高等数学微分方程试题汇编

高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。

2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。

3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。

4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。

5、 y y x 4='得通解为__________。

6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。

7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。

8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。

二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。

第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是. 1-2-41、微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是. 1-3-42、微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是.1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是. 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是.1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 .1-14-53、微分方程x ey xsin ''2-=的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是 1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、方程x yxy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比,则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为.1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程y x2dx dy=的通解是 ( )A.2x y =B. 25x y =C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. xx e C e C y 321+= C. x x e C e C y 321-+= D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( )A.x C y sin =B.x C y cos =C.x C x y cos sin +=D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、xe y -=''的通解为=y ( ) A.x e -- B. xe - C. 21C x C e x ++- D.21C x C e x ++-- 2-13-68、微分方程x e 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x e y B. 3221-=-x e y C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y = 2-18-73、设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2'B .x xy y sin '=+C .x yy =' D .xy y -=2' 2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. xx x Ce y -=ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B. 02)3(2=++xydy dx y e xC. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-29-84、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x+=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、y xe y e x dx dy +-=-3-6-57、0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos =, 4|0π==x y3-11-62、0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y3-14-65、x y x y xy tan'=-3-15-66、x y x y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、x x y y sec tan '=-, 0|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x 3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y3-44-95、04'3''=--y y y , 0|0==x y , 5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y , 15|'0==x y 3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y 3-49-100、04'4''=+-y y y , 0|0==x y , 1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+ 3-51-102、x e y y xcos ''+=+ 3-52-103、xe x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --= 3-54-105、123'2''+=--x y y y3-55-106、''sin20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y 3-56-107、52'3''=+-y y y , 1|0==x y , 2|'0==x y 3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、x xe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程.4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势t E E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元),假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势t E E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律t E dt di LRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将0|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kv mg dt dv m-=,从而得线性方程gv m k dt dv =+, 0|0==t v ∴⎰--+=+⎰⎰=t mkdt dt Ce g k mC dt ge e v kmmk][, 将0|0==t v 代入通解得g k m C -= ∴)1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得gk m C 221-=∴)1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489.如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程, 解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y 490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|L L x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为t e y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(p p =, 其中0p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(p p =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为 c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp , )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则 α 与 β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ） A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-= B 2222()()0x xy dx y x y dy ---= C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-= D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设 λ 为实常数，方程 220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+ 4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ） A cos xaxe x B cos sin xxaxe x bxe x + C 22cos sin xxax e x bx e x + D 2cos xax e x 5、已知 0()xxy e y t dt =+⎰，则函数 ()y x 的表达式为（ D ）A xy xe C =+ B xy xe = C xxy xe Ce =+ D (1)xy x e =+ 二、填空题（每小题4分，共20分）1、 方程212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、 方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、 以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、 已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x xy e e shx -=-= 5、 方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为 21xμ= 三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解 解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解 解：方程改写为 2231xy y x'-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++⎰3、（8分）求微分方程 21(1)()02yy xe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2yy P x y xe Q x y x e y =+=+有y P Qxe y x∂∂==∂∂ ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++⎰⎰故 原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dPy Pdy''=，原方程化为 232212,2dP dP yPP y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y+= 则 ln 2ln 1[]yy z ey e dy C -=+⎰， 即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '==得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或3212dy y dx =± 由初始条件应取3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得214x C =-+，再由初始条件(0)1y =得 21C =，所以原方程的特解为114x =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30yy ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为 123,40,r r r ===方程的通解为 1234y C C x C C =+++ 6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r +=特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+因 0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为 *2012()y x b x b x b =++ 代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为*2122(21)3xy Y y C C e x x x -=+=++-+7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-= 是全微分方程。

