下载文档原格式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θcos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有epNF MF 211=+.三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，c b c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1ac ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用圆锥曲线极点极线是数学中的一个重要概念，其在高考数学中也经常出现。
2023年的高考数学考试中，圆锥曲线极点极线的运用将成为一道热点题目。
本文将围绕这一话题展开探讨，详细介绍圆锥曲线极点极线的相关概念和运用，希望能为广大考生提供一些帮助。
首先，我们来了解一下圆锥曲线极点极线的基本概念。
在数学中，圆锥曲线是指由平面上的一点到两条固定直线的距离之比为定值的轨迹。
而圆锥曲线的极点则是指曲线上的一个特殊点，它与两条固定直线的距离之比为无穷大，即该点到两条直线的距离为无穷大。
极线则是指与曲线上所有点的极距之积为定值的直线。
圆锥曲线极点极线的运用涉及到极坐标系、直角坐标系、参数方程等多种数学方法，需要考生熟练掌握这些知识点。
在高考数学中，圆锥曲线极点极线的运用主要包括以下几个方面：一是求圆锥曲线的极点和极线，计算极点的坐标以及确定其对应的极线方程；二是利用极点极线性质解决实际问题，如求解曲线上某一点到两条直线的距离，或者确定曲线上满足某些条件的点的位置等；三是应用极点极线的性质进行曲线的绘制和分析，包括确定曲线的形状、性质以及与其他曲线的关系等。
考生在备战高考数学时，应该针对这些方面进行有针对性的复习和练习，以提高自己对圆锥曲线极点极线的理解和应用能力。
在解题过程中，要特别注意以下几点：首先是要善于观察和分析问题，根据题目给出的条件，合理选择适当的数学方法和工具，尤其是对于涉及到极坐标系和参数方程的问题，要灵活运用相关知识进行分析和求解；其次是要善于化繁为简，将问题进行适当的简化和转化，以便更好地把握问题的本质和核心，从而更加有效地解决问题；最后是要善于总结和归纳，掌握圆锥曲线极点极线的一般性质和规律，以便在解决新问题时能够迅速找到解题思路和方法。
总的来说，圆锥曲线极点极线的运用在高考数学中占据着重要地位。
考生在备考时要加强对这一知识点的理解和掌握，多做相关题目，积累解题经验，以应对考试中的各种可能的考查。
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法可以用来解析表示圆锥曲线的方程。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
下面将分别介绍极坐标法在解析这些曲线方程中的应用。
1.圆：圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为圆的半径。
在极坐
标系下，圆心位于原点，以原点为中心半径为 a 的圆。
2.椭圆：椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e*cosθ)，其中 a 为长
轴的一半，e 为离心率，θ 为极角。
通常情况下，取e < 1，这样才能得到椭圆。
如果 e = 0，则表示一个圆。
3.抛物线：抛物线的极坐标方程为r^2 = 2a*p，其中a 为焦
点到抛物线顶点的距离，p 为焦距的一半。
抛物线沿着对
称轴对称。
4.双曲线：双曲线的极坐标方程为 r^2 = 2a p cosθ，其中 a 为
焦点到双曲线顶点的距离，p 为焦距的一半。
双曲线有两
个分支，分别向外延伸。
对于给定的圆锥曲线方程，你可以将其转化为极坐标方程进行分析和绘制。
通过改变参数 a、e 和 p 的值，可以调整曲线的尺寸、形状和位置。
请注意，极坐标法的应用需要对极坐标系和常见曲线方程有一定的数学理解。
在进行计算和绘制时，确保使用正确的公式和技巧，以获得准确的结果。
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析圆锥曲线是在平面上绕着一个固定点旋转而生成的曲线。
它可以通过参数方程或极坐标方程来描述。
本文将重点分析圆锥曲线的参数方程和极坐标方程的性质，并对其进行解析。
一、参数方程的性质解析参数方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为一个参数的函数。
对于圆锥曲线而言，其参数方程形式为:x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
1. 参数方程的灵活性相比于其他方程形式，参数方程具有较高的灵活性。
它可以描述复杂的曲线形状，并能够轻易地对曲线进行调整和变换。
例如，通过改变参数的取值范围或参数方程的函数表达式，可以得到不同形状的圆锥曲线。
2. 参数方程的解析性质由于参数方程中的每个变量都是独立的，因此可以分别研究x和y与参数t的关系。
这使得我们能够更好地理解曲线的性质和特点。
例如，通过对参数t的逐渐增减，可以得到曲线上的点的轨迹，并进一步分析其变化规律。
3. 曲线的方程与参数方程的关系圆锥曲线的参数方程可以通过消除参数t来得到与之对应的方程。
具体而言，将参数方程中的t表示为与x和y有关的表达式后，将其代入另一个参数方程中，消去t即得到方程形式。
这种转换使得我们能够从方程的角度更加全面地理解曲线。
二、极坐标方程的性质解析极坐标方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为极坐标下的径向距离r和极角θ。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程形式为: r = f(θ)其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴的夹角，f(θ)是关于θ的函数。
