周期信号的功率证明要点

N1 1 2 N k N
图：N1=2, N=10,20,40
3.5 连续时间傅立叶级数性质
x(t ) ak
FS
3.5.1 线性 FS FS ak y(t ) bk 若x(t),y(t)周期均为T, x(t ) FS Aak Bbk Ck 则：Z (t ) Ax(t ) By(t )
物理意义： 总平均功率=所有谐波的平均功率之和
3.6 离散时间福立叶级数性质 3.6.1 相乘
FS x[n] ak FS x [ n ] y [ n ] d k al bk l FS y[n] bk l N
周期卷积 • 计算
3.6.2 一次差分 x[n]-x[n-1]
k

结论：若连续(离散)时间LTI系统的输入 x(t)= ak es t x[n]= ak zk n k k 则 s t n a H ( z ) z a H ( s ) e k k k y(t)= k y[n]= k k k s,z可以是任意复数 j j s= ，z= e 时，即分别以 j n j t e 为基函数 e ——傅立叶分析
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
复指数信号 e z 的重要性质 ： LTI系统对其的响应是同样的复指数信号 ，增 加幅度因子：即 e st →H(s) e st n z →H(z) z n n e st z ——LTI系统的特征函数 复振幅因子H(s)，H(z) ——系统的特征值
st
n
2
三角形式的傅立叶级数（实周期信号）
x(t ) c0 (an cos(n0t ) bn sin(n0t ))
n 1
1 c0 T0 2 an T0 2 bn T0

A、计算|Fn |和θn
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：

1 ej0 t 2 0
cos0t
同理

1 2
2π



0

2π



0


π



0
π



0

sin0t jπ 0 jπ 0
X
第
1．调制
27 页
调制：用一个信号去控制另一信号的某一参量的过 程，将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段上的。
周期信号：

f t 傅里叶级数 F n 离散谱
非周期信号：
f t 傅里叶变换 F j 连续谱
周期信号的傅里叶变换存在否？如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
X
一．正弦信号的傅里叶变换
第 4
页
由欧拉公式
cos0t
在
T 2
T ,
2
内f0t 与fTt 相同

所以 Fn

1 T1
F0
j


n1

可由F0 j 求周期函数 fT t 的谱系数 Fn
X
第
举例应用1：求周期单位冲激序列的傅里叶变换
10 页

T t t nT1 n
因为 t 1
(2)
t
X
第
9 页
T
F0 j 2T f0 t ejt d t
(1)
2


fT
t
F e jn1t n n

周期信号的傅里叶变换 功率谱和能量谱调制与
解调
2020年4月20日星期一
第四节 周期信号的傅立叶变换
•正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •如何由F0(jω)求 •应用——单位冲激序列的傅氏变换 •应用——周期矩形脉冲序列的傅氏变换
引言
周期信号：
非周期信号：
周期信号的傅里叶变换存在否？如何求？ 与傅里叶级数的关系？
应用： 信号的调制
一个信号在时域中与高频的正弦信号相乘，等效 于在频域中将原信号的频谱同时向频率正负方向搬移. 结论:在调制过程原信号的频谱形状不变（仍含有原 频谱的信息），只是移位，但幅值降低一半。 思考的问题：
1）通讯中信号以什么形式传输到空间？ 2）信号能直接进行远距离传输吗？即信号不调制或频谱不搬移行吗?
总结
主要内容:1) 周期信号的傅立叶变换(物理概念) 2)信号功率谱与能量谱（能量守衡原理） 3)调制与解调(频谱搬移原理)
难 点: 1)周期信号的傅立叶变换(原理与计算) 2)调制与解调(原理与计算)
作业: 3-21(a), 3-30, 3-33, 3-34, 3-36,3-42
二．非周期信号的能量谱（连续谱）
时域中：
这是帕色瓦尔定理在傅氏变换情况下的具体体现; 能量既可在时域中计算，也可由其幅频谱在频域中 计算，且只与幅频谱有关，而与相频谱无关
能量谱与振幅谱的关系
令：
则：
在有效频率范围内信号的全部能量 能量谱，单位频带内的信号能量。能量是
能量谱曲线下的面积 通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域中的分
（TDM）
频分复用(frequency division multiply)：以频段分割
的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。

