完全平方公式综合应用.doc

完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。

根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。

所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。

例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。

解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。

将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。

所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。

解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。

根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。

无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。

在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。

因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。

平方差与完全平方公式专练一、平方差公式平方差公式是指一个差的平方可以展开为两个数的平方的差。

即对于任意实数a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^2下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用平方差公式。

例题1：计算下列各式的值：(1)(6+3)(6-3)(2)(5+2)(5-2)(3)(9+4)(9-4)解答：(1)(6+3)(6-3)=6^2-3^2=36-9=27(2)(5+2)(5-2)=5^2-2^2=25-4=21(3)(9+4)(9-4)=9^2-4^2=81-16=65例题2：已知两个数字的和为17，差为7，求这两个数字。

解答：设两个数字分别为x和y，根据题意可以得到两个方程：x+y=17x-y=7我们可以使用平方差公式对第二个方程进行变形：(x+y)(x-y)=(17)(7)可以得到：x^2-y^2=119将第一个方程代入上述方程中：17^2-y^2=119289-y^2=119y^2=289-119y^2=170y=±√170代入第一个方程中可以解得：x=17-y如果y=√170，则x=17-√170如果y=-√170，则x=17+√170所以。

通过以上例题的练习，我们可以发现平方差公式在解决方程和计算中的巧妙运用，可以简化计算过程，提高解题效率。

二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以写成一个二次项的平方。

即对于任意实数a和b，有a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2下面通过一些例题来让我们更好地理解和运用完全平方公式。

例题1：计算下列各式的值：(1)2^2+2(2)(3)+3^2(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2(3)12^2+2(12)(5)+5^2解答：(1)2^2+2(2)(3)+3^2=(2+3)^2=5^2=25(2)(-5)^2+2(-5)(4)+4^2=(-5+4)^2=(-1)^2=1(3)12^2+2(12)(5)+5^2=(12+5)^2=17^2=289例题2：已知一个二次多项式x^2+10x+k是一个完全平方，求k的值。

完全平方的综合应用一、公式移项变形运用：1、若3,2a b ab +=-=， 则22a b += ，()2a b -=2、若x y x y 22126-=+=，，则x ＝_____________，y ＝_____________3、已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______ 若a 2+2a=1则(a+1)2=________.4、若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a5、若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b= 6、若22a b +=7，a-b=5，则ab= 若22a b +=3，ab =-4，则a-b=7.若(x-3)2=x 2+kx+9,则k=_________. 若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________. 8.已知:a+b=7,ab=-12,求 (1)a 2+b 2= (2)a 2-ab+b 2= (3)(a-b)2=9、多项式192+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是10、若4x 2-Mxy+9y 2是两数和的平方,则M 的值是 ( )A.36 B.±36 C.12 D.±1211．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－2 （D ）213．如果m-n=15, m 2+n 2=5125,那么(mn)2005的值为 ( )A.1 B.-1 C.0 D.无法确定二、公式的组合及变形应用：1、已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求: (1)a 2+b 2= (2)ab=2、若a―b=7, ab=2, 则(a+b)2的值3、已知a+b=－8,ab=12,则（a －b)2= 若x-y=3，xy=1，则（x+y ）2=________4．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]5、若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，ab =_________6. 若()()x y x y a -=++22，则a 为（ ） A. 0B. -2xy ;C. 2xyD. -4xy7. 如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy8．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（ ）A 、()n m -21 B 、()n m --21 C 、()n m -41 D 、()n m --419．若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（ ）A. -24ab B.12ab C.24ab D.-12ab三、公式中的特殊关系： 1、如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ 3、 已知31=-x x ，则221x x +的值是 4、若12a a += 且0<a<1,求a － a1的值是 5. 已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值；6.已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a+=++-求：（）7．已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；四、公式倒用：1.已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值.2、练习：若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求x y=3、已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值。

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。

平方差、完全平方公式的灵活运用一教学三维目标1.知识与技能：灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用乘法公式的知识解决问题.2．过程与方法：在解决综合题目的过程中，让学生经历观察、探索、应用公式的过程，提高应用代数意识及方法解决问题的能力，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，以及整体思想。

