2017中考知识点之图形的翻折

翻折问题解题技巧翻折问题解题技巧翻折问题是指在平面上将一张纸沿着某个方向折叠后形成的图形，通常需要根据已知条件求出未知部分的面积、周长等数值。

以下是一些解决翻折问题的技巧。

一、理解基本概念在解决翻折问题之前，需要先掌握几个基本概念：1.对称轴：指将纸张对称折叠所得到的直线，通常存在于图形中心或边缘。

2.重心：指图形所占面积各点的平均位置，可以通过细分图形来计算。

3.相似：指两个图形具有相同的比例尺寸和形状，但大小不同。

二、利用对称性质许多翻折问题都具有对称性质，利用这种性质可以简化计算过程。

以下是一些常见的对称性质：1.中心对称：当纸张沿着中心对称轴折叠时，两侧图形完全相同。

2.轴对称：当纸张沿着轴对称轴折叠时，两侧图形关于该轴对称。

3.点对称：当纸张沿着点对称轴折叠时，图形关于该点对称。

三、分割图形对于复杂的翻折图形，可以将其分割成多个简单的图形来计算。

以下是一些常用的分割方法：1.平移法：将图形沿着某个方向平移，然后利用重叠部分计算未知量。

2.切割法：将图形沿着某条线段切割成两个或多个简单的图形进行计算。

3.投影法：将图形在一个平面上投影到另一个平面上，然后计算未知量。

四、利用相似性质当翻折后得到的两个图形相似时，可以利用相似性质来求解未知量。

以下是一些常见的相似性质：1.比例关系：当两个相似的三角形中，对应边长之比相等时，它们的面积之比也相等。

2.高度关系：当两个相似的三角形中，高度之比等于对应边长之比时，它们的面积之比也相等。

3.底角关系：当两个相似的三角形中，底角之间互为对应角时，它们的面积之比也相等。

五、实际问题解决翻折问题不仅存在于数学练习中，也常常出现在实际生活中。

以下是一些实际问题的解决方法：1.纸箱设计：当需要设计一个纸箱时，可以利用翻折技巧计算出所需的纸张面积和尺寸。

2.衣服剪裁：当需要剪裁一件衣服时，可以利用翻折技巧计算出各个部分的面积和尺寸。

3.建筑设计：当需要设计一个建筑物时，可以利用翻折技巧计算出各个部分的面积和尺寸。

2017全国部分省市中考数学真题汇编----图形的展开与折叠一．选择题1．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）A．B．C．D．2．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥3．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）A．B．C．D．4．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）A．B．C．D．5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）A．B．C．D．6．如图，该几何体的展开图是（ ）A．B．C．D．7．如图是正方体的一个平面展开图，如果原正方体上前面的字为“友”，则后面的字为（ ）A．善B．国C．诚D．爱8．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）A．B．C．D．二．填空题9．某个立体图形的侧面展开图形如图所示，它的底面是正三角形，这个立体图形一定是 ．10．如图，是一个物体的展开图（单位：cm），那么这个物体的体积为 ．11．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是 ．12．如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3．13．把如图所示的图形折成一个正方体的盒子，折好后与“顺”相对的字是 ．14．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．三．解答题15．如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图．（在图1和图2中任选一个进行解答，只填出一种答案即可）16．某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．17．如图所示的是一个正方体，试在下列3×5方格中，画出它的平面展开图（要求：画出3种不同的情形）18．如图所示是长方体的平面展开图，设AB=x，若AD=4x，AN=3x．（1）求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长（用字母x进行表示）；（2）若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求x的值；（3）在第（2）问的条件下，求原长方体的容积．19．如图是一个正方体的展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，求字母A所标注的值．20．如图，把一边长为xcm的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为ycm的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒．（1）求该纸盒的体积；（2）求该纸盒的全面积（外表面积）；（3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），求此时x与y之间的倍数关系．（直接写出答案即可）21．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了 条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．参考答案与解析一．选择题1．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图就可以求出结论．【解答】解：由四棱柱的四个侧面及底面可知，A、B、D都可以拼成无盖的正方体，但C拼成的有一个面重合，有两面没有的图形．所以将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱展开后不能得到的平面图形是C．故选C．【点评】本题考查了正方体的平面展开图，解答时熟悉四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种情形是关键．2．如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ）A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥【分析】根据正方体、圆锥、三棱柱、圆柱及其表面展开图的特点解题．【解答】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是正方体、圆柱、三棱柱、圆锥．故选A．【点评】可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．3．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、B、C折叠后都不符合题意，只有选项D折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选D．【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．4．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是（ ）A．B．C．D．【分析】根据两面相隔一个面是对面，相邻的面是邻面，可得答案．【解答】解：A、平面图形能折叠成的长方体正面的右邻面是阴影，故A错误；B、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故B错误；C、平面图形能折叠成的长方体正面是阴影，上面应是空白面，故C错误；D、平面图形能折叠成的长方体上面的右邻面是阴影，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了展开图这个叠成几何体，确定折叠成长方体阴影面的邻面是解题关键．5．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据立体图形平面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：A．四棱锥的展开图有四个三角形，故A选项错误；B．根据长方体的展开图的特征，可得B选项正确；C．正方体的展开图中，不存在“田”字形，故C选项错误；D．圆锥的展开图中，有一个圆，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．6．如图，该几何体的展开图是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意带图案的两个面相邻．【解答】解：观察题干图形可知，带图案的两个面相邻．只有选项C中几何体的展开图带图案的两个面相邻．故选：C．【点评】本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．7．如图是正方体的一个平面展开图，如果原正方体上前面的字为“友”，则后面的字为（ ）A．善B．国C．诚D．爱【分析】根据展开图即可判断．【解答】解：“友”与“诚”属于同层，由同层隔一面可知：“友”相对的是“诚”故选（C）【点评】本题考查几何体的展开图，先找同层隔一面，再找异层隔两面，剩下两面必相对．8．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及棱柱的展开图解题．【解答】解：A可以围成四棱柱，C可以围成五棱柱，D可以围成三棱柱，B选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱．故选：B．【点评】熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．二．填空题（共11小题）9．某个立体图形的侧面展开图形如图所示，它的底面是正三角形，这个立体图形一定是　三棱柱　．【分析】根据侧面是三个矩形，底面是三角形，可得答案．【解答】解：由题意，得这个立体图形一定是三棱柱，故答案为：三棱柱．【点评】本题考查了几何体的展开图，利用侧面是三个矩形，底面是三角形是解题关键．10．如图，是一个物体的展开图（单位：cm），那么这个物体的体积为　250πcm3　．【分析】根据展开图可知此物体是圆柱，再利用圆柱的体积公式即可得出结。