不变，T增大，谱线间隔
1
2 T
减小，谱线逐渐密集，幅度
A T
பைடு நூலகம்
减
小
当 T
1 0
A 0 T
非周期信号连续频谱
非周期信号 n1 连续频率
2.当T不变， 减小时
T不变
1
2 间隔不变
T
A 振幅为0的谐波频率
T
2
,
4
,......
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
不改变 不改变 不改变
Fn
2 T
2
f (t)dt
T
2 A
2
Adt
2
T
信号与系统
练习：周期信号的频谱描绘
a 2 nT
T
2 T
2
f (t) cos n1tdt
2A sin n n T
2 A
T
sin n
T
n
2A Sa(n )
T
T
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa( n
T
)
cos(n1t )
A 2A
TT
S a(
立叶展开式并画出其频谱图。
1
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
Tt
f (t) 2 t T t T
T
22
f(t) 是奇函数，故 an 0
信号与系统
4
bn T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
(1
2
T
)
An &n 2

3-3 周期信号的频谱一、 周期信号的频谱一个周期信号)(t f ，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和。

其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。

不同的周期信号，其展开式组成情况也不尽相同。

在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。

描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。

根据周期信号展成傅里叶级数的不同形式又分为单边频谱和双边频谱。

1 单边频谱若周期信号)(t f 的傅里叶级数展开式为式(3-15)，即∑ ∞=+Ω+=10)cos()(n n nt n AA t f ϕ (3-24)则对应的振幅频谱n A 和相位频谱n ϕ称为单边频谱。

例3-3 求图3-4所示周期矩形信号)(t f 的单边频谱图。

解 由)(t f 波形可知， )(t f 为偶函数，其傅里叶系数⎰==2/0021)(4T dt t f Ta⎰=Ω=2/0)4/sin(2cos )(4T n n n tdt n t f Ta ππ=n b故∑∑∞=∞=Ω+=Ω+=110cos )4/sin(241cos 2)(n n n tn n n t n a a t f ππ因此410=A ,ππn n A n )4/sin(2=即45.01=A , 32.02≈A , 15.03≈A , 04=A , 09.05≈A , 106.06≈A ┅单边振幅频谱如图3-5所示。

tf(t)图 3 - 4ττττ4 2/ 0 2/ 4--1图 3 - 50.250.450.320.150.090.106ΩΩΩΩΩΩΩ7 6 5 4 3 2 0A n2 双边频谱若周期信号)(t f 的傅里叶级数展开式为式(3-17)，即25)-(3 )(∑∞-∞=Ω=n tjn neFt f则nF 与Ωn 所描述的振幅频谱以及n F 的相位n n F θ=arctan 与Ωn 所描述的相位频谱称为双边频谱。

7 页
X
2 T
Lim
T 2

FT ( jw) T 则
2
dw
定义 : 功率谱 ( w) Lim 1 P 2
FT ( jw) T



( w)dw
功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,功 率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率 X
第
作业: 3-30 3-32 3-42
X
第
三功率信号的功率谱
ET
6 页
对功率有限信号 f (t ), 如截取一个周期 f T (t ), 其能量为:



f T2 (t )dt

T 2 T 2
f 2 (t ) d t
信号f (t )的平均功率表示为 : 1 P Lim T T

T 2 T 2
1 f (t ) d t 2
5 页
E G ( )d

1 G ( ) F 2 ( j ) 2
说明：
表示单位频率下的信号能量。 1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积 2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关. 通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域 中的分布情况，以便正确选择电路和系统的通 频带，充分利用信号的能量。
E 况下的具体体现; 能量既可在时域中计算，也可在频域中计算，且只与 幅频谱有关，而与相频谱无关.时域和频域能量守恒. X

1



F ( j )d
2

0
F ( j )d
2
频域法
第
能量谱:
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能 量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的 分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约）,则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路:离散余弦信号0cos n ω(或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时,周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =; ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率: def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑(2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号（仅在有限时间区间不为零的非周期信号）为能量信号；③还有一些非周期信号,也是非能量信号。

⎰∞∞-=t t f E d )(2def3 ① ②4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移： 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意:带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度.正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

5、阶跃函数和冲激函数 (1)单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。

(2）单位冲激信号定义：性质：()1()00t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨⎪=≠⎩⎰ t1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2)偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4)微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3)冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。