1. 极坐标方程的简洁性极坐标方程是用极坐标形式直接描述曲线的方程形式，相比于笛卡尔坐标系下的方程，更具有简洁性。
通过极坐标方程，我们可以直观地了解曲线在极坐标系下的性质和特点。
2. 极坐标方程的周期性对于某些特定的圆锥曲线，它们的极坐标方程具有周期性。
也就是说，当θ的取值范围在一定的区间内变化时，曲线的形状会在一定的规律下重复出现。
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。
2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。
注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。
3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。
二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。
2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。
3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。
三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。
2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--； 综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。
圆锥曲线与极坐标极坐标在平⾯内取⼀个定点O，叫极点，引⼀条射线Ox，叫做极轴，再选定⼀个长度单位和⾓度的正⽅向（通常取逆时针⽅向）。
对于平⾯内任何⼀点M，⽤ρ表⽰线段OM的长度（有时也⽤r表⽰），θ表⽰从Ox到OM的⾓度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极⾓，有序数对 (ρ,θ) 就叫点M的极坐标，这样建⽴的坐标系叫做极坐标系。
极坐标系⽤长度和⾓度取代了⼆维的坐标，相对于⼀般的直⾓坐标为下⾯的优点：便于处理⾓度的关系便于表⽰和计算长度设M为平⾯上的⼀点，它的直⾓坐标为 (x,y)，极坐标为 (ρ,θ)，易得互化公式：x=ρcosθy=ρsinθorρ2=x2+y2 tanθ=yx (x≠0)p，由圆锥曲线的统⼀定义知ρd=e，由图形可得d=p+ρcosθ，代⼊得ρ=ep1−e cosθ当e=0 时，轨迹为圆；0<e<1 时，轨迹为椭圆；e=1 时，轨迹为抛物线；e>1 时，轨迹为双曲线。
（2）以坐标原点为极点在这⾥只考虑椭圆与双曲线的情况，抛物线也可类⽐：椭圆或双曲线的标准⽅程（焦点在x轴上）为：x2a2±y2b2=1 {{Processing math: 100%代⼊x=ρcosθ，y=ρsinθ得：ρ2cos2θa2±ρ2sin2θb2=1，提取ρ2得：1ρ2=cos2θa2±sin2θb2，此⽅程表⽰椭圆或双曲线的轨迹。
取加号时，轨迹为椭圆；取减号时，轨迹为双曲线。
⼀些结论如图，F为圆锥曲线E的焦点，过F的直线交E与A,B两点，设直线AB的倾斜⾓为α，则|AF|=ep1−e cosα, |BF|=ep1+e cosα|AB|=ep1−e cosα+ep1+e cosα=2ep1−e2cos2α（看成以F为极点的极坐标系，由圆锥曲线⽅程ρ=ep1−e cosθ，令θ=α可得A点的ρ，即 |AF|；同理，令θ=α+π得到B的，再⽤诱导公式 cos(θ+π)=−cosθ）当椭圆与双曲线以标准⽅程表⽰时，焦准距p=b2c，离⼼率e=ca，那么|AF|=b2a−c cosα, |BF|=b2a+c cosα|AB|=2ab2a2−c2cos2α若|AF||BF|=λ，则1+e cosα1−e cosα=λ，解出e cosα=λ−1λ+1已知e,λ时，可⽤上式求倾斜⾓。
极点极线定义已知圆锥曲线С: Ax +By +Cx+Dy+E=0与一点P(x0,y 0) [ 其中 A +B x0+x≠0,点．P．不．在．曲．线．中．心．和．渐．近．线．上．]. 则称点P 和直线L:A?x0x+B?y0y+C? 2 +D?y2+y+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线x0+x y0+y 即在圆锥曲线方程中, 以x0x 替换x ，以2替换x，以y0y 替换y , 以2替换y 则可得到极点P(x0,y 0) 的极线方程L.特别地：(1) 对于圆(x-a) +(y-b) =r , 与点P(x 0 ,y 0) 对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；x y x0x y0y(2) 对于椭圆+ =1，与点P(x0,y 0)对应的极线方程为0 + 0 =1 ；a b a bx y x 0x y 0y(3) 对于双曲线 a -b =1，与点 P(x 0,y 0)对应的极线方程为 a 0 -b 0 =1 ；(4) 对于抛物线 y =2px ，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 y 0y=p(x 0+x) ； 性质 一般地,有如下性质 [焦．点．所．在．区．域．为．曲．线．内．部． ]: ① 若极点 P 在曲线С上,则极线 L 是曲线С在P 点的切线；② 若极点 P 在曲线С外,则极线 L 是过极点 P 作曲线С的两条切线的切点连线；③ 若极点 P 在曲线С内,则极线 L 在曲线С外且与以极点 P 为中点的弦平行 [仅是 斜率相 等 ]( 若是 圆 , 则此时中 点 弦的 方程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=x 0x y 0y x 0 y 0；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 a x x +b y y =x a +y bx 0x y 0y x 0 y 0双曲线,则此时中点弦的方程为 a x0x -b y0y =x a 0 -y b 0 ；若是抛物线 ,则此时中点弦的 方程为 y 0y-p(x 0+x)=y 0 -2px 0) ；(x 0-a) +(y 0-b) 若是④当P(x0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0) 时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P 关于曲线C的极线L 上[ 图．