2017年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图.E是矩形ABCD中BC边的中点.将△ABE沿AE折叠到△AFE.F在矩形ABCD内部.延长AF交DC于G点.若∠AEB=55°.则∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图.把一个长方形纸片沿EF折叠后.点D、C分别落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°.则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图.把矩形ABCD沿EF翻折.点B恰好落在AD边的B′处.若AE=2.DE=6.∠EFB=60°.则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．164.如图.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠.使点C落在C′处.BC′交AD于E.AD=8.AB=4.则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.得到菱形AECF.若AB=3.则BC的长为（）A．1 B．2 C. D.6.如图.在矩形ABCD中.AB=8.BC=4.将矩形沿AC折叠.则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．67.如图.矩形ABCD中.点E在边AB上.将矩形ABCD沿直线DE折叠.点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5.BF=3.则CD的长是（）A.7B.8 C．9 D． 108.如图.菱形纸片ABCD中.∠A=60°.折叠菱形纸片ABCD.使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上.得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图.将边长为12cm的正方形ABCD折叠.使得点A落在CD边上的点E处.折痕为MN．若CE的长为7cm.则MN 的长为（）A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图.将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折.恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH=12厘米.EF=16厘米.则边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图.在矩形 OABC 中.OA=8.OC=4.沿对角线 OB 折叠后.点 A 与点 D 重合.OD 与 BC交于点 E.则点 D 的坐标是（）A．（4.8）B．（5.8）C．（.） D．（.）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠.AE、EF为折痕.∠BAE=30°..折叠后.点C落在AD边上的C1处.并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A. B. 2 C. 3 D.13.如图.矩形纸片ABCD中.AD=3cm.点E在BC上.将纸片沿AE折叠.使点B落在AC上的点F处.且∠AEF=∠CEF.则AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图.在矩形ABCD中.AB=5.BC=7.点E是AD上一个动点.把△BAE沿BE向矩形内部折叠.当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时.CA1的长为（）A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图.在矩形ABCD中.点E、F分别在边AB.BC上.且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠.点B恰好落在AD边上的点P处.连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE.②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图.点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上.将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合.若此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图.矩形ABCD中.点E是AD的中点.将△ABE折叠后得到△GBE.延长B G交CD于点F.若CF=1.FD=2.则BC的长为( )A.3B.2C.2D.218.如图.矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠.使点D落在BC上的F处.已知AB=6.△ABF的面积是24.则FC等于（）.A．2 B．3 C．4 D．519.如图.在菱形纸片ABCD中.∠A=60°.将纸片折叠.点A、D分别落在点A′、D′处.且A′D′经过点B.EF为折痕.当D′F⊥CD时.的值为（）A．B．C．D．20.如图.在矩形纸片ABCD中.AB=3.AD=5.折叠纸片.使点A落在BC边上的A′处.折痕为PQ.当点A′在BC边上移动时.折痕的端点P.Q也随之移动。

中考数学翻折问题考点类型·最新说明：本文档整理了中考数学翻折问题的考点类型、试题类型、难度系统等内容，详细讲解了各种类型题目的解法和技巧，本文是翻折问题的专项训练，望对老师和同学们有所帮助。

目录一、知识与方法 (3)二、典型题 (4)一、知识与方法1. 轴对称的定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，对应点叫对称点，直线叫对称轴，两个图形关于某条直线对称也叫轴对称.2. 轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）对称轴这条直线是对应点连线段的垂直平分线.3. 轴折叠两侧的部分对应相等，如①对应角相等、②对应边相等、③折痕上的点到对应点的距离相等；4. 对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分，这会出现垂直于中点；5. 折叠问题中，常常结合角平分线、等腰三角形、三线合一、设未知数解勾股定理等综合知识点；6. 在平面直角坐标系中出现折叠，常常还会用到求解析式法、两点间距离公式、中点坐标公式等。