1.几点说明: ①若x （t ）是周期的，则x （2t ）也是周期的，反之也成立②对于f [k ]=cos[Ωk ]只有当|Ω|/2π为有理数的时候，才是一个周期信号③设x1（t ）和x2（t ）的基本周期分别是T1和T2，则x1+x2是周期信号的条件是12T T =km为有理数（k ，m 为互素正整数）周期是T=m 1T =k 2T 思考：周期分别为3和5的两个离散序列的卷积和的周期为多少？为什么？与 功率信号（公式见书4p ）E 。

若为有限值则为能量信号。

否则，计算功率P ，若为有限值则为功率信号。

否则，；两者都不是。

注：一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但可能既不是能量信号也不是功率信号。

思考：确定下述论点正确与否，并简述理由。

（1）所有非周期信号都是能量信号。

（2）所有能量信号都是周期信号。

（3）两个功率信号之积总是一个功率信号。

（4）两个功率信号之和总是一个功率信号。

(1)错；双边信号一般是功率信号，甚至不是能量，也不是功率信号，如e^2t (2)错；因为：周期信号一定是 功率信号(3)错;假设2个 信号周期 相等，其中一个 前半周期不等于0，后半周期=0；另一个则相反；相乘后，恒等于=0哦！但是大部分情况下，是 对的！ (4)错；可能相加后恒等于 0哦；但是大部分情况下，是 对的！ 2.LTI 系统（考试难点）（1）当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时，系统为线性时不变系统。

（2）一般情况下，可分别判断系统是否满足线性和时不变性。

判断系统是否线性注意问题：1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y (t )是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。

2．在判断系统的零输入响应()x y t 是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y (0))，而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。

3．在判断系统的零状态响应()f y t 是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f (t )），而不能以其它的变量（如t 等）作为自变量。

s(t)
V
0 T
t
其频谱：

Cn

1 T
Ve j 2nf0t dt
0

1 T

V
j 2nf 0
e
j 2nf0t

0
V 1 e j 2nf0 V
1 e j 2n / T
T j2nf0
j 2n
可见：此信号不是偶函数，所以其频谱Cn是 复函数 。
则其能量谱密度G(f )为：
G(f ) = |S(f )|2
能量——Parseval定理
E
s2 (t)dt
S( f ) 2df

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

G( f )df 2 G( f )df



0
例 【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度 。
解
在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：
0
2/
f
评注：矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，即 (1/) Hz 。
例 【2-4】试求单位冲激函数 (函数) 的频谱密度。
解 函数的定义：
(t)dt 1 且 (t) 0, t 0
函数的频谱密度：
( f )
(t)e j2ft dt 1
f
)

V
n T
2
Sa2f

(
f
nf0)
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
—— 能量信号s(t) 的傅里叶变换：
S ( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号： s(t) S ( f )e j2ft df

是。据此可判断不是周期的，从而不是周期的。
2、能量信号与功率信号的判断
（1）定义
连续信号
离散信号
信号能量
信号功率
（2）判断方法
若信号能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此
时P=0
若信号功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此
时E=∞
（3）一般规律： ①一般周期信号为功率信号；
函数都是递增的。 （2）离散因果系统
① H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞ 时，响应均趋于0。 ② H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。
③ H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应 序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。
3、系统函数与频率响应 若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=jω)也收
取得足够大总是满足绝对可积条件，因此一般不写收敛域。
（3）常用变换对
① ( a为任意常数)
②
③
④
⑤
⑥
⑦
2、拉普拉斯变换的性质
①线性:
②尺度变换:
③时移:
④频移:
⑤时域微分:
⑥时域积分:
⑦卷积定理：
⑧s域微、积分: ⑨初、终值定理
初值定理： 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若
2）线性系统 ①分解特性：
②零输入线性 ③零状态线性 （2）时不变性 :当激励为时，响应为。 （3）因果性 （4）稳定性 （5）微、积分特性。
第二章 连续系统的时域分析
1、时域分析法
（一般都可以通过复频域分析法求） 零状态响应

例题：O tf (t )T /31-TT如右图所示的周期性矩形脉冲信号（周期为T ）经过一个低通滤波器，求其响应及响应的平均功率。

已知该滤波器的传递函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=--时时时T T e T T e j H j j ωππωππωπωωωτωτ6,063,3/23,分析：周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量每个分量经过滤波器 复数解法解：求傅立叶系数：⎰-=3/001T tjn n dt eTC ωO tf (t )T /31-TT令ω0=2π/T3/0001T t jn eTjn ωω--=3/3sin 31ππjn e n c -⎪⎭⎫ ⎝⎛=3100==C A 2nj n n A eC ϕ=~基波和n 次谐波的复数表示低通滤波器只通过低于3ω0的信号，因此信号中只有直流、基波和二次谐波分量通过。

