convex and quasi convex
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第3讲凸集凸函数凸规划页数:15
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凸函数的性质及其在证明不等式中的应用页数:18
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1 凸集页数:18
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第3讲 凸集、凸函数、凸规划 Convex Set、Convex Function、Convex Programming
定义 锥、凸锥
设S R , x0 S，如果对一切 xS
n
及 0, 有x 0 x S, 则称S是 以x 0为顶点的锥. 如果S又是凸集， 则称S为凸锥.
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.4 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x , y D , 及任意的 0, 1
f x 1 y f x 1 f y 都有：
则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x, y D ( x y), 及任意的 0,1 则称函数 f x 为 D
上的严格凸函数．
都有：f x 1 y f x 1 f y
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
凸函数
几何性质
0 1 表示连接 x1 , f x1 , x2 , f x2 的线段． f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2处的
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点．
D2
T
0, y
y R表示 y 轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点， 它不是凸集； 而 D1 D2 R 2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S R , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
第 3讲
凸集、凸函数、凸规划
设S R , x0 S，如果对一切 xS
n
及 0, 有x 0 x S, 则称S是 以x 0为顶点的锥. 如果S又是凸集， 则称S为凸锥.
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.4 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x , y D , 及任意的 0, 1
f x 1 y f x 1 f y 都有：
则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x, y D ( x y), 及任意的 0,1 则称函数 f x 为 D
上的严格凸函数．
都有：f x 1 y f x 1 f y
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
凸函数
几何性质
0 1 表示连接 x1 , f x1 , x2 , f x2 的线段． f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2处的
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点．
D2
T
0, y
y R表示 y 轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点， 它不是凸集； 而 D1 D2 R 2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S R , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
第 3讲
凸集、凸函数、凸规划
广义凸函数的定义和性质
广义凸函数的定义和性质蒋玲（浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山316004）[摘要]：凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen[1905]著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
本文主要是研究几类广义凸函数的定义和性质。
探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性。
同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。
[关键词]：拟凸函数；严格拟凸函数；强拟凸函数；强伪凸函数Definitions and Properties of GeneralizedConvex FunctionJiang Ling(College of Mathematics Physics & Information Science,Zhejiang Ocean University, Zhoushan Zhejiang 316004)[Abstract]: Convex function is a kind of important function, its concept forms most early in Jensen [1905] in the writings. It has numerous applications in broad fields of pure Mathematics and applied Mathematics. Convex function is now plays important theoretical basic and useful tools to many subjects such as mathematical planning theory, response theory, numerical economics, change hours theory and sub-optimal control and so on. For theoretical break through, reinforce their application in practice, produced generalized convex function. The article is to study definitions and theorems of generalized convex function. We also obtained some criteria for quasiconvex functions, strictly quasiconvex functions and strongly quasiconvex functions, and given some characteristics among the three functions. Then we discuss lower sem-icontinuities, upper sem-icontinuities. The last of this brief presents a few characteristics of the strong pscudocovexity.[Keywords]: quasiconvex functions; strictly quasiconvex functions; Strong quasiconvex functions; strong pscudocovexity1 前言凸函数（convex function ）的理论奠基工作可以追溯到上个世纪初Holder 、Jenson 和Minkowski 的著作，人们称其为“Jensen 凸函数”[1]。
