Koch分形曲线

koch曲线迭代函数（实用版）目录1.引言：介绍 Koch 曲线和迭代函数的概念2.Koch 曲线的特点：描述 Koch 曲线的形状和性质3.迭代函数的应用：讲解迭代函数在 Koch 曲线生成过程中的作用4.Koch 曲线的生成方法：介绍使用迭代函数生成 Koch 曲线的具体步骤5.结论：总结 Koch 曲线和迭代函数的关系以及在数学领域的应用正文Koch 曲线是一种分形曲线，由瑞典数学家 Koch 在 20 世纪 60 年代提出。

它是一种无限长、无限细的曲线，具有自相似性、无标度性和不可压缩性等特性。

Koch 曲线的研究对分形理论、非线性科学等领域具有重要意义。

迭代函数是数学中的一种函数类型，通过将函数的输出作为输入，反复进行计算，可以得到一系列越来越接近于某个值或某个函数的数值。

迭代函数在数学、物理、计算机科学等领域有广泛的应用。

在 Koch 曲线的生成过程中，迭代函数发挥了关键作用。

Koch 曲线的生成方法是通过一个迭代函数来不断对曲线进行收缩和放大，经过无穷多次迭代后，可以得到一条越来越接近于 Koch 曲线的曲线。

这个过程充分体现了迭代函数在数学中的应用价值。

具体来说，Koch 曲线的生成过程可以分为以下几个步骤：1.初始化：设定一个初始曲线，作为迭代的起点。

2.迭代：将初始曲线按照一定的比例进行收缩，然后再按照同样的比例进行放大，形成一个新的曲线。

3.重复：将新的曲线作为下一次迭代的初始曲线，继续进行迭代。

4.终止：当迭代次数达到预设值或曲线满足某种条件时，迭代过程终止。

通过以上迭代过程，我们可以得到一条越来越接近于 Koch 曲线的曲线。

在这个过程中，迭代函数起到了关键的作用，它决定了曲线的变化规律，从而影响了 Koch 曲线的最终形态。

总之，Koch 曲线和迭代函数在数学领域具有重要意义。

Koch 曲线作为一种特殊的分形曲线，具有独特的形状和性质，而迭代函数则在 Koch 曲线的生成过程中发挥了关键作用。

科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。

1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。

定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。

现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。

外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。

画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。

2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。

3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。

4、曲线上任意两点距离无穷大。

5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。

思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。

这让保守派数学大师们都很难相信。

科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。

提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。

科赫曲线python代码科赫曲线是一种分形图形，它由一条线段不断地被三等分并替换成一个等边三角形的两个边构成。

在这个过程中，每个边都会被替换成另外两条边，形成越来越复杂的图形。

在Python中，我们可以使用递归函数来绘制科赫曲线。

下面是一个实现科赫曲线的Python代码：## 导入绘图库import turtle## 定义一个递归函数，绘制科赫曲线def koch(t, order, size):if order == 0:t.forward(size)else:for angle in [60, -120, 60, 0]:koch(t, order-1, size/3)t.left(angle)## 设置画布大小和背景颜色turtle.setup(width=800,height=600) turtle.bgcolor("white")## 创建海龟对象t = turtle.Turtle()## 设置海龟初始位置和朝向t.penup()t.goto(-300,-100)t.pendown()t.left(60)## 绘制第一层科赫曲线koch(t, 4, 600)## 隐藏海龟对象t.hideturtle()## 等待用户关闭窗口turtle.done()代码解析：1. 导入绘图库：使用import语句导入turtle库。

2. 定义递归函数：使用def语句定义一个名为koch的函数，该函数接受三个参数：海龟对象t、曲线阶数order和线段长度size。

3. 绘制基本线段：如果曲线阶数为0，直接向前画一条长度为size的直线段；否则，执行下一步。

4. 递归绘制科赫曲线：对于每个角度（60度、-120度、60度、0度），递归地绘制下一层科赫曲线。

其中，左转60度和右转-120度分别对应着等边三角形的两条边，左转0度用于连接两个三角形。

5. 设置画布和海龟对象：使用turtle.setup()函数设置画布大小和背景颜色，并创建一个海龟对象t。

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12。

算法如下：（1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q1P3Q P Q3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

