组平均数之差的平方，求其总和， 再除以数据的个数。 表示方差: 再除以数据的个数。用б2表示方差
方差的计算公式： 方差的计算公式：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：
σ =
2 x
∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i

2
σx =
∑fx
N
2 i i
∑fx
N
i i

2
二、标准差的性质
1、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 、数据组中每一个数据都加上同一个常数后， 该数组的标准差不变。 该数组的标准差不变。

4 差异量数


0
Starting Salary
jinggangshan
第四章 差异量数
•差异量数就是描述一组数据离中趋势的量数。
•集中量数虽然能较好地描述一组数据的集中趋势，但 这还远远不够，它还不能代表一列数据分布的全貌。 客观世界的事物总是千差万别的，这其中不仅有质的 差异，而且还有量的差异，这种事物的差异则是统计 分布的另种特征——离中趋势或离散程度 。
•差异量数主要有：全距 (Range) 、四分位差 (Quartile) 、 百分位距(Percent Rank)、平均差(AD)、方差和标准差 (Variance & SD) 、差异系数(相对标准差CV).
jinggangshan
全距
• 全距是指一列数据最大差距，即一列数 据中最大数与最小数的差距，又称极差， 用符号RN（Range）表示. • 全距意义简明，计算简单，但容易受极 端数据的影响，不反映全部数据的差异 情况 ，使用价值极小。
jinggangshan
四分位差(Quartile)
N i Q1 LQ1 Fb 4 fQ1
N i Q3 LQ3 Fb 4 fQ3
jinggangshan
N i Q90 LQ90 Fb 4 fQ90
N i Q10 LQ10 Fb 4 fQ10
jinggangshan
•平均差(AD）
•是指一组数据的离差绝对值的算术平均数。 •未归表数据求平均差； •已归表数据求平均差。
0 0. 50 62 0.0 50 57 .0 0 50 52 0.0 50 47 0.0 50 42 0.0 50 37 .0 0 50 32 0.0 50 27 0.0 50 22 .0 0 50 17 0.0 50 12 0 . 00 75

