高等数学 常微分方程
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高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程(甲)内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程:dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广(数学一)1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程(数学三)(乙)典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y),使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解:y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解:此题不是一阶线性方程,但把x看作未知函数,y看作自变量,所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解,求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解:将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x),g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex(1)求F(x)所满足的一阶微分方程(2)求出F(x)的表达式解:(1)由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x (2)F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入,可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解:令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念,包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程:可分离变量方程公式,dy/dx = f(x)g(y),可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式,dy/dx = f(x)/g(y),可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式,dy/dx + P(x)y = Q(x),可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程:齐次线性方程公式,d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0,可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式,d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x),可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式,x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0,可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程:常系数线性齐次方程公式,andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0,可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式,andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x),可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式,d²y/dx² + py' + qy = 0,可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式:指数函数变换,对于形如y = e^(kx)的方程,可通过变量代换进行求解。
对数函数变换,对于形如y = ln(x)的方程,可通过变量代换进行求解。
三角函数变换,对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程,可通过变量代换进行求解。
常用公式,如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
常微分方程在高数学科中的重要作用与应用常微分方程(Ordinary Differential Equations,ODE)是一类数学方程,描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
在高等数学中,常微分方程是一个重要的数学分支,具有广泛的应用领域。
在高数学科中,常微分方程的重要作用体现在以下几个方面:1. 物理学中的应用常微分方程广泛应用于物理学领域,以描述自然界中的各种动力学过程。
例如,牛顿第二定律可以用常微分方程来描述,通过求解运动方程,我们可以精确地预测物体在各种条件下的运动。
另外,光学、热力学、电动力学等领域也利用常微分方程建立物理模型,从而推导出系统的行为规律。
2. 生物学中的应用常微分方程在生物学领域中有着广泛的应用。
生物学家可以利用常微分方程来描述生物体内各种生命周期的变化和生物群体的动态行为。
例如,人口动态模型、免疫系统模型等都可以通过常微分方程加以描述,进而理解生物系统中的行为和相互作用。
3. 工程学中的应用工程学中的很多问题可以通过常微分方程进行建模和求解。
例如,电路中的电流和电压变化可以通过常微分方程来描述,并进而分析电路中的稳定性和响应特性。
此外,工程学中的动力学问题、机械振动问题和控制系统的建模等也离不开常微分方程的应用。
4. 经济学中的应用常微分方程在经济学中也有重要的应用。
例如,经济增长模型、消费行为模型等都可以通过常微分方程来建立。
这些模型可以揭示经济体制中的供求关系、市场波动以及经济增长的趋势,为经济政策的制定提供重要依据。
除了以上几个领域,常微分方程还可以在人口学、地理学、环境科学等学科中找到广泛的应用。
例如,人口增长模型可以通过常微分方程描述,地球温度变化模型也可以用常微分方程建立。
在实际应用中,常微分方程的求解往往是比较困难的,需要借助数值方法或近似方法来求解。
数值解法如欧拉法、龙格-库塔法等可以在计算机上进行求解,而近似解法如级数解、变量分离法等则可以对一些特殊的常微分方程进行求解。
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程:线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后求取方程的解。
方程的定义:含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同,我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义:含有未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式;如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如,22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如:2354()0y x y x '+-=,2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如:222sin 0d y dyyx dx dx-+=,2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出,在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中,()n y 必须出现,而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 .指出下列方程中哪些是微分方程,并说明它们的阶数:122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程,称为解微分方程例如,函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
高等数学中的常微分方程是数学分析的重要内容之一,广泛应用于物理、化学、工程等领域。
常微分方程主要研究未知函数的导数与自变量之间的函数关系,通过数学方法求解常微分方程可以得到问题的解析解或数值解,为实际问题提供了有力的数学工具。
常微分方程是我们研究实际问题中最常见的数学模型之一。
在物理学中,常微分方程被广泛应用于描述运动、波动、电磁场等自然现象。
例如牛顿第二定律、电磁场方程等都可以转化为常微分方程来求解。
在化学工程中,反应动力学方程也常常可以用常微分方程来表示。
常微分方程的应用还延伸到控制论、生态学、经济学等多个学科领域。
常微分方程的求解需要借助于数学方法和技巧。
我们通过分类讨论,将常微分方程分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程由未知函数的导数与自变量以及未知函数本身构成,例如线性方程、可分离变量方程、恰当方程等。
高阶常微分方程是指导数的阶数超过一阶的方程,例如二阶、三阶等。
高阶常微分方程的求解往往需要借助于特殊函数、级数展开等高等数学方法。
求解常微分方程的过程可以通过积分或变量变换等方法来完成。
积分方法是最常用的方法之一。
对于一阶常微分方程,可以通过变量分离、恰当方程转化为简单的积分问题。
对于高阶常微分方程,通常可以通过等效变量、代换等方法将其化简为一阶方程,然后再应用一阶常微分方程的解法。
此外,还可以利用特殊函数(如贝塞尔函数、超几何函数等)进行求解。
对于一些特殊的常微分方程,也可以利用级数展开等数学方法进行求解。