二、典型题【题1】如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则sin∠EFG 的值为．【解析】如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB∴∠HDE=∠DAB=60°，∵点E是CD中点，∴DE=CD=2在Rt△DEH中，DE=2，∠HDE=60°∴DH=1，HE=，∴AH=AD+DH=5在Rt△AHE中，AE==2∵折叠，∴AN=NE=，AE⊥GF，AF=EF∵CD=BC，∠DCB=60°∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点∴BE⊥CD，∵BC=4，EC=2，∴BE=2∵CD ∥AB ，∴∠ABE =∠BEC =90°在Rt △BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2=12+（AB ﹣EF ）2．∴EF =，∴sin ∠EFG ===，故答案为：【点评】“对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分”，“三线合一”，“转化目标角”【题2】如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是边AB 上一点，且AE =2EB ，点P 是边BC 上一点，连接EP ，过点P 作PQ ⊥PE 交射线CD 于点Q ．若点C 关于直线PQ 的对称点正好落在边AD 上，求BP 的值．【解析】过点P 作PE ⊥AD 于点E ，∴∠PEC '=90°∵矩形ABCD 中，AB =3，BC =4∴∠EAB =∠B =∠C =∠QDC '=90°，CD =AB =3∴四边形CPED 是矩形∴DE =PC ，PE =CD =3∵AE =2EB ，∴AE =2，EB =1设BP =x ，则DE =PC =4﹣x∵点C 与C '关于直线PQ 对称∴△PC 'Q ≌△PCQ ∴PC '=PC =4﹣x ，C 'Q =CQ ，∠PC 'Q =∠C =90°∵PE ⊥PQ法2：亦可过C`作C`G ⊥BC ，连接CC`∴∠BPE+∠CPQ=90°又∵∠BEP+∠BPE=90°∴∠BEP=∠CPQ∴△BEP∽△CPQ同理可证：△PEC'∽△C'DQ∴，，∴CQ==x（4﹣x）∴C'Q=x（4﹣x），DQ=3﹣x（4﹣x）=x2﹣4x+3∴，∴C'D=3x，EC'=∵EC'+C'D=DE，∴，解得：x1=1，x2=∴BP的值为1或【题3】如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，法2：亦可过D作DG⊥AO，连接AA`∴CD =AB ，∵将四边形ABDE 沿DE 折叠，若点A 的对称点A ′恰好落在边OC 上， ∴A ′D =AD ，A ′E =AE ， 在Rt △A ′CD 与Rt △DBA 中，，∴Rt △A ′CD ≌Rt △DBA （HL ），∴A ′C =BD =1，∴A ′O =2，∵A ′O 2+OE 2=A ′E 2，∴22+OE 2=（4﹣OE ）2，∴OE =，【点评】“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”【题4】如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为 ．【解析】连接BF ，∵BC =6，点E 为BC 的中点，∴BE =3，又∵AB =4，∴AE ==5，∴BH =，则BF =， 法2：亦可过E 作EG ⊥FC ；或者过F 作MN 分别垂直AD 和BC∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．【题5】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长．【解析】（1）∵CM=x，BC=6，∴设HC=y，则BH=HM=6﹣y，故y2+x2=（6﹣y）2，整理得：y=﹣x2+3，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，∴=，解得：HC=﹣x2+2x，故答案为：﹣x2+3或﹣x2+2x；（2）方法一：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，故∠HMC+∠EMD=90°，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，∴CM=2，∴DM=4，∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，∴△NEG∽△DEM，∴=，∴=，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=﹣x2+3=，∴PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣﹣=2，在Rt△GPH中，GH===2．当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处．MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长．所以，GH长为6．方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BM⊥GH，则可得∠PGH=∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH=BM，∴GH=BM==2．【题6】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（1）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）．【解析】（1）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ，又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴=，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴=，∴m=t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴=，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'=OC'=PC，∴BP=AC'，∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11﹣2t，∴=，∵m=t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=故点P的坐标为（，6）或（，6）．1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tan∠ABC=，将菱形纸片沿折痕FG 翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cos∠EFG的值为．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，过点P作PE⊥AB，∵AB=15，tan∠ABC=，∴AH=9，BH=12，∴CH=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=15，AD∥BC，∵AH⊥BC，∴AH⊥AD，且AH⊥BC，CE⊥AD，∴四边形AHCE是矩形∴EC=9，AE=CH=3，∴BE===3，∵将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，∴BF=EF，BE⊥FG，BO=EO=∵AD∥BC，∴∠ABC=∠P AE，∴tan∠ABC=tan∠P AE=，且AE=3，∴AP=，PE=，∵EF2=PE2+PF2，∴EF2=+（15﹣EF+）2，∴EF=，∴FO===∴cos∠EFG==，故答案为：2．如图，在菱形ABCD中，AB=5，tan D=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE长为．【解析】如图，作AH⊥CD于H，交BC的延长线于G，连接AC′．由题意：AD=AD′，∠D=∠D′，∠AFD′=∠AHD=90°，∴△AFD′≌△AHD（AAS），∴∠F AD′=∠HAD，∵∠EAD′=∠EAD，∴∠EAB=∠EAG，∴=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）∵AB∥CD，AH⊥CD，∴AH⊥AB，∴∠BAG=90°，∵∠B=∠D，∴tan B=tan D==，∴=，∴AG=，∴BG===，∴BE：EG=AB：AG=4：3，∴EG=BG=，在Rt△ADH中，∵tan D==，AD=5，∴AH=3，CH=4，∴CH=1，∵CG∥AD，∴=，∴CG=，∴EC=EG﹣CG=﹣=．故答案为．3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D 的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5故答案为：54．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E 恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在Rt△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在Rt△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E在边AD上且AE=4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG=3，那么BF的长为．【解析】∵△CDG∽△A'EG，A'E=4∴A'G=2∴B'G=4由勾股定理可知CG'=则CB'=由△CDG∽△CFB'设BF=x∴解得x=故答案为6．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为2．【解析】过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，则四边形AOGO′为矩形，∴O′G=AO=6，∵沿EF折叠后所得得圆弧恰好与半径OB相切于点G，∴与所在圆的半径相等，∴点O′为所在圆的圆心，∴点O与点O′关于EF对称，∴OO′⊥EF，OH=HO′，设OH=x，则OO′=2x，∵∠EOH=∠O′OA，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴=，即=，解得x=2，即O到折痕EF的距离为2．故答案为2．7．如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB 于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．9．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC 为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在Rt△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在Rt△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．10．如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE 关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24．【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∴AC2=BC•MC，∴MC==，∵∠MAC=∠NAE′，∴Rt△ACM∽Rt△AE′N，∴=，即=，∴E′N=，∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24．故答案为24．11．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为．【解析】设BC与D′F交于点K．CF=a，D′K=b，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠C=60°，∠D′=∠D=120°，∵KF⊥CD，∴∠KFC=90°，∴∠FKC=∠BKD′=30°，∴∠KBD′=180°﹣∠D′﹣∠BKD′=30°，∴BD′=b，BK=b，KC=2a，KF=a，∵BC=CD=D′F+CF，∴b+2a=b+a+a，∴（﹣1）a=（﹣1）b，∴a=b，∴==，故答案为．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=﹣1．【解析】如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B 落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为．【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：则EG∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，设BE=x，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴==，解得：EG=x，BG=x，∵点D是边BC的中点，∴CD=BD=2，∴DG=2﹣x，由折叠的性质得：DF=BD=CD，∠EDF=∠EDB，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴∠ADC=∠ADF，∴∠ADF+∠EDF=×1880°=90°，即∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，∵AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2﹣x）2+（x）2，∴13+（2﹣x）2+（x）2=（5﹣x）2，解得：x=，即BE=；故答案为：．14．在正方形ABCD中，（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且∠AOF=90°．求证：AE=BF．（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长．【解析】（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOF=90°，∴∠BAE+∠OBA=90°，又∵∠FBC+∠OBA=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中∵，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF．（2）由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM=∠FHE=90°，∴∠HAO+∠AOH=90°、∠HAO+∠AMD=90°，∴∠POF=∠AOH=∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP=90°、∠HFE+∠FEH=90°，∴∠POF=∠FEH，∴∠FEH=∠AMD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=FH=5，在△ADM和△FHE中，∵，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴EF=AM===．15．如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，∠BFC=90°，求的值．【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠A=∠BCD=90°，∵将△ADE沿直线DE对折得到△DEF，∴∠DFE=∠DFM=90°，在Rt△DFM与Rt△DCM中，，∴Rt△DFM≌Rt△DCM，∴MF=MC，∴∠MFC=∠MCF，∵∠MFC+∠BFM=90°，∠MCF+∠FBM=90°，∴∠MFB=∠MBF，∴MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF=x，∵BE2+BM2=EM2，即（2a﹣x）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，∴AE=a，∴==3．16．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．17．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为23°．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=，求B′D 的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．【解析】（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=46°，由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，故答案为23．（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中，∵AG=，AD=9，∴GD=9﹣=，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，CF==，∴BF=BC﹣CF=，由翻折不变性可知，FB=FB′=，∴DB′=DF﹣FB′=﹣=3．【验一验】如图4中，小明的判断不正确．理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK=3，CD=4，∴CK==5，∵AD∥BC，∴∠DKC=∠ICK，由折叠可知，∠A′B′I=∠B=90°，∴∠IB′C=90°=∠D，∴△CDK∽△IB′C，∴==，即==，设CB′=3k，IB′=4k，IC=5k，由折叠可知，IB=IB′=4k，∴BC=BI+IC=4k+5k=9，∴k=1，∴IC=5，IB′=4，B′C=3，在Rt△ICB′中，tan∠B′IC==，连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC==，∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，∴B′I所在的直线不经过点D．。

图形变换中的重要模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。

涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。

无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。

本专题以各类几个图形(三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等)为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。

以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。

对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。

翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。

一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。

翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。

般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。

解决翻折题型的策略：1)利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2)结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3)运用勾股定理或者三角形相似建立方程。