第四章 差异量数


通过比较：方差、标准差的价值较大，由于方 通过比较：方差、标准差的价值较大， 差具有可分解性， 差具有可分解性，能做进一步的数据分析和检 因此应用较广，被称为高效差异量 高效差异量。 验，因此应用较广，被称为高效差异量。
五、 标准差的应用
CV） 一）、差异系数（coefficient of variation CV） ）、差异系数（ 差异系数
R = Xmax − Xmin
（公式4-1） 公式 ）
全距的特点： 全距的特点： 1.全距是最简单、最易理解的差异量数； 全距是最简单、最易理解的差异量数； 全距是最简单 2.计算最简单； 计算最简单； 计算最简单 3.也是最不可靠、最不稳定的差异量数。 也是最不可靠、最不稳定的差异量数。 也是最不可靠
2.但是在计算时要对离均差求绝对值，不利于进一步做统计 但是在计算时要对离均差求绝对值， 但是在计算时要对离均差求绝对值 分析，在实践中应用较少。 分析，在实践中应用较少。
和标准差（ ） 三、方差（s2）和标准差（s） 方差（
一）、定义 ）、定义
方差（variance）也称变异数，是每个数据离均差乘方后 方差（variance）也称变异数，是每个数据离均差乘方后 变异数 离均差乘方 的平均值。 的平均值。 2
100
Q3 − Q1 Q= 2
0
Q1
Q3
成绩
95 ~ 90 ~ 85 ~ 80 ~ 75 ~ 70 ~ 65 ~ 60 ~ 55 ~ 50 ~ 45 ~
频数f
2
2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
累积频数
52 50 48 45 40 32 21 12 7 3 1
计
算
3N − Fb Q 3 =L b + 4 •i f
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样本的标准差为： S=∑（X-）2n-1=∑x2n-1
四、分组数据的标准差和方差
在需要手工计算大量数据的时候，通 常的策略是先对数据进行分组。上一章中 已经提及分组数据的平均数、中位数的计 算方法，那么分组数据的标准差和方差又 是如何计算的呢？公式如下：σ=∑f（Xc-） 2N或σ=∑fX2cN-（∑fXcN）2
6.假定数据服从正态分布，求总体中小于-2σ的 百分比以及大于+3σ的百分比。
练习与思考
7.有些统计书中将数据集的异常值定义为距离其 均值三个标准差的测量值，其根据是什么？
8.假设某数据集近似服从正态分布，那么其全距 与标准差之间的关系如何？
9.某班期末考试，语文平均成绩为82分，标准差 为6.5分；数学平均成绩为75分，标准差为5.9分； 外语平均成绩为66分，标准差为8分。问哪一科成 绩的离散程度大？
R=Xmax-Xmin
第二节 平均离差、方差和标准差
一、平均离差
平均离差（average mean deviation）是所有原始 数据与平均数离差的平均值。一般用符号 AMD表示。
AMD=∑(X-)n=∑xn
二、方差
为了避免负数的出现，最好的办法是 取离均差的平方，然后相加起来，就得到 了离均差的平方和，即∑（X-）2 ，用这 个平方和再除以总个数，得到的值就是方 差。
练习与思考
4.某工厂制造一种手电筒电池，该工厂声称其制 造的电池中，至少有96％的电池寿命为95~105小 时，该厂随机抽取1 000节电池进行测试，测得平 均寿命为100小时，若该厂的声明是正确的，那么 样本标准差的最大可能值是多少？
5.已知某组数据近似正态分布，平均数是50，标 准差是5。那么，有多少人的成绩在平均数上下 一个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 两个标准差之内？有多少人的成绩在平均数上下 三个标准差之内？
总体的方差为： σ2=∑(X-μ)2N=∑x2N
样本方差为： S2=∑(X-X)n=∑x2n
三、标准差
由于使用了平方，所以导致方差的单 位和原始数据的单位不同。为了解决这个 问题，我们取方差的平方根，得到的值称 为标准差。这样，标准差的单位和原始数 据的单位就一样了。
总体的标准差为： σ=∑（X-μ）2N=∑x2N
Q=Q3-Q12
第六节 标准分数
标准分数是以标准差为单位表示一个原始 分数在团体中所处位置的相对位置量数。 它说明了原始数据距离平均数有多少个标 准差，符号为z。
z=X-s=xs 其中，X代表原始数据；为一组数据的平均
数；sБайду номын сангаас标准差。
本章要点
1.差异量是表示数据之间差异程度的量。 2.差异量主要有全距、百分位距、四分位差、
第四节 相对地位量数：百分位差和 百分等级
一、百分位数 百分位数（percentile），又叫百分位点，
是指量尺上的一点，在此点以下的数据分 布中数据个数占总体个数的百分比。第P个 百分位数（P percentile）就是指在其值为P 的数据以下，包括分布中全部数据的百分 之P，其符号为Pp。 Pp=Lb+p100×N-Fbf×i
二、百分等级
反过来，利用百分位数的计算公式也 可以计算出任意分数在整个分数分布中所 处的百分位置，称为该分数的百分等级 （percentile rank,即PR）。 PR=100N×Fb+f(X-Lb)i
第五节 四分位差
四分位差是指在一个次数分布中，中 间50％次数的全距的一半，即25％位数与75 ％位数之间全距的一半，即为这组数据的 四分位差。
五、合成总标准差
由于方差具有可加性，在已经知道了 部分数据的标准差和方差的情况下，可以 求出全部数据的方差和标准差。比如，先 了解各班小学生的心理健康状况，再了解 全校小学生总的心理健康状况。
由各部分的标准差计算总的标准差的公式如下：
σt=∑Ni（σ2i＋d2i）Nt di=i-t
六、方差与标准差的性质和意义
10.求表4—7数据的四分位差。
练习与思考
11. 90名学生的语文成绩如表4—8，请分别求其平 均数、中位数、标准差和四分位差。
12.我们想知道12名学员经过一个阶段的学习后成 绩的情况。假设12名学员的考核成绩分别是：
98，93，62，65，66，90， 87，78，86，81，85，83 怎样比较每位考生的成绩？
第四章 差异量数
第一节 全距 第二节 平均离差、方差和标准差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数：百分位差和百分等级 第五节 四分位差 第六节 标准分数
学习目标
1.掌握各种差异量数的概念、性质。 2.掌握各种差异量数的计算方法和运用。
第一节 全距
全距又称两极差，用符号R表示。把一组数 据按从小到大的顺序排列，用最大值减去 最小值所得的数值，就是全距。
1.方差的性质 2.标准差的性质 3.方差和标准差的意义
第三节 差异系数
差异系数又称相对标准差，即标准差与 平均数之比，用符号表示为CV，公式为： CV=σ×100%
标准差反映了使用同一种测量工具对同一 个特质进行测量时数据的离散程度，但是 如果两个及以上的样本因为使用的观察工 具不同、特质不同，或虽然单位相同但平 均数相差较大时，就需要使用差异系数来 表示各组数据的离散程度。
平均差和标准差、差异系数等。 3.全距、百分位距和四分位差都是利用数据中
的某些百分位数计算得到。 4.平均差和标准差需要每个数据参与运算，结
果可信，比较常用。 5.差异系数用于比较不同变量的差异程度，或
同一变量在不同群体之间的差异程序。
练习与思考
1.某年级四个班学生人数分别为50人，52人，48人， 51人。期末数学考试各班的平均成绩分别是90分， 85分，88分，92分，标准差分别为6分，5.5分，7 分，8.2分。求年级成绩的标准差。
2.请证明：对于任意的样本x1， x2， x3，…，xn， 当且仅当a=x1+x2+x3+…+xnn时的∑（xi-a）2 取值 最小。
3.下述度量是某一长度测量的样本：n=10 000,=20.0cm，σ2=0.25cm2，利用切比雪夫定理， 求该样本落入区间19.0cm~21.0cm内的观测值至少有 多少个。