十字相乘法分解因式举例
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(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。
该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。
十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价,寻找可相乘的因子,从而达到分解化学式的目的。
下面将以化合物C6H12O6为例,详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤:
1. 首先,找到化合物中各个原子元素的化合价。
在C6H12O6中,碳的化合价为4,氢的化合价为1,氧的化合价为2。
2. 根据化合物元素的化合价,找到可相乘的因子。
在
C6H12O6中,碳的化合价为4,氢的化合价为1,氧的化合价为2,可以得到因子4、1和2。
3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平,使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。
在C6H12O6中,碳的原子数
量为6,氢的原子数量为12,氧的原子数量为6。
可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。
以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。
通过这种方法,可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式,便于研究和理解。
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法:有些二次三项式,可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积,然后借助画十字交叉线的方法,把二次三项式进行因式分解,这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意:十字相乘法不是适合所有二次三项式,只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用,这个特殊关系我们通过例题来说明:1、首项系数是1的二次三项式的因式分解,我们学习了多项式的乘法,即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来,()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法,用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ,例如,为了分解因式x px q 2++,就需要找到满足下列条件的a 、b ;a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式,首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯,常数项-7分成)1(7-⨯,写成十字相乘,左边两个数的积为二次项,右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯,正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中,当a ≠1时,如何用十字相乘法分解呢?分解思路可归纳为“分两头,凑中间”,例如,分解因式2762x x -+,首先要把二次项系数2分成1×2,常数项6分成()()-⨯-23,写成十字相乘,左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项,交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-,正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数,从而得()()2762232x x x x -+=--。
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项,凑一次项”当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头,凑中间”当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意:用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.例5、分解因式:652++x x分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。
1 2解:652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式:672+-x x解:原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6(-1)+(-6)= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x(二)二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件:(1)21a a a = 1a 1c (2)21c c c = 2a 2c(3)1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果:c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式:101132+-x x分析: 1 -2(-6)+(-5)= -11解:101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式:(1)6752-+x x (2)2732+-x x(3)317102+-x x (4)101162++-y y(三)多字母的二次多项式例3、分解因式:221288b ab a --分析:将b 看成常数,把原多项式看成关于a 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
因式分解之十字相乘法几大类型 一. 基本十字相乘法1、分解因式:2421x x --.2、分解因式:2712x x -+.3、分解因式:21118x x ++.4、分解因式:2421a a --+.5、分解因式:2522+-x x .6、分解因式:2321a a --.7、分解因式:23145b b +-.8、分解因式: 2592a a -+.二. 两个字母的十字相乘法.9、分解因式:xy y x 2514422-+.10、分解因式:22152y ay a --. 11、分解因式:2210116y xy x ++-. 12、分解因式:()()220x y x y +++-. 13、分解因式:2278a x ax +-. 14、分解因式:222256x y x y x -+. 15、分解因式:3)()(22-+++n m n m . 16、 分解因式:3)()(22----b a b a . . 三. 双十字相乘法17、分解因式:233222+++-+y x y xy x . 18、分解因式:2023265622-++--y x y xy x . 19、 分解因式:y x y xy x 422322++++.作业1. 分解因式:20122-+-x x .2. 分解因式:276x x -+.3. 分解因式:2328b b --.4. 分解因式:3522--x x5. 分解因式:2257x x +-.6. 分解因式:61362+-x x7. 分解因式:226420x y xy ++-8. 分解因式:2232x xy y -+9. 分解因式:3168)2(42++--y x y x .10. 分解因式:)122()1)(1(22+++++y y x x y y .11. 分解因式:)()()(b a ab a c ca c b bc +--++.12. k 为何值时,k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积?13. 分解因式:1)1()2+-+ab b a (. 14. 已知a 、b 、c 为三角形的三条边,且027334222=+--++b bc ab c ac a ,求证:c a b +=2.。
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项,凑一次项”当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头,凑中间”当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意:用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.例5、分解因式:652++x x分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。
1 2解:652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式:672+-x x解:原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6(-1)+(-6)= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x(二)二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件:(1)21a a a = 1a 1c(2)21c c c = 2a 2c(3)1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果:c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式:101132+-x x分析: 1 -2(-6)+(-5)= -11解:101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式:(1)6752-+x x (2)2732+-x x(3)317102+-x x (4)101162++-y y(三)多字母的二次多项式例3、分解因式:221288b ab a --分析:将b 看成常数,把原多项式看成关于a 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法【知识要点】1. 十字相乘法主要用于二次三项式。
2.十字相乘法:(1)二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中,如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积,并且b a +等于一次项系数中p ,那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22(2)二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中,如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积,把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积,并且1221c a c a +等于一次项系数b ,那么它就可以分解成:()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