大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。

掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。

以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。

题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

求解该微分方程。

解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。

首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。

将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。

题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。

求解该微分方程。

解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。

首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。

对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。

经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。

题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。

1 常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(x y g dx dy =的方程4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ=,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈(R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使______________________ ,则称则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答：2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i=是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=1 9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．区间．答：开答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）轴的上半平面）13．方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是的所有常数解是 ．答：Λ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．上不恒等于零．答：充分答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy )(d d ϕ=的任一非零解的任一非零解 与x 轴相交．轴相交．答：不能答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上平面上 与x 轴相切．轴相切．答：不能答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们则它们 共同零点．零点．答：没有答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是的常数解是 ． 答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要答：必要22．方程22dd y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：答： xoy 平面平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间（区间（ D ）． （A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定）将因解而定3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ DD D ））． （A ）上半平面）上半平面 （（B ）xoy 平面平面（C ）下半平面）下半平面 （（D ）除y 轴外的全平面轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）． （A ）不是其对应齐次微分方程组的解）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（共有（B ）个解．）个解． （A ）一）一 （B ）无数）无数 （C ）两）两 （D ）三）三 6. 6. 方程方程2dd +-=y x x y （ B B ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有三个）有三个 （（B ）无）无 （（C ）有一个）有一个 （（D ） 有两个有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A A A ）线性空间．）线性空间．）线性空间．（A ）n 维 （（B ）1+n 维 （（C ）1-n 维 （（D ）2+n 维8．方程323d d y x y =过点（过点（ A A A ））． （（A ）有无数个解）有无数个解 （（B ）只有三个解）只有三个解 （（C ）只有解0=y （（D ）只有两个解）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（满足李普希兹条件的（ B B B ）条件．）条件．）条件．（A ）充分）充分 （（B ）充分必要）充分必要 （（C ）必要）必要 （（D ）必要非充分）必要非充分1010．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C C C ））． （（A ）构成一个2维线性空间维线性空间 （（B ）构成一个3维线性空间维线性空间（C ）不能构成一个线性空间）不能构成一个线性空间 （（D ）构成一个无限维线性空间）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（的奇解是（ D ）． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y1212．若．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（通解可用这两个解表示为（ C C C ））． （（A ）)()(21x x ϕϕ- （（B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （（D ）)()(21x x C ϕϕ+1313．．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（初值解唯一的（ D D D ）条件．）条件．）条件． （A ）必要）必要 （（B ）必要非充分）必要非充分 （（C ）充分必要）充分必要 （（D ）充分）充分14.14. 方程方程1dd+=y x y （ C C ）奇解．）奇解．）奇解． （A ）有一个）有一个 （（B ）有两个）有两个 （（C ）无）无 （（D ）有无数个）有无数个1515．方程．方程323d d y x y =过点过点(0, 0)(0, 0)(0, 0)有（有（有（ A A ）． (A) (A) 无数个解无数个解无数个解 (B) (B) 只有一个解只有一个解只有一个解 (C) (C) (C) 只有两个解只有两个解只有两个解 (D) (D) 只有三个解只有三个解只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以所以 cy y x +=23 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解的第三次近似解 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间的解的存在区间 解：dx ydy =2 两边积分两边积分 c x y+=-1 所以所以 方程的通解为方程的通解为 cx y +-=1 故 过1)1(=y 的解为的解为 21--=x y 通过点通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到，但向右只能延拓到 ２，２， 所以解的存在区间为所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解的奇解 解: 利用p 判别曲线得判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以所以 1±=y 是方程的奇解是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=xN ∂∂ , 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++=)('2y xy y u ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为故原方程的解为 c y y x x =++ln sin6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为它的一个特解为x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx0732=--yd xy d dx 所以所以 c y xy x =--732, 另外另外 0=y 也是方程的解也是方程的解 8．21d d xxy x y += 解 当0≠y 时，分离变量得时，分离变量得 x x xy yd 1d 2+=等式两端积分得等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为即通解为 21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为原方程的通解为x C y 3e-=+x2e 51 10. 5d d xy y xy += 解 方程两端同乘以5-y ，得，得x yx y y+=--45d d 令 z y =-4，则x z x y yd d d d 45=--，代入上式，得，代入上式，得 x z x z =--dd 41 通解为通解为41e4+-=-x C z x 原方程通解为原方程通解为41e 44+-=--x C yx11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-323112． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得时，分离变量取不定积分，得 C x y y y +=⎰⎰d ln d 通积分为通积分为 x C ye ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y 于是于是 12d d C x x y y =+积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．x y x y x y+-=2)(1d d解：令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得分离变量，取不定积分，得 C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ） 通积分为：通积分为： Cx x yln arcsin =15． x y x y xy tan d d += 解 令u x y =，则x u x u x y dd d d +=，代入原方程，得，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得时，分离变量，再积分，得C xx u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为：即通积分为： Cx xy =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为原方程的通解为Cx y =+x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解 积分因子为积分因子为 21)(xx =μ 原方程的通积分为原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C x y x +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为解：原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分积分得通积分21221C x C y += 19．1)ln (='-'y x y解 令p y ='，则原方程的参数形式为，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1 由基本关系式由基本关系式y x y '=d d ，有，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p )d 11(-=积分得积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 1 20．022=+'+''x y y y解 原方程可化为原方程可化为0)(2='+'x y y于是于是 12d d C x xyy =+ 积分得通积分为积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x解：由于x N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 四、计算题1．求方程xy y e 21=-''的通解．的通解． 解 对应的齐次方程的特征方程为：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为：特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为：故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 xAx x y e )(1=代入原方程，有代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出可解出 41=A ． 故原方程的通解为故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ． 解 方程组的特征方程为方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t tt t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。