一、问题提出：画出Koch 曲线，计算它的第n 级分形的周长L n 。

第一步：先以10cm 为边长，以原点为中心画出正三角形，计算周长L 0。

第二步：将每一边长三等分，在中间段向外突出作小一级正三角形，擦去中间段，计算周长L 1。

第n 步：重复第二步至n=10,50,100,计算周长L n 至极限。

演示过程。

二、研究过程：用Matlab 软件画出第一个图形Γ0和第二个图形Γ1。

如图1与图2所示。

图1 图2通过观察，从第一个图形Γ0到第二个图形Γ1时，显然每条边经过变换变成四条边，Γ1的每条边为Γ0每条边的31。

同时Γ0的每条边生成了一个“突起”，这个突起为正三角形，它与Γ0的边数个数一致，边长和Γ1相同。

下面用几何画板画出一个“突起”。

如图3所示。

图3由图3可以看出：AE 为原来的边，取它的三分点B 、D ，在由BD 为边做出△BCD 。

C 点可以看成D 绕B 点逆时针旋转60°得到，此时B 、C 、D 确定。

设A （x 1，y ）, E （x 2，y ），则B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+,y x x x 3121；D ⎪⎭⎫ ⎝⎛--,y x x x 3122；设()00,y x BC =→，而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡032123232103cos sin sin cos 121200x x x x θθθθy x ， 得到()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=636120120x x y x x x ，即()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→63,61212x x x x BC 。

故用Matlab 演示过程时，在正三角形三边均取两个三分点，然后通过转轴变换移动D 至C 点，最后连接BC 、CD 即可得到图像。

同理可得，从Γn-1到Γn 的过程中，每条边经过变换变成四条边，Γn 的每条边为Γn-1每条边的31。

同时Γn-1的每条边生成了一个正三角形，它与Γn-1的边数个数一致，边长和Γn 相同。

Koch 分形曲线1.1 分形原理这是一类复杂的平面曲线，可用算法描述。

从一条直线段开始，将线段中间三分之一部分用等边三角形的两条边代替，形成具有5个结点的图形(图1)；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形(图2)，这时，图形中共有17个结点。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辩率。

1.2 算法分析算法分析：考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程。

设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点。

现在需要在直线段的中间依次插入三个点234,,P P P 产生第一次迭代的图形(图1)。

显然，2P位于1P 点右端直线段的三分之一处， 4P 位于1P 点右端直线段的三分之二处；而3P 点的位置可以看成是由4P 点绕2P 旋转60度(逆时针方向)而得到的，故可以处理为向量24P P 经正交变换而得到向量23P P 。

算法如下：(1) 2151()/3P P P P =+-；(2) 41512()/3P P P P =+-；(3) 3242()T P P P P A =+-⨯；图2 第二次迭代图1 第一次迭代在(3)中， A 为正交矩阵：c o s s i n 33sin cos 33A ππππ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦算法根据初始数据(1P 和5P 点的坐标)，产生图1中5个结点的坐标。

结点的坐标数组形成一个5×2矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标，……，第五行为5P 的坐标。

矩阵的第一列元素分别为5个结点的X 坐标，第二列元素分别为5个结点的Y 坐标。

进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。

设第k 次迭代产生结点数为k n ，第k+1次迭代产生结点数为1k n +，则k n 和1k n +之间的递推关系式为143k k n n +=-。

分形曲线及matlable算法0 koch分形曲线在线演示从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成koch 分形曲线。

