2018-2019学年安徽省合肥市蜀山区九年级第一学期期末数学试卷

2018-2019学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分每小题都给出A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的，不选、选错或多选的一律得0分）1．（4分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是()A．B．C．D．2．（4分）一斜坡的坡角为45︒，则其坡度为()A．31:3B．1:3C．1:1D．1:23．（4分）若要得到函数2(3)4y x =++的图象，只需将函数2y x =的图象()A．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度C．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度4．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒．若3AB =，1BC =，则cos A 的值为()A．13B．22C．223D．35．（4分）如图，AOB COD ∆∆∽，:7:5OA OC =，A x ∠=︒，C y ∠=︒，AOB ∆与COD ∆的面积分别是1S 和2S ，AOB ∆与COD ∆的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是()A．57BO CD =B．57x y=C．1257S S =D．1257C C =6．（4分）如图，反比例函数ky x=的图象经过点(4,1)A ，当1y <时，x 的取值范围是()A．0x <或4x >B．04x <<C．4x <D．4x >7．（4分）下列命题是真命题的是()A．过三点可以确定一个圆B．所有的相似图形都是位似图形C．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则tan tan 1A B = D．已知函数221y x x =--，当03x 时，则y 的取值范围是12y - 8．（4分）如图，A ，B 是O 上的两点，C 是O 上不与A ，B 重合的任意一点，如果142AOB ∠=︒，那么ACB ∠的度数为()A．71︒B．142︒C．71︒或142︒D．71︒或109︒9．（4分）已知函数222(0)y ax ax b a =-+<，当自变量x m =时，y b a =-；当自变量x n =时，y b a =-，且m n ≠；则下列关于m ，n 的关系正确的是()A．1m n -=B．2m n -=C．1m n +=D．2m n +=10．（4分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，3AD =，连接AC ，点E 为AC 上一个动点，点F 为BC 上一个动点，连接BE 、EF ，且始终满足ABE BFE ∠=∠，则线段BF 的最小值为()A．1B．323D．2二、填空題（本大题共4小题，每小题5分，满分20分11．（5分）二次函数244y x x =-+的图象与x 轴的交点坐标为．12．（5分）圆心角为120︒，半径为6cm 的扇形的弧长是cm ．13．（5分）如图，点M ，N 是反比例函数(0)ky x x=<图象上的两点，过点M ，N 分别作MA x ⊥轴于点A ，NB x ⊥轴于点B ，连接BM ，ON ，已知点(2,0)B -，2AM =，3ABM S ∆=，则BON S ∆=14．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，20BC =，点M 是AB 的中点，点N 是AC 的中点，连接MN ，点P 是边BC 上一点，17PC =，点Q 是线段PC 上的一个动点，连接MQ ，PN ，MQ 与PN 相交于点R ．若PQR ∆是直角三角形，则MR 的长是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：213tan 30cos 452sin 60cos 60︒-︒+-︒︒．16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC ∆的顶点均在格点上，点A 的坐标为(2,2)．（1）以点B 为位似中心，将ABC ∆放大到原来的2倍得到△11A BC ，在网格中画出图形；（2）在网格中，画出将ABC ∆绕原点O 按逆时针旋转90︒所得到的△222A B C ，并直接写出点2C 的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）已知抛物线22(0)y x bx c a =++≠经过点(1,5)-，(0,3)-（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．18．（8分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =寸，10CD =寸，求直径AB 的长．请你解答这个问题．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，某数学兴趣小组为了测量教学楼AB 的高度，测得教学楼与实验楼之间距离为40米，又在实验楼的窗户D 处，测得教学楼顶端A 的仰角为30︒，底端B 的俯角为10︒，请根据以上数据，求出教学楼AB 的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，2 1.41≈，3 1.73)≈20．（10分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，22BAC DBC ECB ∠=∠=∠，AF 平分BAC ∠交BC 于点F ，4AB =，3AC =．（1）求证：ABF CBE ∆∆∽；（2）求:BD CE 的值．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，点A 、B 、D 均在O 上，直径BC 平分ABD ∠，//CM AB 交BD 于点M ，延长BD 至点N ，使得MN MC =，连接CN ．（1）求证：CN 与O 相切；（2）若8AC =，10CM =，求AB 的长．七、（本题满分12分）22．（12分）某品牌钢笔的进价为20元/支，经销商小周在销售中发现，每月销售量y （支)与销售单价x （元)之间满足一次函数10500y x =-+的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%．（1）设小周每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？并求出每月的最大利润．八、（本题满分14分）23．（14分）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 上的点，:BE AE n =，连结DE 、BD ，过点A 作AG DE ⊥，垂足为点F ，与BC 、BD 分别交于点G 、H ，连结EH ．（1）①求证：AE BG =；②求证：:1DH BH n =+；（2）如图2，当//EH AD 时，求n 的值．2018-2019学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分每小题都给出A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的，不选、选错或多选的一律得0分）1．（4分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．2．（4分）一斜坡的坡角为45︒，则其坡度为()A．31:3B．1:3C．1:1D．1:2【解答】解： 一斜坡的坡角为45︒，tan 451∴︒=，则其坡度为：1:1．故选：C ．3．（4分）若要得到函数2(3)4y x =++的图象，只需将函数2y x =的图象()A．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度C．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度【解答】解： 抛物线2(3)4y x =++的顶点坐标为(3,4)-，抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0)，∴将抛物线2y x =先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出抛物线2(3)4y x =++．故选：B ．4．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒．若3AB =，1BC =，则cos A 的值为()A．13B．22C．223D．3【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB =，1BC =，由勾股定理可知22223122AC AB BC =-=-=，则22cos 3AC A AB ==．故选：C ．5．（4分）如图，AOB COD ∆∆∽，:7:5OA OC =，A x ∠=︒，C y ∠=︒，AOB ∆与COD ∆的面积分别是1S 和2S ，AOB ∆与COD ∆的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是()A．57BO CD =B．57x y=C．1257S S =D．1257C C =【解答】解：A 、AOB COD ∆∆ ∽，::7:5AB CD OA OC ∴==，57AB CD ∴=，本选项错误；B 、AOB COD ∆∆ ∽，A C ∴∠=∠，x y ∴=，本选项错误；C 、AOB COD ∆∆ ∽，∴2127()5S S =，122549S S ∴=，本选项错误；12C C ，D 、AOB COD ∆∆ ∽，∴1275C C =，1257C C ∴=，本选项正确；故选：D ．6．（4分）如图，反比例函数ky x=的图象经过点(4,1)A ，当1y <时，x 的取值范围是()A．0x <或4x >B．04x <<C．4x <D．4x >【解答】解： 反比例函数ky x=的图象经过点(4,1)A ，∴当1y <时，0x <或4x >．故选：A ．7．（4分）下列命题是真命题的是()A．过三点可以确定一个圆B．所有的相似图形都是位似图形C．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则tan tan 1A B = D．已知函数221y x x =--，当03x 时，则y 的取值范围是12y - 【解答】解：A 、过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，本选项说法错误，是假命题；B 、所有的相似图形不等于都是位似图形，本选项说法错误，是假命题；C 、在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则tan tan 1A B = ，是真命题；D 、已知函数221y x x =--，当03x 时，则y 的取值范围是22y - ，本选项说法错误，是假命题；故选：C ．8．（4分）如图，A ，B 是O 上的两点，C 是O 上不与A ，B 重合的任意一点，如果142AOB ∠=︒，那么ACB ∠的度数为()A．71︒B．142︒C．71︒或142︒D．71︒或109︒【解答】解：如图1，1712ACB AOB ∠=∠=︒．如图2，1712ADB AOB ∠=∠=︒，180ADB ACB ∠+∠=︒ ，109ACB ∴∠=︒．综上ACB ∠的度数为71︒或109︒．故选：D ．9．（4分）已知函数222(0)y ax ax b a =-+<，当自变量x m =时，y b a =-；当自变量x n =时，y b a =-，且m n ≠；则下列关于m ，n 的关系正确的是()A．1m n -=B．2m n -=C．1m n +=D．2m n +=【解答】解：函数222y ax ax b =-+的对称轴为直线21222a x a -=-=⨯，函数222(0)y ax ax b a =-+<，当自变量x m =时，y b a =-；当自变量x n =时，y b a =-，且m n ≠，∴122m n +=，解得，1m n +=，故选：C ．10．（4分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，3AD =，连接AC ，点E 为AC 上一个动点，点F 为BC 上一个动点，连接BE 、EF ，且始终满足ABE BFE ∠=∠，则线段BF 的最小值为()A．1B．323D．2【解答】解： 四边形ABCD 为矩形，90ABC ∴∠=︒，AB CD =，AD BC =，3AB = ，3AD =，BC ∴∴由勾股定理得：223923AC AB BC +=+=3tan 3ACB ∠=，30ACB ∴∠=︒，60BAC ∠=︒，ABE BFE ∠=∠ ，90ABC ABE EBF BFE EBF ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，90BEF ∴∠=︒，∴取BF 中点O ，E 在以BF 为直径的圆上，2BF OE ∴=，∴当OE 取最小值时，BF 也为最小值，E 为AC 上的动点，∴当OE AC ⊥时，OE 最短，30ACB ∠=︒ ，2OE CO ∴=，设BO x =，则OE x =，3CO BC BO x =-=-，23x x ∴=-，1x ∴=，1BO OE ∴==，22BF BO ∴==．故选：D ．二、填空題（本大题共4小题，每小题5分，满分20分11．（5分）二次函数244y x x =-+的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)．【解答】解：令0y =，则2440x x -+=，即2(2)0x -=．解得122x x ==，所以，此二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)．故答案是：(2,0)．12．（5分）圆心角为120︒，半径为6cm 的扇形的弧长是4πcm ．【解答】解：由题意得，120n =︒，6R cm =，故可得：4180n Rl cm ππ==．故答案为：4π．13．（5分）如图，点M ，N 是反比例函数(0)ky x x=<图象上的两点，过点M ，N 分别作MA x ⊥轴于点A ，NB x ⊥轴于点B ，连接BM ，ON ，已知点(2,0)B -，2AM =，3ABM S ∆=，则BON S ∆=5【解答】解：MA x ⊥ 轴于点A ，2AM =，132ABM S AB AM ∆∴== ，即3AB =．(2,0)B - ，即2OB =，235OA OB AB ∴=+=+=，(5,2)M ∴-，代入反比例解析式得：5210k =-⨯=-，即10y x =-，则1||52BON S k ∆==．故答案为：5．14．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，20BC =，点M 是AB 的中点，点N 是AC 的中点，连接MN ，点P 是边BC 上一点，17PC =，点Q 是线段PC 上的一个动点，连接MQ ，PN ，MQ 与PN 相交于点R ．若PQR ∆是直角三角形，则MR 的长是256或5013．【解答】解：如图，过点N 作NE BC ⊥，MQ BC ⊥于点Q ，此时90PQR ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，AB AC =，20BC =，BC ∴=，45B C ∠=∠=︒AB AC ∴==点M 是AB 的中点，点N 是AC 的中点，//MN BC ∴，1102MN BC ==，BM CN ==，NE BC ⊥ ，MQ BC ⊥，//NE MQ ∴，//MN EQ∴四边形MNEQ 是平行四边形，且MQ BC ⊥，∴四边形MNEQ 是矩形，10EQ MN ∴==，NE MQ =，CN = ，45C ∠=︒，NE CE ⊥CE ∴=，15CQ CE EQ ∴=+=，5MQ NE ==，2PQ ∴=，//MN BC ，∴1052MN MR PQ RQ ===，5MR RQ ∴=，5MR RQ MQ +==，256MR ∴=，若90PR Q ''∠=︒，NE ，12CE -=，13NP ∴==，/MN MNP NPE ∴∠=∠，且NEP MR N '∠=∠，NEP ∴∆∽△MR N '，∴MN MR NP NE'=5013MR '∴=故答案为：256或5013．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：213tan 30cos 452sin 60cos 60︒-︒+-︒︒．【解答】解：原式213212=-+-⨯122=+32=．16．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC ∆的顶点均在格点上，点A 的坐标为(2,2)．（1）以点B 为位似中心，将ABC ∆放大到原来的2倍得到△11A BC ，在网格中画出图形；（2）在网格中，画出将ABC ∆绕原点O 按逆时针旋转90︒所得到的△222A B C ，并直接写出点2C 的坐标．【解答】解：（1）△11A BC 即为所求；（2）△222A B C 即为所求；点2C 的坐标为(1,4)-．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）已知抛物线22(0)y x bx c a =++≠经过点(1,5)-，(0,3)-（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）将点(1,5)-，(0,3)-代入解析式可得：253b c c ++=-⎧⎨=-⎩，解得：43b c =-⎧⎨=-⎩，则抛物线解析式为2243y x x =--；（2）2243y x x =-- 22(2)3x x =--22(211)3x x =-+--22(1)5x =--，∴抛物线的顶点坐标为(1,5)-．18．（8分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =寸，10CD =寸，求直径AB 的长．请你解答这个问题．【解答】解：如图所示，连接OC ．弦CD AB ⊥，AB 为圆O 的直径，E ∴为CD 的中点，又10CD = 寸，152CE DE CD ∴===寸，设OC OA x ==寸，则2AB x =寸，(1)OE x =-寸，由勾股定理得：222OE CE OC +=，即222(1)5x x -+=，解得：13x =，26AB ∴=寸，即直径AB 的长为26寸．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，某数学兴趣小组为了测量教学楼AB 的高度，测得教学楼与实验楼之间距离为40米，又在实验楼的窗户D 处，测得教学楼顶端A 的仰角为30︒，底端B 的俯角为10︒，请根据以上数据，求出教学楼AB 的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，2 1.41≈，3 1.73)≈【解答】解：过点D 作DE AB ⊥于点E ，在Rt ADE ∆中，90AED ∠=︒，tan 1AE DE∠=，130∠=︒，31tan 140tan 304040 1.7323.133AE DE ∴=⨯∠=⨯︒=⨯⨯⨯≈在Rt DEB ∆中，90DEB ∠=︒，tan 2BE DE ∠=，210∠=︒，tan 240tan10400.187.2BE DE ∴=⨯∠=⨯︒≈⨯=，23.17.230.3AB AE BE ∴=+≈+=米．20．（10分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，22BAC DBC ECB ∠=∠=∠，AF 平分BAC ∠交BC 于点F ，4AB =，3AC =．（1）求证：ABF CBE ∆∆∽；（2）求:BD CE 的值．【解答】（1）证明：AF 平分BAC ∠，22BAC BAF CAF ∴∠=∠=∠，22BAC DBC ECB ∠=∠=∠ ，BAF CAF DBC ECB ∴∠=∠=∠=∠，又ABF CBE ∠=∠ ，ABF CBE ∴∆∆∽；（2）解：由CAF DBC ∠=∠，ACF BCD ∠=∠，ACF BCD ∴∆∆∽，∴AF AC BD BC =，AC BD AF BC ∴= ，ABF CBE ∆∆ ∽，∴AF AB CE CB =，AB CE AF CB ∴= ，AC BD AB CE ∴= ，∴43BD AB CE AC ==．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，点A 、B 、D 均在O 上，直径BC 平分ABD ∠，//CM AB 交BD 于点M ，延长BD 至点N ，使得MN MC =，连接CN ．（1）求证：CN 与O 相切；（2）若8AC =，10CM =，求AB 的长．【解答】解：（1）BC 平分ABD ∠，ABC NBC ∴∠=∠，//CM AB ，ABC MCB ∴∠=∠，NBC MCB ∴∠=∠，MN MC = ，NCM MNC ∴∠=∠，180NBC NCB BNC ∠+∠+∠=︒ ，180NBC MCB NCM BNC ∴∠+∠+∠+∠=︒，22180MCB NCM ∴∠+∠=︒，90NCB ∴∠=︒，CN ∴与O 相切；（2）连接CD ，BC 为O 的直径，90CAB CDB ∴∠=∠=︒，ABC NBC ∠=∠ ，ACB DCB ∴∠=∠，AC CD =，8AC CD ∴==，ACB DCB ∠=∠ ，AB BD ∴=，NBC MCB ∠=∠ ，BM ∴=6DM ∴===，BD ∴=16AB ∴=．七、（本题满分12分）22．（12分）某品牌钢笔的进价为20元/支，经销商小周在销售中发现，每月销售量y （支)与销售单价x （元)之间满足一次函数10500y x =-+的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%．（1）设小周每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？并求出每月的最大利润．【解答】解：（1）根据题意，得(20)w x y=- (20)(10500)x x =--+21070010000x x =-+-．x 的取值范围是2032x ．（2）21070010000w x x =-+- 210(35)2250x =--+100-< ，∴抛物线开口向下，∴当2032x 时，w 随x 的增大而增大，∴当32x =时，w 最大为2160答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润为2160元．八、（本题满分14分）23．（14分）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 上的点，:BE AE n =，连结DE 、BD ，过点A 作AG DE ⊥，垂足为点F ，与BC 、BD 分别交于点G 、H ，连结EH ．（1）①求证：AE BG =；②求证：:1DH BH n =+；（2）如图2，当//EH AD 时，求n 的值．【解答】证明：（1）① 四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴=，90DAB ABC ∠=∠=︒，90DAG BAG ∴∠+∠=︒，AG DE ⊥ ，90DAG ADF ∴∠+∠=︒，BAG ADF ∴∠=∠，且AD AB =，DAB ABG ∠=∠，()ADE BAG ASA ∴∆≅∆，AE BG ∴=．②ADE BAG ∆≅∆ ，BG AE ∴=，四边形ABCD 是正方形//AD BC ∴ADH GBH ∴∆∆∽∴DH AD BH BG =，:BE AE n = ，BG AE =，AD AB =，∴1DH AD AB AE BE AE nAE n BH AG AE AE AE++=====+．（2）解：设BG AE k ==，则BE nk =，//EH AD 90BEH BAD ∴∠=∠=︒，45EHB ADB ∠=∠=︒，且45ABD ∠=︒EHB ABD ∴∠=∠BE EH nk ∴==，//EH AD AEH ABG ∴∆∆∽，∴AE EH AB BG =，∴k nk k nk k =+，n > 512n ∴=．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】解：∵个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，∴它的一半是60°，它的邻补角也是60°，∴上面的小三角形是等边三角形，∴上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1，故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是1．故选B ．2．一个小正方体沿着斜面AC 前进了10 米，横截面如图所示，已知290AB BC ABC =∠=︒，，此时小正方体上的点N 距离地面AB 的高度升高了( )A ．5米B ．25C ．45D ．103米 【答案】B 【分析】根据题意，用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．【详解】解：Rt △ABC 中，AB=2BC ，设BC=x ，则AC=2x ，根据勾股定理可得，x 2+（2x ）2=102，解得x=25x=5-，即小正方体上的点N 距离地面AB 的高度升高了25米，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理的知识，此题比较简单．3．若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（ ）A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶8D ．1∶16【答案】D【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4∴它们的面积之比为1∶16故选D.【点睛】本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相似三角形的性质，即可完成. 4．如图，△ABO ∽△CDO ，若6BO =，3DO =，2CD =，则AB 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.【详解】解：∵△ABO ∽△CDO∴OB AB OD CD= ∴632AB = 解得：AB=4 故答案为C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解. 5．（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3y x=的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．22D ．42 【答案】D 【解析】试题解析：过点A 作x 轴的垂线，与CB 的延长线交于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数y=3x的图象上且纵坐标分别为3，1， ∴A ，B 横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22， S 菱形ABCD =底×高=22×2=42，故选D ．考点：1.菱形的性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征．6．若0ab <，则函数y ax =与b y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】根据0ab <及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从00a b ><，和00a b ，两方面分类讨论得出答案．【详解】∵0ab <，∴分两种情况：（1）当00a b ><，时，正比例函数y ax =数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当00a b ，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B 符合．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质．7．若35a b =，则a b b -的值是（ ） A ．25 B ．25- C ．85 D ．85- 【答案】B【分析】解法一：将a b b-变形为1-a b ，代入数据即可得出答案. 解法二：设3a k =，5b k =，带入式子约分即可得出答案.【详解】解法一：32=155--=-=-a b a b b b b 解法二：设3a k =，5b k =则352=55--=-a b k k b k 故选B.【点睛】本题考查比例的性质，将比例式变形，或者设比例参数是解题的关键.8．如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【详解】∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB∴△ABC ∽△ACD ，△ACD ∽△CBD ，△ABC ∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C ．【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．9．如图，已知ΔABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD ：DE=2：3，AE=10，BD=5,则DC 的长是（ ）A．103B．245C．152D．154【答案】B【分析】根据∠C=∠E以及∠BDE=∠ADC，可以得到△BDE∽△ADC，由AD：DE=2：3，AE=10，可以求出AD和DE的值，再利用对应边成比例，即可求出DC的长．【详解】解：∵∠C=∠E，∠BDE=∠ADC∴△BDE∽△ADC∵AD：DE=2：3，AE=10∴AD=4，DE=6∴BD DE AD DC=∴564DC=，解得：DC=245故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练找出相似三角形以及列出对应边成比例的式子是解决本题的关键．10．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是( ) A．B．－C．4 D．－1【答案】A【解析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a=（）2=．故选A．11．方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．任何实数．B．m≠0C．m≠2D．m≠﹣2【答案】C【分析】根据二次项系数不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】∵方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，∴m ﹣2≠0，解得，m≠2，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，掌握一元一次方程的性质以及应用是解题的关键．12．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，下列条件中不能判断△ABP ∽△ACB 的是（ ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C ．AB 2＝AP•ACD ．CB 2＝CP•CA【答案】D 【分析】观察图形可得, ABP ∆与ACB ∆已经有一组角∠A 重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠A 的两条边对应成比例. 注意答案中的C 、D 两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.【详解】解: A 项, ∠ABP =∠C ,可以判定;B 项, ∠APB =∠ABC ,可以判定;C 项, 2AB AP AC =•,AB AP AC AB=,可以判定; D 项, 2CB CP CA =•,CB CP CA CB=,不能判定. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π－1【分析】延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC ，CB 交⊙O 于M ，N ， 则图中阴影部分的面积＝14×（S 圆O −S 正方形ABCD ）＝14×（4π−4）＝π−1， 故答案为π−1．【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．14．已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,5A、()4,5B ，那么此抛物线的对称轴是___________． 【答案】直线2x =【分析】根据点A 、B 的纵坐标相等判断出A 、B 关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．【详解】解：∵点()0,5A 、()4,5B 的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线0422x +==． 故答案为：直线2x =．【点睛】此题考查二次函数的性质，观察出A 、B 是对称点是解题的关键．15．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机柚取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．【答案】500【分析】次品率100%=⨯次品数产品总数，根据抽取的样本数求得该批产品的次品率之后再乘以产品总数即可求解.【详解】解：51005%÷=， 100005%500⨯=（件）【点睛】本题主要考查了数据样本与频率问题，亦可根据比例求解.16．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为_________．【答案】5【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．【详解】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH= 12OA=12×（3-1）=1．∵直角△AOE中，∠OAE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，同理△PHE中，HE=PH=1．∴HG=HE+EG=1+1=2．∴在Rt△PHG中，PG= 2222125PH HG++=5【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．17．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数，则数3被抽中的概率为_________．【答案】1 5【解析】分析：直接利用概率公式求解即可求出答案.详解：从1，2，3，4，5中随机取出1个不同的数，共有5种不同方法，其中3被抽中的概率为15.故答案为1 5 .点睛：本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.18．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m+2016的值为_____．【答案】2．【分析】把x ＝m 代入方程，求出2m 2﹣3m ＝2，再变形后代入，即可求出答案．【详解】解：∵m 是方程2x 2﹣3x ﹣2＝0的一个根，∴代入得：2m 2﹣3m ﹣2＝0，∴2m 2﹣3m ＝2，∴6m 2﹣9m+2026＝3（2m 2﹣3m ）+2026＝3×2+2026＝2，故答案为2．【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，解此题的关键是能求出2m 2﹣3m ＝2．三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程：（1）()11x x x +-=；（2）23440x x --=．【答案】（1）11x =，21x =-；（2）123x =-，22x =． 【分析】（1）先去括号，再利用直接开平方法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可．【详解】（1）()11x x x +-=，210x x x +--=，21x =，∴11x =，21x =-．（2）23440x x --=，(3x+2)(x-2)=0， ∴123x =-，22x =． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键．20．如图，双曲线11k y x=（x ＞0）与直线22y k x b =+交于点A （2，4）和B （a ，2），连接OA 和OB ．（1）求双曲线和直线关系式；（2）观察图像直接写出：当1y ＞2y 时，x 的取值范围；（3）求△AOB 的面积．【答案】（1）18y x=，26y x =-+；（2）0＜x ＜2 或x ＞4 ；（3）△AOB 的面积是1． 