《微分方程》考试大题（以下知识点都很重要）（上次发的考试复习上有几处错误或考题有变化（下面已更改）：P1的①、P5的5、P6中PMECME 模式的M: C = O w-C ］要作相应的修改（见下面%5 + 740相应的题目）） （考试会有多选题）①方法的相容阶、收敛阶、绝对稳定性、零稳定性及它们的相互关系'单步方法：相容阶=收敛阶初值至少P 阶收敛计算得到'多步方法:、方法是P 阶相容的> 卩阶收敛的多步方法满足根条件「5级4阶⑤ ode45, R-K-F 方法构造原理• ~ ~ （见十张讲义中的第5面）16级5阶（可能以填空题形式出现）ode45的主要思想是R-K-F 方法构造原理 ------------ 以5级4阶方法 作预估，以6级5阶方法进行校正。

⑥ Richardson 外推法（提髙阶的方法）（见十张讲义屮的第5面）Richardson 外推法用来提高精度阶大题：1. 构造方法（见复印的复习资料）求出以下方法的各个系数Adams 外插：Adams 内插：Gear 方法:三步方法：三步Adams 夕卜插“，心丄其中Mr 啗/=()/=07=0 JZQ A _; = /Z /W 其中 C U =/=0(-l/Ooi（k=2）; 三步Gear方法（k=3）;二步方法：二步 Adams 外插(k=l); 二步 Gear 方法(k=2);(下而的叙述多以二步四阶Milne 方法为例进行说明)2. 误差常数(P27表中误差常数和一些特殊方法误差常数的推导过程，不过一般方程表达式 会给出)3. 相容阶14 1二步四阶方法(Milne 方法)：“,,+2 = + /z(3 又+2 + ■又+1 +-/J 1 4 1其中，a o =-i ，汉i =o,汉2=1，A )=-，為=了，=q +1 = 0, c*| — 6^ + 2—(Ao+A + 爲)=0从而知二步四阶方法(Milne 方法)的误差为L\u(t)Ji\ = -+o(h 6) = <?(/?) = o(h 4+1)则该方法是4阶相容的。

微分方程例题选解3 1. 求解微分方程 x ln xdy ( y ln x)dx 0 , y |x e。

2解：原方程化为dy1 y1dx，xln xx1 dx 1 e 1dxy eC ] 通解为x ln x[ xln xdxx1 [ ln xdx C ]1 [ 1ln 2 x C ]ln xxln x 2由 xe ， y3 ，得 C1 ，所求特解为y11ln x 。