中．点．P．与．直．线．S．．T是．一．对．极．点．极．线．；．点．T．与．直．线．S．．P是．一．对．极．点．极．线．] ；即OP = OR OROQⅢ. 点 P 是曲线 C 的极点，它对应的极线为 L ，则有 :1）若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线 OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP?OQ=OR如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见” .由④可知椭圆x a +y b =1的焦点的极a线方程为: x= . 焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容, 它揭示了圆锥曲线c的统一定义, 更是高考的必考知识点. 正是因为它太常见了, 反而往往使我们“视”而不“见” .圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2“，短轴= 2b,焦距= 2c.则：a2 =b2 -^c2 1、准线方程准焦距.〃方、"方涂以r..& 0・ 刁2sm —cos — sm 0_ 2 2 1 +cos0 2 cos 2—2 & 所以：椭圆的焦点三角形的面积为S 胚恶=b tail-.4.焦三角形计面积"半角正切進乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧・耳为顶点，另一个顶点」 在椭圆上的三角形称为焦三角形•半角是指—Z 与P 巧的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设阿| =小|昭| = S 由余弦定理:m 2 +n 2 - 2mn cos^= 4c 2=4a即：-2mn - = 2mn - 4b 2,故: Sgf =-m n sin0 =-』+ cos& l + cos0又:0 =tan —三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角, 切点连线求方程, 弦与中线斜率积, 细看中点弦方程,称为弦切角定理① 极线屯理须牢记② 准线去除准焦距③ 恰似弦中点轨迹④艮卩：2D = (1+ cos0)mn .1、 切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双 曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它 们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切 线是两个焦点弦的角平 分线.第6页2. 切点连线求方程，圾线定理须牢记若旳（X05）在椭圆卡+$ = 1外，则过昨作椭圆的两 条切线，切点、为P 』,巧，则点耳和切点弦马•勺分别称 为椭圆的极点和极线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是笫？页3、弦与中线斜■率积.准线去涂准焦距|弦指椭圆内的一弦•中线指弦AB 的中点M 与 原点O 的连线，即2AB 得中线•这两条直线的斜率的VY - Q 2於乘积，等于准线距离去除准焦^p= — .其k k_ p 结杲是：0M = T =~V第8页（称为极线定理）4、细看中点弦方程，恰似弦中点、轨迹|中点、弦AB 的方程:在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 p 皿、m 的弦AB , 其中点、M 的方程就是 S . y o y … /( y 2. 一7*+矿二正+歹，仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞 混了.第9页是直线方程.圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两个定点唇码的距离之差的绝对值为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲线。
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析极坐标方程与参数方程是圆锥曲线的两种常用表示形式。
在研究圆锥曲线时，利用这两种方程形式可以更加直观地描述曲线的特征与性质。
本文将详细介绍圆锥曲线的极坐标方程和参数方程的解析过程，并通过具体的例子来进一步说明。
一、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程可以用极坐标系中的极径r和极角θ来表示。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程的一般形式如下：r = f(θ)其中，函数f(θ)代表了曲线的性质与形状，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而异。
以下是几种常见的圆锥曲线的极坐标方程及其解析过程：（一）圆的极坐标方程圆是一种特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a其中，a代表圆的半径。
（二）椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程形式如下：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的半长轴长度，ε代表椭圆的离心率。
