导数的概念及其几何意义-人教A版高中数学选择性必修第二册上课用PPT

∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0

4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：

4
4

Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx

2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx


2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0

从而 y′|x＝2＝2.
= lim
.
→0
→0

巩固练习．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝(
A．0 B．－3x
C．3 D．－3
)
－3x＋Δx－1－－3x－1
解析：k＝li
m
＝－3.
Δx
Δx→0
练习．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，
则 f(5)＋f′(5)＝________.
2
f (1 x) f (1)
则，k0 lim
x 0
(1 x) (1)
(1 x) (1)
lim
x 0
x
2
lim (x 2)
x 0
2
2
抛物线f ( x) x 在点(1,1)处的切线的斜率为 2
2
变式练习
求抛物线f ( x) x 1在点(0,1)处的切线方程.
＝li m
Δx
Δx→0
＝li m (4x0＋2Δx＋4)
Δx→0
求切点坐标可以按以下步骤进行

x
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处可导 ， 并把这个确定的值叫做
y ＝ f (x) 在 x ＝ x0 处的导数 ( 也称为瞬时变化率 ) ， 记作 f (x0 )或 y |xx0. 用极限符号表示这个定义，就是
f
(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
f (x) x2在P0 (1,1)处的切线斜率 割线斜率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率
f (1) lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
实际上，导数可以描述许多运动变化事物
的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的
增长率等.
例1 设 f (x) 1 ，求 f (1).
5，
可以是正值k ，也可f (以1是负值x，)但不f为(10). x 2
t 为了研究函数 y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量 ， 可以是正值，也可以是负值，但不为 0.
x
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
问题1
问题1
问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运
动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
问题1 高台跳水运动员的速度 h(t) 4.9t2 4.8t 11
平均速度
v h(1 t) h(1) 4.9t 5 t
瞬时速度
h(1) lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
问题2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ抛物线的切线斜率

=
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1
的一边无限趋近于1时，割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)
∆
= ∆ + 2
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0， 因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法 求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

例 5 下图是人体血管中药物浓度 c f (t) （单位： mg / mL ）随时间 t（单位：min） 变化的函数图象，根据图象，估计 t 0.2 ，0.4，0.6，0.8 min 时，血管中药物浓度 的瞬时变化率（精确到 0.1）.
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬吋变化率，就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导
从 f (x0 ) 变化到 f (x0 Δx) . 这时，x 的变化量为 Δx ，y 的变化量
为 Δy f (x0 Δx) f (x0 ) .
把比值
Δy Δx
Δy ，即 Δx
f (x0
Δx) Δx
f (x0 )
叫做函数 y
f (x)
从 x0 到
x0 x 的平均变化率.
如果当 Δx 0 时，平均变化率 Δy 无限趋近于一个确定的值， Δx
答案：D 解析：由题意，得 f (5) 5 5 0 ， f (5) 1.故选 D.
2.若函数 f (x) 在 x x0 处存在导数，则 lim f x0 h f x0 的值( )
h0
h
A.与 x0 ，h 都有关
B.与 x0 有关，与 h 无关
C.与 h 有关，与 x0 无关
D.与 x0 ，h 都无关
1.4
，所以
f
(0.8)
1.4
.
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
t
0.2
0.4
0.6
0.
药物浓度的瞬时变化率 f (t)
0.4
0
-0.7
-1
5.导函数的概念
从求函数 y f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到，当 x x0 时， f (x0 ) 是一个
唯一确定的数. 当 x 变化时， y f (x) 就是 x 的函数，称它为 y f (x) 的导函数

()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知，导函数递增，则说明函数切线斜 率随x增大而变大． (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 ， 可 以 排 除 B ， C．再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x) 的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A．
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)曲线y＝f(x)上的每一点都有切线．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0＋__Δ_Δ_xx)_－__f_(x_0_)__＝f′(x0)．
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
【错解】∵Δy＝f(Δx＋0)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx， ∴ΔΔyx＝1－3Δx＋(Δx)2， ∴f′(0)＝ lim [1－3Δx＋(Δx)2]＝1.
Δx→0
故所求切线方程为 y＝x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的 ___斜__率___，物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___．
【预习自测】
如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ()
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
【答案】3227 －31，2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0(x＋Δx)3－(x＋ΔxΔ)2x＋1－(x3－x2＋1) ＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，

