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图形的旋转与翻折变换数学是一门抽象而又实用的学科，其中的几何学更是与我们生活息息相关。
在初中数学学习中，图形的旋转与翻折变换是一个重要的内容，它不仅能够帮助我们更好地理解几何形状，还可以应用于实际问题的解决。
本文将围绕图形的旋转与翻折变换展开讨论，希望能够给中学生及其父母带来一些启示和帮助。
一、图形的旋转变换图形的旋转变换是指围绕某一点或某一直线旋转图形，使得图形在平面上发生位置改变。
旋转变换有两个重要的概念：旋转中心和旋转角度。
以正方形为例，当我们将正方形绕着一个点旋转时，这个点就是旋转中心。
而旋转角度则是指旋转的角度大小，可以是顺时针或逆时针旋转。
通过旋转变换，我们可以观察到图形在平面上的位置、大小和形状的改变。
例如，我们可以通过旋转变换将一个正方形变成一个菱形，或者将一个长方形变成一个平行四边形。
这种变换不仅可以让我们更好地理解图形之间的关系，还可以应用于实际问题的解决。
二、图形的翻折变换图形的翻折变换是指将图形沿着某一直线对称翻折，使得图形在平面上发生位置改变。
翻折变换有两个重要的概念：对称轴和对称点。
以三角形为例，当我们将三角形沿着一条直线对称翻折时，这条直线就是对称轴。
对称点则是指对称轴上的一个点，使得该点与图形上的另一个点关于对称轴对称。
通过翻折变换，我们可以观察到图形在平面上的位置、大小和形状的改变。
例如，我们可以通过翻折变换将一个正方形变成一个长方形，或者将一个长方形变成一个平行四边形。
这种变换不仅可以帮助我们更好地理解图形之间的关系，还可以应用于实际问题的解决。
三、应用举例图形的旋转与翻折变换在实际问题中有广泛的应用。
我们可以通过一些例子来说明。
例一：小明要设计一个标志，标志上有一个正方形和一个菱形，他希望将正方形旋转一定角度后与菱形重叠，从而形成一个新的图形。
他应该如何选择旋转的角度呢？解析：首先，我们可以确定旋转中心为正方形的中心点。
然后，通过观察可以发现，当正方形旋转45度时，它与菱形重叠。
翻折问题解题技巧翻折问题解题技巧翻折问题是指在平面上将一张纸沿着某个方向折叠后形成的图形，通常需要根据已知条件求出未知部分的面积、周长等数值。
以下是一些解决翻折问题的技巧。
一、理解基本概念在解决翻折问题之前，需要先掌握几个基本概念：1.对称轴：指将纸张对称折叠所得到的直线，通常存在于图形中心或边缘。
2.重心：指图形所占面积各点的平均位置，可以通过细分图形来计算。
3.相似：指两个图形具有相同的比例尺寸和形状，但大小不同。
二、利用对称性质许多翻折问题都具有对称性质，利用这种性质可以简化计算过程。
以下是一些常见的对称性质：1.中心对称：当纸张沿着中心对称轴折叠时，两侧图形完全相同。
2.轴对称：当纸张沿着轴对称轴折叠时，两侧图形关于该轴对称。
3.点对称：当纸张沿着点对称轴折叠时，图形关于该点对称。
三、分割图形对于复杂的翻折图形，可以将其分割成多个简单的图形来计算。
以下是一些常用的分割方法：1.平移法：将图形沿着某个方向平移，然后利用重叠部分计算未知量。
2.切割法：将图形沿着某条线段切割成两个或多个简单的图形进行计算。
3.投影法：将图形在一个平面上投影到另一个平面上，然后计算未知量。
四、利用相似性质当翻折后得到的两个图形相似时，可以利用相似性质来求解未知量。
以下是一些常见的相似性质：1.比例关系：当两个相似的三角形中，对应边长之比相等时，它们的面积之比也相等。
2.高度关系：当两个相似的三角形中，高度之比等于对应边长之比时，它们的面积之比也相等。
3.底角关系：当两个相似的三角形中，底角之间互为对应角时，它们的面积之比也相等。
五、实际问题解决翻折问题不仅存在于数学练习中，也常常出现在实际生活中。
以下是一些实际问题的解决方法：1.纸箱设计：当需要设计一个纸箱时，可以利用翻折技巧计算出所需的纸张面积和尺寸。
2.衣服剪裁：当需要剪裁一件衣服时，可以利用翻折技巧计算出各个部分的面积和尺寸。
3.建筑设计：当需要设计一个建筑物时，可以利用翻折技巧计算出各个部分的面积和尺寸。
图形的旋转、平移与翻折在几何学中，图形的旋转、平移与翻折是常见的操作，可以通过这些操作改变图形的位置、形状和方向。
这些操作在数学、物理学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍图形的旋转、平移与翻折的基本概念和相关应用。
一、图形的旋转图形的旋转是指将图形绕一个旋转中心按一定角度旋转。
旋转可以使图形发生变化，同时保持图形的大小和形状不变。
旋转操作常用的单位是度数，顺时针为正方向，逆时针为负方向。
图形的旋转可以通过旋转矩阵来描述。
设图形的坐标为(x, y)，旋转的角度为θ，旋转中心为(x0, y0)，则旋转后的坐标可以表示为：x' = (x - x0) * cosθ - (y - y0) * sinθ + x0y' = (x - x0) * sinθ + (y - y0) * cosθ + y0通过这个公式，我们可以将任意点围绕旋转中心进行旋转变换。
图形的旋转可以应用于很多领域，例如地理学中的地图旋转变换、物理学中的刚体旋转运动等。
在计算机图形学中，旋转操作经常用于图像处理、动画制作等方面。
二、图形的平移图形的平移是指将图形沿着特定的方向和距离进行移动。
平移操作只改变图形的位置而不改变图形的形状和方向。
图形的平移可以通过平移向量来表示。
设图形的坐标为(x, y)，平移向量为(dx, dy)，则平移后的坐标可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy通过这个公式，我们可以将图形沿水平方向和垂直方向进行平移变换。
图形的平移操作在几何学中经常用于研究几何关系、证明定理等方面。
在计算机图形学中，平移操作经常用于图像编辑、游戏开发等方面。
三、图形的翻折图形的翻折是指将图形在一个轴线上进行对称变换。
翻折操作将图形上的每个点关于轴线镜像对称，使得图形在镜像轴两侧成为对称的。
图形的翻折可以通过翻折矩阵来表示。
设图形的坐标为(x, y)，轴线为x轴或y轴，对称变换为x轴翻折或y轴翻折，对应的翻折矩阵为：对于x轴翻折：x' = xy' = -y对于y轴翻折：x' = -xy' = y通过这个公式，我们可以将图形关于x轴或y轴进行翻折变换。
翻折与轴对称图形概述翻折图形翻折图形是指将平面图形沿折痕折叠后所得到的图形。
翻折是重叠、翻转和旋转的组合，具有对称性质。
翻折图形通常由两份或更多的重叠的图形构成，其中一部分可以被折叠，以覆盖另一部分。
在几何学中，翻折可以用于证明对称性质和相等性质。
从计算机图形学的角度来看，翻折图形可以用于生成3D几何图形，并用于建模、动画和游戏等应用。
翻折图形的特点主要体现在以下方面：对称性质翻折图形具有显著的对称性质，其中的每个部分都与其他部分对称。
这使得翻折图形具有美学价值，并容易识别和记忆。
平面几何中的应用翻折图形在平面几何中有广泛的应用，包括证明对称性质、相等性质和角度关系等。
在计算机科学的研究领域中，翻折图形可以用于进行基本的几何图形建模和数值计算，例如得到一些经典的几何图形表达式。
良好的计算机可视化性翻折图形具有良好的计算机可视化性质，因为它们可以很容易地用于生成3D几何模型，从而在计算机图形学中得到广泛的应用。
这使得翻折图形成为了计算机科学中最受欢迎的几何形式之一。
轴对称图形轴对称图形（或称为镜像图形）是指通过对称轴旋转180度而变换而来的图形。
轴对称图形的特点是其具有完全相同的外观，在镜面前和镜面后形状一致。
因此，很多生物体，例如昆虫、植物和动物等都具有显著的轴对称性质。
轴对称图形的特点主要体现在以下方面：对称性质轴对称图形具有杰出的对称性质，其中的每个部分都具有镜像对称。
由于这种对称性质，轴对称图形在美学上具有强烈的吸引力，并易于识别和记忆。
广泛的应用轴对称图形在生物学中的广泛应用是其最大的亮点之一。
它被应用于解释许多生物相关问题，例如致死基因、细胞生长和随机变异等。
此外，在计算机科学中，轴对称图形还可以应用到很多应用领域，例如计算机辅助设计、数字印制和3D制模等。
良好的计算机可视化性轴对称图形具有良好的计算机可视化性质，因为它们可以用于生成3D几何模型，并且在计算机科学中得到广泛的应用。
这种对称性质也使它成为计算机科学中最常见的几何形式之一。
圆中的重要模型之翻折模型圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。
翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。