2ln x 22. 求解微分方程 x 2 y ' xy y20 。

解：令 y ux ， y uxu ，原方程化为 uxuu u 2 ，分离变量得du 1dx ，1 u 2x积分得ln x C，ux原方程的通解为y。

ln x C3. 求解微分方程 ( x 3 xy 2 ) dx ( x 2 y y 3 )dy 。

解：此题为全微分方程。

下面利用“凑微分”的方法求解。

原方程化为 x 3dx xy 2 dx x 2 ydy y 3 dy 由x 3 dx xy 2 dx x 2 ydy y 3dy 1dx41( y 2 dx 2x 2 dy 2 )421d (x 4 2x 2 y 2 y 4 ) ，4 得d (x 4 2x 2 y 2y 4 ) 0 ，原方程的通解为x 42 x 2 y 2 y 4 C 。

注：此题也为齐次方程。

0 ，1 dy 444. 求解微分方程 y '' 1 ( y ') 2 。

解：设 py ，则 y dp，原方程化为 dp1 p2 ，dp dxdx分离变量得dx ，积分得 arctan px C 1 ，1 p2于是 yp tan(x C 1 ) ， 积分得通解为yln cos(x C 1 ) C 2 。

5. 求解微分方程 解：特征方程为通解为 y e x (C 1y '' 2y ' 2 y 0 。

r 2 2r 2 0 ，特征根为 r1 i ，cos C 2 sin x) 。

第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。

第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。

二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。

第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念、判断题 1.y=ce 2x(c 的任意常数 )是 y =2x 的特解。

2. y=( y ) 3是二阶微分方程。

3. 微分方程的通解包含了所有特解。

4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。

5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

二、填空题 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

A)( y )+x 2 y+x 2=0 (B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y 2=sinx2 2 2x 3x 1．y Cx 2 C 2(其中 C 为任意常数) 2.y C 1e 2x C 2e 3x (其中 C 1 ,C 2为任意常数)五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。

用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。

12-2 可分离变量的微分方程 一、求下列微分方程的通解1. 2. 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2x中满足y x=0=0, y x=0=1 的曲线是三、选择题 1．下列方程是常微分方程A )、x 2+y 2=a 2 (B) 、 y+ d(earctanx) 0 (C)dx2 a2+ 2a2 22=0 (D)、 y =x 2+y 2y2.下列方程中是二阶微分方程3.微分方程 ddx 2y+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数A ) y=ccoswx(B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx2 则微分方程 y =3y3 的一个特解是 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 34. C 是任意常数，(A )y-=(x+2) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。