【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，继而求得点B 坐标，再结合A 、B 坐标利用待定系数法即可求出直线解析式；（2）根据图象双曲线在直线上方的部分即可得出答案；（3）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，两线交于点F ，然后用四边形的面积减去三个三角形的面积即可求得答案．【详解】（1）∵ 点A （2,4）在双曲线11k y x=上 1248k =⨯=∴ 18y x= ∵ 点B （a ，2）也在双曲线11k y x =， ∴82a=， ∴ a=4（经检验a=4是方程的解），∵ 点A （2,4）和点B(4，2）在直线22y k x b =+上 ，∴ 222442k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线关系式为26y x =-+；（2）观察图象可得，当 1y ＞2y 时，x 的取值范围是：0＜x ＜2 或x ＞4 ；（3）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，两线交于点F ，则有OD=4，OE=4，∴四边形CDFE 是正方形，∴△AOB 的面积是：4×4-11142-42-22222⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及了待定系数法，利用函数图象求不等式的解集，求三角形的面积等，正确把握相关知识是解题的关键．21．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端档板高DE=0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°(如图3)，求此时档板最高点E离地面的高度．(精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)【答案】点E离地面的高度为8.1米【分析】延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，根据题意，在Rt△ABF中，求出AF，从而得到EF，结合Rt△EFH，求出EH即可求得结果．【详解】解：如图3所示，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，∵∠BAF=90°，∠ABF=37°，∴Rt△ABF中，AF=tan37°×AB≈0.75×8=6(米)，∴EF=AF+AD+DE=8.5，∵∠EHF=90°=∠BAF，∠BFA=∠EFH，∴∠E=37°，∴Rt△EFH中，EH=cos37°×EF≈0.80×8.5=6.8(米)，又∵底边AB离地面的距离为1.3米，∴点E离地面的高度为6.8+1.3=8.1(米)，故答案为：8.1米．【点睛】本题考查了直角三角形中锐角三角函数值的应用，同角的余角相等，仰角的定义，掌握锐角三角函数值的应用是解题的关键．22．抛物线2y x bx c =-++过点（0，-5）和（2，1）.（1）求b,c 的值；（2）当x 为何值时，y 有最大值？【答案】（1）b, c 的值分别为5, -5；（2）当52x =时y 有最大值 【分析】（1）把点代入2y x bx c =-++求解即可得到b,c 的值；（2）代入二次函数一般式中顶点坐标的横坐标求解公式进行求解即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =-++过点（0，-5）和（2，1）， ∴5421c b c =-⎧⎨-++=⎩ ,解得 55b c =⎧⎨=-⎩, ∴b, c 的值分别为5, -5.（2）a= -1 ，b=5,∴当x=522b a -=时y 有最大值. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键.23．解方程：（1）2x （x ﹣1）＝3（x ﹣1）；（2）x 2﹣3x+1＝1．【答案】（1）x 1＝1,x 2＝1.2；（2）135x +=或235x -= 【分析】(1)利用因式分解法求解可得；(2)利用公式法求解可得．【详解】解：(1)∵2x(x ﹣1)＝3(x ﹣1)，∴2x(x ﹣1)﹣3(x ﹣1)＝1，则(x ﹣1)(2x ﹣3)＝1，∴x ﹣1＝1或2x ﹣3＝1，解得x ＝1或x ＝1.2；故答案为x ＝1或x ＝1.2．(2)∵a ＝1，b ＝﹣3，c ＝1，∴△＝(-3)2﹣4×1×1＝2＞1，则x ==，1x =或2x = 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键．24．已知关于x 的一元二次方程2210.x x m -+-=（1）当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；（3）设12,x x 是这个方程的两个实根，且2212121-=+x x x x ，求m 的值.【答案】（1）2m <；（2）12m <<；（3）m 无解..【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)由根与系数的关系得出x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1，将2212121-=+x x x x 变形后代入，即可求出答案.【详解】解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根∴>0∆，即()()224110--⨯⨯->m解得2m <.（2）由一元二次方程根与系数的关系可得： 122x x +=，121⋅=-x x m ，∵方程的两根都是正数∴120x x ⋅>，即10m ->∴1m又∵2m <∴m 的取值范围为12m <<（3）∵2212121-=+x x x x∴2212121212122+-=++x x x x x x x x即()212121+=+x x x x ，将122x x +=，121⋅=-x x m 代入可得： 2112+-=m ，解得4m =.而2m <，所以m=4不符合题意，故m 无解.【点睛】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.25．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝60cm ．动点P 以6cm/s 的速度在矩形ABCD 的边上沿A →D 的方向匀速运动，动点Q 在矩形ABCD 的边上沿A →B →C 的方向匀速运动．P 、Q 两点同时出发，当点P 到达终点D 时，点Q 立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ 的面积为S(cm 2)，S 与t 的函数图象如图②所示． （1）AB ＝ cm ，点Q 的运动速度为 cm/s ；（2）在点P 、Q 出发的同时，点O 也从CD 的中点出发，以4cm/s 的速度沿CD 的垂直平分线向左匀速运动，以点O 为圆心的⊙O 始终与边AD 、BC 相切，当点P 到达终点D 时，运动同时停止．①当点O 在QD 上时，求t 的值；②当PQ 与⊙O 有公共点时，求t 的取值范围．【答案】（1）30，6；（2）①457；②15322-≤t ≤15322+． 【分析】（1）设点Q 的运动速度为a ，则由图②可看出，当运动时间为5s 时，△PDQ 有最大面积450，即此时点Q 到达点B 处，可列出关于a 的方程，即可求出点Q 的速度，进一步求出AB 的长；（2）①如图1，设AB ，CD 的中点分别为E ，F ，当点O 在QD 上时，用含t 的代数式分别表示出OF ，QC 的长，由OF ＝12QC 可求出t 的值；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，∵AP＝6t，∴S△PDQ＝12(60﹣6×5)×5a＝450，∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案为：30，6；（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，∵OF∥QC且点F是DC的中点，∴OF＝12 QC，即4t＝12(90﹣6t)，解得，t＝457；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP QH，∴150﹣20t＝，∴t如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，∵QP＝2QH，∴20t﹣150＝302，∴t＝15322+，综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：1532-≤t≤1532+．【点睛】本题考查了圆和一元一次方程的综合问题，掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、等腰直角三角形的性质是解题的关键．26．已知，如图，斜坡PA 的坡度为1:2.4，斜坡AP 的水平长度为24米.在坡顶A 处的同一水平面上有一座5G 信号塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45，在坡项A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为60.求:()1坡顶A 到地面PQ 的距离；()2信号塔BC 的高度.(3 1.73≈，结果精确到0.1米)【答案】（1）10米；（2）33.1米.【分析】（1）首先作AD PQ ⊥于D ，延长BC 交PQ 于E ，然后根据斜坡的坡度和水平长度即可得出坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）首先设BC x =米，在Rt ABC 中，解得AC ，然后在Rt BPE 中，利用45BPE ∠=︒构建方程，即可得出BC .【详解】()1作AD PQ ⊥于D ，延长BC 交PQ 于E ，则四边形ADEC 为矩形，AD CE ∴=，∵斜坡AP 的坡度为1:2.4，斜坡AP 的水平长度为24米，10AD ∴=，即坡项A 到地面PQ 的距离为10米；()2设BC x =米，在Rt ABC 中，BC tan BAC AC ∠=3=x AC， 解得33AC x =， 在Rt BPE 中，45BPE ∠=︒，PE BE ∴=，即324103x x +=+解得，2173x=+，2173217 1.7333.1BC∴=+≈+⨯≈(米)答:塔BC的高度约为33.1米.【点睛】此题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握，即可解题.27．一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片．（1）求小芳抽到负数的概率；（2）若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率．【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）由一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．（2）首先根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】（1）∵一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、－2、－3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，∴小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，∴P（小芳抽到负数）=2142=（2）画树状图如下：∵共有12种机会均等的结果，其中两人均抽到负数的有2种，∴P（两人均抽到负数）=21126=九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①0ac >；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++>④当1x >时，y 随x 的增大而减小．不．正确的说法有( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②④【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系逐个判断即可． 【详解】二次函数的图象的开口向下，与y 轴正半轴相交0,0a c ∴<>0ac ∴<，则①不正确二次函数的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)∴与x 轴的另一个交点为(1,0)-∴方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=，则②正确二次函数的图象上，1x =所对应的点位于第一象限，即0y >0a b c ∴++>，则③正确由二次函数的图象可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，则④正确综上，不正确的说法只有①故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系，掌握理解并灵活运用函数的性质是解题关键．2．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M .对于下列结论：①BAE CAD ∆∆；②MP MD MA ME ⋅=⋅；③22CB CP CM =⋅.其中正确的是（ ）A．①②③B．①C．①②D．②③【答案】A【解析】分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．详解：由已知：2AB，2AE∴AC AD AB AE＝∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD∴MP ME MA MD＝∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵2AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选A．点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．3．一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A ．至少有1个球是红球B ．至少有1个球是白球C ．至少有2个球是红球D ．至少有2个球是白球 【答案】B【解析】A. 至少有1个球是红球是随机事件，选项错误；B. 至少有1个球是白球是必然事件，选项正确；C. 至少有2个球是红球是随机事件，选项错误；D. 至少有2个球是白球是随机事件，选项错误．故选B.4．如图，AB 是O 的直径，AC ，CD 是O 的两条弦，CD AB ⊥，连接OD ，若20CAB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】D 【分析】连接AD ，由AB 是⊙O 的直径及CD ⊥AB 可得出弧BC=弧BD ，进而可得出∠BAD=∠BAC ，利用圆周角定理可得出∠BOD 的度数．【详解】连接AD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴弧BC=弧BD ，∴∠BAD=∠BAC=20°．∴∠BOD=2∠BAD=40°，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，利用圆周角定理求出∠BOD 的度数是解题的关键．5．在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π【答案】B【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．【详解】在实数|-3|，-1，0，π中，|-3|=3，则-1＜0＜|-3|＜π，故最小的数是：-1．故选B．【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．6．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．(2，3) B．(﹣2，3) C．(2，﹣3) D．(﹣2，﹣3)【答案】A【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.7．下列方程式属于一元二次方程的是（）A．330x x+-=B．212 +=xx C．221x xy+=D．22x=【答案】D【解析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可. 【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意；B、是分式方程，故不符合题意；C、是二元二次方程，故不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键.8．如图，OAB是等边三角形，且OA与x轴重合，点B是反比例函数83yx=-的图象上的点，则OAB的周长为（）A．122B．102C．92D．82【答案】A【分析】设△OAB的边长为2a，根据等边三角形的性质，可得点B的坐标为（-a，3a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出△OAB的周长．【详解】解：如图，设△OAB的边长为2a，过B点作BM⊥x轴于点M．又∵△OAB是等边三角形，∴OM=12OA=a，3，∴点B的坐标为（-a3），∵点B是反比例函数83图象上的点，∴-33解得2（负值舍去），∴△OAB的周长为：2．故选：A．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，设△OAB的边长为2a，用含a的代数式表示出点B的坐标是解题的关键．9．已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】根据题意有：xy=24；且根据x ，y 实际意义x 、y 应大于0，其图象在第一象限．故选D ． 10．已知点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）在反比例函数y=-5x 的图象上，当x 1＜x 2＜0＜x 3时，y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1 【答案】C【分析】根据反比例函数为y=-5x，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，进而得到y 1，y 2，y 3的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数为y=-5x ， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，又∵x 1＜x 2＜0＜x 3，∴y 1＞0，y 2＞0，y 3＜0，且y 1＜y 2，∴y 3＜y 1＜y 2，故选：C ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE EF ⊥，则下列结论正确的有( ) ①30BAE ∠= ②2CE AB CF = ③13CF CD = ④ABE ∆∽AEF ∆A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】由题中条件可得△CEF∽△BAE，进而得出对应线段成比例，进而又可得出△ABE∽△AEF，即可得出题中结论．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴CE CF AB BE∵E是BC的中点，∴BE=CE∴CE2=AB•CF，∴②正确；∵BE=CE=12 BC，∴CF=12BE=14CD，故③错误；∵1 tan2BEBAEAB∠==∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，∴5，5，AF=5a，∴2525255555AE a BEAF a EF a====∴AE BE AF EF=∴△ABE∽△AEF，故④正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用． 12．将抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．2y 2(x 1)3=++B ．22(1)3y x =--C ．22(1)3y x =+-D ．2y 2(x 1)3=-+ 【答案】D【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴得到的抛物线解析式为y=2（x-1）2+3，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的几何变换，熟练掌握二次函数的平移不改变二次项的系数得出新抛物线的顶点是解决本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD=5cm ，则EF=_______cm ．【答案】1【详解】∵△ABC 是直角三角形，CD 是斜边的中线，∴CD=12AB ， ∴AB=2CD=2×1=10cm ，又∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF=12×10=1cm ． 故答案为1．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．14．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，∠A ＝30°，∠APD ＝65°，则∠B ＝_____．【答案】35°【分析】先根据三角形外角性质求出∠C的度数，然后根据圆周角定理得到∠B的度数．【详解】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∴∠C＝65°﹣30°＝35°，∴∠B＝∠C＝35°．故答案为35°．【点睛】本题主要考查的是三角形的外角性质以及圆周角定理，这是一道综合性几何题，掌握三角形的外角性质以及圆周角定理是解题关键.15．一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同.从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在0.6，则可判断袋子中黑球的个数为______. 【答案】2【分析】由摸到白球的频率稳定在0.6附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．【详解】解：设黑球个数为：x个，∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，∴口袋中得到白色球的概率为0.6，∴30.6 3x=+，解得：x=2，故黑球的个数为2个．故答案为2.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．16．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-12x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．。

2018—2019学年度xxx学校九年级（上）期末试卷数学试题命题人：xxx 审题人：xxx 考试时间：120分钟满卷分值：120分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣2018B．x﹣2018=0C．﹣2018=0D．x2﹣2018=02．已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图是一个全封闭的物体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．4．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．5．二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象（）A．向左1个单位，再向上3个单位B．向右1个单位，再向上3个单位C．向左1个单位，再向下3个单位D．向右1个单位，再向下3个单位6．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC=FC；②∠AED=75°；③AF=CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．A．1 B．2C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知=3，则的值为．8．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2﹣a+b的值是．9．两个相似三角形周长之比为9：5，则面积比为．10．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠D=120°，BE=1，则AC=．11．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是．12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c=0；③4a+2b+c＜0；④若、是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中m≠）．其中说法正确的是．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．(1).计算：sin245°+cos30°•tan60°(2).如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求：的值．14．如图（1），将平行四边形剪一刀，再拼成一个与其面积相等的矩形如图（2），将菱形剪两刀，再拼成一个与其面积相等的矩形15．为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召，某校从甲、乙、丙3名老师中随机抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率．（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．（请用画树状图或列表的方法求）16．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围．（2）选取一个你喜欢的正整数值作为k的值，使方程有实数根，并解方程．17．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？19．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1=﹣x+4与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求k、m、n的值．（2）根据图象写出当y1＞y2时，x的取值范围．（3）若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M，则求出△AON的面积．20．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕，组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗，已知矩形DCFE的两边DE，DC长分别为1.6m，1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图所示，（1）求DF的长；（2）求点E到墙壁AB所在直线的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．22．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．六、（本大题共12分）23．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x2﹣2018B．x﹣2018=0C．﹣2018=0D．x2﹣2018=0【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．【解答】解：A、不是等式，不符合题意；B、为一元一次方程，不符合题意；C、为分式方程，不符合题意；D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0．2．已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵sinA=，∠A为锐角，∴∠A=30°．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3．如图是一个全封闭的物体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．【解答】解：从上面观察可得到：．故选：D．【点评】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看不见的部分用虚线表示．4．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．故选：A．【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到每个路口都是绿灯的情况数是解决本题的关键．5．二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象（）A．向左1个单位，再向上3个单位B．向右1个单位，再向上3个单位C．向左1个单位，再向下3个单位D．向右1个单位，再向下3个单位【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案．【解答】解：二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），只需将函数y=﹣2x2+4x+1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可．故选：C．【点评】本题考查函数的图象变换，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．6．正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形．以下结论：①EC=FC；②∠AED=75°；③AF=CE；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF=DE，即可得EC=CF，由勾股定理可得EF= EC，由平角定义可求∠AED=75°，由AE=AF，EC=FC可证AC垂直平分EF，则可判断各命题是否正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠C=∠D=∠DAB=90°∵△AEF是等边三角形∴AE=AF=EF，∠EAF=∠AEF=60°∵AD=AB，AF=AE∴△ABF≌△ADE∴BF=DE∴BC﹣BF=CD﹣DE∴CE=CF故①正确∵CE=CF，∠C=90°∴EF=CE，∠CEF=45°∴AF=CE，∵∠AED=180°﹣∠CEF﹣∠AEF∴∠AED=75°故②③正确∵AE=AF，CE=CF∴AC垂直平分EF故④正确故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定解决问题是本题的关键．二、（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知=3，则的值为．【分析】由已知比例式得到a=3b，将其代入所求的代数式，进行约分求值．【解答】解：由=3，得a=3b，所以==．故答案是：．【点评】考查了比例的性质．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．8．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2﹣a+b的值是3．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2﹣2a=1、a+b=2，将其代入a2﹣a+b中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴a2﹣2a=1，a+b=2，∴a2﹣a+b=a2﹣2a+（a+b）=1+2=3．故答案为：3．【点评】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．9．两个相似三角形周长之比为9：5，则面积比为81：25．【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵两个相似三角形周长之比为9：5，∴它们的相似比是9：5：∴它们的面积的比是81：25．故答案为：81：25【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两三角形的相似比是解题的关键．10．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠D=120°，BE=1，则AC= 3．【分析】分别求出AE、EC即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=120°，∴CD∥AB，∠ABC=∠D=120°，∴∠DAB=180°﹣120°=60°，∴∠BAE=∠DAB=30°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∠EBC=∠ECB=30°，∴EB=EC=1，在Rt△ABE中，∵∠EAB=30°，∴AE=2BE=2，∴AC=AE+EC=2+1=3，故答案为3．【点评】本题考查菱形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是﹣6．=S△CAB=3，再根据反比例函数【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S=S△CAB=3，△OAB=|k|，而S△OAB∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c=0；③4a+2b+c＜0；④若、是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤（其中m≠）．其中说法正确的是①②④⑤．【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：①由抛物线的开口可知：a＜0，又抛物线与y轴的交点可知：c＞0，对称轴＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②将（2，0）代入y=ax2+bx+c（a≠0），∴4a+2b+c=0，∵=，∴a=﹣b，∴﹣4b+2b+c=0，∴﹣2b+c=0，故②正确；③由②可知：4a+2b+c=0，故③错误；④由于抛物线的对称轴为x=，∴（，y1）与（，y1）关于x=对称，由于x＞时，y随着x的增大而减小，∵＞，∴y1＜y2，故④正确；⑤由图象可知：x=时，y可取得最大值，且最大值为a+b，∴m≠∴a+b+c＞am2+bm+c，∴，故⑤正确；故答案为：①②④⑤；【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．(1).计算：sin245°+cos30°•tan60°【分析】根据特殊胶，可得答案．【解答】解：sin245°+cos30°•tan60°=（）2+×=+=2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．(2).如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求：的值．【分析】由于DE∥BC，由平行线分线段成比例即可求出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∵AD=3，AB=5，∴=．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例的性质，本题属于基础题型．14．如图（1），将平行四边形剪一刀，再拼成一个与其面积相等的矩形如图（2），将菱形剪两刀，再拼成一个与其面积相等的矩形【分析】（1）可沿平行四边形的高剪切即可；（2）沿对角线剪开，拼接即可．【解答】解：（1）如图所示：，（2）如图所示：，【点评】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．15．为响应吉安市中心城区创建全国文明城市的号召，某校从甲、乙、丙3名老师中随机抽取文明行为劝导志愿者，求下列事件的概率．（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．