这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)【知识储备】1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折(即等圆相交)：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)1)条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA2)条件：特别地，弧BC 折叠后过圆心，结论：CD =CA ，∠CAB =60°1)证明：如图，设折叠后的BDC所在的圆心是G ，连接AC ，CD .由题意得(折叠)：BC =BDC ，即：BC =BD +DC ，∴∠CAB =∠DCB +∠CBD ，∵∠CDA =∠DCB +∠CBD ，∴∠CAB =∠CDA ，∴CD =CA 。
2)证明：如图，连接AC ，CD ，CO ；由1)中证明知：CO =CA ，∵OA =OC ，∴CO =CA =OA ，∴△OAC 为等边三角形，∴∠CAB =60°。
1.(23-24九年级上·浙江台州·阶段练习)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折，交AB 于点D (不与点O 重合)，连结CD ．若∠BAC =24°，则∠ACD 的度数为()A.44°B.46°C.48°D.42°2.(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB =8，CD 为AB 边上的中线，将BC 沿BC 翻折后刚好经过点D ，若已知⊙O 的半径为25，则BC 的长是()A.43B.62C.65D.533.(2023·山西吕梁·模拟预测)如图，AC 是半圆O 的一条弦，以弦AC 为折线将弧AC 折叠后过圆心O ，⊙O 的半径为2，则圆中阴影部分的面积为()A.23B.2π-3C.3D.3+14.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)如图，将⊙O 上的BC �沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD �沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE .若AD =2OD ，则DE AB 的值．5.(2024·陕西西安·模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 为AB 的中点，将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合．点D 为优弧AB 上一点连接BD 、CD 、BC ．若∠BCD =45°，AB =23，则CD =()A.6+2B.23C.1+23D.326.(2023春·江苏盐城·九年级校考期末)如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD，EO．则EO的最小值为．7.(23-24九年级上·浙江金华·期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．8.(2023·安徽淮南·一模)如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC 沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为；(2)如图②，将BC 沿弦BC翻折，交AB于D，把BD 沿直径AB翻折，交BC于点E．(Ⅰ)若点E恰好是翻折后的BD 的中点，则∠B的度数为；(Ⅱ)如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．1.(2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，将劣弧AC沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若AC =6，∠C =60°，则⊙O 的半径长为()A.137B.237C.1321 D.23212.(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是()①AC =CD ；②AD =BD ；③AC +BD =BC ；④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.43.(2022春·福建福州·九年级校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE =DE ，则∠BCD 的度数是()A.22.5°B.30°C.45°D.60°4.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)若直角三角形中两直角边之比是1:22，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是⊙O上半圆上一点，将⊙O沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若△ABC是完美三角形，则BD:AD为()A.3:1B.22:1C.3:22D.7:25.(2022春·九年级课时练习)如图，已知半圆O的直径AB=8，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是()A.7B.6C.5D.46.(2023·河南周口·统考二模)如图①，AB为半圆O的直径，点C在AB 上从点A向点B运动，将BC 沿弦BC，翻折，翻折后BC 的中点为D，设点A，C间的距离为x，点O，D间的距离为y，图②是点C运动时y 随x变化的关系图象，则AB的长为．7.(2023·北京·统考二模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB=°．8.(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与CB 相交于点D ．若CD =13BD ，则∠ACD =．9.(2023·浙江宁波·校考一模)如图，⊙O 的半径为4．将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ．则这条劣弧的弧长为．10.(2023春·广西·九年级专题练习)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG :OC =3:5，AB =8，点E 为圆上一点，∠ECD =15°，将CE沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，图中阴影部分的面积=．11.(2023秋·四川南充·九年级统考期末)如图，在⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 折叠得弧AmB ，P 是弧AmB 上一动点，过点P 作弧AmB 的切线与⊙O 交于C ，D 两点，若⊙O 的半径为13，AB =24，则CD 的长度最大值为．12.(2024·浙江杭州·九年级校考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，则∠BAC的度数为；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=16°，则∠DCA的度数为．13.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，C是半圆上一点，AB是直径，将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿BD翻折交BC于点E，若E是弧BD的中点，AD=2，则阴影部分面积为．14.(2024·浙江金华·九年级校考期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．15.(2023·河北张家口·校考模拟预测)如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，AB=4，BC=a，以AB为直径在AB的上方作半圆O，交AD于点E，P为AB 上一动点(不与点A，B重合)，将半圆O沿BP折叠，得到点A的对称点A ，点O的对称点O ．(1)当点O 在半圆O 上时，∠ABA 的度数为；(2)如图2，连接BD ，BP 与AE 交于点F ．