3．情感与态度：在数学教学中发展学生的计算能力和数学思维能力，感受数学式的千变万化，增强学生的数学的数感。

二、教学重、难点对乘法公式的灵活、综合运用三、教学方法启发式、讲练结合四、教学过程1、知识回顾①我们学过了两个乘法公式分别是：平方差公式，完全平方公式。

②抢答?4k?3?4k?3))(2）(= . －1（）(2a+b)(2ab)=______________, （322)?5y(2x)2b(a?= .4）= . （3）（22.见多识广、题型拓展题型一利用乘法公式进行简便运算122）99）（2（例1.计算：1）（11920? 3322?2?999999 2） 2017 2 变式练习（1）2018 -2016×（方法总结:熟记平方差公式与完全平方公式的结构，观察转化成与公式结构一致是解题的关键。

题型二连续运用乘法公式248+1)+1(2+1)(2用乘法公式计算例2 +1)(2+1)(21变式练习????????42422+4)(x-2)(x+2)(x2）（（1）bbaa?a?b?a?b方法总结：要注意观察式子的符号及每项的次数找出与乘法公式结构相同的项，再用公式计算题型三整体应用乘法公式例题3 用乘法公式计算????????22（）（1）（12）ba?ba?b2?a?2?a?b1122，，则（3）已知?baa?b???ba?63变式练习??22)12aa?1?(2????）2（（1）1y??x?y1?x22????8a?b???bb?aa?4a?b?已知，，则（3）方法总结：要懂得平方差公式和完全平方公式里的“a”“b”不仅可以表示一个数或一个字母，而且可以表示一个式子。

平方差公式与完整平方公式一、 公式透析平方差公式： ( a b)( a b) a 2 b 2 特色是相乘的两个二项式中， a 表示的是完全同样的项， +b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

因此说，两个二项式相乘能不可以用平方差公式，重点看能否存在两项完整同样的项，两项互为相反数的项。

完整平方公式： (a b)2a 22ab b 2 注意不要遗漏 2ab 项二、典例分析例 1：以下各式能够用平方差公式的是（）A.( a4c)(a 4c)B.( x2 y)(2x y)C .( 3a 1)(13a)D.( 1xy)( 1x y)22例 2:怎样用公式计算(1)( xy)2例 3：已知 m n10, mn 24，求（ 1） m 2 n 2(2)(mn) 2三、 双基过关A 组 . (1)(3m 21n)(3m21n)(2)( 6m 4n)(6m 4n)2 2B 组 (3)(a1 b)2 (4) ( a 3b) 22.1.x 2ax4是完整平方公式，则 a ___,4x 2 12 xy m 是一个完整平方 式，则 m ____ .2.( x y)2 Mx 22xy y 2 ,则 M ____ .3.x1 5, 则 x2 1 _____ .xx 2用简易方法计算（） 314.1 7844（2）100 2 99298297 296 2952 2 212C组（1）（ a b 3)(a b 3)(2)(3a b c)(3a b c)(3)(1a 3b)2(1a 3b)2(4)( x 3 y 4) 233(5) a(a3) ( a 7)( a 7)四、综合应用1.按图中所示的方式切割正方形，你能获得什么结论b a x y2.察看以下各式 ,你会发现什么规律 ,用只含一个字母n 的式子表示出来 . 3515421573562111 13 143 12213). 23(321)(341)(3321)1。

完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。

平方差公式、完全平方公式综合练习题在代数学的学习中，平方差公式和完全平方公式是我们经常会用到的重要公式。

它们可以帮助我们简化复杂的计算，提高效率。

本文将为大家提供一些综合练习题，以帮助大家熟练掌握平方差公式和完全平方公式的应用。

练习题1：计算以下表达式的值：(1) $(3x + 4)(3x - 4)$；(2) $(5a + 2b)(5a - 2b)$；(3) $(2x + 7y)(2x - 7y)$。

解答：(1) 首先，我们可以利用平方差公式进行计算：$(3x + 4)(3x - 4) = (3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$。