（请用画树状图或列表的方法求）【分析】（1）由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取文明行为劝导志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1））∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取文明行为劝导志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为：；（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为：．【点评】本题考查的是列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围．（2）选取一个你喜欢的正整数值作为k的值，使方程有实数根，并解方程．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）取k=3，再利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有实数根，∴，解得：k≥﹣1且k≠0．（2）取k=3，此时原方程为3x2﹣2x﹣1=0，即（3x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式；（2）熟练掌握一元二次方程的各种解法．17．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．【分析】（1）由条件可得出∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，可得到∠BED=∠FDC，且∠B=∠C，可证得结论；（2）利用（1）结论可得出，且CD=BC﹣BD=5，代入可求得BE．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°，∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；（2）由（1）知△BDE∽△CFD，∴，∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴，解得BE=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到∠BED=∠FDC是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2016年收到微信红包金额400（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400（1+x）（1+x），由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为（2y+34）元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．【解答】解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，依题意得：400（1+x）2=484，解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，依题意得：2y+34+y=484，解得y=150所以484﹣150=334（元）．答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．19．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1=﹣x+4与反比例函数y2=（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．（1）求k、m、n的值．（2）根据图象写出当y1＞y2时，x的取值范围．（3）若一次函数图象与x轴、y轴分别交于点N、M，则求出△AON的面积．【分析】（1）把A（1，m）、B（n，1）两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；（3）先根据一次函数的解析式求出N的坐标，再利用三角形面积公式即可求出△AON 的面积．【解答】解：（1）把A（1，m）、B（n，1）两点的坐标代入y1=﹣x+4，得m=﹣1+4=3，﹣n+4=1，n=3，则A（1，3）、B（3，1）．把B（3，1）代入y2=，得k=3×1=3；（2）∵A（1，3）、B（3，1），∴由函数图象可知，y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜3；（3）∵一次函数y1=﹣x+4的图象与x轴交于点N，∴N（4，0），ON=4，∵A（1，3），∴△AON的面积=×4×3=6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算；求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．20．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日在海南博鳌拉开帷幕，组委会在会议中心的墙壁上悬挂会旗，已知矩形DCFE的两边DE，DC长分别为1.6m，1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图所示，（1）求DF的长；（2）求点E到墙壁AB所在直线的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【分析】（1）由题意知ED=1.6 m，BD=2 m，利用勾股定理得出DF=求出即可；（2）首先分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，利用sin∠DBM=，以及cos∠EDH=，求出EH，HN即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△DEF中，由题意知ED=1.6 m，BD=2 m，DF==2．答：DF长为2m．（2）分别做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分别为点M、N、H，在Rt△DBM中，sin∠DBM=，∴DM=2•sin35°≈1.14．∵∠EDC=∠CNB，∠DCE=∠NCB，∴∠EDC=∠CBN=35°，在Rt△DEH中，cos∠DEH=，∴EH=1.6•cos35°≈1.31．∴EN=EH+HN=1.31+1.14=2.45≈2.5m．答：E点离墙面AB的最远距离为2.5 m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构造角三角形得出EH，HN的长度是解题关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，CD=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC于M，根据AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，利用三角形面积解答即可．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，有∠A=∠D=90°，∴∠DGH+∠DHG=90°．在菱形EFGH中，EH=GH∵AH=2，DG=2，∴AH=DG，∴△AEH≌△DHG．∴∠AHE=∠DGH．∴∠AHE+∠DHG=90°．∴∠EHG=90°．∴四边形EFGH是正方形．（2）过F作FM⊥DC于M，则∠FMG=90°．∴∠A=∠FMG=90°．连接EG．由矩形和菱形性质，知AB∥DC，HE∥GF，∴∠AEG=∠MGE，∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF．∵EH=GF，∴△AEH≌△MGF．∴FM=AH=2．=，∵S△FCG∴CG=2．【点评】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．22．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．【分析】（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【解答】解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），∴，∴；（3）∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，∴m2﹣m﹣6=m，即m2﹣2m﹣6=0，解得，．【点评】本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．六、（本大题共12分）23．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据PQ∥BC，得出△APQ∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，据此得出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP面积的2倍，进行计算即可．【解答】解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10﹣2t，AQ=2t，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴=，即=，解得：t=，∴当t=时，PQ∥BC；（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，∴PD∥BC，∴=，即=，解得，∴△AQP的面积，假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，=S△ABC，则有S△AQP∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，=AC•BC=24，∴S△ABC=12，∴S△AQP而S=，△AQP∴，化简得：t2﹣5t+10=0，∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，∴此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；（3）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，∴==，即==，解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t，在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=，∵当t=5时，AQ=10cm＞AC，不合题意，舍去，∴t=，==6×﹣×（）2=cm2，∵当t=时，S△AQP∴S=2S△AQP=2×=cm2．菱形AQPQ′故存在时刻t=s，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，三角形的面积计算，勾股定理的逆定理，解一元二次方程以及相似三角形的性质和判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．抛物线2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为()2y x 14=--，则b 、c 的值为A ．b=2，c=﹣6B ．b=2，c=0C ．b=﹣6，c=8D ．b=﹣6，c=2 【答案】B【详解】函数()2y x 14=--的顶点坐标为（1，﹣4），∵函数()2y x 14=--的图象由2y x bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到， ∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．∴平移前的抛物线为()2y x 11=+-，即y=x 2+2x ．∴b=2，c=1．故选B ．2．反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( ) A ．﹣8 B ．﹣4 C ．﹣ D ．﹣2【答案】D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n 的方程即可．【详解】∵点（1，-4）和点（4，n ）在反比例函数y=的图象上，∴4n=1×(-4)，∴n=-1．故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．3．如图，△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是AC 边上的动点，若△ADE 与△ABC 相似，则下列结论一定成立的是（ ）A．E为AC的中点B．DE是中位线或AD·AC=AE·ABC．∠ADE=∠C D．DE∥BC或∠BDE+∠C=180°【答案】D【分析】如图，分两种情况分析：由△ADE与△ABC相似，得，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C，故DE∥BC或∠BDE+∠C=180°.【详解】因为，△ADE与△ABC相似，所以，∠ADE=∠B或∠ADE=∠C所以，DE∥BC或∠BDE+∠C=∠BDE+∠ADE=180°故选D【点睛】本题考核知识点：相似性质.解题关键点：理解相似三角形性质.4．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，则m的值为() A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1【答案】A【分析】根据题意，分情况讨论：当二次函数开口向上时，在对称轴上取得最小值，列出关于m的一次方程求解即可；当二次函数开口向下时，在x=-1时取得最小值，求解关于m的一次方程即可，最后结合条件得出m的值．【详解】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，∴m＞0，当x=1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1=6，得m=﹣1(舍去)，m＜0时，当x=﹣1时，取得最小值，即m(﹣1﹣1)2﹣5m+1=6，得m=﹣5，由上可得，m的值是﹣5，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，注意根据开口方向分情况讨论，一次方程的列式求解，分情况讨论是解5．在Rt ABC 中，∠C=90°，如果sin cos A A =，那么A ∠的值是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可． 【详解】解：由已知，sin BC A AB =，cos AC A AB = ∵sin cos A A =∴BC AC =∵∠C=90°∴A ∠=45°故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解．6．反比例函数3y x =-，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点(1,-3)B ．图象位于第二、四象限C ．图象关于直线y=x 对称D ．y 随x 的增大而增大 【答案】D【解析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A 选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．【详解】解：由点()1,3-的坐标满足反比例函数3y x=-，故A 是正确的； 由30k =-<，双曲线位于二、四象限，故B 也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数3y x=-关于y x =对称是正确的，故C 也是正确的， 由反比例函数的性质，0k <，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D 是不正确的，故选：D ．【点睛】考查反比例函数的性质，当0k <时，在每个象限内y 随x 的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y x =和y x =-是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.7．二次函数()2213y x =++的顶点坐标是（ ）A ．(1,3)--B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)【分析】根据抛物线的顶点式：()2213y x =++，直接得到抛物线的顶点坐标．【详解】解：由抛物线为：()2213y x =++， ∴ 抛物线的顶点为：()1,3.-故选B ．【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键．8．对于二次函数y ＝2（x ﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是 x ＝﹣1C ．与 x 轴有两个交点D ．顶点坐标是（1，2） 【答案】D【分析】根据题意从y ＝2（x ﹣1）2+2均可以直接确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等．【详解】解：y ＝2（x ﹣1）2+2，（1）函数的对称轴为x ＝1；（2）a ＝2＞0，故函数开口向上；（3）函数顶点坐标为（1，2），开口向上，故函数与x 轴没有交点；故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的开口方向与x 轴的交点，以及函数顶点坐标等基本性质，是函数的基础题注意掌握．9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若 1sin 2A =，则∠B 的度数是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 【答案】C 【分析】根据特殊角的函数值1sin 302=可得∠A 度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B 度数． 【详解】解：∵1sin 302=， ∴∠A=30°，∵∠C ＝90°，∴∠B=90°-∠A=60°故选：C ．【点睛】此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键.10．已知点()()121,,2,A y B y -都在双曲线3m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．m 0<B ．0m >C ．3m >-D ．m 3<- 【答案】D 【分析】分别将A ，B 两点代入双曲线解析式，表示出1y 和2y ，然后根据12y y >列出不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：将A （-1，y 1），B （2，y 2）两点分别代入双曲线3m y x+=，得 13y m =--，232m y +=， ∵y 1＞y 2，332m m +∴-->， 解得3m <-，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式．反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式． 11．用配方法解一元二次方程x 2﹣2x ＝5的过程中，配方正确的是（ ）A ．（x+1）2＝6B ．（x ﹣1）2＝6C ．（x+2）2＝9D ．（x ﹣2）2＝9【答案】B【分析】在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2﹣2x+1＝5+1，即（x ﹣1）2＝6， 故选：B ．【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是注意：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12．下列运算正确的是（ ）A ．a •a 1＝aB ．（2a ）3＝6a 3C ．a 6÷a 2＝a 3D ．2a 2﹣a 2＝a 2 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．【详解】A ．a •a 1＝a 2，故本选项不合题意；B．（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；D.2a2﹣a2＝a2，正确，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是幂的运算，比较简单，需要牢记幂的运算公式.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．【答案】1．【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，AB=22AC BC+=22512+=13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案为1．考点：旋转的性质．14．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为___________米.【答案】6【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得ED CDCD FD=，代入数据可得答案．【详解】如图，在EFC ∆中，90,9ECF ED ︒∠==米，4FD =米，易得~ EDC Rt CDF ∆∆， ED CD CD FD ∴=，即94CD CD =， 6CD ∴=米.故答案为：6.【点睛】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用． 15．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为_____cm 2（结果保留π）．【答案】3π【详解】212033360ππ⨯=． 故答案为：3π．16．如图，根据图示，求得x 和y 的值分别为____________.【答案】4.5，101【分析】证明ADC BDE ∆∆∽，然后根据相似三角形的性质可解.【详解】解：∵7.232.4AD BD ==， 4.831.6CD DE ==， ∴AD CD BD DE=， ∵ADC BDE ∠=，∴ADC BDE ∆∆∽，∴3AC BE=，ACD BED ∠=∠， ∴AC=4.5，y=101.故答案是：x=4.5，y=101.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，要熟悉相似三角形的各种判定方法，关键在找角相等以及边的比例关键.17．在2,3,4-这三个数中，任选两个数的积作为k 的值，使反例函数k y x =的图象在第二、四象限的概率是______．【答案】23【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，并求出 k 为负值的情况数，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：，∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k 的值，k 为负数的有4种，∴反比例函数k y x=的图象在第二、四象限的概率是：4263=． 故答案为：23． 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．18．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s ．【答案】1【解析】根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t=1205-⨯-=1s ， 故答案为1．三、解答题（本题包括8个小题）19．小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸让他对今年的销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为线段），日销售量y （单位：千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系如图1所示，草莓的销售价p （单位：元/千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系如图2所示设第x 天的日销售额为w （单位：元）（1）第11天的日销售额w 为 元；（2）观察图象，求当16≤x≤20时，日销售额w 与上市时间x 之间的函数关系式及w 的最大值；（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克15元，马叔叔到市场按照当日的销售价p 元千克将批发来的草莓全部售完，他在销售的过程中，草莓总质量损耗了2%．那么，马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚到多少元？【答案】（1）1980；（2）w ＝﹣5（x ﹣1）2+180， w 有最大值是680元；（3）112元【分析】（1）当3≤x ＜16时，设p 与x 的关系式为p ＝kx ＋b ，当x ＝11时，代入解析式求出p 的值，由销售金额＝单价×数量就可以求出结论；（2）根据两个图象求得两个一次函数解析式，进而根据销售问题的等量关系列出二次函数解析式即可； （3）当x ＝15时代入（2）的解析式求出p 的值，再当x ＝15时代入（1）的解析式求出y 的值，再由利润＝销售总额−进价总额−车费就可以得出结论．【详解】解：（1）当3≤x≤16时设p 与x 之间的函数关系式为p ＝kx+b依题意得把（3，30），（16，17）代入，3031716k b k b ⎧⎨⎩＝＋＝＋解得133k b =-⎧⎨=⎩∴p ＝﹣x+33当x ＝11时，p ＝22所以90×22＝1980答：第11天的日销售额w 为1980元．故答案为1980；（2）当11≤x≤20时设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x+b 1，依题意得把（20，0），（11，90）代入得11119011020k b k b ⎧⎨⎩＝＋＝＋ 解得1110200k b =-⎧⎨=⎩ ∴y ＝﹣10x+200当16≤x≤20时设p 与x 之间的函数关系式为：p ＝k 2x+b 2依题意得，把（16，17），（20，19）代入得222217161920k b k b ⎧⎨⎩＝＋＝＋ 解得k 2＝12，b 2＝9： ∴p ＝12x+9 w ＝py ＝（12x+9）（﹣10x+200） ＝﹣5（x ﹣1）2+1805∴当16≤x≤20时，w 随x 的增大而减小∴当x ＝16时，w 有最大值是680元．（3）由（1）得当3≤x≤16时，p ＝﹣x+33当x ＝15时，p ＝﹣15+33＝18元，y ＝﹣10×15+200＝50千克利润为：50（1﹣2%）×18﹣50×15﹣20＝112元答：当天能赚到112元．【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是根据题意分别列出一次函数与二次函数求解. 20．先化简，再求值：()2111x x ⎛⎫-÷-⎪+⎝⎭，其中x 为方程2320x x ++=的根． 【答案】1【分析】先将除式括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择合适的x 值，代入求值．【详解】解：原式＝()()()21111111x x x x x x x --+-÷=-⋅=--+--． 解2320x x ++=得，122,?1x x =-=-，∵1x =-时，21x +无意义， ∴取2x =-．当2x =-时，原式＝()211---=．21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：（1）根据表格中的数据，可计算出甲的平均成绩是 环（直接写出结果）；（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，根据计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.（计算方差的公式：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦） 【答案】（1） 9 ；（2） 7 ；（3）22=3S 甲，24=3S 乙，选甲，理由见解析. 【分析】（1）根据图表中的甲每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；（2）根据图表中的乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可； （3）分别从平均数和方差进行分析，即可得出答案．【详解】（1）甲的平均成绩是：()1089810969+++++÷=；（2）设第二次的成绩为a ，则乙的平均成绩是：()1010109869a +++++÷=，解得：7a = ；（3）()()()()()()2222222121098999891099963S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦甲， ()()()()()()22222221410979109109998963S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙， 推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．【点睛】此题主要考查了平均数的求法、方差的求法以及运用方差做决策，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】应该降价20元．【解析】设每件童装应降价x 元，那么就多卖出2x 件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．【详解】设每件童装应降价x 元，由题意得：()()402021200x x -+=，解得：10x =或20x =．因为减少库存，所以应该降价20元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解．23．如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5 cm ，两个车轮的圆心的连线AB 与地面平行，测得支架AC ＝BC ＝60cm ，AC 、CD 所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD ＝50cm ．（1）求扶手前端D 到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF 为小坐板，打开后，椅子的支点H 到点C 的距离为10 cm ，DF ＝20cm ，EF ∥AB ，∠EHD ＝45°，求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号）【答案】（1）35＋253（2）坐板EF 的宽度为（320）cm ．【分析】（1）如图，构造直角三角形Rt △AMC 、Rt △CGD 然后利用解直角三角形分段求解扶手前端D 到地面的距离即可；（2）由已知求出△EFH 中∠EFH ＝60°，∠EHD ＝45°，然后由HQ ＋FQ ＝FH ＝20cm 解三角形即可求解.【详解】解：（1）如图2，过C 作CM ⊥AB ，垂足为M ，又过D 作DN ⊥AB ，垂足为N ，过C 作CG ⊥DN ，垂足为G ，则∠DCG ＝60°，∵AC ＝BC ＝60cm ，AC 、CD 所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，∴∠A ＝∠B ＝30°，则在Rt △AMC 中，CM ＝12AC ＝30cm ． ∵在Rt △CGD 中，sin ∠DCG ＝DG CD，CD ＝50cm ， ∴DG ＝CD ⋅sin ∠DCG ＝50⋅sin60°＝350＝253 又GN ＝CM ＝30cm ，前后车轮半径均为5cm ，∴扶手前端D 到地面的距离为DG ＋GN ＋5＝253＋30＋5＝35＋253（cm ）．（2）∵EF ∥CG ∥AB ，∴∠EFH ＝∠DCG ＝60°，∵CD ＝50cm ，椅子的支点H 到点C 的距离为10cm ，DF ＝20cm ，∴FH ＝20cm ，如图2，过E 作EQ ⊥FH ，垂足为Q ，设FQ ＝x ， 在Rt △EQF 中，∠EFH ＝60°，∴EF ＝2FQ ＝2x ，EQ 223EF FQ x -=，在Rt △EQH 中，∠EHD ＝45°，∴HQ ＝EQ 3x∵HQ ＋FQ ＝FH ＝20cm 3x x ＝20，解得x ＝10310，∴EF ＝2（10310）＝320．答：坐板EF 的宽度为（320）cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学基本图形构造适当的直角三角形，难度较大．24．东坡商贸公司购进某种水果成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价P （元/kg ）与时间t （天）之间的函数关系式130(124)248(2548)t t P t t ⎧+⎪=⎨⎪-+⎩，t 为整数，且其日销售量y (kg )与时间t （天）的关系如下表： 时间t （天）1 3 6 10 20 … 日销售量y （kg ） 118 114 108 100 80 … （1）已知y 与t 之间的变化符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？【答案】（1）第30天的日销售量为60kg ；（2）当20t =时，max 1600W =【分析】（1）设y=kt+b ，利用待定系数法即可解决问题．（2）日利润=日销售量×每kg 利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【详解】（1）设y=kt+b ，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：1183114k b k b ++⎧⎨⎩＝＝ 解得,2120k b -⎧⎨⎩＝＝， ∴y=-2t+1．将t=30代入上式，得：y=-2×30+1=2．所以在第30天的日销售量是2kg ．（2）设第t 天的销售利润为w 元，则(20)W P y =-⋅当124t 时，由题意得，13020(2120)2W t t ⎛⎫=+-⋅-+⎪⎝⎭=2401200t t -++=2(20)1600t --+∴t=20时，w 最大值为120元．当2548t 时，22(4820)(2120)217633602(44)512W t t t t t =-+--+=-+=-- ∵对称轴t=44，a=2＞0，∴在对称轴左侧w 随t 增大而减小，∴t=25时，w 最大值为210元，综上所述第20天利润最大，最大利润为120元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．25．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米．（i=1是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414， 1.732）【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）宣传牌CD高约2.7米.【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH. （2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，在Rt△ABF中，i=tan∠333=，∴∠BAH=30°∴BH=12AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）由（1）得：BH=5，3∴3在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴3+15.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴33∴CD=CG+GE﹣3﹣3﹣3（米）. 答：宣传牌CD高约2.7米.26．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，且AC=2，∠CAB=30°，求图中阴影部分面积．【答案】3+29π 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【详解】解：连接OC 且过点O 作AC 的垂线，垂足为D ，如图所示．∵OA=OC∴AD=1在Rt △AOD 中∵∠DAO=30°∴2222OD AD OA 4OD +==∴323OA =∴AOC 1133S AC OD 22233∆=•=⨯⨯= 由OA=OC ；∠DAO=30可得∠COB=60°∴S 扇形BOC =2236023609⨯⎝⎭=ππ ∴S 阴影=S △AOC + S 扇形BOC =33+29π 【点睛】本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．