（三）双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以写为：r = a(1 + εcosθ) / (1 - εcosθ)其中，a代表双曲线的焦距，ε代表双曲线的离心率。
（四）抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为：r = a / (1 + cosθ)其中，a代表抛物线的焦点到准线的距离。
通过以上例子可以看出，圆锥曲线的极坐标方程形式多样，每一种形式代表了不同的曲线类型和特征。
研究圆锥曲线时，可以根据需要选择不同的极坐标方程进行分析。
二、圆锥曲线的参数方程除了极坐标方程外，参数方程也是描述圆锥曲线常用的一种形式。
在参数方程中，圆锥曲线的坐标可以通过参数t的取值得到。
一般来说，圆锥曲线的参数方程具有以下形式：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)分别表示曲线的x坐标与y坐标，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而定。
以下是几种常见圆锥曲线的参数方程及其解析过程：（一）圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = asin(t)其中，a代表圆的半径，t取值范围通常为0到2π。
大招4 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇）大招总结在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)中,O 是坐标原点,A 、B 是椭圆上两点,OA 、OB 的长度可以用极坐标表示,部分题目可以达到简化计算的目的.令x =ρcosθ,y =ρsinθ,则1ρ2=cos 2θa 2+sin 2θb 2.典型例题例 1.(2021·河南二模)设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√217,O 为坐标原点. (I)求椭圆C 的方程;(II)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求弦AB 长度的最小值.解,方法1:(I)由e =12得c a =12即a =2c,∴b =√3c .由右焦点到直线x a +y b =1的距离为d =√217, 得:√a 2+b 2=√217, 解得a =2,b =√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(II)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =kx +m ,与椭圆x 24+y 23=1联立消去得3x 2+4(k 2x 2+2kmx +m 2)−12=0,x 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0.即(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,∴(k 2+1)4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m =0,整理得7m 2=12(k 2+1)所以O到直线AB的距离d=√k2+1=√127=2√217.为定值∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2⩾2OA⋅OB,当且仅当OA=OB时取“=”号.由d⋅AB=OA⋅OB得d⋅AB=OA⋅OB⩽AB 22,∴AB⩾2d=4√217,即弦AB的长度的最小值是4√217.方法2:设OA与x轴夹角为θ,OB与x轴夹角为π2+θOA=ρ1,OB=ρ21ρ12=cos2θa2+sin2θb2,1ρ22=cos2(θ+π2)a2+sin2(θ+π2)b2=sin2θa2+cos2θb21OA2+1OB2=1a2+1b2=14+13=712d2=OA2⋅OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=127d=2√217接下来求AB最小值方法一样使用均值不等式利用d,AB,OA⋅OB关系求解例2.(2021秋·虹口区月考)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴为4,且过点A(√2,1)(1)求椭圆C的方程;(2)设点O为原点,若点P在曲线C上,点Q在直线y=2上,且OP⊥OQ,试判断直线PQ与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解(1)由题意可得2a=4,即a=2,又2a2+1b2=1,解得b=√2,即有椭圆C的方程为x 24+y22=1;(2)直线PQ与圆x2+y2=2相切.证明如下：设点P,Q的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.∵OP ⊥OQ ,∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0, 解得t =−2y 0x 0.当x 0=t 时,y 0=−t 22,代入椭圆C 的方程, 得t =±√2,故直线PQ 的方程为x =±√2,圆心O 到直线PQ 的距离d =√2.此时直线PQ 与圆x 2+y 2=2相切.当x 0≠t 时,直线PQ 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t),即(y 0−2)x −(x 0−t )y +2x 0−ty 0=0.圆心O 到直线PQ 的距离d =00√(y 0−2)2+(x 0−t )2. 又x 02+2y 02=4,t =−2y 0x 0. 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.