模型1.矩形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2022·浙江·宁波一模)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB =9，AD =6，BE =3，则DF 的长是( )A.72B.4C.924D.3变式1.(2021·四川成都·中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =4,AD =8，点E ，F 分别在边AD,BC 上，且AE =3，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点A '恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B '，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在EF ,A B '上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．2)线段比值型例1.(2022·江苏苏州·中考真题)如图，在矩形ABCD 中AB BC=23．动点M 从点A 出发，沿边AD 向点D 匀速运动，动点N 从点B 出发，沿边BC 向点C 匀速运动，连接MN ．动点M ，N 同时出发，点M 运动的速度为v 1，点N 运动的速度为v 2，且v 1<v 2．当点N 到达点C 时，M ，N 两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN 沿MN 翻折，得到四边形MA B N ．若在某一时刻，点B 的对应点B 恰好在CD 的中点重合，则v 1v 2的值为______．变式1.(2022·湖北襄阳·二模)如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开，E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则CEBE=____3)分类讨论型例1.(2022·辽宁锦州·中考真题)如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则FG的长是____________．变式1.(2022·河南省实验中学一模)如图，在矩形ABCD中，已知AB=10，AD=6，动点P从点D 出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP 沿着AP翻折得到△AEP．作射线PE与边AB交于点Q，当QE=QB时，t=_______．4)路径(轨迹)型例1.(2022·重庆十八中两江实验中学一模)如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AB 边上一点，且AE =2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则三角形AGC 的面积的最小值为( )A.32B.43C.54D.3变式1.(2022·四川成都·模拟预测)如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，在点E 从A 到D 的运动过程中，点G 的运动路径=________，△CEF 面积的最小值是________．5)综合证明型例1.(2022·广东·一模)如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，E 是CD 上一点，沿AE 折叠矩形，BC 的对应边B C 经过点D ，连接BB ，与AE 、AD 分别交于点G 、H ，连接BD 交AE 于点F .下列结论：①△B DH 是等腰三角形；②GH ：B 'H =1：3；③BB 平分∠ABD ；④S △AFD =5013.其中结论正确有( )A.②④B.②④C.①②③D.①②④变式1.(2022·吉林·长春市二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边OA 、OB 分别在y轴和x 轴上，已知对角线OC =5．tan ∠BOC =34．F 是BC 边上一点，过点F 的反比例函数y =k xk >0 的图象与AC 边交于点E ，若将△CEF 沿EF 翻折后，点C 恰好落在OB 上的点M 处，则k 的值为( )A.2B.175C.3D.218模型2.特殊三角形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2021·重庆·中考真题)如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC ，连接CC ，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE=BE，BC =2，则AD的长为__________．变式1.(2022.广西九年级模拟)如图，在△ABC中，AB<AC，∠C=45°，AB=5，BC=42，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到△BC D，BC′交AC于点E，C′D∥AB，则图中阴影部分的面积是( )A.78B.127C.52D.2072)分类讨论型例1.(2022.重庆九年级期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=43，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC 于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．变式1.(2022.河南九年级模拟)如图，∠POQ=90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动(点A，B不与点O重合)，C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA C，A O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为______．3)综合证明型例1.(2020·江苏淮安·中考真题)【初步尝试】(1)如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；【思考说理】(2)如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值．【拓展延伸】(3)如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B 处，折痕为CM．①求线段AC的长；②若点O是边AC的中点，点P为线段OB 上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A PM，点A的对应点为点A ，A M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．变式1.(2022·福建三明·九年级期中)如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=34x与直线l2:y=kx+b(k≠0)相交于点A(a,3)，直线l2与y轴交于点B(0,-5)．(1)求直线l2的函数解析式；(2)将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；(3)在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．模型3.平行四边形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2021·江苏苏州·中考真题)如图，在平行四边形ABCD 中，将△ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到△AB C ，B C 交AD 于点E ，连接B D ，若∠B =60°，∠ACB =45°，AC =6，则B D 的长是( )A.1B.2C.3D.62变式1.(2021·江西·中考真题)如图，将▱ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD于点F ，若∠B =80°，∠ACE =2∠ECD ，FC =a ，FD =b ，则▱ABCD 的周长为______．2)分类讨论型例1.(2022·湖北随州·中考模拟)在▱ABCD 中，AB <BC ，已知∠B =30°，AB =23，将△ABC沿AC 翻折至△AB ′C ，使点B ′落在▱ABCD 所在的平面内，连接B ′D ．若△AB ′D 是直角三角形，则BC 的长为_____．变式1.在平行四边形ABCD 中，∠A =60°，AB =4，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，沿EF 折叠平行四边形，使线段CD 落在直线AB 上，点C 的对应点为C 1，点D 的对应点为D 1，若BD 1=2，则AD 的长为___________.3)综合证明型例1.(2022·贵州贵阳·中考真题)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN 为BC 边上的高，AD AN=m ，点M 在AD 边上，且BA =BM ，点E 是线段AM 上任意一点，连接BE ，将△ABE 沿BE 翻折得△FBE ．(1)问题解决：如图①，当∠BAD=60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN= ______；(2)问题探究：如图②，当∠BAD=45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；(3)拓展延伸：当∠BAD=30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．变式1.(2021·山西·中考真题)综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；独立思考：(1)请解答老师提出的问题；实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=25，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积．请你思考此问题，直接写出结果．模型4.菱形中的折叠1)基本计算型例1.(2021·辽宁大连·中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边BC上，将△ABE 沿直线AE翻折180°，得到△AB'E，点B的对应点是点B 若AB ⊥BD，BE=2，则BB 的长是__________．变式1.(2022·宁夏·银川市二模)如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处(不与B，D重合)，折痕为EF，若DG=13BG，则BE的长为( )A.145B.135C.137D.752)分类讨论型例1.(2022·河南·潢川县第二中学一模)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为______．变式1.(2022山西中考模拟)如图在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G 处，当△C GB为等腰三角形时，则AP的长为_________.3)综合证明型例1.(2022·河北·邢台市二模)如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°．如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕，设BE=x (0<x<2)，下列判断：①当x=1时，DP的长为3；②EF+GH的值随x的变化而变化；③六边形AEFCHG面积的最大值是33；④六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是( )A.①②B.①④C.②③④D.①③④变式1.(2022·湖北武汉·校联考一模)问题背景:如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：AEDE=BE DC．尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求FCFD的值．拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE=∠D，AE⊥FE，FC=2．EC=6．请直接写出EFAF的值．模型5.