x 0

x
பைடு நூலகம்
0

x

0
x
x
1 x
例2
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 h时，原油的温度（单位：℃）为＝（）＝2 − 7 + 15（0 ≤ ≤ 8）.计
算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
一确定的数.这样，当变化时，＝ ′（）就是x的函数，我们称它为＝（）的导函
数（简称导数）.＝（）的导函数有时也记作′，即
f ( x x) f ( x)
f '( x) y ' lim
.
x 0
x
函数（）在＝处的导数 ′（）、导函数 ′（）之间的区别与联系：
这时，在＝0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当＝1时，曲线ℎ（）在＝1处的切线1的斜率ℎ′（1） < 0.
这时，在＝1附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝1附近单调递减.
（3）当＝2时，曲线ℎ（）在＝2处的切线2的斜率ℎ′（2） < 0.
这时，在＝2附近曲线下降，即函数ℎ（）在＝2附近也单调递减.
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
x 0 x
x 0
x

根据导数的几何意义，可知函数y＝f (x)的切线斜率在[a，b]内单调
递增，观察图象，只有A选项符合．
发现规律 导数几何意义理解中的两个关键点
f ′(x0)＞0
关键点一：y＝f (x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔_________;
f ′(x0)＜0
f ′(x0)＝0
k＜0⇔__________；k＝0⇔_________．
[解]
Δ
+Δ 3 +1− 3 −1
＝
Δ
Δ
3 Δ 2 +3 2 Δ+ Δ 3
＝
Δ
＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，
Δ
则 lim ＝3x2，因此y′＝3x2．
Δ→0 Δ
设过点M(1，1)的直线与曲线y＝x3＋1相切于点(0 ，03 ＋1)，根据
导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k＝302 ①，过点M和
如图，割线P0P的斜率k＝_____________．记Δx＝x－x
0，当点P沿着
曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝
f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0
切线P0T
处的导数f ′(x0)就是_________的斜率k
0，即
0 +Δ − 0
1
2
3
4
5
2．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是(
)
A．在点(x0，f (x0))处与y＝f (x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B．过点(x0，f (x0))的切线的斜率
C．点(x0，f (x0))与点(0，0)的连线的斜率

成本增加的速度为 1 050
元/m2.
问题探究
我们知道，导数 ′ 0 表示函数y = 在 = 0 处的瞬时变化率，反映了
函数y = 在 = 0 附近的变化情况，那么导数 ′ 0 的几何意义是什么？
观察思考
观察函数 = 的图像 ，
平均变化率
∆ 0 +∆ −(0 )
(
)
解析： (1)根据导数的几何意义知正确．
(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．
(3)根据导函数的定义知正确．
(4)若 f ′(x0)＝0 说明曲线在 x＝x0 处切线平行于 x 轴，不能说不存在．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
f1＋Δx－f1
2．已知函数 y＝f (x)是可导函数，且 f ′(1)＝2，则lim
人教2019 A版 选择性必修二
第五章 一元函数的导数及其应
5.1.2导数的概念及其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
引言
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬
时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不
(1)函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的导数即为在该点处的斜率，也就是 k＝
f ′(x0)．
(
)
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在 x＝x1 处比在 x＝x2 处瞬时变化率较大．
(
)
(3)f ′(x0)就是导函数 y＝f ′(x)在 x0 处的函数值．
(
)
(4)若 f ′(x0)＝0，则曲线在 x＝x0 处切线不存在．

(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
)
(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
)
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的几何意义与函数图象
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区
间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区
间[a,b]上的大致图象可能是(
)
解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)
(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
y
(+Δ)2 +(+Δ)-2-( 2 +-2)
解:(1)y'= lim =
=2x+1.
Δ
Δ→0 x x→0
因为直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.