常微分方程不仅在理论研究中有重要应用,也在实际问题的数值计算中起到至关重要的作用。
实际问题往往涉及到大量数据和复杂的变量关系,直接求解常微分方程往往很困难。
这时可以通过数值逼近的方法来求解常微分方程,获得近似解。
常用的数值求解方法有欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
这些数值方法通过迭代的方式逼近解,并将方程离散化为有限个点的计算问题,从而得到方程的数值解。
总而言之,高等数学中的常微分方程是一门重要而广泛应用的学科,对于解决实际问题具有重要作用。
高等数学中的常微分方程及其应用随着科学技术的发展,数学的应用范围也越来越广泛。
其中,微积分作为现代数学的核心和基石,发挥着至关重要的作用。
微积分包括微分学和积分学两大部分,其中微分学是研究变化率和斜率等问题的数学分支。
而常微分方程就是微分学中最基础的理论之一,它既是数学基础理论的重要组成部分,也是实际问题求解的重要工具。
一、常微分方程常微分方程是研究变化的数学模型,是微分学的重要组成部分。
在数学中,对于一个未知函数y=f(x),如果该函数的导数y’只是关于x的函数,则称该函数是一个一阶常微分方程。
一阶常微分方程可以表示为dy/dx=f(x),其中f(x)是已知的函数。
相应地,二阶、三阶、n阶常微分方程可以表示为:d²y/dx²=f(x,y,dy/dx)d³y/dx³=f(x,y,dy/dx,d²y/dx²)dn/dx=f(x,y,dy/dx,...,y(n-1))其中,y、y’、y’’,..., y(n-1)都是未知函数。
常微分方程广泛应用于各个领域,如物理、化学、生物学、经济学等。
例如,牛顿第二定律F=ma就是一个二阶变量加速度的常微分方程,其中a是速度的导数。
又如,放射性衰变的实验数据可以用一阶常微分方程来描述,物体受到的空气阻力也可以用一阶常微分方程来表示。
二、常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程dy/dx=f(x),我们可以通过求解初值问题来确定未知函数y的具体形式。
常微分方程的初值问题是指,给定常微分方程的初始状态y(x0)=y0,求出相应的解y(x)。
这个初始状态就相当于一个起点,解y(x)就是连接这个起点和各个点的曲线路径。
因此,常微分方程的初值问题可以形式表示为:dy/dx=f(x), y(x0)=y0为了解决常微分方程的初值问题,可以使用解析解、数值解等方法。
解析解是指通过使用数学公式求出未知函数y在每一个时间点的具体值的解法,这种方法只适用于具有简单形式的常微分方程。
微分方程是数学中重要的一门课程,它是研究函数的变化规律的一种工具。
微分方程的求解方法在数学和应用领域有着广泛的应用。
在高等数学中,我们研究的微分方程主要分为常微分方程和偏微分方程两类。
本文将主要介绍常微分方程的求解方法。
常微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
它的一般形式为:$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$. 其中,y是未知函数,x是自变量,y'表示y对x的导数,y'' 表示二阶导数,以此类推,$y^{(n)}$表示n阶导数。
对于常微分方程的求解,通常有几种常用的方法:1.分离变量法分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一。
这个方法的关键是将微分方程化简为两个变量的方程,然后再对两边同时积分。
例如,对于一阶可分离变量的微分方程 $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$,可以将其化简为$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$,接下来对两边同时积分即可得到解。
分离变量法适用于一大类的常微分方程,但需要注意要对所得到的解进行验证,以确保解真实可行。
2.齐次方程法对于一阶线性微分方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$,齐次方程法是一种很有效的求解方法。
首先,我们先考虑方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y =0$$,这个方程称为齐次方程。
然后,我们再求出齐次方程的通解,即$y_h(x)$。
接下来,我们将方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ 分为两个部分,即 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y_h(x) = 0$$ 和 $$\frac{dy}{dx} +P(x)(y - y_h(x)) = 0$$。
其中,$y_h(x)$是齐次方程的通解,$y -y_h(x)$是方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)(y - y_h(x)) = 0$$ 的解。
第7章 微分方程一、本章提要1. 基本概念微分方程,常微分方程(未知函数为一元函数),偏微分方程(未知函数为多元函数),微分方程的阶数(填空题).齐次方程 :()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=(计算) 一阶线性微分方程:()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.(计算或者填空) 线性相关,线性无关(选择) 可降解(不显含x 或y )的(计算)齐次常系数线性微分方程:特征根法(填空)非齐次常系数线性微分方程:特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理(选择或填空). 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗?对本章的学习应特别注意些什么?解析 常微分方程没有通用的求解方法.每一种方法一般只适用于某类方程.在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法.因此,学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型.当然,有时一个方程可能有几种求解方法,在求解时,要选取最简单的那种方法以提高求解效率.要特别注意:并不是每一个微分方程都能求出其解析解,大多数方程只能求其数值解.例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解.解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=,特征根1r =-,所以e xy C -=(C 为任意常数)为所求通解.解二 因为0=+'y y ,所以)0(d d ≠-=y y xy ,分离变量x y y d d -=,两边积分⎰⎰-=x yy d d ,1ln ln y x C =-+, 所以exy C -= (C 为任意常数)三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解.解一 令'=y p ,则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=.将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =,分离变量 y y p p d 4d =, 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ,22111422p y C =⋅+, 2224p y C =+,因为001,2x x yp y =='===,所以222241C =⨯+,可得C 2=0.故224p y =,即 p y =±2.这里'=-y y 2 应舍去,因为此时'y 与y 异号,不能够满足初始条件.将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +.再由y x ==01,得30C =,于是所求解为2e xy =.上面解法中,由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值,使得后续步骤变得简单,这种技巧经常用到.解二 因为''=y y 4,所以40y y ''-=,特征方程 240r -=, 特征根 122,2r r =-=, 于是其通解为2212e e x x y C C -=+, 由初始条件可得C 1=0 ,C 2=1 ,所求特解为 2e x y =.例4 求方程''+=y y x sin 的通解.解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程,其对应的齐次方程为 ''+=y y 0, 特征方程为 210r +=, 特征根12i,=i r r =-,齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+,由于方程0sin e sin y y x x ''+==,i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根,故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+,代入原方程,可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-,于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s .上述解法一般表述为:若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+,那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+,其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,.如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根,则设0k =;如果i αβ±是特征方程的单根,则取1k =. 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。