Convex Functions
Convex functions 3–2
Examples on R
convex: • affine: ax + b on R, for any a, b ∈ R • exponential: eax, for any a ∈ R • powers: xα on R++, for α ≥ 1 or α ≤ 0 • powers of absolute value: |x|p on R, for p ≥ 1 • negative entropy: x log x on R++ concave: • affine: ax + b on R, for any a, b ∈ R • powers: xα on R++, for 0 ≤ α ≤ 1 • logarithm: log x on R++
Convex functions
3–12
Operations that preserve convexity
practical methods for establishing convexity of a function 1. verify definition (often simplified by restricting to a line) 2. for twice differentiable functions, show ∇2f (x) 0
≥0
≤(
2 k zk vk )(
(from Cauchy-Schwarz inequality)
geometric mean: f (x) = (
n xk )1/n k=1
on Rn is concavar proof as for log-sum-exp)
Examples on R
convex: • affine: ax + b on R, for any a, b ∈ R • exponential: eax, for any a ∈ R • powers: xα on R++, for α ≥ 1 or α ≤ 0 • powers of absolute value: |x|p on R, for p ≥ 1 • negative entropy: x log x on R++ concave: • affine: ax + b on R, for any a, b ∈ R • powers: xα on R++, for 0 ≤ α ≤ 1 • logarithm: log x on R++
Convex functions
3–12
Operations that preserve convexity
practical methods for establishing convexity of a function 1. verify definition (often simplified by restricting to a line) 2. for twice differentiable functions, show ∇2f (x) 0
≥0
≤(
2 k zk vk )(
(from Cauchy-Schwarz inequality)
geometric mean: f (x) = (
n xk )1/n k=1
on Rn is concavar proof as for log-sum-exp)
第二章凸性(Convexity)
凸集-----性质
推论： 设 Di , i 1,2,, k 是凸集， 则 i Di 也是凸集， 其中 i 是实数．
i 1 k
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
f x 1 y f x 1 f y 都有：
则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x, y D ( x y), 及任意的 0,1 则称函数 f x 为 D
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处的 切平面位于曲 面的下方.
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
定理5:
2 x1 2 f G x 2 f x x x 2 1 2 f x n x1
设在开凸集 D R 内 f x 二阶可微,则 f x 是 D 内的凸函数的充要条件为: 对任意 x D, f x 的Hesse矩阵 G x 半正定, 其中： 2 f 2 f 2 f
称为函数f在集合S上关于数 定理3 设 f x 是凸集 S R n 上的凸函数，则对任意 R ，水平集 S f , 是凸集． 注：定理3 的逆命题不成立.
的水平集.
凸函数
y 2 xy 的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
4 2 4 f x , y x 3 x y 下面的图形给出了凸函数
凸优化练习题与解答(1)台大考古题
Convex Optimization Midterm, Thursday April 19, 2018.
Exam policy: Open book. You can bring any books, handouts, and any kinds of paper-based notes with you, but electronic devices (including cellphones, laptops, tablets, etc.) are strictly prohibited.
2. (18%) Determine whether each of the following sets is a convex function, quasi-convex
function, concave function. Write your answer as a table of 6 rows and 3 columns, with
z, X1z ≥ 1 z, X2z ≥ 1
Then, for 0 ≤ θ ≤ 1,
z, θX1 + (1 − θ)X2 z =θ z, X1 + (1 − θ) z, X2 ≥θ · 1 + (1 − θ) · 1 =1.
As required in definition of S10. To see it is not a cone, consider z = (1, 0, . . . , 0), and X = I ∈ Sn (symmetric matrices). Here z, Xz = 1, but z, 2Iz = 2 The reason that it is not affine is the same, by considering 2I = 2 · I + (−1) · O, the “line” containing O (all-0 matrix) and I. It follows that it is not a subspace. 11. S11 = x ∈ Rn ||P x + q||2 ≤ cT x + r given any P ∈ Rm×n, q ∈ Rm, c ∈ Rn, and r ∈ R. T, F, F, F To show convexity, if
Exam policy: Open book. You can bring any books, handouts, and any kinds of paper-based notes with you, but electronic devices (including cellphones, laptops, tablets, etc.) are strictly prohibited.
2. (18%) Determine whether each of the following sets is a convex function, quasi-convex
function, concave function. Write your answer as a table of 6 rows and 3 columns, with
z, X1z ≥ 1 z, X2z ≥ 1
Then, for 0 ≤ θ ≤ 1,
z, θX1 + (1 − θ)X2 z =θ z, X1 + (1 − θ) z, X2 ≥θ · 1 + (1 − θ) · 1 =1.
