圆锥曲线的极坐标的统一形式

极坐标与参数方程综合复习一 基础知识：1 极坐标。

逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角。

),(θρ点与点关于极点中心对称。

),(θρP ),(1θρ-P 点与点是同一个点。

),(θρP ),(2πθρ+-P 2 直角坐标化为极坐标的公式：.sin ;cos θρθρ==y x极坐标化为直角坐标的公式：xy y x =+=θρtan ;222注意：1 2 注意的象限。

πθρ20,0<≤>θ3圆锥曲线的极坐标方程的统一形式：间的距离。

是对应的焦点与准线之是离心率，p e 时表示双曲线。

时表示抛物线；时表示椭圆；1110>=<<e e e 4平移变换公式：``),()(y x k h y x +=++理解为：平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标5 的直线的参数方程为且倾斜角为过点α),(000y x P θρcos 1e ep -=坐标伸缩变换。

为平面直角坐标系中的，称对到应点的作用下，点：任意一点，在变换是平面直角坐标系中的定义：设点ϕλλϕ),(),()0()0({),(y x P y x P u y u y x x y x P ''>⋅='>⋅='为参数）t t y y t x x (sin cos {00αα+=+=2202000)()()(sin cos {r y y x x r y y r x x =-+-+=+=对应的普通方程为为参数θθθ。

轴上的椭圆的参数方程，焦点在这是中心在原点为参数的一个参数方程为椭圆x O b y a x b a by a x )(sin cos {)0(12222ϕϕϕ==>>=+程。

轴上的双曲线的参数方，焦点在这是中心在原点为参数，的一个参数方程为，双曲线x O b y a x b a b y a x )2,20(tan sec {)00(12222πϕπϕϕϕϕ≠<≤==>>=-参数方程。

圆锥曲线在平面内的统一方程圆锥曲线的一般方程体现了圆锥曲线的普遍性质，但同时包含了其退化形式，如圆、直线等。

这里我们所要做的，是用能够体现圆锥曲线的三种形式（椭圆、双曲线、抛物线）的特征的参数（离心率、焦点、焦准距、倾斜角）在平面内表示出任意的圆锥曲线。

首先，需要用到圆锥曲线在极坐标系中的标准方程：（e>0，p>0）这个方程表示一个轴所在直线与极轴所在直线重合的圆锥曲线。

其中极点为抛物线焦点，或椭圆左焦点，或抛物线右焦点。

这里我们规定其轴的方向向量，方向向右（即极轴的正方向），方便后文的解释说明.现在将方程对应的曲线绕极点逆时针旋转α弧度（0≤α<2π），此时方程变为：，与极轴的夹角对应为α。

展开方程，化简为以极轴为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，则有ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入方程，化简，得到如下方程：横向平移g个单位，纵向平移h个单位，使圆锥曲线焦点从(0,0)平移到(g,h)，对应方程为：以上所得方程即为圆锥曲线在平面内的统一方程（以e为离心率，p为焦点到准线距离）。

①当e>1时，表示以F(g,h)为一个焦点，α为与极轴（x轴正方向）所夹角的双曲线。

②当e=1时，表示以F(g,h)为焦点，α为与极轴所夹角的抛物线。

③当e<1时，表示以F(g,h)为一个焦点，α为与极轴所夹角的椭圆。

同时，我们也可以看到，当e=0时，方程表示点F(g,h)，这是圆锥曲线的一种退化形式。

分析这个方程，可以发现仅有五个参数（e、p、α、g、h），就可以在平面内表示任意圆锥曲线，这恰能说明平面内五点可以确定一个圆锥曲线（不包含其退化形式）。

此外，根据这个方程还可以推导出其他相关量。

如F(g,h)对应的准线方程：所在直线方程：。

圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。

今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。

引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。

（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。

（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。

整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。

欢迎来主页下载---精品文档§3. 8 圆锥曲线的统一极坐标方程一、教学目标（一）知识教学点掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．（二）能力训练点会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．（三）学科渗透点通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．二、教材分析1．重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．2．难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．3.疑点：双曲线左支所对应的B范围，双曲线的渐近线的极坐标方程.三、活动设计1.活动：思考、问答、讨论.2.教具：尺规、挂图.四、教学过程（一）复习大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义.学生1 答：列定点F（焦点）的距离与列定直线1（准线）的距离比是一个常数e（离心e€ （0, 1）时椭圆，e€ （1 , f）时双曲线，e=1 时抛物线.（二）建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程.过F作FK丄I于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系.设M（p , 0 ）是曲线上任一点，连MF，作MA丄I于A, MB丄I于B（如图3-24）.|FKP常埶设为丛■/ |MA|=|BKHKF|+|FBb|MA|=p+ p cos 0 .P… ------- - ----- =e*p + P cos y p - 2E1-ecos 9 “这就是圆锥曲线统一的极坐标方程・（三）深入理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思鲂论并深入了解下述几个要点上⑴必须以収曲线右焦点和隔画的左焦点为极点，0掘轴育向向右，尚若0叢方向向左，其方程如何？（讨论后浮生2答；无需重新求方程，只须两个极坐标系与0址之间的坐标关系作坐标荐换（图3-25）.p 7= P,1 0 J= 2k Tl + Jl + 9 .L此时方程为p ‘ =. ep,仅改了一个符号.(2)根据统一的极坐标育程，由几何条件求出b p后即可写出曲线的极坐标育程，这要明确気p的几何意义分别是离心率和焦准距(弧为通径一半).但是，对方程P =--------------- --- 血、n. s>0),如何求曲线的m-ncos o有关几何量e, p, a. b, c?（讨论后）学生3答zn s_ * —原方程即P =;"・1----- c os 9m此式为统一极坐标方程的标准式n ce ——=—m 日S a ap = —= —- c = — cn c e这里，及时#-=-代换，可以回避解关于& c的二次方程，而c e得刮一个二元一次方程组，便问题的计算得以简化.⑶对方程P 显然有1-ecos走（0，1）时，表橢圆.B1时，表抛物线.e^（l»+00购，表収曲线*但注意到・巴＞1时1 l-ecos0 =^0关于R有解，而駅A0,这样。

圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。

2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。

注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。

3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。

二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。

2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。

3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。

三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。

2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--； 综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。

圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线是高中数学中的重要知识点之一，统一的极坐标方程可以更好地理解和应用圆锥曲线。

下面就来详细讲解一下围绕“圆锥曲线统一的极坐标方程”的相关知识。

第一步，了解圆锥曲线的种类。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形态。

这三种形态的特征可以通过其焦点和准线进行描述。

椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线，而抛物线只有一个焦点和一条准线。

在圆锥曲线中，焦点和准线的位置、形状和数量决定了其种类。

第二步，了解极坐标系的基本知识。

极坐标系是一种二维坐标系，它用极径和极角两个参数来确定一个点的位置。

极径表示点到极点的距离，极角表示从极轴到极径的角度。

对于圆锥曲线来说，极坐标系的使用可以更好地描述其对称性和对称轴。

第三步，推导椭圆的极坐标方程。

椭圆的极坐标方程为：r = (a*b)/√((b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2)其中，a代表椭圆长轴的长度，b代表椭圆短轴的长度。

第四步，推导双曲线的极坐标方程。

双曲线的极坐标方程为：r = (a*b)/√((b*cosθ)^2-(a*s inθ)^2)其中，a代表双曲线的顶点与焦点之间的距离，b代表双曲线的顶点与准线之间的距离。

第五步，推导抛物线的极坐标方程。

抛物线的极坐标方程为：r = 2p/(1-cosθ)其中，p代表抛物线焦点到准线的距离，θ代表极角。

综上所述，围绕“圆锥曲线统一的极坐标方程”，我们需要了解圆锥曲线的种类、极坐标系的基本知识，以及推导椭圆、双曲线和抛物线的极坐标方程。

这些知识点的掌握可以帮助我们更好地理解和应用圆锥曲线。

圆锥曲线的统一性zhaoqingmu椭圆、双曲线和抛物线都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称为圆锥曲线。

以圆锥曲线的统一性为题从以下几个方面作了研究。

一、方程形式的统一：在几何上，椭圆、抛物线和双曲线是外形极不相似的三种曲线，很难看出它们之间有什么内在的联系。

可是从代数上说，它们的方程有统一的形式：⑴在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程)0,0(02222≠+≠=+++++C A B F Ey Dx Cy Bxy Ax 来表示①当02<-AC B 时，它表示椭圆； ②当02=-AC B 时，它表示抛物线 ③当02>-AC B 时，它表示双曲线。

代数式AC B -2值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变；而这些曲线在代数上的区别只在于方程系数AC B -2的正负正负号！这一结论在天体物理方面是有具体应用的：① 当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线；② 当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆；③ 当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支。

另外，圆锥曲线还可用二次曲线：)0,0(02)1(2222>>=+-+-e p p px y x e 表示。

⑵在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：θρcos 1e ep-=① 当10<<e 时，该方程表示椭圆； ② 当1=e 时，该方程表示抛物线； ③ 当1>e 时，该方程表示双曲线。

利用该方程往往可使本来复杂的问题变简单。

（参看第二部分的“性质 2”）二、轨迹的统一：从点的集合或轨迹的观点看，圆锥曲线都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合或轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取植范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。

三、性质的统一：由于方程形式上的统一，圆锥曲线必然会有性质上的统一，即具有相似的性质。

圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程是一种用极坐标表示的曲线形式。

它是由一条椭圆和一条圆组成，它们之间有一个共同点，就是这一点处曲线可以分成左右两部分，而这一点也是圆锥曲线的焦点。

圆锥曲线的极坐标方程可以用如下的公式表示：
r = a*secθ
其中，a 为椭圆的长轴，θ 为极坐标里的角度，r 为曲线上每一点的半径。

圆锥曲线的极坐标方程的特点是，它的图形可以从椭圆和圆的并集看出来，它的性质可以从极坐标中的变量及其依赖关系看出来。

圆锥曲线的极坐标方程是数学中一类相对简单的曲线形式，它在计算中有着重要的作用，比如可以用它来表示二次抛物线、双曲线、等等。

圆锥曲线的极坐标方程是一种通用的曲线形式，它在计算中有着广泛的应用，比如在空间几何中，可以用它来表示某一个曲面，而在天文学中，则可以用它来表示某一个星系的形状等。

圆锥曲线的极坐标方程的优点是，它能够将一个数学问题转化成一种更加容易理解的形式，并且它的计算比较简单，从而大大简化了计算的过程。

总的来说，圆锥曲线的极坐标方程是一种比较常用的曲线形式，它在数学计算中有着重要的应用，而且因为它的简单性，所以比较容易理解和计算。

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。