方法2：设OQ 与x 轴夹角为θ,OB 与x 轴夹角为π2+θOQ =2sinθ(注意Q 点不在椭圆上),OP =ρ21OQ 2=sin 2θ41OP 2=1ρ22=cos 2(θ+π2)a 2+sin 2(θ+π2)b 2=sin 2θa 2+cos 2θb 2=sin 2θ4+cos 2θ21OQ 2+1OP 2=12 ∴d 2=OQ 2⋅OP 2OQ 2+OP 2=11OQ 2+1OQ 2=2 d =√2=r ,和圆相切例 3.(2021·衡阳一模)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =√32,,其左右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=2√3.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线斜率之积−14.(I)求椭圆C 的方程;(II)求证:x 12+x 22为定值,并求该定值.解,方法1:(I)根据题意,|F 1F 2|=2c =2√3,则c =√3,e =c a =√32,则a =2,b 2=a 2−c 2=1,故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(II)根据题意,点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)与坐标原点的连线斜率之积−14,即y 1x 1×y 2x 2=−14,−4y 1y 2=x 1x 2,即(x 1x 2)2=16(y 1y 2)2, 又由x 124+y 12=1,x 224+y 22=1,则1−x 124=y 12,1−x 224=y 22,即可得(1−x 124)(1−x 224)=(y 1y 2)2,变形可得(4−x 12)(4−x 22)=(x 1x 2)2,展开可得x 12+x 22=4,即x 12+x 22为定值4.法2:三角换元x 1=2cosα,y 1=sinαx 2=2cosβ,y 2=sinβ注:角α,β并不是与x 轴夹角sinα⋅sinβ2cosα⋅2cosβ=−14cos(α−β)=0x 12+x 22=4自我检测1.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A 、B 两点,过原点O 作直线AB 的垂线,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.解:(1)右焦点为F(c,0)到直线x a +y b =1的距离d =√6−√33,∴√a 2+b 2=√6−√33.又e =√22,联立得{ √a 2+b 2=√6−√33e =c a =√22a 2=b 2+c 2,解得{a =√2b =c =1. ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D(x,y).当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立{y =kx +m x 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0. 由Δ>0,得1+2k 2>m 2.(∗)∴x 1+x 2=−4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2.(∗∗)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,化为(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,把(**)代入上式得(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0,化为3m 2=2(1+k 2).(1)∵OD ⊥AB,∴k ⋅y x =−1,得到k =−x y .(2)∵点D 在直线AB 上,∴y =kx +m,∴m =y −kx .(3)联立(1)(2)(3)消去k,m .得到x 2+y 2=23(y ≠0).当直线AB 的斜率不存在时,可得D (±√63,0),也适合上述方程. 综上可知:点D 的轨迹方程为x 2+y 2=23.2.(2021·河南模拟)椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−2,0)、F 2(2,0),,且椭圆过点A(2,√2).(1)求椭圆C 的标准方程; (2)过原点O 作两条相互垂直的直线l 1,l 2,l 1与椭圆交于M,N 两点,l 2与椭圆交于P,Q 两点,求证:四边形MQNP 的内切圆半径r 为定值.解:(1)由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=√(2+2)2+(√2)2+√02+(√2)2=4√2=2a ,所以a =2√2,又c =2,所以b =2,故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1;(2)当直线l 1的斜率为±1时,四边形MQNP 为正方形,联立方程{y =xx 28+y 24=1,解得|x M |=|x N |=2√63=r ,当直线l 1的斜率不等于±1时,设Q (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线QN 的方程为:y =kx +t ,代入椭圆方程整理可得:(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−8=0,Δ=(4kt)2−4(1+2k 2)(2t 2−8)>0,则8k 2−t 2+4>0, 得x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−81+2k 2,由已知可得∠NOQ =90∘,所以OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=0, 则(1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=0,所以(1+k2)×2t 2−81+2k 2+kt ×−4kt1+2k 2+t 2=0, 化简可得:3t 2=8(1+k 2)(∗),代入△成立,故r =|√1+k 2|=√t 21+k 2=√83=2√63, 综上,r =2√63.。
