第五节 三角恒等变换
时间:45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知α为锐角，ｃos α=＼f （＼r （5)，5),则t ａn 错误!=( )
A.－3 ﻩ Ｂ.-错误!
C.－错误! D ．－7
解析 依题意得,si ｎα=错误!,故t ａn α=２,t ａｎ2α=错误!=－错误!,所以tan 错误!＝错误!=-错误!.
答案 B
２.已知cos 错误!＝-错误!，则cos x +ｃos 错误!的值是( )
A ．－错误! ﻩB.±错误!
C.－1
D.±１
解析 co ｓx ＋cos 错误!=cos x ＋错误!cos x +错误!sin x ＝错误!c ｏs x +＼ｒ（3）2
sin x =错误!错误!＝错误!co ｓ错误!=－１. 答案 C
3.已知cos ２θ=错误!，则ｓin 4θ+ｃos 4θ的值为( )
A.1318 ﻩ
B.1118
Ｃ．７9 ﻩD ．－1
解析 ∵cos2θ＝＼ｆ(＼ｒ(2)，3),∴si ｎ22θ=错误!,∴s ｉｎ4θ+cos 4θ＝1－2si ｎ2θcos 2θ＝１－错误!(si ｎ2θ)２=错误!．
答案 B
4．已知α+β=π4,则(1+tan α)(１＋tan β)的值是（ )
A ．-1
B.1
C.2D．４
解析∵α+β＝＼ｆ（π,4),tan（α＋β）＝错误!=1，
∴tanα＋taｎβ＝1－taｎαｔａnβ.
∴(1+ｔaｎα)(１＋tａnβ)＝1+tanα＋ｔanβ＋ｔaｎαtanβ
＝１＋１－taｎαtanβ＋ｔanαtａnβ=2.
答案 C
5．
(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系ｘＯy中，角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于Ａ，Ｂ两点，若点A，B的坐标为错误!和错误!,则ｃos（α＋β)的值为( )
A．－２４
25ﻩB．-错误!
Ｃ.0 D.＼f(24,25)
解析cosα＝＼f（3，5），sｉｎα＝错误!，cｏsβ=－错误!,sinβ=错误!,cos（α+β)＝cｏｓαcoｓβ－ｓｉnαsｉnβ＝错误!·(-错误!）-错误!·错误!
=-2４
２5
.选A.
答案Ａ
6.若错误!=－错误!，则siｎα＋cosα的值为（）
A.－错误!B．－错误!
C.错误! ﻩＤ．错误!
解析 ∵＼f （2，2）(s ｉn α－cos α)=-错误!（ｃos 2α-s ｉn 2α）, ∴sin α＋cos α＝错误!．
答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．若ta ｎ错误!＝错误!,则t ａｎα＝＿_______.
解析 ∵ｔan 错误!＝错误!＝错误!,
∴5tan α＋5=2-２tan α.
∴７ta ｎα=-3，∴ta ｎα=－＼f （３，7).
答案 -３7
8.(2013·江西卷)函数y ＝si ｎ２x +23sin ２x 的最小正周期Ｔ为＿_______.
解析 ｙ=s ｉn2ｘ+23s ｉn 2x =s ｉn2x －３ｃos ２ｘ＋ 3 ＝2sin(2x －错误!)＋错误!,所以T =π.
答案 π
９.(2０13·新课标全国卷Ⅰ)设当x =θ时，函数f (x )=sin x －２ｃos x 取得最大值,则ｃos θ＝____＿_＿＿．
解析 f （x ）=sin x -2c ｏs x ＝＼r(5）(错误!ｓin x -错误!cos x ）＝错误!ｓin(ｘ－φ)而ｓi ｎφ＝错误!,cos φ＝错误!，当x －φ=错误!+2k π(k ∈Z )时，f （x )取最大值错误!，即θ=φ+错误!＋2k π时，ｆ(x )取最大值.cos θ＝c ｏｓ(φ＋＼f （π,２)＋2k π）＝-ｓin φ=－错误!=-错误!.
答案 -错误!
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分，共30分)
10．已知ｔan2θ=＼f(３，4)(错误!<θ<π)，求错误!的值． 解 ∵ｔａn2θ=错误!＝错误!,
∴tan θ=-3或ｔａn θ＝错误!.
又θ∈(错误!，π)，∴ta ｎθ＝-３.
∴错误!＝错误!=错误!
＝1-31+３
＝-错误!. 11.已知函数ｆ(ｘ)＝2cos 错误!（其中ω＞０,x ∈R )的最小正周期为10π．
(1)求ω的值;
(2)设α，β∈错误!,f 错误!=-错误!，
f 错误!=错误!，求co ｓ(α＋β)的值．
解 （1）∵T ＝10π=错误!,∴ω=错误!.
（2)由(1)得f (ｘ)＝2ｃos 错误!,
∵f 错误!＝2co ｓ错误!＝－2sin α=－错误!.
∴sin α＝错误!，ｃｏs α=错误!.
∵f 错误!=２co ｓβ=错误!,
∴c ｏｓβ＝＼f(8，17),si ｎβ＝错误!.
∴ｃos(α＋β）＝cos αco ｓβ-sin αs ｉn β
=４5×＼f （８,１7)-＼f(3,5)×＼f(1５，17)=-错误!．
12．(2013·重庆卷)在△ABC 中,内角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ,c ,且a 2＋b ２＋错误!ab =ｃ2.
(Ⅰ)求C ;
(Ⅱ)设co ｓA cos B =错误!,错误!=错误!,求tan α的值.
解 (Ⅰ）因为ａ２＋ｂ2+错误!ab ＝c 2，
由余弦定理有ｃos Ｃ＝错误!=错误!＝-错误!．
故C ＝３π4.