As required in definition of S10. To see it is not a cone, consider z = (1, 0, . . . , 0), and X = I ∈ Sn (symmetric matrices). Here z, Xz = 1, but z, 2Iz = 2 The reason that it is not affine is the same, by considering 2I = 2 · I + (−1) · O, the “line” containing O (all-0 matrix) and I. It follows that it is not a subspace. 11. S11 = x ∈ Rn ||P x + q||2 ≤ cT x + r given any P ∈ Rm×n, q ∈ Rm, c ∈ Rn, and r ∈ R. T, F, F, F To show convexity, if
02-凸函数
02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。
函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。
仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。
⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。
如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。
那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。
解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。
上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
光学专业英语词汇总结
amplitude 振幅
phase 相位
wavenumber 波数
wavefront 波前
wavevector 波矢
envelope 包络
Wave envelope 波包
Wave packet theory 波包理论
quarter wave plate 四分之一波片
grating 光栅
absorption 吸收
Fiber 光纤
Cladding 包层
Perfect image 完善像
Object(image) space 物(像)空间
magnification 放大率
Parallel plate 平行平板
focal plane 焦平面
stop 光阑
pupil 光瞳
ray tracing 光线追迹
Incident beam 入射光
电通量密度 磁通量密度
电位移 自由空间
介质 线性的 色散的 非色散的 各向同性的 各向异性的
refractive index 折射率
absorption coefficient 吸收系数
phase velocity 相速度
group velocity 群速度
Attenuation 衰减
alumina 氧化铝
Bell inequality 贝尔不等式
teleportation 隐形传态、离物传态
quantum cryptography 量子密码
Vocabulary 9
frequency conversion 频率转换
Down conversion 下转换
Parametric process 参量过程
Nonparametric process 非参量过程
成本概念需要澄清的几个问题
成本概念需要澄清的几个问题分类：经济学：研究对象与研究方法书评文章提交者：黄文平发表时间：2003-08-08四川成都西南财经大学的张树民博士在“固定成本的陷阱”（《经济学消息报》，No.523期，2003年1月10日）一文中指出：“经济学中固定成本的定义存在模糊之处”，“理解成本更重要的是考察要素的替代性的用途的收益，这是产生理解和使用固定成本的陷阱的所在”。
并认为，“标准教科书中完全竞争市场短期均衡的分析，这里存在两个错误，一是继续生产的条件分析，一是短期供给曲线分析”。
对现代经济学中固定成本这样的基本概念，张文（对张树民先生该文的简称，下同）用并不严密（甚至错误）的逻辑论证，辅之以斯蒂格勒关于进入壁垒的分析和作者本人投资股票的案例，就如此轻而易举地加以推翻，并最后作出结论：“固定成本的陷阱就是把经济学作为智力游戏，而从未试图透过概念、曲线看世界的陷阱。
”笔者认为，张文的论证过程和结论不仅过于轻率和武断，而且也不正确。
客观地说，现代经济学，尤其是微观经济学，已是一门非常严谨的学科，如果缺乏正规、严格的现代经济学训练，就很难准确把握现代经济学的基本概念。
动辄以“陷阱”、“智力游戏”之类的话语来描述经济学的基本概念，本身就是一种不负责任的态度，更谈不上是科学的态度。
笔者是一个从事现代经济学教学的教师，愿借此机会对成本概念作一初步分析，以厘清张文在成本概念上的诸多谬误。
一、成本的几个基本概念众所周知，成本（cost）、价格（price）、需求（demand）、供给（supply）、效用（utility）、偏好（preference）等都是经济学、尤其是微观经济学中非常要紧的基本概念。
对每一个概念进行全面、准确地阐释，除了牵涉到经济史或经济思想史方面的知识外，还更多地涉及到现代微观经济学中许多十分技术性和专业性的描述。
这既非本文的目的，也非本文的篇幅所能胜任。
这里，我只是对成本概念作初步的技术性阐释。
高级微观经济学第五讲(效用最大化UMP)