正方形中的折叠模型1)常规计算型例1.(2022·广西·中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=42，对角线AC,BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD,BD于点F、G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_______．变式1.(2022·四川成都·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，沿直线DF翻折△ADF，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，A D上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点A 与点D重合，则线段MN的长为________．2)分类讨论型例1.(2022·浙江·二模)正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C'处，联结DC'并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN= DM时，CM的长为___．变式1.(2022·河南·民权一模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到△B EF，连接B C，作△B EC关于B C对称的△B E C，连接DB ，DE ．当△DB E 是等腰三角形时，BF的长为______．3)综合证明型例1.(2022·四川渠县一模)如图，将正方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边的点P 处(不与点A ，点D 重合)，点C 落在G 点处，PG 交DC 于点H ，连接BP ，BH ．BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①PB 平分∠APG ；②PH =AP +CH ；③BM =22BP ，④若BE =53，AP =1，则S 四边形BEPM =113，其中正确结论的序号是( )A.①②③④ B.①②③C.①③④D.①②④变式1.(2022·福建·厦门二模)如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接BP ，BH ，BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE =PE ；②BP =EF ；③PB 平分∠APG ；④PH =AP +HC ；⑤MH =MF ，其中正确结论的个数是( )A.5 B.4C.3D.2模型6.圆中的折叠模型1)角度、长度型例1.(2021·湖北武汉·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC沿BC翻折交AB 于点D ．再将BD沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE=DE，设∠ABC =α，则α所在的范围是()A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.1°<α<23.5°变式1.(2022·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知∠AOB =120°，OA =6，则EF的度数为_______；折痕CD 的长为_______．2)面积型例1.(2022·山西太原·统考二模)如图是一张圆心为O ，半径为4cm 的圆形纸片，沿弦AC 所在直线折叠，使得AC经过点O ，将纸片⊙O 展平后，作半径OB ⊥OA ，则图中阴影部分的面积等于( )A.4π-43 cm 2B.43πcm 2C.163π-83 cm2D.203π-83 cm 2变式1.(2022·山西大同·校联考三模)如图，边长为6的正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，沿AE 折叠，点F 与点O 重合，过点E 作⊙O 的切线与AD 的延长线交于点G ，则图中阴影部分的面积是( )A.363-6πB.183+6πC.273+9πD.273-3π课后专题训练1.(2022·山东烟台·一模)如图，在矩形ABCD 中，BC =6，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠BAE =34，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D 处，当△APD是直角三角形时，PD 的值为( )A.23或67 B.83或247C.83或307 D.103或1872.(2022·山东模拟预测)矩形纸片ABCD 中，AB =5，AD =4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B 处，折痕为AE ．延长B E 交AB 的延长线于M ，折痕AE 上有点P ，下列五个结论中正确的有( )①∠M =∠B AM ；②PB =PB ；③AE =552；④MB =AB ；⑤若B P ⊥CD ，则四边形BPB E 是菱形．A.2 B.3C.4D.53.(2022.山东中考模拟)如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△B DE ，若点C 恰好在线段B D 上，若∠BCD =90°，DC ：CB =3：2，AB =162，则CE 的长度为( )A.42 B.722C.32D.5224.(2020·江苏镇江·中考真题)如图①，AB=5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP=x，QD=y．若y关于x的函数图象(如图②)经过点E(9，2)，则cos B的值等于( )A.25B.12C.35D.7105.(2022·河南商丘·统考三模)如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，∠C=60°，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点O ，当BO 的长度最小时，则点Q的坐标为( )A.(-1，43)B.(-2，43)C.(-3，43)D.(0，43)6.(2021·陕西·陕西师大附中校考模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=23，点P为对角线AC上的一个动点，过P作EF⊥AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是等腰三角形时，则AP的长为( )A.3-3或32B.3-3或2C.6-23或4D.6-23或327.(2022·安徽·模拟预测)正方形ABCD 的边长为8，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将正方形沿EF 折叠，使点A 落在A 处，点B 落在B 处，A B 交BC 于G ．下列结论错误的是( )A.当A 为CD 中点时，则tan ∠DA E =34B.当A D :DE :A E =3:4:5时，则A C =163C.连接AA ，则AA =EFD.当A (点A 不与C 、D 重合)在CD 上移动时，△A CG 周长随着A 位置变化而变化8.(2022春·福建福州·九年级阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE=DE，则∠BCD 的度数是( )A.22.5°B.30°C.45°D.60°9.(2022秋·九年级课时练习)如图，将⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE ．若AD =2OD ，则DEAB的值为( )A.36 B.63C.33D.6610.(2022·四川成都·二模)如图，在矩形ABCD 中，BC =23AB ．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的E 处，得到四边形FEPG ，连接AE ,PC ，若tan ∠CGP =34,GF =410，则S △PEC =________．11.(2022.河北中考模拟)如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x+2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将△ABO沿直线AB翻折得到△ABC．若点C在反比例函数y= kx(k≠0)的图象上，则k=____．12.(2022·成都市树德实验中学校考模拟预测)如图，AB=AC=4，∠BAC=90°，点M是线段AC上一个动点，连接BM，将线段BA沿直线BM进行翻折，点A落在点N处，连接CN，以CN 为斜边在直线CN的左侧(或者下方)构造等腰直角三角形CND，则点M从A运动到C的过程中，线段CD的最小值是______，当M从点A运动到点C时，点D的运动总路径长是_ _____．13.(2022·河南许昌·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AB=12，∠A=60°，点E为边AD的中点，F为射线AB上一动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，得到△A EF，当A F与菱形的边垂直时，线段AF的长为______．14.(2022·湖北襄阳·一模)如图，正方形ABCD的边长为24，点E是对角线BD上一点，且BE=3DE，F是BC的中点．连接AE,EF,AF,AF与BD交点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH，连接AH，交EF于点M，则MH=_________．15.(2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习)在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．(1)如图1，若点D 与圆心O 重合，则∠BAC 的度数为__；(2)如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC =16°，则∠DCA 的度数为__．16.(2021·浙江金华·统考中考真题)在扇形AOB 中，半径OA =6，点P 在OA 上，连结PB ，将△OBP 沿PB 折叠得到△O ′BP ．(1)如图1，若∠O =75°，且BO ′与AB所在的圆相切于点B ．①求∠APO ′的度数．②求AP 的长．(2)如图2，BO ′与AB相交于点D ，若点D 为AB的中点，且PD ⎳OB ，求AB的长．17.(2022·辽宁·沈阳市九年级期中)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)迁移探究：①如图1，当点M在EF上时，∠E MB=___________°，∠MB Q=___________°．②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图2，判断∠MB Q与∠CBQ的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片ABCD的边长为8，当FQ=1时，直接写出AP的长．(2)拓展应用：正方形ABCD的边长为8，点P在边AD上，将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交正方形ABCD一边于点G．当BG=DP时，则DP的长为___________．18.(2022·江苏无锡·统考一模)菱形ABCD中，tan D=3，点E在AD边上，F在BC边上，(1)如图1若点F与点B重合且AB=6，以直线EB为轴，将菱形ABCD折叠，使点C、D分别落在点C 、D ，且∠C AD =90°，请求出C A的长．(2)如图2以直线EF为轴，将菱形ABCD折叠，使点C、D分别落在点C 、D ，且C D 过点A，当C F⊥AB时，请求出BFFC的值．19.(2021·吉林·统考中考真题)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．(1)若AB=a．直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；(2)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；(3)若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．。