已知P A ∥BD ，且a =22+26．①求BD 的长度及EF BF 的值；②求阴影部分的面积；(3)点P 在AB 上运动过程中，当直线DC 能与A P 所在的圆相切时，直接写出a 的取值范围．16.(2023·河北承德·九年级校考期末)如图，⊙O 的直径AB =4，AC 是弦，沿AC 折叠劣弧AC，记折叠后的劣弧为AmC ．(1)如图1，当AmC 与AB 相切于A 时．①为画出AmC 所在圆的圆心P ，请选择你认为正确的答案．甲：在AmC 上找一点E ，连AE 、CE 并分别作它们的中垂线，交点为P ；乙：分别以A 、C 为圆心，以AO 为半径作弧，除O 外两弧另一个交点即为圆心P ．A.甲正确B.乙正确C.甲乙都正确D.都不正确②选择合适的方法做出圆心P ，求AC 的长；直接写出此时∠CAO 的度数．(2)如图2，当AmC经过圆心O 时，求AC 的长；(3)如图3，当AmC 覆盖圆心且与直径交于点D ，若∠CAO =25°，直接写出∠ACD 的度数．17.(2023·广东汕头·九年级校考期中)如图，在⊙O中，点C、D在AB 上，将BC 沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．(1)证明：AC=EC；(2)连接AD，若CE=5，AD=8，求⊙O的半径．18.(2023·江苏扬州·九年级统考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r．(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，请直接写出∠DCA的度数是．(3)如图2，若点D与圆心O不重合，BD=5，AD=7，求AC的长．。
初中几何翻折问题总结几何翻折问题是初中数学中较为有趣且富有挑战性的部分。
通过对几何图形的翻折，我们可以培养空间想象能力和逻辑思维能力。
本文将对初中阶段的几何翻折问题进行总结，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、翻折问题基本概念1.翻折：将一个几何图形沿着某条线（折痕）翻转到另一个位置，使得翻折前后的图形完全重合。
2.折痕：翻折过程中，图形沿着某条线折叠，这条线称为折痕。
3.对称轴：翻折过程中，图形两侧关于折痕对称的直线称为对称轴。
二、翻折问题类型及解题方法1.点的翻折（1）问题：已知点A关于直线l翻折得到点A"，求点A"的坐标。
（2）解题方法：利用对称性，找到点A关于直线l的对称点A"，根据对称点的性质求解。
2.线段的翻折（1）问题：已知线段AB关于直线l翻折得到线段A"B"，求线段A"B"的长度及位置关系。
（2）解题方法：利用对称性，找到线段AB关于直线l的对称线段A"B"，根据对称线段的性质求解。
3.角的翻折（1）问题：已知角∠ABC关于直线l翻折得到角∠A"B"C"，求角∠A"B"C"的大小及位置关系。
（2）解题方法：利用对称性，找到角∠ABC关于直线l的对称角∠A"B"C"，根据对称角的性质求解。
4.几何图形的翻折（1）问题：已知几何图形ABC关于直线l翻折得到几何图形A"B"C"，求几何图形A"B"C"的面积、周长等。
（2）解题方法：利用对称性，找到几何图形ABC关于直线l的对称图形A"B"C"，根据对称图形的性质求解。
三、翻折问题注意事项1.注意翻折过程中图形的形状、大小、位置关系的变化。
2.熟练掌握对称点的性质，如：对称点关于对称轴的距离相等、对称点连线的延长线交于对称轴等。
数学翻折知识点总结翻折是数学中一个重要的概念，涉及到几何、代数、空间几何和统计等多个领域。
翻折是指将一个几何图形或者曲线沿着一条直线或一个平面进行对称折叠，从而得到与原图形或曲线相似但方向相反的图形或曲线。
翻折可以改变图形或曲线的位置、方向和形状，对于解决数学问题和解题方法有着重要的作用。
在数学中，翻折的相关知识点主要包括基本概念、性质、应用以及解题技巧等方面。
一、基本概念1. 翻折的基本定义翻折是指将一个平面图形或者曲线按某一直线或面对称折叠，得到与原图形相似但方向相反的图形。
翻折可以分为折痕在同一平面上的平面翻折和折痕不在同一平面上的空间翻折两种情况。
2. 翻折的基本术语翻折中涉及到一些基本的术语，比如折叠线、折叠点、对称中心、对称轴等。
折叠线是指沿着哪条直线或者平面进行翻折；折叠点是指图形或曲线上的一个点经过翻折后与自身重合的点；对称中心是指图形或曲线的中心点，围绕对称中心进行翻折可以得到对称图形；对称轴是指图形或曲线的轴线，围绕对称轴进行翻折可以得到对称图形。
二、性质1. 翻折的不变性翻折可以保持图形的大小、形状和角度不变。
也就是说，翻折前后的图形是全等的，它们的对应边和对应角相等。
这个性质在解题中有着重要的作用，可以通过翻折来研究图形的性质和解决问题。
2. 翻折的对称性翻折后的图形与原图形是关于折叠线或者对称轴对称的。
这个性质可以帮助我们判断图形的对称性，并且可以通过对称性来求解问题。
三、应用1. 几何图形的翻折在几何中，翻折是一个重要的概念，常常用于图形的对称性判断、对称图形的性质研究和证明等。
比如，通过翻折可以得出一些图形的性质，如正方形的对角线相等、矩形的对边相等等。
2. 曲线的翻折在代数和空间几何中，常常涉及到曲线的翻折。
通过翻折可以将曲线转化为对称形式，从而简化问题的求解。
比如，通过翻折可以证明一些函数的性质，如奇函数和偶函数的定义和性质等。
3. 空间几何中的翻折在空间几何中，翻折是一个重要的方法，可以用于求解平面和立体图形的性质和解题。
翻折变换（折叠问题）能量储备● 翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．● 折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．● 在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．通关宝典★ 基础方法点方法点1.利用轴对称性质，解决折纸问题例1：将长方形纸片ABCD(如图①所示)按如下步骤操作：(1)以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E(如图②所示)；(2)以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在EC 边上，折痕EF 交AD 边于点F(如图③所示)；(3)将纸片展平，那么∠AFE 的度数为( )A .60°B ．67.5°C ．72°D ．75°分析：根据轴对称的性质，可知第一次折叠后∠EAD ＝45°，∠AEC ＝135°；第二次折叠后，∠AEF ＝67.5°，∠FAE ＝45°，所以∠AFE ＝67.5°.解：B方法点2.折叠与剪纸的综合应用例1：请分析如图所示的图形，该怎样剪？设法使所剪的次数尽可能少．解：图(1)可以先折叠1次，剪出它的一半即可得到整个图形；图(2)可以折叠2次，剪出它的14即可得到整个图形． 方法点3.解决矩形折叠问题的方法(1)利用折叠的性质：折叠前后的图形能够完全重合，折叠前后的图形对应边相等，对应角相等．(2)此类问题往往通过图形间的折叠找出折叠部分与原图形之间线段或角的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系．(3)尽量将数量关系利用勾股定理列方程．例1：如图所示，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为点C′，BC′与AD 交于点E.若AD ＝8 cm ，AB ＝4 cm ，求△BDE 的面积．解：设DE ＝x cm ，则AE ＝(8－x)cm .由折叠的性质知△BCD 与△BC′D 全等，则∠1＝∠2.在矩形ABCD 中，∵ AD ∥BC ，∴ ∠1＝∠3，∴ ∠2＝∠3，∴ BE ＝DE ＝x.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2，即x 2＝42＋(8－x)2，解得x ＝5.∴ △BDE 的面积为12DE·AB ＝12×5×4＝10(cm 2)． ★★ 易混易误点1.误认为折叠几次就有几条对称轴把一个图形沿一条直线折叠后，如果直线两旁的部分能够相互重合，这条直线才是这个轴对称图形的对称轴，并非是把这个图形折叠的次数当成对称轴的条数．例1：将一张正方形的纸沿对角线对折一次后得到等腰三角形，沿等腰三角形底边上的高对折一次，又得到等腰三角形，再沿着底边上的高对折一次，共对折了三次后，在中间剪去一个小圆，则展开后得到的图形至少有几条对称轴？解：4条．蓄势待发考前攻略折纸由于取材方便，又能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，因而备受中考命题者的青睐，题型主要以选择题为主.完胜关卡。
