九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解简单的一元二次方程同

解一元二次方程课标解读一、课标要求包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。

1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3．了解一元二次方程的根与系数的关系．二、课标解读1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线．与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机．根据?课程标准〔 2022年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．2．解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．3．与?课程标准〔实验稿〕?相比，?课程标准〔 2022年版〕?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等〞，“了解一元二次方程的根与系数的关系〞，这是需要注意的一个变化．这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题．实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备根底．教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，表达了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体方程从“元〞〔未知数的个数〕、“次数〞和“项数〞等角度进行归纳的结果；a ≠0的规定是由“二次〞所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一．教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基．接着，教科书安排“探究〞栏目，自然引出解并总结出“降次〞的策略，从而为用配方法解比拟复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为后的解的情况．以配方法为根底，教科书安排了“探究〞栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程(a≠0)，得到求根公式．最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法〞而到达“降次〞目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳〞栏目中总结出几种解法的根本思路、各自特点和适用范围等．上述过程的思路自然，表达了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解．这是具有普适性的数学思想方法．由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式的讨论．这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机．另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定〔系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定〕，而且也反映了根与系数的联系．这里表达了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁．教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程化为的形式，，与p，q之间的关系〞，在“+，〞的启发下，利用求根公式求和，进而得到根与系数的关系．让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的时机．根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要．所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度．。

第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程教学目标1.根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程.2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m )2＝n (n ≥0)的形式，体会转化的数学思想.教学重难点重点：利用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程通过配方转化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式.教学过程导入新课试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x 2＝4; (2) x 2＝0; (3) x 2+1＝0.解:根据平方根的意义，得（1）x 1＝2,x 2＝-2 ;（2）x 1＝x 2＝0 ;（3）x 2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知思考：如果我们把x 2＝4，x 2＝0，x 2+1＝0变形为x 2＝p ，各方程的解会是什么情形？老师总结：一般地，对于方程x 2＝p ：（1）当p >0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个不相等的实数根x 1＝−√p ，x 2＝√p ；（2）当p ＝0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0； （3）当p <0 时，因为对任何实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2＝p 无实数根. 例1：利用直接开平方法解下列方程: （1）x 2＝25; (2) x 2-900＝0; (3)(x +2)2＝7; (4)2(1−3x)2-18＝0. 解：(1) x 2＝25 直接开平方，得x ＝±5,即x 1＝5，x 2＝-5. （2）x 2-900＝0，移项，得x 2＝900，直接开平方，得x ＝±30，即x 1＝30，x 2＝-30.（3）(x +2)2＝7，直接开平方，得x +2＝±√7，即x 1＝-2+√7，x 2＝-2-√7. （4）2(1−3x)2-18＝0，移项，得2(1−3x)2＝18，则(1−3x)2＝9，直接开平方，得1-3x ＝±3, 即1-3x ＝3或1-3x ＝ -3，解得x 1＝−23，x 2＝43. 注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝ p （p ≥0）的形式的方程，可得方程的根为x ＝±√p 或mx ＋n ＝±√p .（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p 为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.做一做：填上适当的数，使下列等式成立.（1）x 2＋12x ＋36＝(x ＋6)2＋6)2＝ x 2+12x ＋36； （2）x 2―4x ＋4＝(x ―2)2 x ―2)2＝ x 2―4x ＋4； （3）x 2＋8x ＋16＝(x ＋4)2 ＋4)2＝x 2＋8x ＋16； （4）a 2+2ab +b 2＝( a +b )2 (a +b )2＝ a 2+2ab +b 2；教学反思（5）a 2-2ab +b 2＝( a -b )2-b )2＝ a 2-2ab +b 2.问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 对于形如 x 2+ax+(a 2)2的式子如何配成完全平方式？老师总结：x 2+ax +(a 2)2＝(x +a 2)2.将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 例2：用配方法解方程：x 2＋8x ―9＝0. 分析：先把它变成（x +m )2＝n 的形式再用直接开平方法求解. 解：移项，得x 2＋8x ＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x 2＋8x +42＝9+42，即（x +4)2＝25.两边开平方，得x +4＝±5，即x +4＝5或x +4＝-5，所以x 1＝1，x 2＝−9.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x ＋m )2＝n 的形式.(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n ≥0，就可左右两边开平方得x ＋m ＝±√n ；当n <0时，原方程无解.(4)解 —— 方程的解为x ＝－m ±√n .即用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x +n )2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 问题解决： 上节课梯子底部滑动问题：x 2+12x -15＝0.（让学生仿照例2，独立解决） 解：x 2+12x －15＝0，移项，得x 2+12x ＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x 2+12x +62＝15+62，即(x +6)2＝51.两边开平方，得x +6＝±√51.所以x 1＝√51―6，x 2＝―√51―6(不合实际).注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 课堂练习1.一元二次方程x 2-16＝0的根是( ) A.x ＝2 B.x ＝4 C.x 1＝2,x 2＝2 D.x 1＝4,x 2＝-42.一元二次方程x 2-6x -6＝0配方后为 ( ) A.(x -3)2＝15 B.(x -3)2＝3 C.(x +3)2＝15 D.(x +3)2＝33.用配方法解方程x 2-3x -3＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x −3)2＝3 B.(x −32)2＝3 C. (x −3)2＝34 D.(x −32)2＝2144.若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为(x −3)2＝k ，则b ，k 的值分别教学反思为（）A. 6，13B.6，4C.-6，4D.-6，135.用配方法解方程:(1)x2-2x＝4; (2)x2+4x-1＝0.参考答案1.D2.A3.D4.C5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，所以x-1＝±√5,所以原方程的解是x1＝1+√5，x2＝1-√5.(2)移项，得x2+4x＝1.配方,得x2+4x+4＝1+4，即(x+2)2＝5.开方，得x+2＝±√5.所以x1＝-2+√5,x2＝-2-√5.课堂小结1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：布置作业课本习题2.3 知识技能 1 问题解决2，3板书设计2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：.教学反思。