初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总初三数学——几何变换平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

旋转一、旋转的定义二、常见的几种模型三、旋转类型题目1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

平移1、平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

2017春季中考数学第五讲-图形的平移、旋转、折叠问题(解析版)2017春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题【基础回顾】考点聚焦1.了解轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基本性质,能按要求作出简单平面图形平移后的图形.2.掌握中心对称的概念,会判断一些基本图形的中心对称性,理解中心对称与旋转变换的区别.3.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.考点一轴对称图形、轴对称变换例1、如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A 落在BC边上的点F处,且DE∥BC,下列结论:①△BDF是等腰三角形;②DE=1BC;③四边形ADFE2是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.其中一定正确的个数是( ).A.1B.2C.3D.4【思路点拨】如图,分别过点D，E作BC的垂线DG，EH；连接AF,由于折叠是轴对称变换知AF与DE垂直,因为DE∥BC，所以AF与BC垂直,且AM=MF,可以证明点D，E分别是AB,AC的中点,即DE是△ABC的中位线,所以②DE=1BC是正确2的；由于折叠是轴对称变换知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以①△BDF是等腰三角形是正确的；因DG∥AF∥EH,所以∠BDG=∠DAM,又因为DG 是等腰三角形BDF的高,所以∠BDF=2∠DAM,同理∠CEF = 2 ∠EAM, 所以④∠BDF+∠FEC=2∠A是正确的；如图显然四边形ADFE不是菱形,③是错误的．【参考答案】C【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能和原图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知A是轴对称图形,且有1条对称轴,但不是中心对称图形；B是中心对称图形,不是轴对称图形；C是轴对称图形,有1条对称轴,但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形,有4条对称轴．【参考答案】B【方法归纳】如果一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合,我们把这种图形叫做中心对称图形.成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分. 【误区提醒】中心对称图形是指一个图形,而中心对称是指两个图形之间的关系.考点三平移变换例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 .【思路点拨】作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，∠AOB=60°，在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=3，从而求得点A的坐标为（1，3），直线OA的解析式为y=3x,当x=3时，y=33,所以点A′的坐标为（3，33），所以点A′是由点A 向右平移2个单位，向上平移23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,23）.【参考答案】（4,23）【方法归纳】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质.求出点A′的坐标是解题的关键.考点四旋转变换例4、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【思路点拨】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．解：(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°, ∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.当点E 和点D在直线AC同侧时,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=1BC．2又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=1BC=AC.∴△ADC为正三角2形．①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.∵CA=CE=CD=CF,∴四边形ADEF为矩形．②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．【方法归纳】旋转的概念：在平面内,将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一个角度,这种图形的运动称为旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角.旋转变换的性质：经过旋转,图形上每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,旋转变换不改变图形的形状和大小,是全等变换.【误区提醒】决定旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度,作图按三个步骤进行：(1)在已知图形上找一些关键的点；(2)画出这些关键点的对应点；(3)顺次连接这些对应点.考点五图形变换的应用例5、如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ 分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.（1）判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（2）如果AM=1，sin ∠DMF=53，求AB 的长.【思路点拨】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC ，所以△AMP ∽△BPQ ∽△CQD ；（2）先证明MD=MQ ，然后根据sin ∠DMF=53MD DFDFMD=35，设DF=3x ，MD=5x ，再分别表示出AP ，BP ，BQ ，根据△AMP ∽△BPQ ，列出比例式解方程求解即可.解：（1）△AMP ∽△BPQ ∽△CQD.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°. 由折叠的性质可知∠APM=∠EPM ，∠EPQ=∠BPQ. ∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP.∴△AMP ∽△BPQ.同理：△BPQ ∽△CQD.根据相似的传递性可得△AMP ∽△CQD ；（2）∵AD ∥BC ，∴∠DQC=∠MDQ.由折叠的性质可知∠DQC=∠DQM.∴∠MDQ=∠DQM.∴MD=MQ.∵AM=ME ，BQ=EQ ，∴BQ=MQ-ME=MD-AM.∵sin ∠DMF=53=MD DF，则设DF=3x ，MD=5x ，则BP=PA=PE=23x ，BQ=5x-1.∵△AMP ∽△BPQ ，∴BQ AP BP AM =，即1-x 52x 32x 31=，解得x=92（舍去）或x=2，∴AB=6.【方法归纳】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，图形的折叠是对称变换，是一种全等变换.【误区提醒】折叠问题要注意找正确边角的等量关系，本题求AB 长时，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边并列比例式.【例题讲解】1.图形的平移：如图1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）．A．（4，23） B．（3，33） C．（4，33）D．（3，23）图 1 图 2 图3 图4答案 A．思路如下：如图，当点B的坐标为（2, 0），点A的横坐标为1．当点A'的横坐标为3时，等边三角形A′OC的边长为6．在Rt △B ′CD 中，B ′C ＝4，所以DC ＝2，B ′D ＝23．此时B ′(4,23)．2.图形的折叠：如图2，在矩形ABCD 中，AD ＝15，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作FG ⊥AD ，垂足为G ．如果AD ＝3GD ，那么DE ＝_____．答案 35．思路如下：如图，过点F 作AD 的平行线交AB 于M ，交DC 于N ．因为AD ＝15，当AD ＝3GD 时，MF ＝AG ＝10，FN ＝GD ＝5．在Rt △AMF 中，AF ＝AD ＝15，MF ＝10，所以AM ＝55．设DE ＝m ，那么NE ＝55m -．由△AMF ∽△FNE ，得AM FN MF NE =，即5555m =-．解得m ＝35．3.图形的旋转：如图3，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝6，BC ＝4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF = ．答案 5．思路如下：如图，作FH ⊥AC 于H ．由于F 是ED 的中点，所以HF 是△ECD 的中位线，所以HF ＝3．由于AE ＝AC －EC ＝6－4＝2，EH ＝2，所以AH ＝4．所以AF ＝5．4.三角形： 如图4，△ABC ≌△DEF （点A 、B 分别与点D 、E 对应），AB ＝AC ＝5，BC ＝6．△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动（点E 不与B 、C 重合），DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE ＝_________．答案 116或1．思路如下： 设BE ＝x ．由△ABE ∽△ECM ，得AB EA EC ME =，即56EA x ME=-． 等腰三角形AEM 分三种情况讨论：①如图2，如果AE ＝AM ，那么△AEM ∽△ABC ． 所以5566EA ME x==-．解得x ＝0，此时E 、B 重合，舍去．②如图3，当EA ＝EM 时，516EA x ME ==-．解得x ＝1．③如图4，当MA ＝ME 时，△MEA ∽△ABC ．所以6556EA ME x ==-．解得x ＝116．图2 图3 图45.四边形：如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）．A ．25B ．35C ．5D ．6图 5 图 6图7答案 C ．思路如下：拖动点E 在AB 上运动，可以体验到，当EF与AC 垂直时，四边形EGFH 是菱形（如图2）．如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，所以AC ＝45． 由cos ∠BAC ＝AB AO AC AE =，得2545=．所以AE＝5．图2 图36.圆：如图1，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P 与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为__________．A. 4πB. 2πC. 6πD. 3π 答案 A ．思路如下：拖动点P 在圆周上运动一周，可以体验到，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径是圆心角为45°半径为1的一段弧．如图2，四边形PMON 是矩形，对角线MN 与OP 互相平分且相等，因此点Q 是OP 的中点．如图3，当∠DOP ＝45°时，'D Q 的长为121=84ππ⨯⨯．图2 图37.函数图像：如图7，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，联结PA ．设PA ＝x ，PB ＝y ，则(x －y )的最大值是_____．答案 2．思路如下：拖动点P 在圆上运动一周，可以体验到，AF的长可以表示x －y ，点F 的轨迹象两叶新树丫，当AF 最大时，OF 与AF 垂直（如图2）．如图3，AC 为⊙O 的直径，联结PC ．由△ACP ∽△PAB ，得AC PA AP PB =，即8x x y =．所以218y x =． 因此2211(4)288x y x x x -=-=--+．所以当x ＝4时，x －y 最大，最大值为2．图2 图3【课后练习】1.如图1，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，联结A′C，则△A′B′C的周长为_______．（答案 12）图 1 图 2 图3 图42.如图2，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．答案23t．思路如下：如图2-1，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为23t．图2-1 图3-13.如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D'，那么线段DD'的长为．答案12．思路如下：如图3-1，由△ABC∽△5ADD'，可得．5∶4＝3∶DD'．4.如图4，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm．答案 1或2．思路如下：如图2，当PQ＝AE时，可证PQ与AE互相垂直．在Rt△ADE中，由∠DAE＝30°，AD＝3，可得AE＝23．在Rt△APM中，由∠PAM＝30°，AM＝3，可得AP＝2．在图3中，∠ADF＝30°，当PQ＝DF时，DP ＝2，所以AP＝1．图2 图35.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图5-1，测得AC＝2．当∠B＝60°时，如图5-2，AC等于（）．(A)2； (B)2； (C) 6；(D) 22．图5-1 图5-2 图6答案 (A)．思路如下：拖动点A绕着点B旋转，，当∠B＝90°时，△ABC是等腰直角三角形；当∠B＝60°时，△ABC是等边三角形（如图3）．6.如图6，在矩形ABCD中，AD＝8，E是AB边上AB，⊙O经过点E，与边CD所在一点，且AE＝14直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF＝5∶2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是________．答案 12或4．思路如下：拖动点B运动，可以体验到，⊙O的大小是确定的，⊙O既可以与BC相切（如图3），也可以与AD相切（如图4）．如图2，在Rt△GEH中，由GH＝8，EG∶EF＝5∶2，可以得到EH＝4．在Rt△OEH中，设⊙O的半径为r，由勾股定理，得r2＝42＋(8－r)2．解得r＝5．设AE＝x，那么AB＝4x．如图3，当⊙O与BC相切时，HB＝r＝5．由AB＝AE＋EH＋HB，得4x＝x＋4＋5．解得x＝3．此时AB＝12．如图4，当⊙O与AD相切时，HA＝r＝5．由AE＝AH－EH，得x＝5－4＝1．此时AB＝4．图2 图3 图47.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为3的⊙M与射线BA相切,切点为N,且AN=3.将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E．(1)画出旋转后的Rt△ADE；(2)求出Rt△ADE 的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；(3)判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系,并说明理由.【思路点拨】(1)点A不动,由于∠BAC=60°,因此旋转120°后AE与AB在同一条直线上；(2)过点M作MF⊥DE,垂足为F.连接MP,构造出Rt △MPF，再通过勾股定理解直角三角形并结合垂径定理即可求解；(3)易猜想AD与⊙M相切.欲证AD与⊙M相切,只需HM=NM即可,而HM=NM可由△MHA≌△MNA得到．证明：(1)如图1，Rt△ADE就是旋转后的图形；(2)如图2,过点M作MF⊥DE,垂足为F,连接MP．在Rt△MPF中,MP=3,MF=4-3=1,由勾股定理易得PF=2,再由垂径定理知PQ=2PF=22；(3)AD 与⊙M 相切．证法一：如图2,过点M 作MH ⊥AD 于H,连接MN, MA,则MN ⊥AE 且MN=3.在Rt △AMN 中,tan ∠33 AN MN ，∴∠MAN=30°. ∵∠DAE=∠BAC=60°,∴∠MAD=30°.∴∠MAN=∠MAD=30°.∴MH=MN(由△MHA ≌△MNA 或解Rt △AMH 求得MH=3,从而得MH=MN 亦可). ∴AD 与⊙M 相切；证法二：如图2,连接MA,ME,MD,则S △ADE =S △AMD +S △AME +S △DME ,过M 作MH ⊥AD 于H, MF ⊥DE 于F, 连接MN, 则MN ⊥AE 且MN=3,MF=1, ∴21AC ·BC=21AD ·MH+21AE ·MN+21DE ·MF,由此可以计算出MH=3.∴MH=MN.∴AD 与⊙M 相切．【方法归纳】本题综合了旋转、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、圆与直线的位置关系等有关知识,是一道中等偏上的题,有一定区分度.其中证明圆与直线相切时通常是“作垂直,证半径”．。