七年级下翻折问题知识点翻折是数学中非常重要的一个知识点，它在解决几何问题和计算面积等方面都扮演着重要的角色。
本文将介绍七年级下翻折问题的知识点，希望能够帮助到需要的同学。
一、翻折的基本原理翻折是指将平面上的一个图形沿着一条线折成两半，使得两半各自重合在一起。
这个过程中，折痕就是分割线。
这种折叠方法叫做对称翻折。
二、翻折的种类在学习翻折的过程中，我们会遇到三种不同类型的翻折。
它们分别是：1.对称翻折：一张纸在垂直或水平方向上对折，使得两侧完全对称。
2.折叠翻折：将纸张顺着不同方向进行多次对折，得到更加复杂的几何形状。
3.碎片折叠：将纸张撕成碎片，再按照设计图案的方式进行折叠，得到各种有趣的三维造型。
三、翻折的几何性质翻折具有一些基本的几何性质，这些性质对于理解折叠的原理和计算面积等问题极其重要。
以下是几种常见的几何性质：1. 已知一个三角形，将它平移一定长度，再将平移后的三角形翻折，这个过程中形成的是一种“直线对称”的对称关系。
2. 对于平面中的任意一点，将它沿着两条垂线分别翻折，可以得到这个点的“中心对称”图形。
3. 若图形具有多条对称线，则它们都可以作为折叠的轴线，容易得到形状对称的结果。
四、翻折的应用翻折在数学中的应用十分广泛，我们可以用它来解决各种不同类型的几何问题。
以下是翻折具体的几个应用场景：1. 翻折求多边形面积：可以将多边形进行对称折叠，计算得到总面积后再除以对称的数量得到一份面积，再乘以总共的对称数量。
2. 翻折求曲线面积：可以将曲线图形分割成一个个长方形，计算每个长方形的面积后相加即可。
3. 翻折求几何中心：可以将一张纸在确定两条轴线后对称折叠，得到几何中心。
总结在数学学习中，翻折既是一个必要的基本技能，也是解决问题的一个有效工具。
我们需要认真掌握翻折的基本原理和种类，理解折叠后的几何性质，并能够熟练运用其在各种实际问题中。
图形的翻折--知识讲解【学习目标】1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定．要点二、轴对称1．轴对称定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点．要点诠释：1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变．2．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段．要点四、对称轴的作法在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．【典型例题】类型一、判断轴对称图形1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D；【解析】每个图形都能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合【总结升华】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是．举一反三：【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形的是 ( )【答案】A；提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴．2、将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的（）【思路点拨】根据轴对称的性质将最后一个图形一步一步的还原，做出他关于某条对称轴的对称图形，即可得到最后的答案.【答案】D；【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案，或者就真正的实际动手操作一下，这里推荐利用我们所学过的轴对称的知识解决问题．举一反三：【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）【答案】A ；类型二、作轴对称图形3、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；（要求：A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB 1，CC 1，求四边形BB 1C 1C 的面积．【思路点拨】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．做BM ⊥直线l 于点M ，并延长到B 1，使B 1M=BM ，同法得到A ，C 的对应点A 1，C 1，连接相邻两点即可得到所求的图形；（2）由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可．【答案与解析】 解（1）如图，△A 1B 1C 1 是△ABC 关于直线l 的对称图形．（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4．()11111BB CC 42S =+⨯四形B B C C 边=12(4+2)×4=12．【总结升华】此题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，先确定一些特殊点的对称点，找到这些特殊点的对称点之后，联结即可．【变式】以直线l 为对称轴画出图的另一半．【答案】做圆弧的对称图形时以原来圆弧的圆点为圆点，原半径为半径作出圆弧的对称图形．对于矩形的对称图形和外框图形的对称图形首先作出各顶点关于l的对称点，连接对称点即为原图形的对称图形．类型三、作对称轴4、下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？【答案与解析】(1)联结AA'、BB'(2)取AA'的中点E ，BB'的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．。
讲义内容一、轴对称图形● 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
● 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
二、折叠问题1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．三、解题技巧1、动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．例1 矩形(1)如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．(2)．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．例2正方形如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．例3 三角形在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的．（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．例4在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；（2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．例5 圆如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形的BC边沿EC折叠，点B落在圆上的F点，求BE的长中考链接（2010年河南中考）（1）操作发现，如图，矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形内部．小明将延长交于点，认为，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若，求的值．（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若，求的值．中考链接（2009年河南中考）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .[（2012河南省）如图，在中，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为。