27．解方程：x 2﹣2x ﹣2=1．【答案】x 13x 2=13【解析】试题分析：把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．试题解析：x2﹣2x﹣2=1移项，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，开方，得x﹣解得x1x2=1考点：配方法解一元二次方程九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列说法正确的是( )A ．等弧所对的圆心角相等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．经过三点可以作一个圆D ．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．【详解】等弧所对的圆心角相等，A 正确；平分弦的直径垂直于这条弦(此弦不能是直径)，B 错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C 错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选A.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于掌握以及圆心角、弧、弦的关系2．点M （2，-3）关于原点对称的点N 的坐标是: ( )A ．（-2，-3）B ．（-2, 3）C ．（2, 3）D ．（-3， 2） 【答案】B【解析】试题解析：已知点M （2，-3），则点M 关于原点对称的点的坐标是（-2，3），故选B ．3．如图，点A 在以BC 为直径的O 内，且AB AC =，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，得到扇形ABC ，且120BAC ∠=︒，2BC =．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形ABC 内的概率是()A ．13B ．34C ．49D ．2π【答案】C【分析】如图，连接AO ，∠BAC ＝120︒，根据等腰三角形的性质得到AO ⊥BC ，∠BAO ＝60︒，解直角三角形得到AB 23ABC 的面积＝223(433601209ππ⋅⨯=，根据概率公式即可得到结论．【详解】如图，连接AO，∠BAC＝120︒，∵AB＝AC，BO＝CO，∴AO⊥BC，∠BAO＝60︒，∵BC＝2，∴BO＝1，∴AB＝BO÷cos30°=23，∴扇形ABC 的面积＝223()433601209ππ⋅⨯=，∵⊙O的面积＝π，∴飞镖落在扇形ABC内的概率是49ππ=49，故选：C．【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，解直角三角形的运用，正确的识别图形是解题的关键．4．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知ABC相似．（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【详解】解：已知给出的三角形的各边分别为125只有选项A2、210与它的各边对应成比例．故选：A．【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．5．张家口某小区要种植一个面积为3500m 2的矩形草坪，设草坪的长为ym ，宽为xm ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．y ＝3500xB ．x ＝3500yC ．y ＝3500xD ．y ＝1750x 【答案】C 【解析】根据矩形草坪的面积=长乘宽，得3500xy = ，得3500y x =.故选C. 6．化简2(21)÷-的结果是（ ）A ．221-B ．22-C ．12-D ．2+2 【答案】D【解析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.【详解】原式=2×21-=2×（2+1）=2+2. 故选D.【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.7．如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，1S ，2S ．若S=3，则12S S +的值为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3【答案】B 【详解】过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，∴S △PDC =S △CQP ，S △ABP =S △QPB ，∵EF 为△PCB 的中位线，∴EF ∥BC ，EF=12BC ， ∴△PEF ∽△PBC ，且相似比为1：2，∴S △PEF ：S △PBC =1：4，S △PEF =3，∴S △PBC =S △CQP +S △QPB =S △PDC +S △ABP =12S S +=1．故选B ．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点O 在坐标原点，点B 的坐标为()2,6，点A 在第二象限，且反比例函数(0)k y k x=≠的图像经过点A ，则k 的值是（ ）A ．-9B ．-8C ．-7D ．-6【答案】B 【分析】作AD ⊥x 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，先通过证得△AOD ≌△OCE 得出AD=OE ，OD=CE ，设A （x ，kx），则C （k x ，-x ），根据正方形的性质求得对角线解得F 的坐标，即可得出1232k x x k x x ⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩，解方程组求得k 的值．【详解】解：如图，作AD x ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E 连接AC ，BO ，∵90AOC ∠=︒，∴90AOD COE ∠+∠=︒∵90AOD OAD ∠+∠=︒，∴OAD COE ∠=∠.在AOD △和OCE △中，90OAD COE ADO OEC OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOD OCE AAS △≌△∴,AD OE OD CE ==.设,k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,()k C x x-. ∵AC 和OB 互相垂直平分，点B 的坐标为()2,6，∴交点F 的坐标为()1,3， ∴1232k x x k x x ⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩， 解得24x k x=-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴8k =-，故选B .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．9．下列式子中表示y 是x 的反比例函数的是( )A ．24y x =-B ．25y x =C ．21y x =D ．13y x= 【答案】D【解析】根据反比例函数的定义逐项分析即可.【详解】A. 24y x =-是一次函数，故不符合题意；B. 25y x =二次函数，故不符合题意；C. 21y x =不是反比例函数，故不符合题意； D. 13y x =是反比例函数，符合题意； 故选D.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如k y x=（k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数. 10．在半径等于5 cm 的圆内有长为53cm 的弦，则此弦所对的圆周角为A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或120°【答案】C【分析】根据题意画出相应的图形，由OD ⊥AB ，利用垂径定理得到D 为AB 的中点，由AB 的长求出AD 与BD 的长，且得出OD 为角平分线，在Rt △AOD 中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD 的度数，进而确定出∠AOB 的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB 所对圆周角的度数．【详解】如图所示，∵OD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，即532 在Rt △AOD 中，OA=5，532∴sin ∠AOD=53325， 又∵∠AOD 为锐角，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=12∠AOB=60°， 又∵圆内接四边形AEBC 对角互补，∴∠AEB=120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．11．如图所示，二次函数22y x x k =-++的图像与x 轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于x 的一元二次方程220x x k -++=的解为（ ）A ．123,2x x ==-B ．123,1x x ==-C ．121,1x x ==-D ．123,3x x ==-【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性确定图象与x 轴的另一个交点，再根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x k =-++的对称轴是直线1x =，图象与x 轴的一个交点坐标为(3,0)， ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴一元二次方程220x x k -++=的解为123,1x x ==-．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．12．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b+2a ＞0【答案】D 【解析】分析：根据抛物线的开口、对称轴及与y 轴的交点的位置，可得出a ＜1、c ＞1、b ＞﹣2a ，进而即可得出结论．详解：∵抛物线开口向下，对称轴大于1，与y 轴交于正半轴，∴a ＜1，﹣2b a＞1，c ＞1，∴b ＞﹣2a ，∴b +2a ＞1．故选D ．点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴大于1找出b ＞﹣2a 是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知3-是关于x 的一元二次方程2230ax x -+=的一个解，则此方程的另一个解为____.【答案】1x =【分析】将x =-3代入原方程,解一元二次方程即可解题.【详解】解：将x=-3代入2230ax x -+=得,a=-1,∴原方程为2230x x --+=,解得：x=1或-3,【点睛】本题考查了含参的一元二次方程的求解问题,属于简单题,熟悉概念是解题关键.14．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 延长线于M 点，以D 为圆心，CD 为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是_________．【答案】73122π-【分析】阴影部分的面积为扇形BDM 的面积加上扇形CDN 的面积再减去直角三角形BCD 的面积即可．【详解】解：∵1AB =，3BC =∴根据矩形的性质可得出，90,1,ADC AB CD ︒∠=== ∵3tan 3CBD ∠== ∴30CBD ︒∠=∴利用勾股定理可得出，2BD =因此，可得出2230290(3)133373=3603602342122RTBCD BDM S S S S πππππ⨯⨯⨯⨯+-=+-=+-=-阴扇扇CDN 故答案为：73122π-． 【点睛】。

安徽省合肥市第四十六中2018-2019学年第一学期期末考试九年级数学（满分150分 考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 二次函数2x y =的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ▲ ）A. 3+=2x yB. 3-2x y =C. 23)(+=x yD. 2)3-(x y =2. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ▲ ）A. 5mB. 310m C. 54m D. 52m 3. 已知二次函数）（012≠+=a b x a y -)(有最小值1，则b a ，的大小关系为（ ▲ ）A. b a >B. b a <C. b a =D. 不能确定4. 如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是弧AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为（ ▲ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ▲ ）A. =B. =C. =D. =第4题 第5题 第6题 第7题6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，CD=2，BD=1，则AD 的长是（ ▲ ）A. 1B. 2C. 2D. 4 7. 如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于（ ▲ ）A.1310 B. 1013 C. 125 D. 5128. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度p 也随之改变，ρ与V 在一定范围内满足ρ=vm ，它的图象如图所示，则该气体的质量m 为（ ▲ ） A. 1.4kg B. 5kg C. 7kg D. 6.4kg9. 已知二次函数c x x y ++=2的图象与x 轴的一个交点为），（02，则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ▲ ）A. ），（01B. ），（01-C. ），（02D.），（03- 10. 小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O ﹣M ﹣N 匀速行走，他从点O 出发，沿箭头所示的方向经过点M 再走到点N ，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t （单位：秒），他与摄像机的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的 （ ▲ ）A. 点QB. 点PC. 点MD. 点N二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11. 抛物线5122+=)-(x y 的顶点坐标是 。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．要使式子5x-有意义，则x的值可以是（）A．2 B．0 C．1 D．9【答案】Dx-为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-5≥0，解不等式就【解析】式子5可得到答案.x-有意义，【详解】∵式子5∴x-5≥0，∴x≥5，观察个选项，可以发现x的值可以是9.故选D.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件.2．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块【答案】C【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，故：最多为3+4+1=8个最少为2+4+1=7个故选C【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.3．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B ．253C ．1003D ．25253+ 【答案】B 【详解】解：过点B 作BE ⊥AD 于E ．设BE=x ．∵∠BCD=60°，tan ∠BCE BE CE=， 3CE x ∴=， 在直角△ABE 中，3x ，AC=50米， 3350x x =， 解得253x =即小岛B 到公路l 的距离为253故选B.4．如图，AB 是O 的直径，点F C 、是O 上两点，且AF FC CB ==，连接AC AF 、，过点C 作CD AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，垂足为D ，若33CD =O 的半径为( )A ．33B ．63C ．3D ．6【答案】D【分析】根据已知条件可知Rt ACD 、Rt ABC 都是含30角的直角三角形，先利用含30角的直角三角形的性质求得AC ，再结合勾股定理即可求得答案．【详解】解：连接BC 、OC ，如图：∵AF FC CB ==∴60BOC ∠=︒∴30DAC BAC ∠=∠=︒∴在Rt ACD 中，263AC CD ==∵AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒∴在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()2222BC AC BC +=∴(()22232BC BC += ∴6BC =∴212AB BC ==∴O 的半径为162OA OB AB ===． 故选：D【点睛】本题考查了圆的一些基本性质、含30角的直角三角形的性质以及勾股定理，添加适当的辅助线可以更顺利地解决问题．5．已知1x =是关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的解，则m n +等于（ ）A ．1B ．-2C ．-1D ．2 【答案】C【分析】方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关于m+n 的方程，就可以求出m+n 的值．【详解】将x=1代入方程式得1+m+n=0，解得m+n=-1．故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把求未知系数的问题转化为解方程的问题．6．平面直角坐标系内一点P （2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ）A ．（3，-2）B ．（2，3）C ．（-2，3）D ．（2，-3）【答案】C【解析】略7．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）A ．110°B ．120°C ．150°D ．160°【答案】A【解析】设C′D′与BC 交于点E,如图所示：∵旋转角为20°，∴∠DAD′=20°，∴∠BAD′=90°−∠DAD′=70°.∵∠BAD ′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，∴∠BED′=360°−70°−90°−90°=11°，∴∠1=∠BED′=110°.故选A.8．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，则sin A 的值为（ ）A B C ．12 D ．2 【答案】C【解析】在Rt ABC ∆中，先求出A ∠的度数，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案. 【详解】90C ∠=︒，60B ∠=︒∴30A ∠=︒ ∴sin A =12 故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.9．如果圆锥的底面半径为3，母线长为6，那么它的侧面积等于（ ）A ．9πB ．18πC ．24πD ．36π 【答案】B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：圆锥的侧面积＝12×2π×3×6＝18π． 故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ）A ．144（1﹣x ）2=100B ．100（1﹣x ）2=144C ．144（1+x ）2=100D ．100（1+x ）2=144【答案】D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ），2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2，即所列的方程为100（1+x ）2=144，故选D ．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．11．如果一个扇形的弧长是43π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（）A．40°B．45°C．60°D．80°【答案】A【解析】试题分析：∵弧长n rl180π=，∴圆心角()4180180l3n40r6πππ⨯===︒⨯．故选A．12．如图，在正方形网格中，已知ABC的三个顶点均在格点上，则sin CAB∠=( )A．2 B．1010C．310D．13【答案】B【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC=10,在直角三角形ACD中即可求得sin CAB∠的值.【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1，2213=10+在直角三角形ACD中10sin=CDCABAC∠=故选：B【点睛】本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.二、填空题（本题包括8个小题）13．如果函数232(3)72k ky k x x-+=-++是关于x的二次函数，则k=__________．【答案】1【分析】根据二次函数的定义得到30k-≠且2322k k-+=，然后解不等式和方程即可得到k的值．【详解】∵函数232(3)72k k y k x x -+=-++是关于x 的二次函数，∴30k -≠且2322k k -+=，解方程得：0k =或3k =(舍去)，∴0k =．故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c 、、是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数．14．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝a ，点E ，F 在对角线BD 上，且∠ECF ＝∠ABD ，将△BCE 绕点C 旋转一定角度后，得到△DCG ，连接FG ．则下列结论：①∠FCG ＝∠CDG ；②△CEF 的面积等于214a ； ③FC 平分∠BFG ；④BE 2+DF 2＝EF 2；其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【分析】由正方形的性质可得AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝45°，由旋转的性质可得∠CBE ＝∠CDG ＝45°，BE ＝DG ，CE ＝CG ，∠DCG ＝∠BCE ，由SAS 可证△ECF ≌△GCF ，可得EF ＝FG ，∠EFC ＝∠GFC ，S △ECF ＝S △CFG ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝45°，∴∠ECF ＝∠ABD ＝45°，∴∠BCE +∠FCD ＝45°，∵将△BCE 绕点C 旋转一定角度后，得到△DCG ，∴∠CBE ＝∠CDG ＝45°，BE ＝DG ，CE ＝CG ，∠DCG ＝∠BCE ，∴∠FCG ＝∠ECF ＝45°，∴∠FCG ＝∠CDG ＝45°，故①正确，∵EC ＝CG ，∠FCG ＝∠ECF ，FC ＝FC ，∴△ECF ≌△GCF （SAS ）∴EF ＝FG ，∠EFC ＝∠GFC ，S △ECF ＝S △CFG ，∴CF 平分∠BFG ，故③正确，∵∠BDG ＝∠BDC +∠CDG ＝90°，∴DG 2+DF 2＝FG 2，∴BE 2+DF 2＝EF 2，故④正确，∵DF +DG ＞FG ，∴BE +DF ＞EF ，∴S △CEF ＜S △BEC +S △DFC ，∴△CEF 的面积＜12S △BCD ＝214a ，故②错误； 故答案为：①③④【点睛】本题是一道关于旋转的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质等知识点．15．已知a+b ＝0目a≠0，则20202019a b a +＝_____． 【答案】1【分析】先将分式变形，然后将0a b +=代入即可． 【详解】解：20202019a b a+ 20192019a b b b++= 020192019b b+= 20192019b b= 1=，故答案为1【点睛】本题考查了分式，熟练将式子进行变形是解题的关键．16．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则BE ：BC 的值为_________．【答案】1：4【解析】由S △BDE ：S △CDE =1：3，得到 BE 1CE 3=，于是得到 41BE BC =． 【详解】解：:1:3BDE CDE S S ，= 两个三角形同高，底边之比等于面积比.13BE CE ∴=， :1:4.BE BC ∴=故答案为1:4.【点睛】本题考查了三角形的面积，比例的性质等知识，知道等高不同底的三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．17．已知等腰三角形的两边长是方程x 2﹣9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为_____．【答案】1．【解析】解方程,分类讨论腰长,即可求解.【详解】解：x 2﹣9x+18=0得x =3或6,分类讨论：当腰长为3时,三边为3、3、6此时不构成三角形,故舍,当腰长为6时,三边为3、6、6,此时周长为1.【点睛】本题考查了解一元二次方程和构成三角形的条件,属于简单题,分类讨论是解题关键.18．小刚和小亮用图中的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘各一次，若其中的一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚赢，否则小亮赢．若用P 1表示小刚赢的概率，用P 2 表示小亮赢概率，则两人赢的概率P 1________P 2（填写>，=或<）【答案】<【分析】由于第二个转盘红色所占的圆心角为120°，则蓝色部分为红色部分的两倍，即相当于分成三个相等的扇形（红、蓝、蓝），再列出表，根据概率公式计算出小刚赢的概率和小亮赢的概率，即可得出结论．【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 红 蓝 蓝 蓝（红，蓝） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 黄（红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） 黄（红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） 红 （红，红） （蓝，红） （蓝，红）上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可以得到紫色，所以小刚赢的概率是131124P ==；则小亮赢的概率是213144P =-= 所以12P P <；故答案为：<【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，顶点为P （2，﹣4）的二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过原点，点A （m ，n ）在该函数图象上，连接AP 、OP ．（1）求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的表达式；（2）若∠APO ＝90°，求点A 的坐标；（3）若点A 关于抛物线的对称轴的对称点为C ，点A 关于y 轴的对称点为D ，设抛物线与x 轴的另一交点为B ，请解答下列问题：①当m ≠4时，试判断四边形OBCD 的形状并说明理由；②当n ＜0时，若四边形OBCD 的面积为12，求点A 的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）A（52，﹣154）；（3）①平行四边形，理由见解析；②A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【分析】（1）由已知可得抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）、（4，0）、（0，0）代入y＝ax2+bx+c 即可求表达式；（2）由∠APO＝90°，可知AP⊥PO，所以m﹣2＝12，即可求A（52，﹣154）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），可得CD∥OB，CD＝CB，所以四边形OBCD 是平行四边形；②四边形由OBCD是平行四边形，0n<，所以12＝4×（﹣n），即可求出A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【详解】解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP⊥PO，∵A（m，m2﹣4m），∴m﹣2＝12，∴m＝52，∴A（52，﹣154）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），∴CD∥OB，∵CD＝4，OB＝4，∴四边形OBCD是平行四边形；②∵四边形OBCD是平行四边形，0n<，∴12＝4×（﹣n），∴n＝﹣3，∴A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【点睛】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及二次函数求解析式、直角三角形、平行四边形等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推导求解．20．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.（1）求摸出的2个球都是白球的概率.（2）请比较①摸出的2个球颜色相同②摸出的2个球中至少有1个白球，这两种情况哪个概率大，请说明理由【答案】（1）摸出的2个球都是白球的概率为13；（2）概率最大的是摸岀的2个球中至少有1个白球.理由见解析.【分析】（1）先画树状图展示所以6种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果，然后根据概率定义求解．（2）根据树状图可知：共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球颜色相同的有3种结果，摸出的2个球中至少有1个白球的有5种结果，根据概率公式分别计算出各自的概率，再比较大小即可.【详解】（1）画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的2个球都是白球的有2种结果，所以摸出的2个球都是白球的概率为21 63 =；（2）∵摸出的2个球颜色相同概率为31 62 =、摸出的2个球中至少有1个白球的概率为56，∴概率最大的是摸岀的2个球中至少有1个白球.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．21．如图，方格纸中有三个点A B C，，，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】可以从特殊四边形着手考虑，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形【详解】解：如图：22．如图，AB是⊙O的直径，半径OD与弦AC垂直，若∠A＝∠D，求∠1的度数．【答案】30°【分析】利用垂径定理和圆周角定理证得∠A＝∠1＝∠ABD，然后根据直角三角形两锐角互余即可求得∠1的度数．【详解】解：∵半径OD与弦AC垂直，∴AD CD，∴∠1＝∠ABD，∵半径OD与弦AC垂直，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∴∠1＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠1＝∠ABD，∵∠A+∠ABC ＝90°，∴3∠1＝90°，∴∠1＝30°．【点睛】本题考查了垂径定理和和圆周角定理的推论，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握垂径定理，能够理清各线段和角的关系.23．如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数21y ax =+的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1.过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.（1）求反比例函数和一次函数的解析式.（2）若一次函数21y ax =+的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数.（3）结合图象直接写出：当1y ＞2y ＞0时，x 的取值范围.【答案】（1）y 1=2x；y 2=x+1；（2）∠ACO=45°；（3）0<x<1. 【解析】（1）根据△AOB 的面积可求AB ，得A 点坐标．从而易求两个函数的解析式；（2）求出C 点坐标，在△ABC 中运用三角函数可求∠ACO 的度数；（3）观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x 的值即为取值范围．【详解】(1)∵△AOB 的面积为1，并且点A 在第一象限，∴k=2,∴y 1=2x； ∵点A 的横坐标为1，∴A(1,2).把A(1,2)代入y 2=ax+1得，a=1.∴y2=x+1.(2)令y2=0，0=x+1，∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1，BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y1>y2>0时,0<x<1.在第三象限,当y1>y2>0时,−1<x<0(舍去).【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答. 24．解方程：2x2﹣4x+1＝1．【答案】x1＝1+22，x2＝1﹣22【分析】先把方程两边除以2，变形得到x2-2x+1=12，然后利用配方法求解．【详解】x2-2x+1=12，（x-1）2=12，x-1=±22，所以x1=1+22，x2=1-22．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.25．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B，(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3＝3,求AF的长.【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD在Rt △ADE 中，6== ∵△ADF ∽△DEC∴AD AF DE CD =4AF =∴AF=26．解方程：x （x ﹣3）+6＝2x ．【答案】x 1＝2，x 2＝1．【分析】先去掉括号，再把2x 移到等号的左边，再根据因式分解法即可求解．【详解】解：x （x ﹣1）+6＝2x ，x 2﹣1x+6﹣2x ＝0，x 2﹣5x+6＝0，（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣1＝0，x 1＝2，x 2＝1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．27．黎托社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户10月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A .