(2) 同样地，利用平方差公式进行计算：$(5a + 2b)(5a - 2b) = (5a)^2 - (2b)^2 = 25a^2 - 4b^2$。

(3) 再次利用平方差公式进行计算：$(2x + 7y)(2x - 7y) = (2x)^2 - (7y)^2 = 4x^2 - 49y^2$。

练习题2：计算以下表达式的值：(1) $9x^2 - 16$；(2) $25a^2 - 4b^2$；(3) $4x^2 - 49y^2$。

解答：(1) 这个表达式可以看作是平方差公式的逆运算。

通过观察可得：$9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x + 4)(3x - 4)$。

(2) 类似地，我们可以将其写成平方差公式的形式：$25a^2 - 4b^2 = (5a)^2 - (2b)^2 = (5a + 2b)(5a - 2b)$。

(3) 同样地，利用平方差公式的逆运算，我们可以得到：$4x^2 - 49y^2 = (2x)^2 - (7y)^2 = (2x + 7y)(2x - 7y)$。

练习题3：计算以下表达式的值：(1) $(x + 2)^2$；(2) $(y - 3)^2$；(3) $(3a - b)^2$。

解答：(1) 这些表达式可以应用完全平方公式进行计算。

完全平方公式 知识点精析与应用知识点精析 1.完全平方公式222()2a b a ab b +=++ 222()2a b a ab b -=-+即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍. 公式中的a 、b 既可以是常数，也可以是单项式和多项式. 如2222(21)(2)2211441;x x x x x +=++=++2222(3)23369.y y y y y -=-+=-+2.形如2()a b c ++的计算方法将2()a b c ++转化为两项和的平方,再用完全平方公式展开.如2()[()a b c a b ++=+2]c +=22222222()2()22222a b a b c c a ab b ac bc c a b c ab ac ++++=+++++=++++2bc +.3.完全平方公式与平方差公式的综合应用如计算(2)(2),a b c a b c ++--经观察若将b c +看作一个整体,则原式具备了平方差公式的结构,故22(2)(2)[2()][2()](2)()a b c a b c a b c a b c a b c ++--=++-+=-+=2222224(2)42.a b bc c a b bc c -++=---4.幂的运算性质与公式的综合应用如计算22(2)(2),a b a b +-若直接运用完全平方公式计算,则相当繁琐.若运用积的乘方的法则变形,可变形为222222(2)(2)[(2)(2)](4)a b a b a b a b a b +-=+-=-=422168a a b -4.b +由此可见,灵活运用所学性质变形,可使计算十分简洁. 5. 222222(),()a b a b a b a b ++--与与的区别2()a b a +表示的是、b 的和的平方, 22a b +则表示a 、b 两数的平方和. 22222()2a b a ab b a b +=++≠+.不要错误的认为222()a b a b +=+.同理222()a b a b --与的意义不同, 22222()2a b a ab b a b -=-+≠-.[例1] 计算 (1) 2(23);a b -(2) 22(2);a b -- (3) 2(1)(1)(1);x x x -+- (4) 2(2);a b c +-(5) 2211()();22x y x y -+ (6)(2)(2).a b c a b c +--++[例2] 化简求值:2213(1)5(1)(1)2(1),.2a a a a a +-+-+-=-其中 [例3] 利用公式计算: (1)2201; (2)299.[例4] 亲爱的同学,下面向你展示一个求()n a b +的展开式的方法,当你看到十分繁难的问题用一个美妙的图形揭示其内涵时,你一定为它的发现者感到自豪.下面为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如()n a b +(其中n 为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出()n a b +展开式中所缺的系数.1113311211222332234432234();()2;()33;()______.a b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b +=++=+++=++++=++++则基础达标演练 1.计算221(2)_________;()_________.2a b x y -=--= 2.22()x y -+等于( )A. 222x xy y --+B. 222x xy y ++C. 4222x x y y -+ D. 4222x x y y ++ 3.