HistudyjiftS7^i viPTUk帮助预子個建持续迸步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题 的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量， 运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常 将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段 长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型 （如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相 关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆 .2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等. 【基础篇】 一、选择题：1. . （2018?四川凉州？ 3分）如图将矩形 ABCD&对角线BD 折叠，使C 落在C'处，BC'交AD 于点E ,则下到结 论不一定成立的是（）AD=BCB .Z EBD=/ EDB C.A ABE^A CBD D sin / ABE*A.IHistudyjlftS7^l viPTUk帮助预子個建持续iS步的孚刃力2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6取OA的中点C,过点C作CD L OA交理于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD, DF, FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（___________ .A. 36 n -108 B . 108-32 n C. 2 n D.nABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）A. 1B.说C. 2D.加如图，矩形纸片ABCD中, AB=4, BC=6将厶ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知E一，则BC的长是（3. （2017浙江衢州）于点F,则DF的长等于（）4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片B. 3.2C. 3HiSMldy」畅字刃VIPT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门二、填空题:6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60°, AC=2三+4,点M N分别在线段AC.ABD恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为.ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C2=75°, EF= + 1,则BC的长-3分）如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处,BG 则/ AGB=三、解答与计算题：9. （2018 •广东• 7分）如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,上，将厶ANM沿直线Mr折叠，使点A的对应点8. （2018 •湖南省常德7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形已知/ DGH=30，连接(1)求证：△ ADE^A CEDAE交CD于点F,连接DEHistudyjlftS7^]l viPTUk|帮助预子陶建持续进步的孚刃力|10—（ 2018?山东枣庄？ 10分）如图，将矩形— D 交AF 于点G,连接DG（1） 求证：四边形EFDG 是菱形；（2） 探究线段EG GF AF 之间的数量关系，并说明理由； （3） 若 AG=6 EG=2E ，求 BE 的长.【能力篇】一、选择题： 11.（ 2018 •辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC （/ B=90°）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点A处，BC=8,那么线段AE 的长度为（）12.（ 2018 •四川省攀枝花・3分）如图，在矩形 ABCD 中, E 是AB 边的中点，沿 EC 对折矩形ABCD 使B 点落 在点P 处，折痕为EC 连结AP 并延长AP 交CD 于 F 点，连结CP 并延长CP 交AD 于Q 点.给出以下结论： ① 四边形AECF 为平行四边形； ② / PBA=Z APQ③ 厶FPC 为等腰三角形； ④ 厶 APB^A EPC 其中正确结论的个数为（）A . 1 B. 2 C. 3D. 4C. 6D. 7D GECEB .A .亠13. （2018 •湖北省武汉• 3分）如图，在O O 中，点C 在优弧-I.上，将弧「■沿BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D.若O O 的半径为 匚AB=4,则BC 的长是（、填空ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△ BCE 沿BE 折叠后得到△ BEF14. （2018 •辽宁省葫芦岛市 ） 如图，在矩形15. （ 2018 •四川宜宾• 3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB=3 CB=2,点E 为线段AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE ①当E 为线段AB 中点时，AF// CE; ②当E 为线段AB 中点时，AF=9 ;5④当 A F 、C 三点共线时，△ CEF ^A AEF.DG 1且点F 在矩形ABCD 勺内部，将 BF 延长交AD 于点G.若 =' ，则折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序③当A F 、C 三点共线时,AE='HiSMiaa快乐字刃I VIPT 性叱帮朗滋子陶建持续进步的孚刃门GvPEDU !BCEDCA'B三、解答与计算题:16. (2018 •湖北省宜昌• 11分)在矩形 ABCD 中, AB=12 P 是边AB 上一点，把△ PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点 G,过点B 作BEL CG 垂足为E 且在AD 上, BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点，求证：△ AEB^A DEC (2)如图2,①求证：BP=BF③当BP=9时，求 BE?EF 的值.②当 AD=25 且 AE v DE 时，求 cos / PCB 的值; 17. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCC 中，AB> AD,把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处, AE 交CD 于点F ,连接DE (1)求证：△ ADE^A CED (2)求证：△ DEF 是等腰三角形.HiSMc!®快S 字刃丄VIP 亍性比 帮朗预子陶建持续进步的孚刃门■ BC *HiStUCU快乐字刃VIPT性比帮助预子问建持续迸步的字刃力18. （2018?江苏盐城？10分）如图，在以线段二5■为直径的上取一点，连接、就•将_二弓匚沿.止翻折后得到□.（1 ）试说明点在上；（2）在线段.：「的延长线上取一点，使上厂—」一丄.求证：三壬为①门的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、匚吕相交于点，若m厂=J，二匸=-,求线段的长•【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市？