小于5天；B .5天；C .6天；D .7天）.（1）扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是______.（2）12月份雨花区将举行一场各社区之间“垃圾分类”知识抢答赛，黎托社区准备从甲、乙、丙、丁四户家庭以抽签的形式选取两户家庭参赛，求甲、丙两户家庭恰好被抽中的概率.【答案】（1）108度；（2）16.【分析】（1）先由A类别户数及其所占百分比求得总户数，再由各类别户数之和等于总户数求出B类别户数，继而用360°乘以B类别户数占总人数的比例即可得；（2）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【详解】（1）被调查的总户数为9÷15%＝60（户），∴B类别户数为60−（9＋21＋12）＝18（户），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×1860＝108°；故答案为：108°；（2）根据题意画图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种结果，所以恰好选中甲和丙的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5B．有最大值 2，有最小值 1.5C．有最大值 2，有最小值﹣2.5D．有最大值 2，无最小值【答案】C【详解】由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.故选C.2．如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（）A．4 B．2 C．42D．22【答案】D【分析】连接OA、OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AOB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AB的长.【详解】连接OA、OB，如图，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝22．故选：D．【点睛】此题考查的是圆周角定理和等腰直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键.3．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且AD=5cm ，DB=3 cm ，过点D 作DE ∥BC ，交边AC 于点E ，将△ADE 沿着DE 折叠，得△MDE ，与边BC 分别交于点F ，G ．若△ABC 的面积为32 cm 2，则四边形DEGF 的面积是（ ）A ．10 cm 2B ．10.5 cm 2C ．12 cm 2D ．12.5 cm 2【答案】B 【分析】根据相似多边形的性质进行计算即可；【详解】∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF DFB ∠=∠，又由折叠知ADE EDF ∠=∠，∴B DFB ∠=∠，∴DB=DF，∵5AD DM cm ==，3BD DF cm ==， ∴2ADE ABC S AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即2△53253ADES ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，∴2△12.5ADE S cm =，∴2△△12.5MDE ADE S S cm ==，同理可得：2△2FMG S cm =，∴四边形DEGF 的面积210.5cm =．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，准确计算是解题的关键．4．关于x 的一元二次方程2310kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．94k ≤-B ．94k ≥-且0k ≠C ．94k ≥-D ．94k >-且0k ≠ 【答案】B【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．关于x 的一元二次方程kx 2+3x-1=1有实数根，则△=b 2-4ac≥1．【详解】解：∵a=k ，b=3，c=-1，∴△=b 2-4ac=32+4×k×1=9+4k≥1，94k ≥-， ∵k 是二次项系数不能为1，k≠1，即94k ≥-且k≠1． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．如图，在ABCD □中，AE BC ⊥，垂足为E ，BAE DEC ∠=∠，若45,sin 5AB B ==，则DE 的长为（ ）A ．203B ．163C ．5D ．125【答案】A【分析】根据题意先求出AE 和BE 的长度，再求出∠BAE 的sin 值，根据平行线的性质得出∠ADE=∠BAE ，即可得出答案.【详解】∵45,sin 5AB B ==，AE BC ⊥ ∴4AE AB sinB ==223AB AE -=∴35BE sin BAE AB ∠== ∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC∴∠ADE=∠DEC又∵∠BAE=∠DEC∴∠BAE=∠ADE∴35AE sin ADE sin BAE DE ∠=∠== ∴203DE =故答案选择A.【点睛】本题考查的是平行四边形的综合，难度适中，涉及到了平行四边形的性质以及三角函数值相关知识，需要熟练掌握.6．一元二次方程x 2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．有两个不相等的实数根 【答案】A【解析】Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.7．下列二次根式中，不是最简二次根式的是( )AB C D 【答案】C【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断即可．【详解】解：A 是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；BC =2D故选C ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据定义，最简二次根式必须满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．8．若点A(-3，m)，B(3,m)，C(-1，m+n²+1)在同一个函数图象上，这个函数可能是( )A ．y ＝x+2B ．-2y x =C ．y ＝x²+2D ．y ＝-x²-2 【答案】D【分析】先根据点A 、B 的坐标可知函数图象关于y 轴对称，排除A 、B 选项；再根据点C 的纵坐标大于点A 的纵坐标，结合C 、D 选项，根据y 随x 的增减变化即可判断.【详解】(),3,3(,)A m B m -∴函数图象关于y 轴对称，因此A 、B 选项错误又231,1m m n -<-<++再看C 选项，22y x =+的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而减小，因此错误D 选项，22y x =--的图象性质：当0x <时，y 随x 的增大而增大，正确故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题关键.9．下列计算中正确的是（ ）A ．325+=B ．()233-=-C ．2464÷=D ．822-= 【答案】D【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．【详解】A 、32+无法计算，故此选项不合题意；B 、()23|3|3-=-=，故此选项不合题意；C 、2464=2÷=，故此选项不合题意；D 、822222-=-=，正确. 故选D.【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1；④c ＝﹣3a ，其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①③④【答案】D 【分析】①观察图象可得，当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0；②对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a＝﹣1，b ＝2a ； ③抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x ＝﹣1，即可得ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1；④当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a ＝﹣1，b ＝2a ，即可得c ＝﹣3a ． 【详解】解：观察图象可知：①当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，∴①正确；②对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a＝﹣1，b ＝2a ， ∴②错误； ③∵抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x ＝﹣1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0）∴ax 2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1，∴③正确；④∵当x ＝1时，y ＝0，即a+b+c ＝0，对称轴x ＝﹣1，即﹣2b a ＝﹣1，b ＝2a ， ∴c ＝﹣3a ，∴④正确．所以正确的命题是①③④．故选：D ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 11．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．20cm2B ．20πcm2C ．10πcm2D ．5πcm2 【答案】C【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．故答案为C12．如图，已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB 向右平移5个单位长度后，点A 、B 恰好同时落在反比例函数k y x（x ＞0）的图象上，则k 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】根据点平移规律，得到点A平移后的点的坐标为（2,3），由此计算k值. 【详解】∵已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB向右平移5个单位长度后，∴点A平移后的点坐标为（2,3），∵点A、B恰好同时落在反比例函数kyx =（x＞0）的图象上，∴236k=⨯=，故选：D.【点睛】此题考查点平移的规律，点沿着x轴左右平移的规律是：左减右加；点沿着y轴上下平移的规律是：上加下减，熟记规律是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．点（2，5）在反比例函数kyx=的图象上，那么k＝_____．【答案】1【分析】直接把点（2，5）代入反比例函数kyx=求出k的值即可．【详解】∵点（2，5）在反比例函数kyx=的图象上，∴5＝2k，解得k＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查求反比例函数的解析式，利用待定系数法求函数的解析式.14．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组1122y k x by k x b-=⎧⎨-=⎩的解是________．【答案】21xy=⎧⎨=⎩．【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【详解】∵一次函数y ＝k 1x+b 1与y ＝k 2x+b 2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩． 故答案为21x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 15．如图，ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、CD 的中点，EC 、EF 分别交对角线BD 于点H 、G ，则::DG GH HB =______.【答案】3:1:8【分析】由四边形ABCD 是平行四边形可得AD ∥BC ，AD=BC ，△DEH ∽△BCH ，进而得12DH EH DE BH CH BC ===，连接AC ，交BD 于点M ，如图，根据三角形的中位线定理可得EF ∥AC ，可推得1DG DE MG AE ==，△EGH ∽△CMH ，于是得DG=MG ，12GH EH MH HC ==，设HG=a ，依次用a 的代数式表示出MH 、DG 、BH ，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴△DEH ∽△BCH ，∵E 是AD 中点，AD=BC ，∴12DH EH DE BH CH BC ===， 连接AC ，交BD 于点M ，如图，∵点E 、F 分别是边AD 、CD 的中点，∴EF ∥AC ，∴1DG DE MG AE ==，△EGH ∽△CMH ，∴DG=MG ，12GH EH MH HC ==， 设HG=a ，则MH=2a ，MG=3a ，∴DG=3a ，∴DM=6a ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BM=DM=6a ，BH=8a ，∴::3::83:1:8DG GH HB a a a ==.故答案为：3:1:8.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，连接AC，充分利用平行四边形的性质、构建三角形的中位线和相似三角形的模型是解题的关键.16．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=6x上的概率为____．【答案】1 9【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出P坐标落在双曲线上的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：所有等可能的情况数有36种，其中P（x，y）落在双曲线y=6x上的情况有4种，则P=436=19．故答案为1 9【点睛】本题考查列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征，掌握概率的求法是解题关键．17．方程x2＝x的解是_____．【答案】x1＝0，x2＝1【分析】利用因式分解法解该一元二次方程即可.【详解】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.18．若式子1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________． 【答案】1≥x 且2x ≠ 【分析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可.【详解】由题意得x-1≥0且x-2≠0，解得1≥x 且2x ≠故答案为：1≥x 且2x ≠【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆()AB 的高度：将一根3米高的标杆()CD 竖直放在某一位置，有一名同学站在F 处与标杆底端()D 、旗杆底端()B 成一条直线，此时他看到标杆顶端C 与旗杆顶端A 重合，另外一名同学测得站立()EF 的同学离标杆()3CD 米，离旗杆()30AB 米．如果站立()EF 的同学的眼睛距地面1.6米，过点E 作EH AB ⊥于点H ，交CD 于点(//,//,//)G EF AB CD AB EH FB ，求旗杆AB 的高度．【答案】旗杆的高度为15.6米．【分析】过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G 得出ECG EAH ∽，利用形似三角形的对应边成比例求出AH 的长，进而求出AB 的长．【详解】过点E 作EH AB ⊥于点H ，交CD 于点G ．由题意可得，四边形EFDG GDHB 、都是矩形，////AB CD EF ．ECG EAH ∴∽．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.AD DB ⊥，原传送带AB 与地面DB 的夹角为30，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由30改为45︒，原传送带AB 长为8m .则新传送带AC 的长度为（ ）A ．4B ．42C ．6D ．无法计算【答案】B 【分析】根据已知条件，在Rt ABD ∆中，求出AD 的长，再在Rt ACD ∆中求出AC 的值. 【详解】AD DB ⊥，30ABD ∠=︒，AB =8 ∴30sin AD AB ︒=即128AD = ∴4=AD45ACD ∠=︒ ∴sin 45AD AC ︒=即242AC= 42AC ∴=故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2．计算20182019103)103)的值为( )A ．1B 103C 103D ．310【答案】B【解析】逆用同底数幂的乘法和积的乘方将式子变形，再运用平方差公式计算即可.【详解】解：))2018201933 ))2018[33]3= )201813=⨯3=故选B.【点睛】本题考查二次根式的运算，高次幂因式相乘往往是先设法将底数化为积为1或0的形式，然后再灵活选用幂的运算法则进行化简求值.3．若关于x 的方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m≠2B ．m=2C ．m≥2D ．m≠0【答案】A【解析】解：∵关于x 的方程（m ﹣1）x 1+mx ﹣1=0是一元二次方程，∴m-1≠0，解得：m≠1．故选A ． 4．为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ）A ．0.12B ．0.42C ．0.5D ．0.58 【答案】D【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率，根据大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案．【详解】∵凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，∴凸面向下的频率为580÷（420+580）=0.58，∵大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58，故选：D ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键．5．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．某射击运动员射击一次，命中靶心B ．抛一枚硬币，一定正面朝上C ．打开电视机，它正在播放新闻联播D ．三角形的内角和等于180°【答案】D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．故选：D ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．将一元二次方程2210x x --=配方后所得的方程是( )A ．2(2)0x -=B ．2(1)2x -=C ．2(1)1x -=D ．2(2)2x -=【答案】B【分析】严格按照配方法的一般步骤即可得到结果．【详解】∵2210x x --=， ∴， ∴， 故选B.【点睛】解答本题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 7．如图，平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A （8，0），O （0，0），B （0，6），点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，求出⊙P的半径，进而结合勾股定理得出答案．【详解】解：如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A（8，0），B（0，6），∴AO=8，BO=6，∵∠BOA=90°，∴AB=2286+=10，则⊙P的半径为5，∵PE⊥BO，∴BE=EO=3，∴PE=2253-=4，∴ED=9，∴tan∠BOD=EDEO=3，故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．8．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，如图所示，由已知可得，OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， ∵AD ∥x 轴， ∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC ，在△OAB 和△DAC 中，AOB ADC OAB DAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAB ≌△DAC （AAS ），∴OB=CD ，∴CD=x ，∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，∴y=x+1（x ＞0）．考点：动点问题的函数图象9．不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：5131x x +≥-，移项得：5311x x -≥--，合并同类项得：22x ≥-，系数化为1得，1x ≥-， 在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．10．下列事件是必然事件的是（ ）A ．半径为2的圆的周长是2πB ．三角形的外角和等于360°C ．男生的身高一定比女生高D ．同旁内角互补 【答案】B【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件），可判断出正确答案．【详解】解：A 、半径为2的圆的周长是4π，不是必然事件；B 、三角形的外角和等于360°，是必然事件；C 、男生的身高一定比女生高，不是必然事件；D 、同旁内角互补，不是必然事件；故选B.【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．11．在平面直角坐标系中，点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，1）【答案】B【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选: B.根据两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反.12．抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）A ．23(1)2=--y xB ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =++D ．23(1)2y x =-+【答案】B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【详解】解：抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是23(1)2y x =+-， 故答案为：B ．【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），D （3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，若AB=2，则DE=______.【答案】1【解析】利用位似的性质得到AB ：DE=OA ：OD ，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，∴AB ：DE=OA ：OD ，即2：DE=1：3，∴DE=1．故答案是：1．【点睛】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．14．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.【答案】y=2(x+2)2-3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15．如图，已知点A、B分别在反比例函数1y(x0)x=>，4y(x0)x=->的图象上，且OA OB⊥，则OBOA的值为______．【答案】2【分析】作AC y⊥轴于C，BD y⊥轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到OAC1S2=，OBDS2=，再证明Rt AOC∽Rt OBD，然后利用相似三角形的性质得到OAOB的值，即可得出OBOA．【详解】解：作AC y⊥轴于C，BD y⊥轴于D，如图，点A、B分别在反比例函数1y(x0)x=>，4y (x 0)x=->的图象上，OAC11S122∴=⨯=，OBD1S422=⨯-=，OA OB⊥，AOB90∠∴=︒AOC BOD90∠∠∴+=︒，AOC DBO∠∠∴=，Rt AOC∴∽Rt OBD，2AOCOBD1S OA2()S OB2∴==，OA 1OB 2∴=． OB 2OA∴= 故答案为2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y (k x=为常数，k 0)≠的图象是双曲线，图象上的点()x,y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．16．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．【答案】20%【解析】分析：本题需先设出这个增长率是x ，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x ，根据题意得：2000×（1+x ）2=2880解得：x 1=20%，x 2=-220%（舍去）故答案为20%．172020191(3)10sin 30(1)2π-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭︒=_____________． 【答案】1【分析】由题意首先计算乘方、开方和特殊三角函数，然后从左向右依次进行加减计算，即可求出算式的值．2020191(3)10sin 30(1)2π-⎛⎫---+ ⎝︒--⎪⎭=12110(1)42--⨯--+ =21514--++=1故答案为1.【点睛】本题主要考查实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AC 与BD 相交于点E ，则AE EC的值等于_________．【答案】63 【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得2EC EF =，设EF x =，从而可得2EC x =，再在Rt AEF 中，利用直角三角形的性质、勾股定理可得233x AE =，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点E 作EF AC ⊥于点F ，由题意得：90,30,45CAD ACB B D ∠=∠=︒∠=︒∠=︒， 9045,9060ECF D EAF B ∴∠=︒-∠=︒∠=︒-∠=︒， Rt CEF ∴是等腰直角三角形，2EC EF ∴=，设EF x =，则2EC x =，在Rt AEF 中，9030AEF EAF ∠=︒-∠=︒，2213,2AF AE EF AE AF AE ∴==-=， 32AE x ∴=， 解得233x AE =， 则236332xA EC xE ==， 故答案为：63．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造两个直角三角形是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某校3男2女共5名学生参加黄石市教育局举办的“我爱黄石”演讲比赛．（1）若从5名学生中任意抽取3名，共有多少种不同的抽法，列出所有可能情形；（2）若抽取的3名学生中，某男生抽中，且必有1女生的概率是多少？【答案】（1）共有10种不同的抽法，分别是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；（2）910【分析】（1）根据题意得出不同的抽法，再列举出即可；（2）根据（1）的不同的抽法，找出必有1女生的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）从5名学生中任意抽取3名，共有10种不同的抽法，分别是：男男男，男男女，男男女，男男女，男男女，男女女，男男女，男男女，男女女，男女女；（2）共有10种不同的抽法，其中必有1女生的有9种，则必有1女生的概率是910． 【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比；解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 相交于点G ．（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证：DDE CF AD C ＝． （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，要使DDE CF AD C ＝成立，完成下列探究过程： 要使D DE CF AD C ＝，转化成D DE AD CF C ＝，显然△DEA 与△CFD 不相似，考虑DDE AD DF G ＝，需要△DEA ∽△DFG ，只需∠A ＝∠________;另一方面，只要D CF CD DF G ＝，需要△CFD ∽△CDG ，只需∠CGD ＝∠________．由此探究出使DDE CF AD C ＝成立时，∠B 与∠EGC 应该满足的关系是________． （3）如图③，若AB ＝BC ＝6，AD ＝CD=8，∠BAD=90°，DE ⊥CF ，那么DE CF的值是多少?(直接写出结果)【答案】（1）证明见解析；（2）DGF ，CDF ，∠B ＋∠EGC ＝180°；（3）9520DE CF ． 【分析】（1）根据矩形性质得出∠A ＝∠FDC ＝90°，求出∠CFD ＝∠AED ，证出△AED ∽△DFC 即可； （2）当∠B ＋∠EGC ＝180°时，DDE CF AD C ＝成立，分别证明即可； （3）过C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥AB 交AB 延长线于M ，连接BD ，设CN ＝x ，△BAD ≌△BCD ，推出∠BCD ＝∠A ＝90°，证△BCM ∽△DCN ，求出CM 25x ，在Rt △CMB 中，由勾股定理得出BM 2＋CM 2＝BC 2，代入得出方程（x−2）225x ）2＝22，求出CN ＝209，证出△AED ∽△NFC ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠FDC ＝90°，∵CF ⊥DE ，∴∠DGF ＝90°，∴∠ADE ＋∠CFD ＝90°，∠ADE ＋∠AED ＝90°，∴∠CFD ＝∠AED ，∵∠A ＝∠CDF ，∴△AED ∽△DFC ， ∴DDE CF AD C ＝； （2）当∠B ＋∠EGC ＝180°时，D DE CF AD C ＝． 要使D DE CF AD C ＝，转化成D DE AD CF C ＝，显然△DEA 与△CFD 不相似，考虑DDE AD DF G ＝，需要△DEA ∽△DFG ，只需∠A ＝∠DGF;另一方面，只要D CF CD DF G ＝，需要△CFD ∽△CDG ，只需∠CGD ＝∠CDF ． 当∠B ＋∠EGC ＝180°时：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠ADC ，AD ∥BC ，∴∠B ＋∠A ＝180°，∵∠B ＋∠EGC ＝180°，∴∠A ＝∠EGC ＝∠FGD ，∵∠FDG ＝∠EDA ，∴△DFG ∽△DEA ， ∴G DE AD DF D ＝， ∵∠B ＝∠ADC ，∠B ＋∠EGC ＝180°，∠EGC ＋∠DGC ＝180°，∴∠CGD ＝∠CDF ，∵∠GCD ＝∠DCF ，∴△CGD ∽△CDF ，∴DDF DG CF C ＝， ∴DDE AD CF C ＝， ∴DDE CF AD C ＝， 即当∠B ＋∠EGC ＝180°时，D DE CF AD C ＝成立； （3）过C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥AB 交AB 延长线于M ，连接BD ，设CN ＝x ，∵∠BAD ＝90°，即AB ⊥AD ，∴∠A ＝∠M ＝∠CNA ＝90°，∴四边形AMCN 是矩形，∴AM ＝CN ，AN ＝CM ，∵在△BAD 和△BCD 中，AD CD AB BC BD BD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD ≌△BCD （SSS ），∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ， ∴CM BC CN CD=，∴5CM x =， ∴CMx ， 在Rt △CMB 中，CMx ，BM ＝AM−AB ＝x−2，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2， ∴（x−2）2x ）2＝22， x ＝0（舍去），x ＝209， CN ＝209， ∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴9DE AD CF CN ===【点睛】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好． 21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB 的端点A 、B 均在小正方形的顶点上.（1）在方格纸中画出以AB 为一条直角边的等腰直角ABC ∆，顶点C 在小正方形的顶点上.（2）在方格纸中画出ABC ∆的中线BD ，将线段DC 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段'CD ，画出旋转后的线段'CD ，连接'BD ，直接写出四边形'BDCD 的面积.【答案】（1）见解析；（2）图形见解析，10【解析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质得出C 点位置；（2）直接利用三角形中线的定义按要求作图，结合网格可得出四边形BDCD′的面积．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示： BD=223110+=2'10BDCD S BD ==四边形.【点睛】考查等腰直角三角形的性质，作图-旋转变换，比较简单，找出旋转后的对应点是解题的关键.22．如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）【答案】17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，∴30,ACB ∠=︒∴20AB BC ==米，在Rt △CDB 中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CD CBD BC ∠= ∴sin60,CD BC︒= ∴3,220CD = ∴103CD =米，∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米．点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.23．在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的4个小球，它们分别标有数字1234、、、，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程27120x x -+=的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程27120x x -+=的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．