自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ， 解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确； 故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（ ）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。

课题：几何图形的操作与变换—翻折【课型】初三复习小专题 【教学目标】 知识和技能：理解图形翻折的直观意义，根据要求能画出翻折后的图形；知道翻折后图形的形状、大小保持不变． 过程和方法：由简入难，层层推进，经历利用翻折后得到的图形性质解决综合问题，总结归纳解决翻折类问题的基本策略，形成知识体系，在反思中提升． 情感、态度与价值观：在合作探究中得出结论，获取成功的体验，帮助学生掌握“理、归、拓”的学习方法． 【教学重点与难点】教学重点：理解图形翻折的意义及相关性质，会画经过翻折后的图形，会解综合问题． 教学难点：利用图形翻折后的性质解决综合问题．【专题概述】翻折的对象一般有三角形、长方形、正方形等基本图形；考查问题有求角度、线段的长度、点的位置、图形的面积、判断线段之间关系等．解题时：1．重视“折”关注“叠”；2．本质：轴对称（全等性、轴对称性）； 3．关键：根据翻折实现等量转化；4．基本方法：构造方程①根据勾股定理得方程②根据相似比得方程③利用面积法得方程．设计意图：让学生对本课复习内容有初步认识，对本课需达成的复习目标及能力要求有个初步的规划和了解．【知识回顾】如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 与点C 重合，然后展开纸片，记折痕为DE ，连接DC ，你有哪些发现？ （学生口答，结合学生回答，回忆并整理轴对称的2条基本性质）翻折性质1：翻折前后的两个图形全等，即对应边相等 ，对应角相等． 翻折性质2： 对应点的连线被对称轴垂直平分．设计意图：从最直观的基本模型入手，结合操作，体会翻折即轴对称，回忆并整理轴对称的2条基本性质，为本课内容的推进奠定基础． 【牛刀小试】D C B A1．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，M 为边BC 上的点，连接AM （如图所示）．如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，OC =3，OA =26，D 是BC 的中点，将△OCD 沿直线OD 折叠后得到△OGD ，延长OG 交AB 于点E ，连接DE ，则点G 的坐标为 ．设计意图：让学生在具体情境中进一步感受翻折性质的应用，初步感受方程思想及转化思想对解题的帮助．【考题呈现】例1 几位同学尝试用矩形纸条ABCD （如图1）折出常见的中心对称图形．（1）如图2，小明将矩形纸条先对折，使AB 和DC 重合，展开后得折痕EF ，再折出四边形ABEF 和CDEF 的对角线，它们的对角线分别相交于点G ，H ，最后将纸片展平，则四边形EGFH 的形状一定是 ．（2）如图3，小华将矩形纸片沿EF 翻折，使点C ，D 分别落在矩形外部的点C ′，D ′处，FC ′与AD 交于点G ，延长D ′E 交BC 于点H ，求证：四边形EGFH 是菱形．B 第2题图xyGO B ECA DBAD CH G F EABCD D 'C 'EFGABCD GH EFA 'B 'C 'D 'CDAB 图1图2图3图4（3）如图4，小美将矩形纸条两端向中间翻折，使得点A ，C 落在矩形内部的点A ′，C ′处，点B ，D 落在矩形外部的点B ′，D ′处，折痕分别为EF ，GH ，且点H ，C ′，A ′，F 在同一条直线上，试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．设计意图：矩形的多样折叠，一题多变，但百变不离其中，本题旨在让学生感受图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形【对应量相等】，启发引导学生谈谈解题感悟．例2 如图在Rt △ABC 中，∠C =90°，翻折∠C 使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E ，F 分别在边AC ，BC 上）．（1） 若△CEF 与△ABC 相似，①当AC =BC =2时，AD 的长为 ．②AC =3，BC =4时，AD 的长为 ．（2）当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．设计意图：三角形的翻折，让学生感悟：1.图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称【轴对称图形性质】；2．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系【抓住题中的折叠后恰好落在…等关键词】．例3 已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长； （2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，在．（．1．）的条件下．．．．．，擦去折痕AO 、线段OP ，连接BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．设计意图：归纳解决正方形、矩形的翻折问题，往往能构成直角三角形、全等三角形、EFA BCPOABCDMNEFD ACP 图1图2相似三角形，同（等）角的三角比值相等等性质求解。

九年级上册翻折知识点翻折，是一种常见的美术创作技巧，也是一种常用于几何学和纸艺中的手工活动。

通过将纸张沿着一条边折叠或弯曲，可以创建出各种有趣的形状和模式。

在九年级上册的学习中，翻折技巧也有一定的应用。

下面我们来探讨一些与九年级上册翻折知识点相关的内容。

在数学课堂上，几何学是九年级上册的一个重要内容。

而翻折，可以帮助我们更直观地理解和掌握几何图形的性质。

比如，在学习正方形的性质时，我们可以通过将纸张对折，并将需要的直线剪开，得到两个完全对称的正方形。

这样，我们就可以更清晰地观察正方形的四个内角都是直角的特点。

除了正方形外，翻折还可以用于探索其他几何图形的性质。

比如，我们可以通过将纸张对折，将矩形折成两个相等的部分，从而发现矩形的两个对角线相等的规律。

同样地，我们还可以通过将三角形折成两个相等的部分，来观察并验证三角形的两边之和大于第三边的性质。

在美术课上，翻折则可以用于创作出精美的折纸作品。

例如，利用折纸技巧可以制作出各种各样的动物、飞机、花朵等手工作品。

这不仅可以提高学生的动手能力和创造力，还可以培养学生的耐心和细致观察力。

同时，折纸还可以培养学生的空间想象力和几何感。

在生活中，翻折也有很多有趣的应用。

比如，我们经常会遇到需要折叠的纸架、纸箱、纸飞机等物品。

而这些折叠技巧的运用不仅可以节省空间，还可以使物品更加稳固和美观。

此外，翻折还可以用于制作纸巾包、书签等小物件，并可以根据个人喜好和创意进行折叠，增加趣味性和独特性。

除了数学、美术和日常生活中的应用外，翻折还有一些其他有趣的领域。

比如，在物理学中，翻折可以用于研究纸张的力学性质，如纸张的耐撕裂性等。

在心理学中，翻折可以用作一种治疗手段，帮助人们缓解压力、放松心情。

在休闲娱乐方面，数学翻折、折纸艺术等也常常作为团队建设和亲子活动的一部分。

通过对九年级上册翻折知识点的探讨，我们可以看到翻折不仅是一种简单的技巧，它融合了数学、美术和生活等多个领域。

翻折与旋转近几年上海中考试题中，图形的运动成为一个命题热点。

图形的翻折是图形的运动形式之一，翻折问题是中考的热点，也是中考的一个难点。

一 认识翻折问题 1.关注“两点一线”在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。

这是解决问题的基础。

2. 联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。

二 解决翻折问题我们把翻折问题分为两类：“依线翻折”和“依点翻折”。

1. 依线翻折关键是找出对称点，并画出来。

例1. 已知：在Rt △ABC 中，∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直, 那么∠A 等于_________度。