12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（2）将该矩形纸片展开.①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P,再将该矩形纸片展开.求证：/ HPC=90 ;②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法•（不需说明理由）（1）根据以上操作和发现，求的值;设四边形BEFC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.(2) 随着点M 在边AD 上位置的变化，△ PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值;(3) 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上（点M 不与点A D 重合），点C 落在点N 处，MN W CD 交3 .....HistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用•解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中•如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解.3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度•矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数.4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量.1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等.【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州？3分）如图将矩形ABCD&对角线BD折叠，使C落在C'处，BC'交AD于点E,则下到结论不一定成立的是（）A. AD=BCB.Z EBD=/ EDBC.A ABE^A CBD D sin / ABE*ED【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案.【解答】解：A、BC=BC, AD=BC二AD=BC，所以正确.B、 / CBD2 EDB / CBD=/ EBD EBD2 EDB正确.AED、T sin / ABE』,BE•••Z EBD=/ EDB••• BE=DEHistudyjlftS7^l VIPTlik帮助预子陶建持续iS步的孚刃力• sin / ABE^.ED故选：C.HistudyjlftS7^ll viPTUk|帮助预子詞11持续进步的字刃力|【点评】本题主要用排除法，证明 A , B , D 都正确，所以不正确的就是—C,排除法也是数学中一种常用的解题方 法. 2.（2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB 已知OA=6取OA 的中点C,过点C 作CDL OA 交丽于点D,点F 是廳上一点.若将扇形BOD 沿 OD 翻折，点B 恰好与点F 重合， 用剪刀沿着线段 BD, DF , FA 依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ __________ . A . 36 n -108 B . 108-32 n C . 2 n D.n【考点】MO 扇形面积的计算；P9:剪纸问题.1【分析】先求出/ ODC M BOD=30，作DEL OB 可得DE= OD=3先根据S 弓形BD =S 扇形BOD - & BOD 求得弓形的面积,2再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积.【解答】解：如图，••• CD L OA•••/ DCO M AOB=90 ,•••/ ODC M BOD=30 ,则剪下的纸片面积之和为 12X （ 3 n- 9） =36 n- 108, 故答案为： 36 n- 108 .故选 A 3.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中, AB=4, BC=6将厶ABC 沿 AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD于点F ,则DF 的长等于（）…S 弓形B[=S 扇形X 6X 3=3n- 9,•/ OA =OD =OB =6OC |OA作DE L OB 于点E ,则 DE= OD=3c Mg 心BOD _d BOD=His【udy 』?i 乐字刃］vi 卩卞性比帮朗预子陶建持续迸步的孚刃门【考点】PB 翻折变换（折叠问题）；LB :矩形的性质.【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB / E=Z B=90°,易证Rt △ AEF ^ Rt △ CDF ,即可得到结论 设FA=x ,则FC=x , FD=6- x ,在Rt △ CDF 中利用勾股定理得到关于 x 的方程x 2=42+（ 6-x ）【解答】解：•••矩形 ABCD 沿对角线AC 对折，使△ ABC 落在厶ACE 的位置, ••• AE=AB / E=Z B=90°,又•••四边形ABCD 为矩形， • AB=CD • AE=DC 而/ AFE=Z DFC•••在△ AEF 与厶CDF 中，ZAFE-ZCFD•••△ AEF ^A CDF ( AAS ,• EF=DF ；•••四边形ABCD 为矩形， • AD=BC=6 CD=AB=4 •/ Rt △ AEF ^ Rt △ CDF • FC=FA设 FA=x ,贝U FC=x , FD=6- x , 13 在 Rt △ CDF 中，CF=C D+DF ,即 x 2=42+ (6 - x ) 2,解得 x= , 则 FD=6- x=. 故选：B.HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续进步的孚刃门D.5, 7EF=DF ；易得FC=FA,解方程求出x .B- AC4. （2018 •山东青岛• 3分）如图，三角形纸片ABC AB=AC / BAC=90，点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F.已知EF=，贝U BC的长是（）2A. .B. 3、2C. 3D. 3 3【分析】由折叠的性质可知/ B=Z EAF=45，所以可求出/ AFB=90，再直角三角形的性质可知EF丄AB,所以AB=AC!的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长.【解答】解：•••沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，•••/ B=Z EAF=45 ,•••/ AFB=90° ,•••点E为AB中点，1 3•EF= —AB, EF= ,2 2•AB=AC=3•••/ BAC=90 ,•BC=3.2 ,故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出/ AFB=9C°是解题的关键.5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上,点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4胚且/ AFG=60 , GE=2BG则折痕EF的长为（）HiStUdyjl?iS7^l VIPTUk帮朗预子陶建持续is步的孚刃门【考点】PB:翻折变换（折叠问题）；LB:矩形的性质.【分析】由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC/ DFE=/ GFE结合/ AFG=60即可得出/ GFE=60，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt△ GHE中,通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC DC= EC,再由GE=2BG吉合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC卩可求出结论.