输出信号中的直流分量为：()3100==ωωj H A解：输出信号中的基波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω0013/13sin 32+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=j j e c j H eA 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω00223/22232sin 94+-=⎪⎭⎫⎝⎛=j j e c j H e A 输出信号的时域表达式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+τωπωπτωπωπ00002322cos 32sin 943cos 3sin 3231t c t c 输出信号的平均功率为：280.02sin 41sin 211222≈⎥⎤⎢⎡⎪⎫⎛+⎥⎤⎢⎡⎪⎫ ⎛+⎪⎫ ⎛=ππc c P out第三章：信号的频谱§3-1 周期信号的频谱§3-2 非周期信号的频谱密度 傅立叶变换与频谱密度信号的频谱分布与带宽基本信号的频谱密度§3-3 频谱分析的基本定理§3-4 采样定理傅立叶变换的引出如何从频域描述一个非周期信号？tf (t )傅立叶级数？——显然不行怎么办？退而求其次，先考虑描述函数在有限区间[a,b)上的一段吧tf a,b (t )a btf T (t )a b考虑有限区间周期扩展再扩展成周期T =b -a 的函数f T (t )f T (t ):周期函数~可以用傅立叶级数表示在区间[a,b)上与f (t ) 相同傅立叶变换的引出tf T (t )a b()(),1100dt et f Tdte tf T C tjn bat jn ba T n ωω--⎰⎰==()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++∈-++=∑∞-∞=b a t b f a f b a t t f t f eC n tjn n或,2)0(0,,2)0(00ω傅立叶级数只在区间(a,b ) 上收敛于f (t )，因此C n 并不是f (t ) 的复频谱如果f T (t ) 满足狄利克雷条件，则可以展开成傅立叶级数：定义：则：ω0=2π/T傅立叶变换的引出进一步，选取对称区间[-T /2,T /2)。

三、功率谱分析字体[大][中][小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。

随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。

因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。

前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。

1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。

巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT 直接求出。

由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。

自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。

两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。

为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。

4A 1 1 x(t ) = sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + ... 3 5 π 4A ∞ 1 = ∑ n sin nω0t (n = 1,3,5,...) π n =1
一、傅里叶级数的三角函数展开式
A
华中科技大学机械学院
n为奇数
n>0 n<0
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
频谱图
华中科技大学机械学院
测试技术与信号处理
方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、 方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱
实频谱 幅频谱
虚频谱
相频谱
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
华中科技大学机械学院
三角函数展开形式的频谱是单边谱 三角函数展开形式的频谱是单边谱 复指数展开形式的频谱是双边谱 复指数展开形式的频谱是双边谱 两种形式频谱图具有确定的关系： 两种形式频谱图具有确定的关系：
实频谱 虚频谱
Cn = (Re Cn ) 2 + (Im Cn ) 2 Im Cn ϕn = arctan Re Cn
幅频谱 相频谱
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
华中科技大学机械学院
测试技术与信号处理
例：方波信号的频谱展开
三角函数展开式： 三角函数展开式：
幅频图 相频图
二、傅里叶级数的复指数函数展开式
测试技术与信号处理
偶函数 奇函数 奇函数
·傅里叶 余弦级数
傅里叶余弦 傅里叶余弦级数 傅里叶正弦 傅里叶正弦级数
∞ n=0
x(t ) = ∑ an cos nω0t
( n = 0,1, 2,3,...)
2 an = T0

周期图法估计功率谱随机信号谱估计方法的Matlab实现摘要：功率谱估计是随机信号分析中的一个重要内容。

从介绍功率谱的估计原理入手分析经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法。

经典功率谱估计的方差大、谱分辨率差，分辨率反比于有效信号的长度，但现代谱估计的分辨率不受此限制。

给出了功率谱估计的应用。

关键词：功率谱估计；周期图法；AR参数法；1 引言在一般工程实际中，随机信号通常是无限长的，例如，传感器的温漂，不可能得到无限长时间的无限个观察结果来获得完全准确的温漂情况，即随机信号总体的情况，一般只能在有限的时间内得到有限个结果，即有限个样本，根据经验来近似地估计总体的分布。