圆锥曲线的极坐标方程介绍很多老师在讲授圆锥曲线或进行总复习时，为了解题方便的需要，对圆锥曲线的极坐标方程作了相应的介绍．因为介绍的不是很详细，很多同学还是很不清楚．下面，我再详细地介绍一下圆锥曲线的极坐标方程．利用坐标系来确定平面内点的位置和建立曲线的方程，除了直角坐标系外，常用的还有极坐标系．它是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系． 在平面内取一固定点O ，从O 引一条射线OX ，再确定一个计算长度的单位长和计算角度的正方向（通常我们选取逆时针方向作为正方向）．这样就构成了一个极坐标．其中，O 点叫做极点，OX 叫极轴（如图一）．设P 是平面内一点，连接线段OP ，那么极点和P 点的距离||OP ，叫做P 点的极半径，通常用ρ来表示；以极轴OX 为始边，射线OP 为终边的所成的XOP ∠，叫做P 点的极角，通常用θ来表示．（ρ，θ）就是P 点的极坐标．为了研究的方便，我们也允许ρ取负值．当ρ<0时，点(,)P ρθ的位置可按下列规则来确定：作射线OM （如图二）使XOM θ∠=，在OM 的反向延长线上P 点，使||||OP ρ=，那么P 点就是极坐标是（ρ，θ）的点(0)ρ<．下面用极坐标来求圆锥曲线的方程．根据圆锥曲线的定义，我们如下建立直角坐标系： 取焦点F 为极点，作FG 垂直于准线l ，垂足为G ，取FG 的反向延长线FX 为极轴（如图三），设焦点到准线的距离为(0)p p >．设(,)P ρθ是圆锥曲线上的任意一点，连接PE ，过P 作OQ l ⊥，PM FX ⊥，垂足分别为Q M 、，那么由圆锥曲线的第二定义，得：||||PF e PQ = 因为||PF ρ= ， ||||c o sP Q G M p ρθ==+,)θO (,)P ρθ(ρ<0)X图一图二 图三所以cos e p ρρθ=+就是1cos epe ρθ=-(0)p >．这就是圆锥曲线的极坐标方程．注意：对于椭圆和双曲线的一支，有2(,0)b p b c c=>．然而对于抛物线，其中的p 即为抛物线标准方程22(0)y px p =>中的p ．下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的第二问．(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3，0），右准线的方程为：x = 12。
圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳本文将对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳总结。
圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，在解题过程中掌握其极坐标方程的应用是非常有帮助的。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面上满足特定条件的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
2. 极坐标方程的基本形式圆锥曲线的极坐标方程通常具有以下形式：- 椭圆的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 - e \cdot \cos \theta}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 双曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{e \cdot \cos \theta - 1}$，其中 $p$ 是焦点到准线的距离，$e$ 是离心率。
- 抛物线的极坐标方程：$r = \frac{2p}{1 + \cos \theta}$，其中$p$ 是焦点到准线的距离。
3. 极坐标方程大题题型归纳根据圆锥曲线的不同类型，极坐标方程的大题题型也会有所不同。
以下是一些常见题型的归纳总结：3.1 椭圆的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求椭圆的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求椭圆的极坐标方程。
3.2 双曲线的极坐标方程题型- 已知离心率和焦点到准线的距离，求双曲线的极坐标方程。
- 已知焦点和准线的坐标，求双曲线的极坐标方程。
3.3 抛物线的极坐标方程题型- 已知焦点和准线的坐标，求抛物线的极坐标方程。
4. 解题技巧和注意事项在解题过程中，可以采用以下技巧和注意事项：- 根据问题中给出的已知条件，逐步求解极坐标方程中的参数。
- 注意离心率、焦点和准线的坐标的关系，可以通过该关系求解未知参数。
- 验证求得的极坐标方程是否符合圆锥曲线的性质，如焦点到准线距离的关系等。
通过对圆锥曲线的极坐标方程大题题型进行归纳归纳，可以更好地掌握解题方法和技巧，提高解题效率和准确性。
以上就是对圆锥曲线的极坐标方程大题题型归纳的完整内容。
大招四 极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇） 在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。
令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。
例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。