【详解】(1)利用树状图表示为：；(2)公平；解方程27120x x -+=得：1234x x ==，，根据树状图知，共有12种情况，小明赢的情况有：3，4和4，3两种， 因而小明赢的概率是：21126=， 小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是： 小亮赢的概率是：21126=， 两人赢的机会相等，因而双方公平．【点睛】本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24．我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1550万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理.销售单价x （元）与年销售量y （万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：（1）请求出y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？【答案】（1）()0.134200300y x x =-+≤≤；（2）亏损，赔了110万元【分析】（1）设y kx b =+，将()200,14,()220,11代入求得系数即可.（2）根据年获利=单件利润⨯销量-800-1550【详解】解：（1）设y kx b =+，1420011230k b k b=+⎧⎨=+⎩ 11034k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 0.134y x =-+；（2）()()400.134W x x =--+20.138136x x =-+-，对称轴1902b x a=-=， ∵200300x ≤≤，0.10a =-<，∴200x =时，max 2240W =（万元）1550+800-2240=110（万元）∴赔了110万元.【点睛】本题考查了二次函数的实际中的应用，首先要明确题意，确定变量，建立模型解答.25．（10(1)|1+-+-π； （2）解方程311(1)(2)x x x x -=--+．【答案】（11；（2）无解【分析】（1）先算开方，0指数幂，绝对值，再算加减；（2）两边同时乘以(1)(2)x x -+，去分母，再解整式方程.【详解】（1）解：原式=3211-++1-（2）解：两边同时乘以(1)(2)x x -+，得：(2)3(1)(2)x x x x +-=-+222322x x x x x +-=+--1x =经检验1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】考核知识点：解分式方程.把分式方程化为整式方程是关键.26．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？【答案】（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功． 【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可； （2）当1x =时，求出此时的函数值，再与3.1m 比较大小即可判断.【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）． 设抛物线的解析式是()244y a x =-+， 将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-， 所以抛物线的解析式是()21449y x =--+； 篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.27．解方程：x(x －2)＋x －2＝1．【答案】1221x x ==-，．【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程．【详解】解：（x－2）（x+2）=2，∴x－2=2或x+2=2，∴x2=2，x2=-2．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．我们知道：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，如图，已知直线l和l外一点A，用直尺和圆规作图作直线AB，使AB⊥l于点A．下列四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据垂线的作法即可判断．【详解】观察作图过程可知：A．作法正确，不符合题意；B．作法正确，不符合题意；C．作法错误，符号题意；D．作法正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、垂线，解决本题的关键是掌握作垂线的方法．2．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c（a≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】解：A．由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，对称轴x=﹣2b a＞0，b ＜0；两者相矛盾，错误； B ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＜0，两者相矛盾，错误；C ．由一次函数的图象可知a ＜0，b ＞0，由抛物线图象可知a ＞0，两者相矛盾，错误；D ．由一次函数的图象可知a ＞0，b ＜0，由抛物线图象可知a ＞0，对称轴x=﹣2b a＞0，b ＜0；正确． 故选D ．【点睛】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．3．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A ．72︒B ．108︒C ．144︒D ．216︒【答案】B 【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360725︒=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O 旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【答案】A【解析】∵圆心O 到直线l 的距离d=3，⊙O 的半径R=4，则d ＜R ，∴直线和圆相交．故选A ．5．反比例函数m y x=的图象如图所示，以下结论：① 常数m ＜－1；② 在每个象限内，y随x的增大而增大；③ 若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④ 若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，故①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，mk2，因为m＞0，所以，h＜k，故③正确；函数图象关于原点对称，故④正确．因此，正确的是③④．故选C．6．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝13B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝13D．x＝0【答案】C【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.【详解】∵3x2﹣x=0，∴x（3x﹣1）=0，∴x=0或3x﹣1=0，∴x1=0，x2=，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.7．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=()A ．120°B ．110°C ．105°D ．100°【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D ，再利用圆周角定理即可得出．【详解】解：∵四边形ABDC 为圆内接四边形∴∠A+∠BDC=180°∵∠BDC=130°∴∠A=50°∴∠BOC=2∠A=100°故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．8．关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．－1【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根， ∴()a 1a 10{{4412a 10a 3≠-≠⇒∆=--≥≤. 即a 的取值范围是4a 3≤且a 1≠. ∴整数a 的最大值为0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键.9．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线， 故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．10．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，则cos B 的值为（ ）A ．1213B ．1312C ．135D ．513【答案】A【分析】根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义计算即可． 【详解】由勾股定理得，222251213AB AC BC +=+=， 则1213BC cosB AC ==， 故选：A ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 11．解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最适当的方法是 （ ）A ．直接开平方法．B ．配方法C ．公式法D ．分解因式法 【答案】D【详解】解：方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即（10x-5）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D ．12．如图，在平面直角坐标系中，若反比例函数(0)k y k x=≠过点(2)2，，则k 的值为（ ）A ．2B ．2﹣C ．4D ．4﹣【答案】C 【解析】把(2)2，代入k y x ＝求解即可. 【详解】反比例函数()0k y k x≠＝过点()22，， =22=4k ∴⨯，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本题包括8个小题）13．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线33y x =上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线33y x =上，依次进行下去…，若点A 的坐标是（0，1），点B 的坐标是（3，1），则点A 8的横坐标是__________．【答案】636+．【解析】试题分析：由题意点A 2的横坐标（+1），点A 4的横坐标3（+1），点A 6的横坐标（+1），点A 8的横坐标6（+1）．。

九年级上册合肥数学期末试卷测试卷（含答案解析）一、选择题1．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．452．函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点，则常数m 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．0,1 D ．1,2 3．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．44．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．3B ．5C ．4D ．65．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表：x2- 1-0 12y5 03- 4-3-以下结论：①二次函数2y ax bx c =++有最小值为4-； ②当1x <时，y 随x 的增大而增大；③二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点；④当13x 时，0y <.其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A．2 B．54C．53D．757．方程2x x=的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-1 8．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（―1，―3），则代数式mn+1有（）A．最小值―3 B．最小值3 C．最大值―3 D．最大值39．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．73B．234+C．1433D．223310．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若70ADB︒∠=，则ABC∠的度数是（）A．20︒B．70︒C．30︒D．90︒11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）①c＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．A．4个B．3个C．2个D．1个12．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．-3D ．3二、填空题13．如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段AB ＝4，点D 坐标为（4，3），点A 关于点D 的对称点为点C ，连接BC ，则BC 的最小值为_____．14．已知tan （α+15°）=33，则锐角α的度数为______°． 15．如图，AB 、CD 、EF 所在的圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，则r 1、r 2、r 3的大小关系是____．（用“＜”连接）16．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____. 17．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．18．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，则tanA 等于 ． 19．如图，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的正切值为_____．20．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．21．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣3m+2010的值为_____． 22．已知⊙O 半径为4，点,A B 在⊙O 上，21390,sin 13BAC B ∠=∠=，则线段OC 的最大值为_____．23．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒24．已知正方形ABCD 边长为4，点P 为其所在平面内一点，PD ＝5，∠BPD ＝90°，则点A 到BP 的距离等于_____．三、解答题25．对于代数式ax 2+bx +c ，若存在实数n ，当x ＝n 时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x 2，当x ＝0时，代数式等于0；当x ＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A ＝0． （1）代数式x 2﹣2的不变值是 ，A ＝ ． （2）说明代数式3x 2+1没有不变值；（3）已知代数式x 2﹣bx +1，若A ＝0，求b 的值．26．如图，抛物线y=-x 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A （-1，0）．过点A 作直线y=x+c 与抛物线交于点D ，动点P 在直线y=x+c 上，从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度向点D 运动，过点P 作直线PQ ∥y 轴，与抛物线交于点Q ，设运动时间为t （s ）.（1）直接写出b ，c 的值及点D 的坐标；（2）点 E 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE 的面积为6时，求出点E 的坐标；（3）在线段PQ 最长的条件下，点M 在直线PQ 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点D 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N 的坐标．27．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，点C 在OP 上，满足∠CBP ＝∠ADB ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．28．解方程： （1）x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）（2x ﹣1）2＝4（2x ﹣1）．29．如图，已知ABC ∆中，3045ABC ACB ∠=︒∠=︒，，8AB =.求ABC ∆的面积.30．某景区检票口有A 、B 、C 、D 共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A 检票通道的概率是 ；（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．31．如图，某农户计划用长12m 的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为7m ．（1）若生物园的面积为9m 2，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？ （2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？32．某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B 两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍，设B产品生产数量的增长率为x（0x ），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是2 5 .故选B.考点：概率.2．C解析：C【解析】【分析】分两种情况讨论，当m=0和m≠0，函数分别为一次函数和二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，列式求解即可．【详解】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：b2-4ac=4-4m=0，解得：m=1．∴m=0或m=1故选：C.【点睛】本题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．3．B解析：B分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选B．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．B解析：B【解析】【分析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故2216425BC CD+=+=故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据表中数据，可获取相关信息：抛物线的顶点坐标为（1，－4），开口向上，与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），据此即可得到答案. 【详解】①由表格给出的数据可知（0，-3）和（2，-3）是一对对称点，所以抛物线的对称轴为202+=1，即顶点的横坐标为x=1，所以当x=1时，函数取得最小值－4，故此选项正确； ②由表格和①可知当x ＜1时，函数y 随x 的增大而减少；故此选项错误；③由表格和①可知顶点坐标为（1，－4），开口向上，∴二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，一个是（－1，0），另一个是（3，0）；故此选项错误； ④函数图象在x 轴下方y<0，由表格和③可知，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的两个交点坐标是（－1，0）和（3，0），∴当13x 时，y<0；故此选项正确；综上：①④两项正确， 故选：B ． 【点睛】本题综合性的考查了二次函数的性质，解题的关键是能根据二次函数的对称性判断：纵坐标相同两个点的是一对对称点．6．D解析：D 【解析】 【分析】如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．首先证明AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，求出BC 、BE ，在Rt △BCE 中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC=4，AB=3， ∴2234+， ∵CD=DB ， ∴AD=DC=DB=52， ∵12•BC•AH=12•AB•AC ，∴AH=125，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO=12•BD•AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245，在Rt△BCE中，75 ==.故选D．点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．7．C解析：C【解析】【分析】根据因式分解法，可得答案．【详解】解：2x x=，方程整理，得，x2-x=0因式分解得，x（x-1）=0，于是，得，x=0或x-1=0，解得x1=0，x2=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．8．A解析：A【解析】【分析】把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.【详解】∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n，∴n=-4+m，代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn +1有最小值-3. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．9．C解析：C 【解析】 【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题． 【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点， ∴易证AE ⊥BC ， ∵A 、C 关于BD 对称， ∴PA ＝PC ， ∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长． 观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6， ∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝ ∵BC ∥AD ， ∴AD PDBE PB= ＝2，∵BD ＝∴PD ＝233⨯=∴点H 的横坐标b ，∴a +b ＝=； 故选C ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．10．A解析：A【解析】【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．11．C解析：C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．要求熟练运用此公式解题．二、填空题13．6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．解析：6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．【详解】解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，由题可得，D是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵点D坐标为(4，3)，∴OD5，∵Rt△ABO中，OE＝12AB＝12×4＝2，∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，∴BC的最小值等于6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．14．15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan（α+15°）=∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，解析：15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：tan（α+15°）∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．15．r3 ＜r2 ＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径∴r3 ＜r2 ＜r1故答案为：r解析：r3＜r2＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径∴r3＜r2＜r1故答案为：r3＜r2＜r1【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.16．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠解析：2m【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.17．【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接D解析：4 5【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接DE,DF,∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴AD AE DE BF BD DF,设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,∵AD AE DE BF BD DF,∴AD AE DE DE BF BD DF DF ∴323x x DE x x DF∴45DE DF , ∴45CE CF .故答案为：45. 【点睛】 本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口. 18．.【解析】试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：43. 【解析】 试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.∴根据勾股定理可得4BC k =.∴44tanA 33BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.19．1【解析】根据勾股定理求出△ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB ＝90°，再解直角三角形求出即可．【详解】如图：长方形AEFM ，连接AC ，∵由勾股定理得：AB解析：1【解析】【分析】根据勾股定理求出△ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB ＝90°，再解直角三角形求出即可．【详解】如图：长方形AEFM ，连接AC ，∵由勾股定理得：AB 2＝32+12＝10，BC 2＝22+12＝5，AC 2＝22+12＝5∴AC 2+BC 2＝AB 2，AC ＝BC ，即∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝45°∴tan ∠ABC=1【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB ＝90°是解此题的关键.20．【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，三月份的产量为：.【详解】二月份的产量为：，三月份的产量为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟解析：2500(1)720x +=【解析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 21．2019【解析】【分析】根据m 是方程5x2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解解析：2019【解析】【分析】根据m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m 2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣1m ＝3，然后整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，∴5m 2﹣3m ﹣1＝0，∴5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣1m ＝3， ∴15m ﹣3m +2010＝3（5m ﹣1m）+2010＝9+2010＝2019， 故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.22．【解析】【分析】过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE的最大值，则答案即可求出.解析：41383+【解析】【分析】过点A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先证明ABC AEO∆∆，由三角函数可得出23AOAE=，进而求得6AE=，再通过证明AEB AOC∆∆，可得出23OC BE=，根据三角形三边关系可得:BE OE OB≤+,由勾股定理可得213OE=，求出BE的最大值，则答案即可求出.【详解】解:过点A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,∵OAE BACAEO ABC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩,∴ABC AEO∆∆,∴tanAC AOBAB AE∠==,∵213sin B∠=,∴2213313cos11313B⎛⎫∠=-=⎪⎪⎝⎭,∴213sin213tancos3313BBn B∠∠===∠,∴23AOAE=，又∵4AO=,∴6AE=,∵90,90EAB BAO OAC BAO∠+∠=︒∠+∠=︒，∴=EAB OAC∠∠，又∵AC AO AB AE=， ∴AEB AOC ∆∆, ∴23OC AC BE AB ==, ∴23OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,∵OE ===，∴4OE OB +=,∴BE 的最大值为：4，∴OC 的最大值为：()28433=. 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 23．120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA ，OB 为半径，∴，∴，∴劣弧的度数等于，故答案为：1解析：120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA ，OB 为半径，∴30OAB ABO ∠=∠=︒，∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，∴劣弧AB的度数等于120︒，故答案为：120．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．24．或【解析】【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．【详解】-335+335【解析】【分析】由题意可得点P在以D5P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP 的距离．【详解】∵点P满足PD5∴点P在以D5∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图，点P是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，∴BD＝2∵∠BPD＝90°，∴BP22BD PD-3，∵∠BPD＝90°＝∠BAD，∴点A，点B，点D，点P四点共圆，∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴AH＝HP，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴16＝AH2+（3AH）2，∴AH 335+AH335-，若点P在CD的右侧，同理可得AH＝3352，综上所述：AH＝3352或3352．【点睛】本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D5BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．三、解答题25．（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1【解析】【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x 2+1没有不变值；（3）由A ＝0可得出方程x 2﹣（b +1）x +1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．【详解】解：（1）依题意，得：x 2﹣2＝x ，即x 2﹣x ﹣2＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝2，∴A ＝2﹣（﹣1）＝3．故答案为﹣1和2；3．（2）依题意，得：3x 2 +1＝x ，∴3x 2﹣x +1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴该方程无解，即代数式3x 2+1没有不变值．（3）依题意，得：方程x 2﹣bx +1= x 即x 2﹣（b +1）x +1＝0有两个相等的实数根， ∴△＝[﹣（b +1）]2﹣4×1×1＝0，∴b 1＝﹣3，b 2＝1．答：b 的值为﹣3或1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．26．（1）b=2，c=1，D （2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)【解析】【分析】（1）将点A 分别代入y=-x 2+bx+3，y=x+c 中求出b 、c 的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D 的坐标；（2））过点E 作EF ⊥y 轴，设E （x ，-x 2+2x+3），先求出点B 、C 的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE 的面积，即可求出点E 的坐标.（3）分别以点D 、M 、N 为直角顶点讨论△MND 是等腰直角三角形时点N 的坐标．【详解】（1）将A （-1,0）代入y=-x 2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，∴y=-x 2+2x+3，将点A 代入y=x+c 中，得-1+c=0，解得c=1，∴y=x+1，解2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得1123x y =⎧⎨=⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩（舍去）， ∴D （2,3）.∴b= 2 ，c= 1 ，D （2,3）.