有时，甚至不需要知道随机信号总体地分布，而只需要知道其数字特征，如均值、方差、均方值、相关函数、功率谱的比较精确的情况即估计值。

功率谱估计(PSD)是用有限长的数据估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。

功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。

2 .平均周期图法和平滑平均周期图法对于周期图的功率谱估计, 当数据长度N 太大时, 谱曲线起伏加剧, 若N 太小, 谱的分辨率又不好,因此需要改进。

两种改进的估计法是平均周期图法和平滑平均周期图法。

(1)Bartlett 法:Bartlett 平均周期图的方法是将N 点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。

Matlab 代码示例1:fs=600;n=0:1/fs:1;xn=cos(2*pi*20*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n)); nfft=512;window=hamming(nfft); %矩形窗noverlap=0;%数据无重叠p=0.9;%置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p); index=0:round(nfft/2- 1);k=index*fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));figure(1)plot(k,plot_Pxx);figure(2)plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx- plot_Pxxcplot_Pxx+plot_Pxxc]);matlab调试图下图(2)Welch 法:Welch 法对Bartlett 法进行了两方面的修正, 一是选择适当的窗函数w(n), 并在周期图计算前直接加进去, 加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。

T
T/2 T / 2
f
2 (t )dt

F0
2
2

Fn 2

Fn 2
n1
n
jh
jh
X



Fn Fn
Fn 2
n
n
P 1
T
T / 2 f 2 (t )dt
T / 2

Fn 2
n
上式称为帕斯瓦尔恒等式jh。
jh
X
第
证明2：设f(t)为实函数
2 页
归一化的平均功率： P 1 T / 2 f 2 (t )dt
T T / 2
将f(t)的三角形式的傅里叶级数展开式代入上式，
零，对于m

n的项，其积分值 T jh 2
An2 ,因此，上式可化为：
jh
X
第
3 页
P 1
T
T/2 T / 2
f
2 (t )dt

(
A0 2
)2
Hale Waihona Puke n11 2An2
上式表明：总平均功率=各次谐波的平均功率之和
由于|
Fn
|
是n的偶函数，且|
Fn
|
1 2
An ,上式可改写为：
P 1
第
证明1:
P 1 T / 2 f 2 (t )dt
T T / 2
1 页
将f(t)的指数形式的傅里叶级数展开式代入上式， 得：
P 1
T
T /2
[ f (t)
T / 2

Fne jnt ]dt
n

1

-35
50
300

窗函数对估计结果的影响主要取决于其主瓣 和旁瓣特性，所以窗函数评价指标有 。
主瓣宽度
窗函 数评 价指 标
旁瓣大小
旁瓣衰减斜率
谱估计法比较
周期图法功率谱估计其特点是离散性大，曲 线粗糙，方差较大，但分辨率较高。 窗函数周期图法功率谱估计的收敛性较好, 曲 线平滑, 估计的结果方差较小, 但是功率谱主 瓣较宽, 分辨率低。这是由于对随机序列的分 段处理引起了长度有限所带来的Gibbs 现象 而造成的。 窗口效应的谱估值比较平滑, 但是分辨率较差 。其原因是给每一段序列用适当的窗口函数 加权后, 在得到平滑的估计结果的同时, 使功 率谱的主瓣变宽, 因此分辨率有所下降。

MALAB中可以采用下面的命令来生成：
数据分段 窗处理 各段功率谱
平均功率谱

Welch法谱估计流程图

Welch 法优点, 一是选择适当的窗函数w(n), 并在周期 图计算前直接加进去, 加窗的优点是无论什么样的窗函 数均可使谱估计非负。二是在分段时, 可使各段之间有 重叠,这样会使方差减小。
加窗后的窗口效应仿真

-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
50
100
150
200
250
300
海明窗处理谱估计 的旁瓣部分衰减较 大，方差较小，噪 声水平较低，性能 良好，改善了由矩 形窗处理的谱估计 所产生的较大谱失 真
加布莱克曼窗后的窗口效应
加 blackman 窗 0

-5
-10
-15
-20
-25
-30
布莱克曼窗处理谱 估计的旁瓣部分衰 减较大，方差较小， 噪声水平较低，性 能良好，改善了由 矩形窗处理的谱估 计所产生的较大谱 失真