第五讲、效用最大化UMP主要内容：(pp1-32) 1、 Introduction:()max .xn u x s tx B X +∈⊆⊆consumption set, feasible set, preference and utility, and behavioral assumption2、 contents:消费者的偏好与预算集，消费者均衡的特征，由效用函数推导需求函数，间接效用函数及其性质。
第一节、budget constraint and feasible set一、定义definitions 1、 商品 goods ，economic goods 和free goods度量：离散还是连续，infinitely divisible, i x +∈ 同质还是差异产品,different goods, 2、商品空间goods spaceconsumption bundle or plan ()12,,...nn x x x +=∈x nonnegative orthant3、消费集consumption set or choice setset of all alternative consumption plans which is conceivable and feasible given the technological and institutional situation.(without consideration of economic realities)消费集内的元素是alternatives 技术和制度上的可能性 assumptions:X ≠∅,使问题有意义出于分析上的方便和需要：X is closed, X is convexpay more attention to feasible set 4、竞争性预算集预算约束刻画消费者所处的经济环境：稀缺性和可替代性 竞争性预算集（1）假设：市场完备性和竞争性（2）{},ny +B =∈≤x x px（3）预算约束线1122p x p x y += （4）预算约束线的斜率及其经济学含义11220p dx p dx +=，trade-off2112dx pdx p =-:斜率取决于商品的相对价格 12p p 的含义是增加一个单位的第一种商品必须放弃掉12pp 个单位的第二种商品，也往往被称为机会成本。
convex 模型的理解
convex 模型的理解
Convex模型是指其函数形式为凸函数的模型，凸函数具有一些特殊的性质，例如局部最小值即为全局最小值、一阶导数单调递增等。
因此，Convex 模型在优化问题中具有广泛的应用，特别是在线性规划、二次规划、凸优化等问题中。
此外，Convex 模型也可以用于概率模型的建立和参数估计，例如最大熵模型、支持向量机等。
对于Convex 模型的解决方法，常用的有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
但需要注意的是，Convex 模型的求解并不一定总是简单和高效的，因为随着模型复杂度的增加，其求解可能变得非常困难。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点和求解效率的要求，选择合适的 Convex 模型及其求解方法。
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separable
function.
• Why does Theorem 5 require that each φi be strictly concave to ensure that f is strictly concave, while Theorem 4 requires only one fi be strictly concave to ensure that f is is strictly concave?
i=1
i=1
This establishes that f is concave. If some fi is strictly concave and αi > 0, then the inequality is strict.
Since a constant function is concave, Theorem 4 implies:
V31.0006 Mathematics for Economists
New York University Department of Economics
C. Wilson September 15, 2011
Concave and Quasi-Concave Functions
A set X ⊂ Rn is convex if x, y ∈ X implies λx + (1 − λ) y ∈ X for all λ ∈ [0, 1] . Geometrically, if x, y ∈ Rn, then {z ∈ Rn : z = λx + (1 − λ) y for λ ∈ [0, 1]} constitutes the straight line connecting x and y. So a convex set is any set that contains the entire line segment between any two vectors in the set.
fi (λx + (1 − λ) y) ≥ λfi(x) + (1 − λ) fi(y)
Therefore,
Xn
Xn
f (λx + (1 − λ) y) ≡
αifi (λx + (1 − λ) y) ≥ αi (λfi(x) + (1 − λ) fi(y))
i=1
i=1
Xn
Xn
= λ αifi(x) + (1 − λ) αifi(y) ≡ λf (x) + (1 − λ) f (y).