【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF HE=CE GH=DC Z DFE=Z GFE•••/ GFE+Z DFE=180 -Z AFG=120 ,•••/ GFE=60 .•/ AF// GE Z AFG=60 ,•Z FGE=/ AFG=60 ,•△ GEF为等边三角形，•EF=GE•••/ FGE=60，/ FGE+Z HGE=90 ,•Z HGE=30 .在Rt△ GHE中, Z HGE=30 ,•GE=2HE=C,•GH= =*$HE= CE•/ GE=2BG•BC=BG+GE+EC=4EC•••矩形ABCD勺面积为 4 ,•4EC?^EC=4 ,•EC=1, EF=GE=2故选C.二、填空题：6. （2018 •辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ ABC中，Z B=90°, Z A=60°, AC=2 :;+4,点M N分别在线段AC.AB上，将△ ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN勺长为 .帮朗滋子陶建持续迸步的孚刃门①如图，当/ CDM=90时，△ CDM是直角三角形,•••在Rt△ ABC中，/ B=90°, / A=60° AC=^+4, /-Z C=30°, AB^ AC五+-,由折叠可得:Z MDN Z A=60°1_ 1_Z BDN=30，•/ BN空DN爰AN •/丄術+卸BN= AB= ：,■2硬+4•• AN=2BN="Z DNB=60 , /Z ANM Z DNM=60，/•/ AMN=60 , •師+4•• AN=MN=";【解答】解：分两种情况：②如图，当/ CMD=90时，△ CDM是直角三角形,帮助预子问il持续迸步的孚刃力I □ ~I] ■由题可得：/ CDM=60 , / A=Z MDN=60 , /-Z BDN=60 , / BND=30 BD空DN= AN, BN庐BD\1AB巫+2 ,1_/• AN=2, BN^3,过N 作NH L AM于H,贝UZ ANH=30 , /• AH空AN=1, HN昉,由折叠可得：Z AMN Z DMN=45 ,/•△ MNH是等腰直角三角形，/• HM=HN= :,/ MN= ■.故答案为：'或；7. （2018 •山东威海• 8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕.已知Z 仁67.5 ° ,Z 2=75°, EF= + 1,求BC的长.【分析】由题意知Z 3=180 ° - 2 Z 1=45°、Z 4=180°- 2Z 2=30 °、BE=KE KF=FC 作KM L BC,设KM=x 知EM=x MF= x,根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得.【解答】解：由题意，得：Z 3=180 °- 2 Z 1=45°,Z 4=180°- 2Z 2=30 °, BE=KE KF=FC设KM=x 贝U EM=x MF^J x,x+ V3x^3+1,解得：x=1,••• EK=J办KF=2,.BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++J：,• BC的长为【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.8. （2018 •湖南省常德・3分）如图，将矩形ABC［沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处, 已知Z DGH=30，连接BG 则Z AGB= 75如图，过点K作KM L BC于点M帮朗预子陶建持续进步的孚刃门/ EBC-Z EBG即：/ GBC M BGH由平行线的性质可知/ AGB=Z GBC从而易证/ AGB2 BGH据此可得答案.【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE / EGH M ABC=90 ,•••/ EBG=Z EGB•••/ EGH-Z EGB玄EBC-Z EBG 即：/ GBC=/ BGH又••• AD// BC•Z AGB=Z GBC•Z AGB=Z BGHvZ DGH=30 ,•Z AGH=150 ,•Z AGB二Z AGH=75 ,2故答案为：75°.【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.三、解答与计算题：9. (2018 •广东• 7分)如图，矩形ABCD中, AB> AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE(1)求证：△ ADE^A CED(2)求证：△ DEF是等腰三角形.【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC AB=CD结合折叠的性质可得出AD=CE AE=CD进而即可证出△ ADE◎ △ CED( SSS ;(2)根据全等三角形的性质可得出Z DEF=Z EDF利用等边对等角可得出EF=DF由此即可证出△ DEF是等腰三角形.HiSMlda快乐字刃I VI PT住叱帮朗预子陶建持续进步的孚刃门【解答】证明：(1)：四边形ABCD是矩形，••• AD=BC AB=CD由折叠的性质可得：BC=CE AB=AE•AD=CE AE=CDC AD=CE在厶人。
图形的翻折与旋转一、复习导入1.在平面内某一个图形绕一个中心旋转若干角度得到另一个图形的过程叫旋转变换。
2.翻折变换是将某一个图形沿着直线对折，翻折前后的两个图形关于这条直线轴对称。
3本质上旋转与翻折后的民原图形是全等形。
其中作用可将一些分散的元素通过翻折和旋转集中起来，旋转常用于边相等的等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
二、典型例题 例1.如图，点A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O （点A 与O 重合），假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A 重合，在以半径为2个单位长度在圆O 中，BC ⌒的长等于AA ’的长，则BC ⌒所对的圆心角的度数为小结：以圆滚动为背景，考查圆的周长的基本概念的基础题目。
考查实际情况中的数学问题。
1A(O)123A例2. 矩形ABCD 在边AB ＝8，AD ＝6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似于开始的位置A 、B 、C 、D 时，则顶点A 所经过的路线长是小结：对于例1、例2共同之处，所考查的知识点均是以圆的周长作为知识背景，在运动过程中体会，抽象出。
例3. 如图在Rt ∆ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上的两点，且∠DAE ＝45。
,将∆ADC 绕点A 顺时针旋转90。
后，得到∆AFB ，连接EF ，下列结论：① ∆AED ≌∆AEF ② ∆ABE ≌∆ACD ③ BE+DC ＝DE ④ BE 2+ DC 2＝DE 2 其中一定正确的是________结论：边边若相等，旋转做实验。
CAABD ADABC D l例4．如图：梯形ABCD 中，AD ∥BC 且AB ⊥DB,AD=3,BC=5,将腰DC 绕点D 逆时针旋转90度至DE ，连结AE ，过点E 作EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，则EF 的长为例5.如图： 在等边三角形ABC 中，边长AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60度得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是BAA例6.如图：等腰三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点，以P 为顶点的直角边分别与边AB 、AC 交于E 、F 点，连接EF ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时，∆PEF 边始终是等腰直角三角形，说明理由。