第七章 测试题一、选择题（单项选择）：(40分)1、微分方程21()01y y y′′′+=−的通解是（ ）。

（A ）12x y C e C =+；(B) x y e C =+； (C) 121C x y C e =+；（D ）12x y C e C x =+。

2、微分方程(4)(,,,)0f x y y y ′′′′′=，用变换（ ）可降为二阶微分方程。

（A ）y x =； (B) (4)p y =； (C) p y ′′′=； （D ）p y ′′=。

3、下列方程中 为线性微分方程 （A ）2()y xy x ′′+= (B)y x y y =−′2 (C) x e y xy x y =+′−′′222 (D)y xy y y cos 3=−′−′′ 4、已知函数y 1=21x x e +，y 2=21x x e −，y 3=e (x-2)1x 则 （A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关（C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关5、若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ′′+P(x)y ′+Q(x)y=0两个特解，c 1,c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解（C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解6、下列函数中哪组是线性无关的（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 27、以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是（A ）0=−′′y y (B)0=+′′y y (C)0=′+′′y y (D)0=′−′′y y8、微分方程20=−′+′′y y y 的通解是（A ）x x ec e c y 221−−=（B ）221xx e c e c y −=−（C ）221xx e c e c y −−= (D)x x e c e c y 221+=−9、常微分方程0)(2121=+′++′′y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件0x y ==00=′=x y 特解是 （A ）y=0 (B)y=x x e c ec 2121λλ+ (C)221x y λλ= （D ）221)(x y λλ+=10、x e y 2=是微分方程06=+′+′′y y p y 的一个特解，则此方程的通解是（A ）x x e c e c y 3221−+= （B ）x e xc c y 221)(+=（C ）x x e c e c y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x +=11、x x e c e c y −+=21是微分方程 的通解（A ）0=+′′y y （B ）0=−′′y y （C ）0=′+′′y y （D ）0=′−′′y y12、微分方程，*2y y x y ′′′−=的特解形式为 (A)ax (B)ax+b (C)ax 2 (D)bx ax +213、微分方程2,(0)xx y y e e λλλλ−′′−=−>的特解形式是（A ）()x x a e e λλ−+（B ）()x x ax e e λλ−+（C ）()x x x ae be λλ−+ (D) 2()x x x ae be λλ−+14、微分方程*1x y y e y ′′−=+的特解形式为（A ）b ae x + （B ）b axe x + （C ）bx ae x + （D ）bx axe x +15、微分方程x xey y 2'2=−′′的特解y *形式为 （A ）x e b ax x 2)(+ （B ）x e b ax 2)(+ （C ）x xe 2 （D ）xe c bx ax 22)(++ 16、微分方程x y y 2cos 4=+′′的特解y *形式为（A ）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x17、微分方程x x y y 2sin =−′′的特解形式为y*=（A ）（ax+b ）sin 2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x（C ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f18、微分方程x e y y y x5sin 54+=−′−′′−的特解形式为（A ）x b ae x 5sin +− (B)x c x b ae x 5sin 5cos ++−（C ）x b axe x 5sin +− （D ）x c x b axe x 5sin 5cos ++−19、设一动点以等加速度a 作直线运动，且其初速度为v 0,初始位移为s 0，则此质点规律是（A ）s=v 0+s 0; (B)00221s t v at s ++=(C);020s t v s += (D)002s t v at s ++= 20、函数f(x)满足关系式=+∫=)(,21)2()(20x f n dt t f x f x 则 （A ）1n2·e x ; （B ）1n2·e 2x ; （C ）e x +ln2; （D ） e 2x +ln2.二、填空题(8分)1.微分方程02=−′+′′y y y 的通解y=2.以221==λλ为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是3.以x e x e e x x x cos ,sin ,为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是4.微分方程==−′y y y 通解32三、(7分)求微分方程cos x y y ex −′+=满足初始条件0x y ==0的解。

微分方程部分：1．求微分方程x dy y e dx -+=的通解． 解：()()()dx dx x x x y e e e dx C e dx C e x C ----⎰⎰=+=+=+⎰⎰． 2．求微分方程011x y dx dy y x-=++满足条件(0)1y =的特解． 解：将微分方程分离变量，得：(1)(1)x x dx y y dy +=+ 两边积分得2323(1)(1)2323x x dx y y dy x x y y C +=++=++⎰⎰ 所以332211()()32x y x y C -+-= 代入(0)1y =得56C =-， 原方程特解为：33222()3()5y x y x -+-=．3．求解微分方程'31xy y x -=+． 解：将原方程整理得'211y y x x x-=+ 为一阶线性齐次微分方程，此时211(),()p x q x x x x =-=+，代入公式，得： 11(()2ln 2ln ln 222()1(())1[()]1[()]1()212dx dx x dx dx xx x x x y e e e dx C e x e dx C xe x e dx C x e x dx C xx x C x x Cx ------⎰⎰=+⎰⎰=++=++=++=-++=-+⎰⎰⎰⎰．4．求微分方程221(1)dy y dx y x +=-的通解． 解：对原方程进行分离变量，得2211ydy dx y x ∞=+-，两边积分得2211ydy dx y x =+-⎰⎰ 即有2111x y C x -+=+（C 为任意常数）． 5．求微分方程y xdy e dx dx --=满足初始条件1|0x y ==的特解． 解：将原方程分离变量，得1y y e dy dx e x=+ 两边积分，得1y y e dy dx e x=+⎰⎰，有ln(1)ln ln x e x C +=+ 即1x e Cx +=，代入初始条件1|0x y ==，得2C =，于是，所求得特解为ln(21)y x =-．6.微分方程'210y y x x--=的通解． 解：将原方程写为'21y y x x -= 1123[][]2dx dx x x y e x e dx C x xdx C x Cx -⎰⎰=+=+=+⎰⎰．7．求微分方程(ln ln )dy xy y x dx=-的通解． 解：将方程变形为ln dy y y dx x x= 可见方程为一个齐次方程。