算法分析：由一条线段产生四条线段，故算法中由n 条线段迭代一次后将产生 4n 条线段。

算法针对每一条线段逐步进行，将计算新的三个点。

第一个点位于线段三分之一处，第三个点位于线段三分之二处，第二个点以第一个点为轴心，将第一和第三个点形成的向量正向旋转 60 0 而得。

正向旋转由正交矩阵实现。

MATLAB 程序如下clearp=[0 0;10 0];n=1;A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)];for k=1:5j=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;endn=4*n;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2))koch分形图片flash制作源代码第一祯die=4;bi=1color=0x000000alpha=100stop();第二祯_root.createEmptyMovieClip("koch",1); a=new Array(1025); b=new Array(1025);c=new Array(1025);d=new Array(1025);l=0;n=1;a[1]=100;b[1]=200;a[2]=500;b[2]=200;c[1]=100;d[1]=200;c[2]=500;d[2]=200;for(m=1;m<=die;m++){j=0;with(_root.koch){for(k=1;k<=n;k++){x1=c[k];y1=d[k];x2=c[k+1];y2=d[k+1];j=j+1;a[j]=x1;b[j]=y1;j=j+1;a[j]=x1+(x2-x1)/3;b[j]=y1+(y2-y1)/3;j=j+1;a[j]=x1+(x2-x1)/3+((x2-x1)/3)*Math.cos(Math.PI/3)-((y2-y1)/3)*Math.sin(Math.PI/3); b[j]=y1+(y2-y1)/3+((x2-x1)/3)*Math.sin(Math.PI/3)+((y2-y1)/3)*Math.cos(Math.PI/3);j=j+1;a[j]=x1+2*(x2-x1)/3;b[j]=y1+2*(y2-y1)/3;j=j+1;a[j]=x2;b[j]=y2;l=j;}for(j=1;j<l;j++)< bdsfid="152" p=""></l;j++)<>{if(a[j]==a[j+1]&&b[j]==b[j+1]){ g=j;for(;j<l;j++)< bdsfid="156" p=""></l;j++)<>{a[j]=a[j+1];b[j]=b[j+1];}j=g+1;}}y=l;for(f=1;f<=y;f++){c[f]=a[f];d[f]=b[f];}}n=4*n;}第三祯//k1=1;i=1;_root.koch.onEnterFrame=function() {with(_root.koch){ //for(;i<=k1*10&&i<=y;) {lineStyle(bi,color,alpha);moveTo(c[i-1],450-d[i-1]);lineTo(c[i],450-d[i]);trace(i-1);trace(d[i-1]);i++;}//k1++;if(i>=y){delete _root.koch.onEnterFrame;}}}第四祯_root.koch.clear();stop();1 矩形分形曲线1在线演示顶部从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个正方形的三边代替，形成几字形图形如下在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个正方形的三边代替替，再次形成新的图形如此迭代，形成矩形分形曲线 1 。

科勒雪花分形维度摘要：一、科勒雪花的概念二、分形维度的定义三、科勒雪花与分形维度的关系四、科勒雪花的应用五、结论正文：一、科勒雪花的概念科勒雪花（Koch curve）是一种分形图形，由瑞典数学家科克（Helge von Koch）在1904 年首次描述。

它是一种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线。

科勒雪花可以通过以下方法生成：从一个边长为1 的等边三角形开始，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。

接着，取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。

最终，图形的外界变得愈发细微曲折，形状接近理想化的雪花。

二、分形维度的定义分形维度（Fractal Dimension）是用来描述分形结构的一个重要概念。

它反映了分形图形在空间中的分布特征，以及图形的复杂程度。

分形维度的计算公式为：D = log(A/P)，其中A 表示图形的总面积，P 表示组成图形的最小单元（例如线段、三角形等）的总面积。

三、科勒雪花与分形维度的关系科勒雪花是一种具有分形结构的图形，因此，它的分形维度可以通过上述公式计算。

随着变换过程的不断重复，科勒雪花的外形逐渐趋近于理想化的雪花，分形维度也在不断增加。

这表明，分形维度可以作为评价科勒雪花生成过程中的一个重要指标。

四、科勒雪花的应用科勒雪花在许多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、图像处理、数学研究等。

在计算机图形学中，科勒雪花常被用作基本图案，以生成具有复杂结构的分形图形。

在图像处理中，科勒雪花可以用于图像的加密和解密。

在数学研究中，科勒雪花作为一种特殊的分形结构，对于研究分形理论及其应用具有重要的意义。

五、结论科勒雪花是一种具有分形结构的图形，其生成过程可以通过不断重复相似变换来实现。

分形维度是描述科勒雪花结构复杂程度的重要指标，可以用于评价生成过程的效果。