分析：本题是依直线CM 进行翻折的。

首先需要作出A 点关于CM 的对称点D ，这样“两点一线”就明确了。

其次联想到“重合”，从而得到相等的线段和角：CA=CD ，∠1=∠2。

根据已知CD ⊥AB ，AC ⊥CB ，可想到∠A=∠3，又CM 是斜边的中线，于是∠1=∠A.，所以∠1=∠2=∠3，故∠A=30°。

2. 依点翻折关键是找出折线，并画出来。

例2.. 已知：Rt △ABC 中，∠A<∠B ， CM 是斜边AB 的中线，∠B=60将△ABC 沿某直线折叠，使点C 落在M 上，折痕与AC 的交点为E ， 那么∠CEM =____度。

分析：本题是依已知点C 、M 翻折的，图中没有折线。

首先需要作出折线：CM 的垂直平分线，并标出点E 。

这样“两点一线”已经明确了。

接下来马上联想到重合的线段和重合的角。

由于CM 是斜边AB 的中线，所以可得到∠BCM=60°，于是∠ECM=30°。

而∠ECM 与∠CME 重合，所以相等，故∠CEM=180°－30°－30°=120°。

中考数学第二轮复习——翻折姓名_________________折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。

折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。

图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。

典型例题一．折叠后求度数1、如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=___________度。

2、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600B．750C．900D．9503、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°4、把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°二、折叠后求长度5、如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为CD ，则AF等于__________________AF．若66、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠，使点B 落在斜边AC 上， 若AB=3，BC=4，则BD= ．7、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，现将其折叠， 使点D 与点B 重合，则BE=________8、如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠， 点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE ＝5，BF ＝3，则CD 的长为____________9、如图所示，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8 cm ，现将其沿EF 对折， 使得点C 与点A 重合，则AF 长为_________10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。

图形的翻折一、教学目标:1、理解图形翻折的直观意义；2、认识平面图形翻折的过程,在实例中理解轴对称的意义；根据要求能画出翻折后的图形；3、知道翻折后图形的形状、大小保持不变；二、教学重点与难点：教学重点：理解图形翻折的意义及相关性质，会画经过翻折后的图形教学难点：利用图形翻折后的性质解决综合问题。

三、教学方法和手段：主要采用讨论式和启发式教学方法，利用多媒体辅助教学。

四、教学过程(一) 复习引入如图如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）A．15° B．30° C．45° D．60°【黑板演示，理清依线翻折与依点翻折的不同作图方法；引导学生归纳翻折后图形的性质】翻折后图形的性质：1、翻折后得到的图形与原图形形状相同、大小不变，并且对应角、对应线段相等2、折痕所在的直线即为翻折前后两个图形的对称轴3、翻折后，图形对应点的连线段被对称轴垂直且平分(二)例题精讲翻折在综合题中的应用1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，则CD的长为____。

2、一张矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于点G。

①若∠GD C′=30°，求∠GBD的度数？②若AD=8,AB=6,求AG长，三角形BGD的面积③连接A C′，求证A C′和BD的位置关系3、如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN。

你能求出几条线段的长度？分别是多少?4．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处， C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为．5、如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、已知：四边形OABC为矩形，点B（5,3），D（0，b）为Y轴正半轴上一个动点，以AD为折痕，将三角形OAD沿AD对折，折叠后点O落在点E处。

上海初中中考复习图形的运动之翻折教学内容一．图形的运动：平移，翻折，旋转。

二．性质：1.【共性】全等性。

（对应边相等，对应角相等。

）2.【特性】①平移：平移后的对应点的连线平行且相等。

②翻折：翻折后的对应点的连线被折痕(对称轴）垂直平分。

③旋转：旋转后的对应点与旋转中心的连线相等，其夹角是旋转角，也相等。

平移：翻折：旋转：知识点一（图形运动之翻折角度） 【例题精讲】例1.如图1，EF 为正方形ABCD 的对折线，将DAK ∆翻折，使顶点A 与EF 上的点G 重合，则____DKG ∠=。

图1【答案】75 【解析】：因为1122DF AE AD DG ===，所以30DGF EKG ∠=∠=例2.如图2，等边OAB ∆直角坐标系中的位置如图示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则___CMN ∠=。

图2【答案】45【解析】：可证CM AB ⊥，所以45CMN BMN ∠=∠=.【课堂练习】1.如图3-1，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点G 在BC 上，60BEG ∠>︒，将GBE ∆沿直线GE 折叠得到GHE ∆．联结AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为。

图3-1【答案】3【解析】连结BH,如图3-2，.3.4321,31,43,90,21,,,,1,601,,2100个相等的角有则与为直角三角形，的中点，是点又而，处，落在纸片上的点将纸片折叠，使点沿直线BEG AHB AHB AB EH EA EB EH AB E EHB EBH EH EB AEH EG BH EH EB H B EG ∠∠=∠=∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=∠∆∴=∴==∴∠=∠∴=∠≠∠∴>∠⊥=∠=∠∴图3-22.如图4-1，已知菱形ABCD 中，︒=∠60ABC ，点E 在边BC 上，︒=∠25BAE .把线段AE 绕点A 逆时针方向旋转，使点E 落在边CD 上，则旋转角α的度数为 ．（︒<<︒1800α）图4-1【答案】60°或70° 【解析】：连接AC ..60,60,60000=∠∴=∠=∠∴∆∴=∠ACD ACB BAC ABC ABC ABCD 是等边三角形，中，菱形①如图4-2，将11,AE AE ABE ABE =∆≅∆ABE ∆绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点E 与点1E 重合，此时,旋转角;600=∠=BAC α图4-2②,35,25,60000=∠∴=∠=∠EAC BAE BAC如图4-3，将线段AE 绕点A 逆时针旋转070，使点E 到点2E 的位置，此时,70,,0222=∠==∆≅∆EAE AE AE C AE AEC α旋转角A DBCE图4-3知识点二（图形运动之翻折边长） 【例题精讲】例1.如图5，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是______ ．图5【答案】24123CE =-【解析】：翻折边长相等。

图形的翻折一、三角形的翻折1、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F分别在AB、BC边上，将△BEF沿直线EF翻折后，点B落在对边AC的点为B＇，若△B＇FC与△ABC 相似，那么BF＝ 。

2、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）A．B．C．D．3、如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折 叠，使点落在边上的点处．若，则等于 （ ）DEBCAPA． B． C ． D．4、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为___________.(第4题)CBDAEFCBD(A)A5、如图4，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．ABC图5DEA′6、（2009泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 。

ACBMD7、如图所示，将沿着DE翻折，若，则 ．AEDCBGF128、(08衢州)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。