【典型例题】例1 分解因式(1)232++x x (2)232+-x x(3)22-+x x (4)22--x x例2 分解因式(1)4822--x x (2)2762-+x x(3)202-+x x (4)2142-+x x例3 分解因式(1)3522-+x x (2)12522--x x(3)35122-+x x (4)35922--x x例4 分解因式(1)222y xy x -- (2)2242y xy x -+(3)2232y xy x -+ (4)22158y xy x ++例5 分解因式(1)222y xy x -- (2)2254y xy x --(3)226y xy x -+ (4)226417y xy x -+(5)22352y xy x -- (6)122252x xy y --【大展身手】(1)232++x x(2)232+-x x(3)22-+x x(4)22--x x(5)672++x x (6)672+-x x(7)762-+x x(8)762--x x (9)4822--x x(10)2762-+x x (11)202-+x x (12)2142-+x x(13)3522-+x x(14)12522--x x(15)35122-+x x(16)35922--x x (17)12632-+x x (18)1522482-+x x(19)2142312-+x x (20)623352-+x x(21)2222()5()6()x y x y x y +--+-【小试锋芒】一、填空题(每空2分,共20分)1、把6x2y-8xy2 分解因式时应该提取公因式是_______________.2、3ay-3by=_______________.3、a2-14a+49=_________________.4、n2-m2=____________ a2+4ab+4b2=_______________5、分解因式x2(a+b) -y2(a+b)=__________________6、利用因式分解计算:36×3.14+47×3.14+17×3.14=_________________.7、若4x2+kxy+9y2是一个完全平方式,则k的值是______________.8、如果方程x(ax+2)=0的两根是x1=0,x2=4,那么a=______________.9、若x2y+M=xy(N+2y),则M=______________N=______________.二、选择题(每题3分,共30分)1、下列从左向右的变形是属于因式分解的是()A、9-a2=(3+a)(3-a)B、a2-2ax+2x2=(a-x)2+x2C、(2x+1)(x+2)=2x2-3x-2D、(y-2)(y-1)=(2-y)(1-y)2、下列提取公因式分解因式中,正确的是()A、2x2-4xy=x(2x-4y)B、a3+2a2+a=a(a2+2a)C、-2a-2b=2(a+b)D、-a2+a=-a(a-1)3、下列二项式中,能用平方差公式分解因式的是()A、x2+4y2B、-4y2+x2C、-x2-4y2D、x-4y24、下列各式中,不能用完全平方式分解因式的是()A、x2-2xy-y2B、x2-2xy+y2C、x2+y2+2xyD、-x2+2xy-y25、下列因式分解正确的是()A、6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(6+x);B、x3+2x2+x=x(x2+2x)C、a(a-b)2+ab(a-b)=a(a-b);D、3x n+1+6x n=3x n(x+2)6、计算(2ab2-8a2b)÷(4a-b)的结果为()A、-2abB、2abC、3a2bD、-3ab7、分解因式6a(a-b)2-8(a-b)3时,应提取公因式是()8、a2-9b2因式分解是()A、(a+3b)2B、(a-3b)2C、(a-3b)(a+3b)D、(3b-a)(3b+a)9、x2+8x+16因式分解是()A、(x+8)2B、(x+4)2C、(x-8)2D、(x-4)210、如果a2+16与一个单项式的和是一个完全平方式,这个单项式是()A、4aB、±8aC、±4aD、±8a或-16三、解答题1、分解因式:(每题4分,共32分)(1)16a2-9b2 (2)4x2-12x+9(3)4x3+8x2+4x (4)3m(a-b)3-18n(b-a)3(5)20a3x-45ay2x (6)4x2y2-4xy+1(7)(m+n)2-(m-n)2 (8)(x2+1)2-4x22、计算:(a4-16)÷(a-2) ( 本题4分)3、解方程:(每题4分,共8分)(1)x2-5x=0 (2)(3x-2)2=(1-5x)24、如果在一个半径为a的圆内,挖去一个半径为b(b<a)的圆,(本题6分)(1)写出剩余部分面积的代数表达式,并因式分解它。
十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法:(1).2()x p q x pq +++型的因式分解这种式子在许多问题中常常显现,其特点是:(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和. 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此,2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把以下各式因式分解: (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式一、22215a b ab -- 二、422318a b a b --例2把以下各式因式分解:⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式一、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把以下各式因式分解:⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+-变式一、2()9()14x y x y +-++ 二、2()5()4x y x y ++++3、2()6()16x y x y +++-4、2()7()30x y x y +++-例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+(2).一样二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大伙儿明白,2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++.反过来,就取得:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把以下各式因式分解: (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习:1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。
十字相乘法分解因式举例
十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能用于二次三项式的分解因式(不一定是整数范围内)。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说,这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积,并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会,它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。
基本式子:x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
运算举例
a²+a-42
首先,我们看看第一个数,是a²,代表是两个a相乘得到的,则推断出(a + ?)×(a -?),然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ,(-42)是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成-21×2 或者21×(-2)。
首先,21和2无论正负,通过任意加减后都不可能是1,只可能是7或者6,所以排除后者。
然后,再确定是-7×6还是7×(-6)。
﹣7﹢6=﹣1,7﹣6=1,因为一次项系数为1,所以确定是7×﹣6。
所以a²+a-42就被分解成为(a+7)×(a-6),这就是通俗的十字分解法分解因式。
分解因式
例1、因式分解。
x²-x-56
分析:因为7x + (-8x) =-x
解:原式=(x+7)(x-8)
例2、因式分解。
x²-10x+16
分析:因为-2x+(-8x)=-10x
解:原式=(x-2)(x-8)
例3、因式分解。
6y²+19y+15
分析:该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字分解法进行因式分解。
因为
9y + 10y=19y
解:原式=(2y+3)(3y+5)
例4、因式分解。
14x²+3x-27
分析:因为
21x + (-18x)=3x
解:原式=(2x+3)(7x-9)
例5、因式分解。
10(x+2)²-29(x+2)+10
分析:该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解。
因为
-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)
解:原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例6、因式分解。
分析:该题可以先将()看作一个整体进行十字分解法分解,接着再套用一次十字相乘。
因为
-2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +(-4a)=-a
解:原式=[-2][ -12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
十字相乘法例题解析
十字相乘法例1
把2x²-7x+3分解因式.
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同!):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。
解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地,对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:a1 c1
╳
a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字分解法.
十字相乘法例2
把5x²+6xy-8y²分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y²看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式。
十字相乘法例3
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解。
问:以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字分解法分解因式了。
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:将元x、y换成(x+y),以(x+y)为元,这就是“换元法”。