（2）过点E 作EF⊥y 轴，设E （x ，-x 2+2x+3）,当y=-x 2+2x+3中y=0时，得-x 2+2x+3=0，解得x 1=3，x 2=-1（舍去），∴B(3，0).∵C(0，3)，∴CBE CBO CFE S S S梯形OFEB -S ， ∴22111633(3)(23)(2)222x x x x x x ， 解得x 1=4,x 2=-1（舍去），∴E(4，-5).（3）∵A(-1，0),D(2，3),∴直线AD 的解析式为y=x+1,设P （m ，m+1），则Q （m ，-m 2+2m+3），∴线段PQ 的长度h=-m 2+2m+3-（m+1）=219()24m， ∴当12m ==0.5，线段PQ 有最大值. 当∠D 是直角时，不存在△MND 是等腰直角三角形的情形；当∠M 是直角时，如图1，点M 在线段DN 的垂直平分线上，此时N 1（2,0）；当∠M 是直角时，如图2，作DE ⊥x 轴，M 2E ⊥HE ，N 2H ⊥HE,∴∠H=∠E=90︒,∵△M 2N 2D 是等腰直角三角形，∴N 2M 2=M 2D,∠N 2M 2D=90︒,∵∠N 2M 2H=∠M 2DE,∴△N2M2H≌△M2DE,∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，∴E(2，-1.5)，∴M2H=DE=3+1.5=4.5，∴ON2=4.5-0.5=4，∴N2(-4，0)；当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，∴∠N3HM3=∠DEN3=90︒,∵△M3N3D是等腰直角三角形，∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90︒，∵∠DN3E=∠N3M3H，∴△DN3E≌△N3M3H，∴N3H=DE=3，∴N3O=3-0.5=2.5，∴N3(-2.5，0)；当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，∴∠N4HM4=∠DEN4=90︒,∵△M4N4D是等腰直角三角形，∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90︒，∵∠DN4E=∠N4M4H，∴△DN4E≌△N4M4H，∴N4H=DE=3，∴N4O=3+0.5=3.5，∴N4(3.5，0)；综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式；根据函数性质得到点坐标，由此求出图象中图形的面积；还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况，此时依据等腰直角三角形的性质，求出点N的坐标.27．（1）见解析；（2）BP＝7.【解析】【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长．【详解】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴APAD ＝AOAB，即14BP＝21，解得：BP＝7．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．28．（1）x＝22；（2）x＝52或x＝12．【解析】【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x+1＝2，∴（x ﹣2）2＝2， ∴x ＝2±2．（2）∵（2x ﹣1）2＝4（2x ﹣1），∴（2x ﹣1﹣4）（2x ﹣1）＝0，∴x ＝52或x ＝12. 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.29．8+83【解析】【分析】过点A 作AD ⊥BC ,垂足为点D ，构造直角三角形，利用三角函数值分别求出AD 、BD 、CD 的值即可求三角形面积．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC ,垂足为点D ，在Rt △ADB 中，∵sin AD ABC AB ∠=， ∴sin AD AB ABC =⋅∠= 1842⨯= ∵cos BD ABC AB∠=， ∴3cos 843BD AB ABC =⋅∠=⨯= 在Rt △ADC 中，∵45ACB ︒∠=，∴45CAD ︒∠=，∴AD =DC =4∴ 111()(443)4883222ABC S BC AD BD CD AD ∆=⋅=+⋅=⨯+⨯=+【点睛】本题考查的知识点是利用勾股定理求三角形面积，通过作辅助线构造直角三角形结合三角函数值是解此题的关键．30．（1）14；（2）14. 【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率=14，故答案为:14；（2）解：列表如下：共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）∴P（E）＝416＝14．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．31．（1）3m；（2）生物园垂直于墙的一边长为2m．平行于墙的一边长为6m时，围成生物园的面积最大，且为12m2【解析】【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（12－3x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为9平方米，列出方程，解方程即可；（2）设围成生物园的面积为y，由题意可得：y＝x（12﹣3x）且53≤x＜4，从而求出y的最大值即可．【详解】设这个生物园垂直于墙的一边长为xm，（1）由题意，得x（12﹣3x）＝9，解得，x1＝1（不符合题意，舍去），x2＝3，答：这个生物园垂直于墙的一边长为3m；（2）设围成生物园的面积为ym2．由题意，得()()21233212y x x x -+==--，∵12371230x x -≤⎧⎨-⎩＞ ∴53≤x ＜4 ∴当x ＝2时，y 最大值＝12，12﹣3x ＝6，答：生物园垂直于墙的一边长为2m ．平行于墙的一边长为6m 时，围成生物园的面积最大，且为12m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是正确解读题意，根据题目给出的条件，准确列出方程和二次函数解析式．32．5%【解析】【分析】根据题意，列出方程即可求出x 的值．【详解】根据题意，得2(12)200(12)(14)100(1)(22001100)(1 4.4)x x x x x +⨯+++⨯+=⨯+⨯+整理，得2200x x -=解这个方程，得15%x =，20x =（不合题意，舍去）所以x 的值是5%．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M .对于下列结论： ①BAECAD ∆∆；②MP MD MA ME ⋅=⋅；③22CB CP CM =⋅.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③【答案】A【解析】分析：（1）由等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明△PAM ∽△EMD 即可； （3）2CB 2转化为AC2，证明△ACP ∽△MCA ，问题可证． 详解：由已知：2AB ，2AE ∴AC ADAB AE＝ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE ∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE ∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME ∽△AMD ∴MP MEMA MD＝ ∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD∴P 、E 、D 、A 四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90° ∴△CAP ∽△CMA∴AC 2=CP•CM∵AB ∴2CB 2=CP•CM 所以③正确 故选A ．点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． 2．抛物线y ＝x 2﹣4x+2不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：y ＝x 2﹣4x+4﹣2＝（x ﹣2）2﹣2， 即抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），在第四象限；当y ＝0时，x 2﹣4x+2＝0，解得：x ＝2，即与x 轴的交点坐标是（，0）和（2，0），都在x 轴的正半轴上， a ＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y 轴的交点坐标是（0，2）， 即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C ． 【点睛】本题考查了求函数图像与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式再求顶点坐标3．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤B ．54k ＞C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 【答案】D【解析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x+1＝0有两个实数根， ∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ，解得：k≤54且k≠1． 故选：D ． 【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键4．在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能 （ ） A ．4个 B ．6个C ．34个D ．36个【答案】B【解析】试题解析：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右， ∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%=6个. 故选B.点睛：由频数=数据总数×频率计算即可．5．如图，在ABC 中， 10AB AC cm ==， F 为AB 上一点，2AF =，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2/cm s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以1/cm s 的速度匀速运动，设运动时间为05()()t s t <<，连接DE 交CF 于点G ，若2CG FG =，则t 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则DF=10-2-t=8-t ，证明△DFG ∽△HCG ，可求出CH ，再证明△ADE ∽△CHE ，由比例线段可求出t 的值．【详解】解：过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则BD=t ，AE=2t ，DF=10-2-t=8-t ，∵DF ∥CH ， ∴△DFG ∽△HCG ， ∴1==2DF FG CH CG ， ∴CH=2DF=16-2t ， 同理△ADE ∽△CHE ，∴=AD AECH CE ， ∴102=162102t tt t---，解得t=2，t=253（舍去）．故选：B ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论：①12AF FD =；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ ）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③【答案】D【详解】∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴AF AE BC CE ==13， ∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4，AEF BCES S=（AF BC ）2=19， ∴S △BCE =36；故②正确； ∵EF AE BE CE = =13， ∴AEF ABES S=13， ∴S △ABE =12，故③正确； ∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ．7．如图，ABC ∆内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，40ACB ∠=，点D 是弧BAC 上一点，连接CD ，则D ∠的度数是（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°【答案】A【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ABC=90°，计算出∠BAC 的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠D 的度数．【详解】解：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°， 又∵40ACB ∠=， ∴∠BAC=90°-40°=50°， 又∵∠BAC 与所对的弧相等， ∴∠D=∠BAC=50°， 故答案为A ． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．8．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π【答案】C【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长＝9063180ππ⨯=. 故选C ． 【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：180n Rl π=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 9．如图，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线，交⊙O 直径AB 的延长线于点D ．若∠D ＝40°，则∠A 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】B【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案． 【详解】解：连接OC ， ∵DC 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=40°， ∴∠DOC=50°， ∵AO=CO ， ∴∠A=∠ACO ， ∴∠A=12∠DOC=25°．故选：B ． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键．10．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，43B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为（ ）． A ．cos 43mB ．cos 43m •C ．sin 43m •D ．tan 43m •【答案】A【分析】根据余弦的定义和性质求解即可． 【详解】∵90C ∠=︒，43B ∠=︒，BC m =∴cos BCB AB = ∴cos cos 43BC mAB B ==︒故答案为：A ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握余弦的定义和性质是解题的关键． 11．下列说法正确的是（ ）A ．购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是12B ．国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件C ．如果在若干次试验中一个事件发生的频率是14，那么这个事件发生的概率一定也是14D ．如果车间生产的零件不合格的概率为11000，那么平均每检查1000个零件会查到1个次品 【答案】C【详解】解：A 、购买江苏省体育彩票“中奖”的概率是中奖的张数与发行的总张数的比值，故本项错误； B 、国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本项错误； C 、如果在若干次试验中一个事件发生的频率是14，那么这个事件发生的概率一定也是14，正确； D 、如果车间生产的零件不合格的概率为11000，那么平均每检查1000个零件不一定会查到1个次品，故本项错误， 故选C ． 【点睛】本题考查概率的意义，随机事件．12．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<【答案】A【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<. 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题） 13．若点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x=上的点，则1y __________2y （填“>”，“<”或“=”) 【答案】>【分析】根据30k =>得出反比例图象在每一象限内y 随x 的增大而减小，再比较两点的横坐标大小，即可比较两点的纵坐标大小．【详解】解：∵3y x=，30k =>， ∴反比例函数3y x=的图象在第一、三象限内，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x=上的点，且1<2， ∴12y y >， 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握k>0时，反比例函数图象在每一象限内y 随x 的增大而减小是解题的关键．14．若α∠，β∠均为锐角，且满足sin 0α+=，则αβ∠-∠=__________︒． 【答案】15【分析】利用绝对值和二次根式的非负性求得sin ;tan αβ的值，然后确定两个角的度数，从而求解.【详解】解：由题意可知：sin 0;tan 10αβ-=-=∴sin tan 12αβ== ∴∠α=60°，∠β=45° ∴∠α-∠β=15° 故答案为：15 【点睛】本题考查绝对值及二次根式的非负性和特殊角的三角函数值，正确计算是本题的解题关键. 15．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为__________． 【答案】0.1【解析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.1左右， 估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.1． 故答案为：0.1． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 16．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b ＝a 2﹣b ，根据这个规则，方程（x+2）※9＝0的解为_____．【答案】x 1＝1，x 2＝﹣1．【分析】先阅读题目，根据新运算得出（x+2）2﹣9＝0，移项后开方，即可求出方程的解． 【详解】解：（x+2）※9＝0， （x+2）2﹣9＝0， （x+2）2＝9， x+2＝±3， x 1＝1，x 2＝﹣1，故答案为x 1＝1，x 2＝﹣1． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意列方程.17．已知0234a b c ==≠，则b ca +的值为___________. 【答案】72【分析】设234a b c k ===，分别表示出a,b,c,即可求出b ca +的值.【详解】设234a b ck ===∴2,3,4a k b k c k ===∴34722b c k k a k ++== 故答案为72【点睛】本题考查了比例的性质，利用参数分别把a,b,c 表示出来是解题的关键.18．小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上,他第二次再抛这枚硬币时,正面向 上的概率是 . 【答案】12【解析】∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现， ∴他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是：12三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，平面直角坐标系xOy 中点A 的坐标为（﹣1，1），点B 的坐标为（3，3），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E ．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．【答案】（1）E点坐标为(0,32)；（2）21122y x x=-；（3）四边形ABNO面积的最大值为7516，此时N点坐标为(32，38)．【分析】（1）先利用待定系数法求直线AB的解析式，与y轴的交点即为点E；（2）利用待定系数法抛物线的函数解析式；（3）先设N(m，12m2−12m)(0＜m＜3)，则G（m，m），根据面积和表示四边形ABNO的面积，利用二次函数的最大值可得结论．【详解】（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，把A（-1，1），B（3，3）代入得133m nm n-+⎧⎨+⎩＝＝，解得1232mn⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，所以直线AB的解析式为y＝12x+32，当x=0时，y＝12×0+32＝32，所以E点坐标为(0，32 )；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得1933a b ca b cc-+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得1212abc⎧⎪⎪⎨-⎪⎪=⎩＝＝，所以抛物线解析式为y＝12x2−12x；（3）如图，作NG∥y轴交OB于G，OB的解析式为y=x，设N(m，12m2−12m)(0＜m＜3)，则G（m，m），GN＝m−(12m2−12m)＝−12m2+32m，S△AOB=S△AOE+S△BOE=12×32×1+12×32×3=3，S△BON＝S△ONG+S BNG＝12•3•(−12m2+32m)＝−34m2+94m所以S四边形ABNO＝S△BON+S△AOB＝−34m2+94m+3＝−34(m−32)2+7516当m＝32时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为7516，此时N点坐标为(32，38)．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的性质；理解坐标与图形性质，利用面积的和差计算不规则图形的面积．20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝116°，则∠ADC的角度是_____．【答案】58°【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】∵∠AOC和∠ADC都对ABC，∴∠ADC=12∠AOC=12×116°=58°．故答案为：58°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．解方程（1）2(32)25x +=（2）27100x x -+=【答案】（1）x 1=1 x 2=73-（2）x 1=2 x 2=5 【分析】（1）根据直接开平方法即可求解（2）根据因式分解法即可进行求解.【详解】解方程（1）2(32)25x +=3x+2=5或 3x+2=－5x 1=1 x 2=73- （2）27100x x -+=(x －2）（x －5）=0x －2=0或x －5=0 x 1=2 x 2=522．如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60〫、45〫，如果无人机距地面高度1003CD =米，点A 、D 、B 在同水平直线上，求A 、B 两点间的距离．（结果保留根号）【答案】A 、B 两点间的距离为100（3【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt △BCD 中利用等腰直角三角形的性质得3，然后计算AD+BD 即可．【详解】∵无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A =60°，∠B =45°，在Rt ACD 中，∵tanA =CD AD， ∴AD 10031003603=100， 在Rt BCD 中，BD =CD =3，∴AB =AD+BD =3100(3．答：A 、B 两点间的距离为100(1+3)米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．23．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且90BEF ∠=︒，延长EF 交BC 的延长线于点G ．（1）求证：△ABE ∽△EGB ．（2）若6AB =，求CG 的长．【答案】（1）详见解析；（2）1．【分析】（1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出ABE G ∠=∠，再加上一组直角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证；（2）先根据正方形的性质、中点的性质求出AE 的长，再根据勾股定理求出BE 的长，最后根据相似三角形的性质、线段的和差即可得．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，且90BEF BEG ∠∠==︒90,90A BEG ABC ︒∠∴∠===∠︒90,90ABE EBG G EBG ∴∠+∠=︒∠+∠=︒ABE G ∴∠=∠ABE EGB ∴∆~∆；（2）∵四边形ABCD 为正方形，6AB = 6AD BC AB ∴===点E 为AD 的中点132AE DE AD ∴=== 在Rt ABE ∆中，22226353BE AE AB +=+=由（1）知，ABE EGB ∆∆AE BE EB GB ∴=3535=15BG ∴=1569CG BG BC ∴=-=-=故CG的长为1．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），由题（1）的结论联系到利用相似三角形的性质是解题关键．24．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？【答案】2m【详解】解：设道路的宽为xm，（32-x）（20-x）=540，整理，得x2-52x+100=0，∴（x-50）（x-2）=0，∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），小道的宽应是2m．故答案为2.【点睛】此题应熟记长方形的面积公式，另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.25．如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数2kyx（x＞0）的图象交于A（m，1），B（1，n）两点．（1）求k，m，n的值；（2）利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．【答案】（1）m=3，k=3，n=3；（1）当1＜x＜3时，y1＞y1；当x＞3时，y1＜y1；当x=1或x=3时，y1=y1．【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，将A坐标代入反比例解析式求出k的值；（1）利用图像，可知分x=1或x=3，1＜x＜3与x＞3三种情况判断出y1和y1的大小关系即可．【详解】（1）把A（m，1）代入y=-x+4得：1=﹣m+4，即m=3，∴A（3，1），把A（3，1）代入y=kx得：k=3，把B（1，n）代入一次函数解析式得：n=﹣1+4=3；（1）∵A（3，1），B（1，3），∴根据图像得当1＜x＜3时，y1＞y1；当x＞3时，y1＜y1；当x=1或x=3时，y1=y1．26．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．【答案】证明见解析．【分析】根据AC=26CD＝4，BD＝2，可得AC CDBC AC=，根据∠C =∠C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=26CD＝4，BD＝2∴266ACBC==，626CDAC==∴AC CD BC AC=∵∠C =∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．27．元旦期间，商场中原价为100元的某种商品经过两次连续降价后以每件81元出售，设这种商品每次降价的百分率相同，求这个百分率．【答案】10%【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x-1）2，从而列出方程，求出答案．【详解】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（x-1）2元，根据题意得：100（x-1）2=81，即x-1=0.9，解之得x1=1.9，x2=0.1．因x=1.9不合题意，故舍去，所以x=0.1．即每次降价的百分率为0.1，即10%．答：这个百分率为10%．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞98B ．k ＜98C ．k ＜﹣98D ．k ＜89【答案】B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，解得k ＜98． 故选：B ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．2．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a 、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．故选C ．本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．3．如图，⊙O 的半径为5，将长为8的线段PQ 的两端放在圆周上同时滑动，如果点P 从点A 出发按逆时针方向滑动一周回到点A ，在这个过程中，线段PQ 扫过区域的面积为()A ．9πB ．16πC ．25πD ．64π【答案】B 【分析】如图，线段PQ 扫过的面积是图中圆环面积．作OE ⊥PQ 于E ，连接OQ 求出OE 即可解决问题．【详解】解：如图，线段PQ 扫过的面积是图中圆环面积，作OE ⊥PQ 于E ，连接OQ ．∵OE ⊥PQ ，∴EQ ＝12PQ ＝4， ∵OQ ＝5，∴OE 2222543OC QE -=-=，∴线段PQ 扫过区域的面积＝π•52﹣π•32＝16π，故选：B ．【点睛】本题主要考查了轨迹，解直角三角形，垂径定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线.4．不等式组542(1)2532132x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩的解集是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≥- C ．22x -<≤ D ．22x -≤<【分析】根据不等式的性质解不等式组即可.【详解】解：542(1)2532132x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩化简可得：22x x ≥-⎧⎨<⎩ 因此可得22x -≤<故选D.【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.5．在平面直角坐标系中，点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，1）【答案】B【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选: B.【点睛】根据两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反.6．如图所示的几何体的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据左视图是从几何体左面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的左视图为长方形，据此观察选项即可得.【详解】观察实物，可知这个几何体的左视图为长方形，只有D 选项符合题意，故选D.【详解】本题考查了几何体的左视图，明确几何体的左视图是从几何体的左面看得到的图形是解题的关键.注意错误的选项B 、C.7．已知二次函数22y x x m =-+（m 为常数），当12x -≤≤时，函数值y 的最小值为3-，则m 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4- 【答案】B【分析】函数配方后得2(-1)1y x m =+-，抛物线开口向上，在=1x 时，取最小值为-3，列方程求解可得．【详解】∵22-2=(-1)+-1y x x m x m =+，∴ 抛物线开口向上，且对称轴为=1x ，∴在=1x 时，有最小值-3，即：-1-3m =，解得2m =-，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及增减性是解题的关键．8．如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )A ．12B ．1C ．2D 2【答案】B【分析】连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．【详解】解：连接OA 、OB ，如图1，2OA OB ==，2AB =，OAB ∴为等边三角形，60AOB ∴∠=︒， 1302APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒90ACP ∴∠=︒2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，CD AB ∴⊥，1CD =，12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．故选B ．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．9．方程2568a a =-化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．5，6，-8B ．5，-6，-8C ．5，-6，8D ．6，5，-8【答案】C【分析】先将该方程化为一般形式，即可得出结论．【详解】解：先将该方程化为一般形式：25680a a -+=．从而确定二次项系数为5，一次项系数为-6，常数项为8故选C ．【考点】此题考查的是一元二次方程的项和系数，掌握一元二次方程的一般形式是解决此题的关键．10．下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的 【答案】C【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A 、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确；B 、∵﹣221b a =，∴抛物线的对称轴为直线x=12，选项B 不正确； C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确； D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线x=12， ∴当x ＞12时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确， 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），对称轴直线x=-2b a，当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.11．圆心角为140°的扇形的半径为3cm ，则这个扇形的面积是（ ）cm 1．