Δ
x→0
= lim (4x+2Δx)=4x.
Δ→0
(1)∵切线的倾斜角为45°,
∴切线的斜率为tan 45°=1.
设切点的坐标为(x0,y0),则 y'|= =4x0=1,解得
0
∴该切点的坐标为
1 9
,
4 8
.
1
x0= ,
4
(2)∵切线平行于直线4x-y-2=0,
∴切线的斜率为4.
则切线的斜率 k=2x0.
切线方程为 y-x02 =2x0(x-x0),将点(-1,0)的坐标代入,
得-x02 =2x0(-1-x0),解得 x0=0 或 x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=0,过点(-1,0)的切线方程为y=0;

Δ
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ

Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )

作业设计
课本P70.
习题5.1： 1、2、3、4、5、6、7.
在PPT软件中双击图标ห้องสมุดไป่ตู้开配套教案
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
目 录
01
学习目标
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课程小结
第一部分
学习目标
学习目标
1. 理解函数在0处的瞬时变化率即导数的概念并会求其值.
2.理解导数的几何意义，并会应用之求切线方程.
3.感受新概念的定义、运动变化的数学思想方法，从而
温馨提示：直接利用概念求平均变化率，先求出表达
式，再直接代入数据就可以得出相应的导
数的值.
跟踪练习
解析：当自变量从0变化到0＋Δ时，函数的平均变化
Δ+0 − 0
△
率为 ＝
△
Δ
＝
= 30 2 +30 △ + △
2
0 +△ 3 −0 3
Δ
当0＝1，Δ → 0时,
1
∆
2
1
∆)=1−2
2
1

2
× 22 )
课堂互动
∴物体在时刻t=2处的瞬时速度是1−2 .
课堂互动
3.已知 ＝2－3，则 在 = 0处的切线的方程
(
3 + = 0
解析： ′(0)＝
)
Δ

lim(Δx 3) 3 . Δx0
同理可得 f (6) 5 .
在第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3C / h 与5C / h .
说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3C / h 的速率下降；在第 6 h 附近，
原油温度大约以 5C / h 的速率上升. 一般地， f (x0 )(0 x0 8) 反映了原 油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
x0
3x
3 x0
x
3
10.已知曲线 f (x) 1 x2 x 的一条切线的斜率是 3，则该切点的横坐标为( ) 2
A. 2
B. 1
C.1
D.2
答案：D
解析： y f (x x) f (x) 1 (x x)2 (x x) 1 x2 x x x 1 (x)2 x ，
2
2
2
2
，
x
x
x
m(m x)
f
(m)
lim
x0
2 m(m
x)
2 m2
， 2 m2
1 2
， m2
4 ，解得 m 2 .故选 D.
4.若函数 f (x) x2 在区间x0 , x0 x 上的平均变化率为 k1 ，在区间x0 x, x0 上
的平均变化率为 k2 ，则下列说法中正确的是( )
A. k1 k2
在点 (2, f (2)) 处的切线斜率，且小于曲线 y f (x) 在点 (4, f (4)) 处的切线斜率， 即 f (2) f (4) f (2) f (4) ，所以 2 f (2) f (4) f (2) 2 f (4) .故选 A.
42
6.曲线 y x2 1 在点 (1, 2) 处的切线方程为( )

解得 x0＝－23或 x0＝2， ∴切点的坐标为－23，4297或(2,3)． 当切点为－23，4297时，有4297＝4×－23＋a， 解得 a＝12271； 当切点为(2,3)时，有 3＝4×2＋a， 解得 a＝－5. ∴当 a＝12271时，切点为－23，4297； 当 a＝－5 时，切点为(2,3)．
＝Δlxim→0Δx2Δ－x 3Δx＝Δlxim→0(Δx－3)＝－3.故选 C.
答案：C
3.如图是函数y＝f(x)的图象，则 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数 f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f11－－f－－11＝2－2 1＝12. (2)由函数 f(x)的图象知，f(x)＝x＋2 3，－1≤x≤1，
＝x20＋x0－1. 又由导数的几何意义知 k＝f′(x0)＝Δlxim→0fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝Δlxim→0x0＋Δx3－2x0Δ＋x Δx－x30－2x0 ＝3x20－2， ∴x20＋x0－1＝3x20－2， ∴2x20－x0－1＝0.
∵x0≠1，∴x0＝－12. ∴k＝x20＋x0－1＝－54， ∴切线方程为 y－(－1)＝－54(x－1)， 即 5x＋4y－1＝0，故选 A. 答案：A
x＋1，1<x≤3. 所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f22－－f00＝3－2 32＝34. 答案：(1)12 (2)34
知识点二 导数的几何意义 (一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝_Δlxi_m→_0_f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0_ ＝f′(x0)．