正方形翻折问题归纳正方形是一种非常常见的几何图形，它在日常生活中有着广泛的应用。
同时，正方形也是几何学中一个非常重要的基本图形，因为它具有许多独特的性质和特点。
在几何学中，翻折是一个常见的操作，它可以用来研究图形的性质和特点。
本文将归纳正方形翻折问题的常见类型和解决方法。
一、正方形翻折问题的类型正方形翻折问题可以分为几种不同的类型，以下是其中几种比较常见的类型：1. 正方形翻折成三角形2. 正方形翻折成矩形3. 正方形翻折成多边形4. 正方形一边翻折到所在直线的垂直平分线上5. 正方形四角翻折到所在平面的中心线上二、正方形翻折问题的解决方法解决正方形翻折问题的方法主要包括观察、分析和证明。
首先，我们需要仔细观察翻折前后的图形，找出它们之间的联系和区别。
其次，我们需要分析翻折后的图形，利用几何定理和性质进行证明。
以下是解决正方形翻折问题的一些常用方法：1. 辅助线法：在翻折后的图形上添加一些辅助线，可以帮助我们更好地理解图形的性质和特点。
2. 勾股定理：正方形是一种特殊的矩形，可以利用勾股定理来证明一些几何问题。
3. 相似三角形：可以利用相似三角形的性质来证明一些几何问题。
4. 面积法：可以利用正方形的面积公式和相关定理来证明一些几何问题。
三、典型例题分析接下来，我们将对一些典型的正方形翻折问题进行详细的分析和解答。
通过这些例题的解答，我们可以更好地理解如何解决正方形翻折问题。
例题1：将正方形ABCD沿中心轴EF翻折，得到正方形A1B1CD。
求证：线段AC与A1C1相等。
分析：首先，我们可以利用勾股定理和相似三角形的性质来证明AC与A1C1相似，再利用对应边相等的定理来证明它们相等。
解：因为正方形ABCD和A1B1CD是相似的图形，所以它们对应边相似且对应夹角相等。
因此，AC与A1C1相似，所以它们的比值相等。
又因为AC与A1C1是正方形中的两条边，所以它们的长度相等，即AC=A1C1。
例题2：将正方形ABCD沿中心轴EF翻折，得到正方形A1B1CD。
初二翻折题知识点归纳总结初二翻折题是中学数学中的一种常见题型，主要涉及到平面图形的对称性和翻折变换。
熟练掌握翻折题的解题方法和知识点对于学生提高几何思维能力和解题水平非常重要。
本文将对初二翻折题的知识点进行归纳总结，并为初二学生提供一些解题技巧和注意事项。
一、翻折题的基本概念翻折题是通过将图形折叠或翻折来寻找图形的对称性质或变换关系的题目。
在解决翻折题时，我们需要利用图形的对称性质或翻折变换来得到答案。
二、翻折题的解题步骤解决翻折题的一般步骤如下：1. 观察题目给出的图形，注意其中的对称性质和图形的特点。
2. 根据题目的要求，进行翻折操作，绘制折线或标记翻折轴。
3. 根据折叠后的图形与原图形的对应关系，找出图形的对称性质或变换关系。
4. 利用得到的对称性质或变换关系，解决题目中的具体问题。
三、常见的翻折题型及解题方法1. 翻折轴问题：给定一个图形和一个翻折轴，要求找出翻折后的图形。
解题方法：将图形按照翻折轴进行折叠，对折之后的图形与原图形关于翻折轴有对称性。
2. 对称性质问题：给定一个图形和一个对称中心，要求找出对称中心和图形的对称部分。
解题方法：将图形与对称中心对折，对折之后的图形与原图形关于对称中心有对称性。
3. 叠加变换问题：给定两个图形，要求找出它们的叠加图形。
解题方法：对其中一个图形进行翻折，使得翻折后的图形与另一个图形重合。
四、解题技巧和注意事项1. 在解翻折题时要仔细观察题目中给出的图形，寻找可能的对称性质或变换关系。
2. 绘制合适的折线或标记翻折轴，有助于解决问题。
3. 需要注意图形的整体关系，在折叠过程中要保持图形的完整性。
4. 注意题目的要求，根据要求寻找相应的对称性质或变换关系。
5. 可以反复尝试，多动手实践来提高解题能力。
通过对初二翻折题的知识点归纳总结，我们可以看到，翻折题在中学数学中具有一定的重要性，是培养学生几何思维能力和解题能力的重要途径。
通过掌握解题的基本步骤和常见的解题方法，学生可以更加轻松地解决翻折题，并提升数学学习成绩。
图形的翻折--知识讲解
【学习目标】
1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
【要点梳理】
要点一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定．
要点二、轴对称
1．轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点．要点诠释：
1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变．
2．轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段．
要点四、对称轴的作法
在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它
们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂
直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．
【典型例题】
类型一、判断轴对称图形
1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D；
【解析】每个图形都能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合
【总结升华】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是．
举一反三：
【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形的是 ( )
【答案】A；
提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴．
2、将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展
开铺平，所得到的图形是图中的（）
【思路点拨】根据轴对称的性质将最后一个图形一步一步的还原，做出他关于某条对称轴的对称图形，即可得到最后的答案.
【答案】D；
【解析】
【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就能找到答案，或者就真正的实际动手操作一下，这里推荐利用我们所学过的轴对称的知识解决问题．
举一反三：
【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余
部分展开后的平面图形是（ ）
【答案】A ；
类型二、作轴对称图形
3、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；（要求：A 与A 1，B 与B 1，C 与C 1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB 1，CC 1，求四边形BB 1C 1C 的面积．
【思路点拨】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．做BM ⊥直线l 于点M ，并延长到B 1，使B 1M=BM ，同法得到A ，C 的对应点A 1，C 1，连接相邻两点即可得到所求的图形；
（2）由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可．
【答案与解析】 解（1）如图，△A 1B 1C 1 是△ABC 关于直线l 的对称图形．
（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4．
()11111BB CC 42
S =+⨯四形B B C C 边=12(4+2)×4=12．
【总结升华】此题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，先确定一些特殊点的对称点，找到这些特殊点的对称点之后，联结即可．
【变式】以直线l 为对称轴画出图的另一半．
【答案】
做圆弧的对称图形时以原来圆弧的圆点为圆点，原半径为半径作出圆弧的对称图形．对于矩形的对称图形和外框图形的对称图形首先作出各顶点关于l的对称点，连接对称点即为原图形的对称图形．
类型三、作对称轴
4、下图中的两个图形是轴对称图形，如何画出它们的对称轴呢？
【答案与解析】
(1)联结AA'、BB'(2)取AA'的中点E ，BB'的中点F，（3）联结EF，则直线EF为所求的对称轴．。