下列各式计算正确的是( )A. 222()a b a b +=+ B. 222()a b a b -=- C. 222(2)42x y x xy y -=-+D. 2211(5)52524x x x +=++ 4.已知221,2,x y xy x y +==-+=则 .5.下列各式计算正确的是 ( )23222332222.(4)(231)8124.()().(41)(41)116.(2)24A x x x x x x B x y x y x y C a a aD x y x xy y -+-=---++=+---=--=-+6.计算: ()()x y z x y z --+-= .7. 2(23)a b c -+的结果为 .8.已知长方形的周长为40,面积为75,则以长方形的长和宽分别为边长的正方形面积之和是 9.计算2222111()()()224x x x -+-+= . 10.化简22(2)(2)()2(2)x y x y x y x xy +-++--= .11.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39cm 2,则原正方形的边长是 cm. 12. 计算2202= .13.计算222(9)(3)(3)(9)a a a a ---++= . 14. 解方程:21111()()()4444x x x +--+=. 15.解方程组22(2)(3)()(),3 2.x y x y x y x y ⎧+--=+-⎨-=⎩16.如图2-3-7所示,一块直径为a b +的圆形钢板,从中 挖去直径为a b 与的两个圆,求剩余钢板的面积. 17.(1)通过计算,探索规律:222215255,1001(11)25;25625,1002(21)25;351225,1003(31)25;452025,1004(41)25;=⨯⨯++=⨯⨯++=⨯⨯++=⨯⨯++可以写成可以写成可以写成可以写成 图2-3-7……2755625,=可以写成 ; 2857225,=可以写成 .(2)以第(1)题的结果,归纳、猜想得:2(105)n += . (3)根据上面归纳猜,请算出:22005= .视野拓展难点指津利用完全平方公式变形,求值是一个难点.如222()()4,()a b a b ab a b +=-+-=22222222()()()4,,()2()22a b a b a b ab ab a b a b ab a b ab +-++-=+=+-=-+等等,都是常用到的变形方法.在利用公式变形时,要做到灵活运用.反复观察、巧用活用. [例5] 已知22()16,()4;x y x y xy +=-=求的值.[例6] 已知2225,7,,x y x y x y x y +=+=>-=且则 . [例7] 一些小学生经常照看一位老人.这位老人非常喜爱孩子,每当这些学生到他家,老人都拿出糖块招待他们.来一个孩子,给这个孩子一块糖;来两个孩子,就给每个孩子两块糖;……. (1)若第一天来了m 个女孩子去看望老人,老人一共给了这些女孩子多少块糖? (2)若第二天来了n 个男孩子去看望老人,老人一共给了这些孩子多少块糖? (3)若第三天有()m n +个孩子去看望老人,老人一共给这些孩子多少块糖? (4)这些孩子第三天得到的糖块数与前两天他们得到的糖总数哪个多?多多少? 思维拓展测试1.已知2224,6,,x y x y x y x y +=+=>-且则的值等于 . 2.已知5,1,x y x y xy +=-==且 .3.已知2223,1,________,()_________a b ab a b a b -==-+=+=则. 4.若k 满足22(2004)(2005)2,(2004)(2005)k k k k -+-=-- 求的值.5.若2-3-8,用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面,观察图形并猜想填空:当黑色瓷砖为20块时,白色瓷砖为多少块?当白色瓷砖为2(n n 为正整数)块时,黑色瓷砖有多少砖?……图2-3-86.计算:(1)(3)(5)(7)a a a a ++++7.一个正方形,如果先把一组对边延长4cm,再把另一组对边减少4cm,这时得到的矩形面积与原正方形边长减少2cm 后的正方形面积相等,求原正方形的面积. 8.五个连续自然数,若中间的一个数用n 表示. (1)用代数式表示这五个自然数的平方和S; (2)当100n =时,求S 的值; (3)试说明S 的个位数是5或0.9.由22222222()22(),4146a b a ab b a ab b a b x y x y ±=±+±+=±+++-知你能说明的值总是正数吗? 10.观察:32332333311;123;1236;=+=++=……(1)想一想,3333123n +++⋅⋅⋅+的值如何表示;(2)当333320061232006n =+++⋅⋅⋅+时,的值是多少? 11.汪老师在一次团体操队列造型设计中,先让全体队员排成一个方阵(即行与列的人数一样多的队形).人数正好够用.然后再进行各种队形变化,其中的一个造型需5人一组,手执彩带变换图型,在讨论方案时,有人说现在队员人数按“5人一组”分将多出3人,你说这有可能吗?为什么?。