A ．πB ．3πC ．9πD ．6π【答案】D 【解析】试题分析：扇形面积的计算公式为：2π2409S 6π360360n r π⨯⨯===，故选择D ． 12．抛物线y=x 2+bx+c 过(-2，0)，(2，0)两点，那么抛物线对称轴为（ ）A ．x=1B ．y 轴C ．x= -1D ．x=-2 【答案】B【分析】由二次函数图像与x 轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的交点是（-2，0）和（2，0），∴这条抛物线的对称轴是：x=(2)202-+=， 即对称轴为y 轴；故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式x=122x x +求解． 二、填空题（本题包括8个小题）13．已知O 的半径3,cm 点P 在O 内,则OP _________3cm （填>或=，<）【答案】< 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解.【详解】解：O 的半径为3,cm 点P 在O 内，3OP cm ∴<．故答案为:<．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系.14．因式分解：269x x -+= ．【答案】2(3)x -．【详解】解：269x x -+=2(3)x -．故答案为2(3)x -．考点：因式分解-运用公式法．15．已知：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，E 为AC 的中点，若8CD =，5DE =，则AD 的长是_______．【答案】6【分析】先根据直角三角形的性质求出AC 的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 中，AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°．∵E 是AC 的中点，DE ＝5，CD ＝8，∴AC ＝2DE ＝1．∴AD 2＝AC 2−CD 2＝12−82＝2．∴AD ＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．16．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．【答案】y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【解析】设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），令a ＝1即可．【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），把a ＝1代入，得y ＝x 2+2x ．故答案为y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．17．若点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x =上的点，则1y __________2y （填“>”，“<”或“=”) 【答案】>【分析】根据30k =>得出反比例图象在每一象限内y 随x 的增大而减小，再比较两点的横坐标大小，即可比较两点的纵坐标大小． 【详解】解：∵3y x =，30k =>， ∴反比例函数3y x=的图象在第一、三象限内，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x =上的点，且1<2， ∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握k>0时，反比例函数图象在每一象限内y 随x 的增大而减小是解题的关键．18．已知12,x x 是方程2410x x -+= 的两个实数根，则1212x x x x +-的值是____．【答案】1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得出124x x +=，121=x x ，再代入1212x x x x +-中计算即可．【详解】解：∵12,x x 是方程2410x x -+= 的两个实数根，∴124x x +=，121=x x ，∴1212413x x x x +-=-=，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12c x x a=． 三、解答题（本题包括8个小题）19．关于x 的一元二次方程为（ｍ－1）x 2－2ｍx ＋ｍ＋1＝0（1）求出方程的根；（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【答案】（1）∴12m 1x x 1m 1+==-，． （2）ｍ=2或3 ．【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．（2）利用（1）中x 的值来确定m 的值．【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，∴()()122m 2m 12m 2x x 12m 1m 12m 1++-====---，． （2）由（1）知1m 12x 1m 1m 1+==+--， ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 1-是正整数． ∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．20．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x 2+130x +2300，0＜x ≤10且x 为正整数；（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元.【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x ），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y=2520时代入y=-10x 2+130x+2300中，求出x 的值即可．（3）把y=-10x 2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y 有最大值，再根据0＜x≤10且x 为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y 的值即可．【详解】（1）根据题意得：y ＝（30+x ﹣20）（230﹣10x ）＝﹣10x 2+130x+2300，自变量x 的取值范围是：0＜x≤10且x 为正整数；（2）当y ＝2520时，得﹣10x 2+130x+2300＝2520，解得x 1＝2，x 2＝11（不合题意，舍去）当x ＝2时，30+x ＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y ＝﹣10x 2+130x+2300＝﹣10（x ﹣6.5）2+2722.5，∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝6.5时，y 有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x 为正整数，∴当x ＝6时，30+x ＝36，y ＝2720（元），当x ＝7时，30+x ＝37，y ＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．21．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m ，200m ，400m(分别用1A 、2A 、3A 表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用1B 、2B 表示)．()1该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；()2该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．【答案】 (1)25;(2)35. 【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：。

2018-2019 学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分每小题都给出 A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正 确的，不选、选错或多选的一律得 0 分）1．（4 分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是 ( )A ．B ．C ． )D ．2．（4 分）一斜坡的坡角为 45，则其坡度为 ( 3 A ．1:B ．1: 3C ．1:1D ．1: 23y(x 3)2 4的图象，只需将函数 y x 2 ( ))的图象 3．（4 分）若要得到函数 A ．先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度 B ．先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度 C ．先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度 D ．先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度 4．（4 分）在 ABC 中， C 90 ．若 AB 3 ， BC 1，则 cos A 的值为 (1 32 23 A ． B ． 2 2C ．D ．3 S 和 S ，5．（4 分）如图，A O B ∽CO D ，O A:O C 7 :5 ，A x ，C y ，AOB 与 CO D 的面积分别是 1 2AOB 与 CO D 的周长分别是 C 和 C ，则下列等式一定成立的是 ( )125S7SD ． 5C7CA ． 5B O 7CD B ． 5x 7yC ． 1212k y A(4,1)，当 y 1 x 时， 的取值范围是( )6．（4 分）如图，反比例函数 的图象经过点x x 0 x 4 或 0 x 4 x 4 x4A ．B ．C ．D ． 7．（4 分）下列命题是真命题的是 ( )A ．过三点可以确定一个圆B ．所有的相似图形都是位似图形C ．在 ABC 中，若 C 90 ，则 t an A t an B 1y x 2 2x 1，当0 x 3 时，则 y 的取值范围是 1 y 2 D ．已知函数 8．（4 分）如图，A ，B 是 O 上的两点，C 是 OA B 上不与 ， 重合的任意一点，如果 AOB 142 ，那么 ACB 的度数为 ( )A ． 71B ．142C ． 71 或142D ． 71 或109y 2ax 2 2ax b(a 0) y b a ；当自变量 x n 时， y b a，，当自变量 x m 时， 9．（4 分）已知函数 m n ( ) 且 ；则下列关于 m ， n 的关系正确的是 A ． m n 1B ． m n 2C ． m n 1D ． m n 210．（4 分）如图，在矩形 AB C D 中， AB 3 ， AD 3 ，连接 AC ，点 E 为 AC 上一个动点，点 F 为 BC 上一 个动点，连接 BE 、 EF ，且始终满足 ABE BFE ，则线段 BF 的最小值为 ( )3 A ．1 B ． C ． 3D ．2 2二、填空題（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分y x 2 4x 4 的图象与 x 轴的交点坐标为．11．（5 分）二次函数 12．（5 分）圆心角为1206cm cm． ，半径为 的扇形的弧长是ky x 13．（5 分）如图，点 M ， N 是反比例函数 ( 0) 图象上的两点，过点 M ， N 分别作 M A x 轴于点 A ，xN B x 轴于点 B ，连接 B M ， O N ，已知点 B(2,0) ， A M 2 ， S 3 S ，则AB MBON14．（5 分）如图，在 Rt AB C 中， BAC 90 ， AB AC ， B C 20 ，点 M 是 AB 的中点，点 N 是 A C 的中 点，连接 M N ，点 P 是边 B C 上一点，PC 17 ，点 Q 是线段 PC 上的一个动点，连接 M Q ，PN ，M Q 与 PN 相 交于点 R ．若 PQ R 是直角三角形，则 M R 的长是．三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）1 3tan 30 cos2 452s in 60．15．（8 分）计算： cos 60 16．（8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， AB C 的顶点均在格点上，点 A 的坐标为 (2,2) ．A B C ，在网格中画出图形；（1）以点 B 为位似中心，将 ABC 放大到原来的 2 倍得到△ 11A B C ，并直接写出点 C 的坐标．（2）在网格中，画出将 ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90 所得到的△ 2 2 22四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）y 2x 2 b x c (a 0) 经过点 (1,5) ， (0,3) 17．（8 分）已知抛物线 （1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．18．（8 分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题： “今有圆材， 埋在壁中， 不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，ABO C D AB 为 的直径，弦 E AE 1 于点 ， C D 10寸， 求直径 AB 的长 ．寸，请你解答这个问题 ． 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19．（10 分）如图，某数学兴趣小组为了测量教学楼 AB 的高度，测得教学楼与实验楼之间距离为 40 米，又在实 验楼的窗户 D 处，测得教学楼顶端 A 的仰角为 30 ，底端 B 的俯角为10 ，请根据以上数据，求出教学楼 AB 的 高度．（精确到 0.1 米）（参考数据： s in10 0.17 ， cos10 0.98 ， t an10 0.18 ， 2 1.41， 3 1.73)20．（10 分）如图，在 ABC 中，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，BAC 2DBC 2E C B ，AF 平分 BA C 交 BC 于点 F ， AB 4 ， AC 3 ． （1）求证： ABF ∽CBE ； （2）求 B D :CE 的值．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，点A、B、D均在N，使得M N M C，连接C N．O B C AB D C M//AB B D于点，延长B D至点M上，直径平分，交（1）求证：C N与O相切；（2）若AC8，C M10，求AB的长．七、（本题满分12分）22．（12分）某品牌钢笔的进价为20元/支，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支)与销售单价x（元)之间满足一次函数y10x500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%．（1）设小周每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？并求出每月的最大利润．八、（本题满分14分）23．（14分）如图1，在正方形AB C D中，点E为边AB上的点，BE:AE n，连结D E、B D，过点A作A G D E，垂足为点F，与BC、B D分别交于点G、H，连结E H．（1）①求证：AE BG；②求证：D H:B H n1；（2）如图2，当EH//AD时，求n的值．2018-2019 学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分每小题都给出 A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正 确的，不选、选错或多选的一律得 0 分）1．（4 分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是 ( )A ．B ．C ．D ．【解答】解： A 、不是中心对称图形，故此选项错误； B 、不是中心对称图形，故此选项错误； C 、不是中心对称图形，故此选项错误； D 、是中心对称图形，故此选项正确； 故选： D ．2．（4 分）一斜坡的坡角为 45，则其坡度为 ( )3 A ．1: B ．1: 3C ．1:1D ．1: 2345， 【解答】解： 一斜坡的坡角为 tan 45 1，则其坡度为：1:1 ． 故选： C ．y(x 3)2 4的图象，只需将函数 y x 2 ( ) 的图象 3．（4 分）若要得到函数 A ．先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度 B ．先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度 C ．先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度 D ．先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度y (x3)2 4的顶点坐标为 (3,4) ，抛物线 y x 2 的顶点坐标为 (0,0) ，【解答】解： 抛物线 y x y (x 3) 4 2． 先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度即可得出抛物线 将抛物线故选： B ．2 4．（4 分）在 ABC 中， C 90 ．若 AB3 ， BC 1，则 cos A 的值为 ( ) 1 3 2 2 3A ．B ． 2 2C ．D ．3【解答】解：在 Rt ABC 中， C 90， AB 3 ， BC 1，A C 2 2A C AB 2 BC 2 32 12 2 2 cos A ，则 由勾股定理可知 ． AB3 故选： C ．S 和 S ，5．（4 分）如图，A O B ∽CO D ，O A:O C 7 :5 ，A x ，C y ，AOB 与 CO D 的面积分别是 1 2AOB 与 CO D 的周长分别是 C 和 C ，则下列等式一定成立的是 ( )125S7SD ． 5C7CA ． 5B O 7CD B ． 5x 7y C ． 1212【解答】解： A 、AOB ∽CO D，AB :C D OA:OC 7 :5 ， 5AB 7C D ，本选项错误； B 、AOB ∽CO D ，A C ，x y ，本选项错误； C 、AOB ∽CO D ， S 7( ) 2 ， 1 S 5 2C 25S 49S ，本选项错误； ， 1 C1 2 2D 、AOB ∽CO D ， C 7 ， 1 C 52 5C 7C ，本选项正确；12故选： D ．k y A(4,1)，当 y 1 x 时， 的取值范围是( )6．（4 分）如图，反比例函数 的图象经过点x x0 x 4或 0 x 4 x 4x4A ．B ．C ．D ． k y 【解答】解： 反比例函数A(4,1)， 的图象经过点x y 1 x 0 x 4或 ．当 时， A 故选： ．7．（4 分）下列命题是真命题的是 ( ) A ．过三点可以确定一个圆B ．所有的相似图形都是位似图形C ．在 ABC 中，若 C 90 ，则 t an A t an B 1y x 2 2x 1，当0 x 3 时，则 的取值范围是 y 1 y 2 D ．已知函数 【解答】解： A 、过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，本选项说法错误，是假命题；B 、所有的相似图形不等于都是位似图形，本选项说法错误，是假命题；C 、在 ABC 中，若 C 90，则 t an A t an B 1 ，是真命题；D 、已知函数 y x 2x 1，当 0 x 3时，则 y 的取值范围是 2 y 2 ，本选项说法错误，是假命题；2 故选： C ． 8．（4 分）如图，A ，B 是 的度数为 (O 上的两点，C 是 O 上不与 A ，B 重合的任意一点，如果 AOB 142 ，那么 ACB) A ． 71 B ．142 C ． 71 或142 D ． 71 或1091ACB AOB 71 ． 【解答】解：如图 1， 21ADB AOB 71 ， 如图 2， 2ADB ACB 180 ACB 109 ．， 综上 ACB 的度数为 71 或109 ． 故选： D ．y 2ax 2 2ax b(a 0) y b a ；当自变量 x n 时， y b a，，当自变量 x m 时， 9．（4 分）已知函数 m n ( ) 且 ；则下列关于 m ， n 的关系正确的是 A ． m n 1B ． m n 2【解答】解：函数C ． m n 1 2aD ． m n 21y 2ax 2 2ax b x 的对称轴为直线 ， 2 2a 2函数 y 2ax 2axb(a 0) ，当自变量 x m 时， y b a ；当自变量 x n 时， y b a ，且 m n ， 2 m n 1， 2 2解得， m n 1， 故选： C ． 10．（4 分）如图，在矩形 AB C D 中， AB 3 ， AD 3 ，连接 AC ，点 E 为 AC 上一个动点，点 F 为 BC 上一 个动点，连接 BE 、 EF ，且始终满足 ABE BFE ，则线段 BF 的最小值为 ( )3 A ．1 【解答】解： 四边形 B ．C ． 3D ．22AB C D 为矩形，ABC 90， AB C D ， A D B C ， AB 3 A D 3 ， ， BC 3 ，A C AB 2 BC 23 9 2 3 ，由勾股定理得： 3 tan ACB 3， ACB 30 ， BAC 60 ， ABE BFE，ABC ABE EBF BFE EBF 90 ， BEF 90 ，取 BF 中点 O ， E 在以 BF 为直径的圆上，BF 2OE ，当 OE 取最小值时， BF 也为最小值， E A C 为 上的动点，当 OE AC 时，OE 最短， ACB 30 ， 2OE C O ，设 B O x ，则OE x ， C O BC B O 3 x ， 2x 3 x ， x 1 ，BO OE 1 ， BF 2B O 2 ． 故选： D ．二、填空題（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分y x 2 4x 4 (2,0)的图象与 x 轴的交点坐标为 ．11．（5 分）二次函数 x4x 4 0 ，即 (x 2) 0 ． 【解答】解：令 y 0 ，则 2 2 x x2 ，解得 12所以，此二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为 (2,0) ． 故答案是： (2,0) ．12．（5 分）圆心角为120，半径为 6cm 的扇形的弧长是 4 cm．n 120 R 6cm ， 【解答】解：由题意得， n R，l4cm ．故可得： 180 4 故答案为： ．ky x 13．（5 分）如图，点 M ， N 是反比例函数 ( 0) 图象上的两点，过点 M ， N 分别作 M A x 轴于点 A ，xN B x 轴于点 B ，连接 B M ， O N ，已知点 B(2,0) ， A M 2 ， S 3 S ，则 5AB MBON【解答】解：M A x轴于点 ， A M 2 ， A 1S AB A M 3 ，即 AB 3 ．2，即 AB M B(2,0) O B 2 ，OA OB AB 2 3 5 ，M (5, 2) ，代入反比例解析式得： k 5 2 10 ，10 12 y S | k | 5．即 ，则 x BON 故答案为：5．14．（5 分）如图，在 Rt AB C 中， BAC 90 ， AB AC ， B C 20 ，点 M 是 AB 的中点，点 N 是 A C 的中 点，连接 M N ，点 P 是边 B C 上一点，PC 17 ，点 Q 是线段 PC 上的一个动点，连接 M Q ，PN ，M Q 与 PN 相25 50 交于点 R ．若 PQ R 是直角三角形，则 M R 的长是或 ． 6 13【解答】解：如图，过点 N 作 NE B C ， M Q BC 于点 Q ，此时 PQ R 90 ，BAC 90， ABACB C 20 ，， BC 2AB ， B C 45AB AC 10 2M 点 AB 的中点，点 N 是 AC 的中点， 是 1M N / /BC ， M N BC 10 ， B M CN 5 2 ，2NE BC M Q BC ， ， NE / /M Q ， M N / /EQ四边形 M N E Q 是平行四边形，且 M Q BC ， 四边形 M N E Q 是矩形，EQ M N 10 ， NE M Q ，CN 5 2 C 45 NE CE ， ， CE 5 NE ，C Q CE E Q 15 ， M Q NE 5 ， PQ 2 ， M N / /BC ， M N M R 105 ，P Q R Q 2 MR 5R Q ， M R R Q M Q 5 ，25 MR ，6 若 PR Q 90，NE 5 EP C P CE 12 ，，NP NE 2 EP 2 144 25 13， M N / /BC ，M N P NPE ，且 NEP MR N ， NEP ∽ △ M R N ， M N M RN P N E50 13M R25 50或 故答案为： ．6 13三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）1 3tan 30 cos2 452s in 60．15．（8 分）计算： cos 60 3 2) 1 3 3 ( 2 【解答】解：原式2 13 2 2213 2 32 3 ． 216．（8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， AB C 的 顶点均在格点上，点 A 的坐标为 (2,2) ．A B C ，在网格中画出图形；（1）以点 B 为位似中心，将 ABC 放大到原来的 2 倍得到△ 11A B C ，并直接写出点 C 的坐标．（2）在网格中，画出将 ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90 所得到的△ 2 2 22A B C 即为所求；【解答】解：（1）△ 1 1A B C 即为所求； （2）△ 2 2 2C 的坐标为 (1,4) ．点 2四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）y 2x 2 bx c (a 0) 经过点 (1,5) ， (0,3) 17．（8 分）已知抛物线 （1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．2 b c 5【解答】解：（1）将点 (1,5) ， (0,3) 代入解析式可得： ，c 3b 4解得： ，c3 y 2x 2 4x 3 ； 则抛物线解析式为 y 2x 2 4x 3（2） 2(x 2 2x) 32(x 2 2x 11) 32(x 1)2 5，抛物线的顶点坐标为 (1,5) ．18．（8 分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题： “今有圆材， 埋在壁中， 不知大小，AB O C D AB 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图， C D 10寸， 求直径 AB 的长 ． 为 的直径，弦 E AE 1 于点 ， 寸， 请你解答这个问题 ．O C 【解答】解： 如图所示， 连接 ．C DAB AB O 为圆 的直径， 弦 ， E C D 为 的中点， 又C D 10寸， 1 CE DE C D 5 寸， 2 设O C OA x AB 2x 寸，OE (x 1) 寸， 则 寸， O E CE OC 2 2 2 ， 由勾股定理得：(x 1) 5 x 2 2 2 ， 即 解得： x 13， AB 26 寸，AB 即直径 的长为 26 寸 ．五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19．（10 分）如图，某数学兴趣小组为了测量教学楼 AB 的高度，测得教学楼与实验楼之间距离为 40 米，又在实 验楼的窗户 D 处，测得教学楼顶端 A 的仰角为 30 ，底端 B 的俯角为10 ，请根据以上数据，求出教学楼 AB 的 高度．（精确到 0.1 米）（参考数据： s in10 0.17 ， cos10 0.98 ， t an10 0.18 ， 2 1.41， 3 1.73)【解答】解：过点 D 作 D E AB 于点 E ，AE 在 Rt ADE 中， AE D 90 ， t an 1 AE DE t an 1 40 t an 30 40 ， 1 30 ， D E3 1 401.73 23.1 3 3BE D E在 Rt DEB 中， D E B 90 ， t an 2 ， 2 10 ， BE DE t an 2 40 t an10 40 0.18 7.2 ，AB AE BE 23.1 7.2 30.3 米．20．（10 分）如图，在 ABC 中，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，BAC 2DBC 2E C B ，AF 平分 BA C 交 BC 于点 F ， AB 4 ， AC 3 ．（1）求证： ABF ∽CBE ；（2）求 B D :CE 的值．【解答】（1）证明： AF平分 BAC 2BAF 2CAF ， BAC 2DBC 2ECB BAC ， ，BAF CAF DBC ECB，又ABF CBE ， ABF ∽CBE ；（2）解：由 CAF DBC ， AC F BC D ，ACF ∽BC D ，AFA C，B D BC AC BD AF BC ，ABF ∽CBE ，AF AB，C E C B AB CE AF CB ， AC BD AB CE ，B D AB 4．C E A C 3 六、（本题满分 12 分）21．（12 分）如图，点 A 、 B 、 D 均在 N ，使得 M N M C ，连接 C N ．O B C AB D C M / /AB B D 于点 ，延长B D 至点 M 上，直径 平分， 交 （1）求证： C N 与 O 相切； （2）若 AC 8 ，C M 10 ，求 AB 的长．【解答】解：（1） B C平分 AB D ，ABC NBC ，C M / /AB ，ABC M CB ，NBC M CB ，M N M C ，NC M M N C ，NBC NCB BNC 180 ，NBC M CB NC M BNC 180 ， 2M C B 2NC M 180 ，NCB 90 ，CN 与 O 相切；（2）连接 C D ， BC O 为 的直径，CAB CDB 90 ，ABC NBC ， ACB DCB ， AC C D ，AC C D 8 ，ACB DCB AB BD ，，NBC M C B ，B MC M 10 ，D M C M 2 C D 2 102 82 6 BD D M B M 6 10 16 ，AB 16 ．，七、（本题满分 12 分）22．（12 分）某品牌钢笔的进价为 20 元 / 支，经销商小周在销售中发现，每月销售量 y （支 ) 与销售单价 x （元 ) 之间满足一次函数 y 10x 500 的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的 60% ．（1）设小周每月获得利润为 w （元 ) ，求每月获得利润 w （元 ) 与销售单价 x （元 ) 之间的函数关系式，并直接 写出 x 的取值范围；（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？并求出每月的最大利润．【解答】解：（1）根据题意，得 w (x 20)y(x 20)(10x 500) 10x 700x 10000 ．2 20 x 32 x 的取值范围是 ．w 10x700x 10000 （2） 10(x 35)2 225010 0 2 ，抛物线开口向下，20 x 32 当 时， w 随 x 的增大而增大，当 x 32 时， w 最大为 2160答：当销售单价定为每支 32 元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润为 2160 元．八、（本题满分 14 分）23．（14 分）如图 1，在正方形 AB C D 中，点 E 为边 AB 上的点，BE : AE n ，连结 D E 、B D ，过点 A 作 A G D E ， 垂足为点 F ，与 BC 、 B D 分别交于点 G 、 H ，连结 E H ．（1）①求证： AE BG ；②求证： D H : B H n 1；（2）如图 2，当 EH / /AD 时，求 n 的值．AB C D 是正方形， 【解答】证明：（1）① 四边形 A D AB ， DAB ABC 90 ，DA G BA G 90 ，A G DE ，DA G ADF 90 ，BA G ADF ，且 A D AB ， DAB AB G ， ADE BA G(ASA) ，AE B G． ②ADE BAG， BGAE ， 四边形 AB C D A D / /BC是正方形AD H ∽GB HD H A D ，B H B G BE : AE n BG AE A D AB， ， ， D H A D AB AE BE AE nAE n 1． B H A G AE AE AE （2）解：设 B G AE k ，则 BE nk ，E H / /AD BE H BA D 90 ， EHB ADB 45 ，且 AB D 45 EHB AB DBE EH nk ，E H / /ADAEH ∽AB G ，AE E H ，AB B G nkk ，k nk k n 0 ，5 1n ． 2C M / /AB ，ABC M CB ，NBC M CB ，M N M C ，NC M M N C ，NBC NCB BNC 180 ，NBC M CB NC M BNC 180 ， 2M C B 2NC M 180 ，NCB 90 ，CN 与 O 相切；（2）连接 C D ， BC O 为 的直径，CAB CDB 90 ，ABC NBC ， ACB DCB ， AC C D ，AC C D 8 ，ACB DCB AB BD ，，NBC M C B ，B MC M 10 ，D M C M 2 C D 2 102 82 6 BD D M B M 6 10 16 ，AB 16 ．，七、（本题满分 12 分）22．（12 分）某品牌钢笔的进价为 20 元 / 支，经销商小周在销售中发现，每月销售量 y （支 ) 与销售单价 x （元 ) 之间满足一次函数 y 10x 500 的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的 60% ．（1）设小周每月获得利润为 w （元 ) ，求每月获得利润 w （元 ) 与销售单价 x （元 ) 之间的函数关系式，并直接 写出 x 的取值范围；（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？并求出每月的最大利润．【解答】解：（1）根据题意，得 w (x 20)y(x 20)(10x 500) 10x 700x 10000 ．2 20 x 32 x 的取值范围是 ．w 10x700x 10000 （2） 10(x 35)2 225010 0 2 ，抛物线开口向下，20 x 32 当 时， w 随 x 的增大而增大，当 x 32 时， w 最大为 2160答：当销售单价定为每支 32 元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润为 2160 元．八、（本题满分 14 分）23．（14 分）如图 1，在正方形 AB C D 中，点 E 为边 AB 上的点，BE : AE n ，连结 D E 、B D ，过点 A 作 A G D E ， 垂足为点 F ，与 BC 、 B D 分别交于点 G 、 H ，连结 E H ．（1）①求证： AE BG ；②求证： D H : B H n 1；（2）如图 2，当 EH / /AD 时，求 n 的值．AB C D 是正方形， 【解答】证明：（1）① 四边形 A D AB ， DAB ABC 90 ，DA G BA G 90 ，A G DE ，DA G ADF 90 ，BA G ADF ，且 A D AB ， DAB AB G ， ADE BA G(ASA) ，AE B G． ②ADE BAG， BGAE ， 四边形 AB C D A D / /BC是正方形AD H ∽GB HD H A D ，B H B G BE : AE n BG AE A D AB ， ， ， D H A D AB AE BE AE nAE n 1． B H A G AE AE AE （2）解：设 B G AE k ，则 BE nk ，E H / /AD BE H BA D 90 ， EHB ADB 45 ，且 AB D 45 EHB AB DBE EH nk ，E H / /ADAEH ∽AB G ，AE E H ，AB B G nkk ，k nk k n 0 ，5 1n ． 2。