1 3
x2
=
2 3
x23
+
1 3
x1
=
1 3
x1
+
1 3
x2
+
1 3
x3
/ caw1/
V31.0006: Concave and Quasi-Concave Functions
September 15, 2011 Page 2
Theorem 1: A set X ⊂ Rn is convex if and only if it contains any convex combination of any vectors x1, ..., xm ∈ X.
f (λz + (1 − λ) x) ≥ λf (z) + (1 − λ) f (x).
f : X → R is strictly concave if for any x, z ∈ X with x 6= z, we have, for all λ ∈ (0, 1) , f (λz + (1 − λ) x) > λf (z) + (1 − λ) f (x).
any α1, ..., αn, least one fj is
for which each strictly concave
and αj > 0, then f is strictly concave.
Proof. Consider any x, y ∈ X and λ ∈ (0, 1) . If each fi is concave, we have
mX−1 λj j=1 1 − λm
=
Pm−1
j=1
λj
1 − λm
=
1 − λm 1 − λm
= 1,
the
induction
hypothesis
implies
that
y
≡
Pm−1
j=1
³´
λj 1−λm
xj
∈
X.
Then
the
definition
of
a
convex
set implies
X m λj xj
Linear Combinations of Concave Functions
Consider a list
f
≡
Pn
i=1
αifi
of is
functions fi : X → R for i = 1, ..., called a linear combination of f1,
n, ...,
and fn.
/ caw1/
V31.0006: Concave and Quasi-Concave Functions
September 15, 2011 Page 4
Tαih≥eo0r,efm≡4P: niS=u1pαpifoiseisfa1l,s.o..,afncoanrceavceonfucnacvteiofnu.ncIft,ioinnsa. ddTihtieonn,foart
• f : X → R is concave if and only if f(λ∆x + x) ≥ λ (f (x + ∆x) − f (x)) + f(x) for all x, (x + ∆x) ∈ X and λ ∈ (0, 1) . Why?
Theorem α1, . . . , αm
∈3:R(+Jewnistehn’Ps Imin=e1qαuia=lity1,)
vector x is x itself. So the basis statement for m = 1 is true. The induction step is to suppose that
ttSrhiuneecpefromorpmo≥si2tvieoacnntdoirsesta.rcuSheoλfcojor≥nms0id−wer1itah>nP y0 cvmjo=enc1vtλoejrxs=,coa1mn,dbwitenhametniaoytnosP ushpmjop=wo1stλehjWaxtjLtoOhfiGsmitmhvpeacltiteλosrmsth<ceon1p.traoTipnhoeesdintiisnoinnXcies.
X m
X m
z = λjxj for some λ1, ..., λm ≥ 0 with λj = 1.
j=1
j=1
In the figure below:
x12 =
1 2
x1
+
1 2
x2,
x13
=
1 2
x1
+
1 2
x3,
x23
=
1 2
x2
+
1 2
x3
x123
=
2 3
x12
+
1 3
x3
=
2 3
x13
+
a If
list of numbers α1, ..., αn. The function each of the weights αi ≥ 0, then f is a
nonnegative linear combination of f1, ..., fn.
The next proposition establishes that any nonnegative linear combination of concave functions is also a concave function.
j=1
=
mX−1 λj xj
j=1
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱλmxm
=
(1
−
mX−1 µ
λm)
1
j=1
¶
λj
xj
− λm
+ λmxm
=
(1
−
λm) y
+
λmxm
∈
X.
The proposition then follows from mathematical induction.
Given any set X ⊂ Rn, the convex hull Co(X) is the intersection of all convex sets that contain X. • Since the intersection of any two convex sets is convex, it follows that the convex hull is the
/ caw1/
V31.0006: Concave and Quasi-Concave Functions
September 15, 2011 Page 3
Concave Functions
For the remainder of these notes, we suppose that X ⊂ Rn is a convex set. f : X → R is concave if for any x, z ∈ X, we have, for all λ ∈ (0, 1) ,