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可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。
由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。
特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。
一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，且使得性质P 在E1上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
2、可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，f是E上的实值函数。
假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上的Lebesgue可测函数（简称f是E上的可测函数）。
3、几乎处处有限的可测函数：设E⊂ℝ是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集E1，m(E∖E1)=0，f在E1上有限，假如对于任意实数CE(f>C)={x∈E:f(x)>C}都是可测集，则称f是E上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设D⊂ℝ，f是定义于D的函数，x∈D，假如lim y→x,y∈D f(y)=f(x)则称f沿D在x连续；假如f沿D内任意一点都连续，则称f沿D连续。
5、预备定理、引理定理2.2设 f 是一个紧集， { f n}n≥1是一列沿 F连续的函数。
若{ f n}在 F上一致收敛于 f，则 f 也沿 F 连续。
定理2.3（Egoroff ） 设 f 和 f n (n ≥1) 都是测度有限的集 D 上的几乎处处有限的可测函数。
若 f n 在 D 上几乎处处收敛于 f ，则对任何 ε>0，有D 的闭子集 F ，使 m ( D − F )<ε，并且 f n 在 F 上一致收敛于 f 。
引理2.1 设 F 是 R 中的闭集，函数 f 沿 F 连续，则 f 可以开拓成 R 上的连续函数 f ∗，并且sup x∈R | f ∗(x )|=sup x∈R| f (x )|。
§3.3 n R 上的可测函数与连续函数教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将证明重要的Lusin 定理, 它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近. 这个结果在有些情况下是很有用的.本节要点 一方面, L 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外, 作为准备定理的Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果.在§1.4我们已经给出了在nR 的任意子集上E 连续函数的定义. 这里先看两个例子. 例1 考虑1R 上的Dirichlet 函数=.1)(为无理数若为有理数若x x x D显然)(x D 在1R 上处处不连续. 若用Q 表示有理数的全体,则将)(x D 限制在Q 上所得到的函数Q D 在Q 上恒等于1. 故Q D 是Q 上的连续函数.(注意D 与Q D 是两个不同的函数). 这个例子表明若缩小了函数的定义域,不连续函数可能变成连续函数.例2 设k F F ,,1 是nR 上的k 个互不相交的闭集, ∪ki iFF 1==. 则简单函数∑==ki F i x I a x f i 1)()(是F 上的连续函数.证明 设,0F x ∈ 则存在0i 使得.00i F x ∈ 由于k F F ,,1 互不相交, 故∪0i i iFx ≠∉.由于∪0i i iF ≠是闭集, 因此.0),(00>=≠∪i i i F x d δ对任意,0>ε 当F x ∈并且δ<),(0x x d 时, 必有.0i F x ∈ 于是0)()(0=−x f x f .ε<因此)(x f 在0x 连续. 所以)(x f 在F 上连续(图3—1). ■图3—1定理1 设E 是nR 中的Lebesgue 可测集. f 是E 上的连续函数连续. 则f 是E 上Lebesgue 可测函数.证明 设∈a ,1R 记}.)(:{}{a x f E x a f E <∈=<我们证明, 存在nR 中的开集G , 使得.}{G E a f E ∩=< (1)事实上, 对任意},{a f E x <∈ 由于a x f <)(并且f 在x 连续, 故存在x 的邻域),(x x U δ,使得当),(x x U y δ∈并且E y ∈时, 成立.)(a y f < 即}.{),(a f E x U E x <⊂∩δ (2)令,),(}{∪a f E x xx U G <∈=δ则G 是开集. (2)式表明}.{a f E G E <⊂∩另一方面, 包含关系G E a f E ∩⊂<}{是显然的. 因此(1)式成立. (1)式表明对任意∈a ,1R }{a f E <是Lebesgue 可测集. 因此f 是E 上Lebesgue 可测函数. ■定理2 (Lusin 鲁津)设E 是nR 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在E 的闭子集,δE 使得f 是δE 上的连续函数(即δE f 在δE 上连续), 并且.)(δδ<−E E m证明 分两步证明. (1) 先设f 是简单函数, 即,1∑==ki E i i I a f 其中k E E ,,1 是互不相交的L 可测集, .1∪ki i E E ==由§2.3定理6, 对任意给定的,0>δ 对每个,,,1k i = 存在XY 1F 0xδ+0x δ−0x 2F 3F 1a 2a 3ai E 的闭子集,i F 使得.,,1,)(k i kF E m i i =<−δ令,1∪ki i F E ==δ 则δE 是E 的闭子集, 并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑==ki i i k i i i F E m F E m E E m ∪由于∑==ki F i E i I a f1,δ由例2知f 是δE 上的连续函数.(2) 一般情形. 设f 是E 上的L 可测函数.不妨设f 是处处有限的.若令).1(,1ggf ff g −=+=则g 是有界可测函数, 并且f 连续当且仅当g 连续. 故不妨设f 有界. 由§3.1推论10, 存在简单函数列}{k f 在E 上一致收敛于f . 对任给的,0>δ 由已证的情形(1), 对每个k f 存在E 的闭子集kF , 使得k f 在k F 上连续,并且.2)(kk F E m δ<− 令,1∩∞==k k F E δ 则δE 是E 的闭子集,并且.)())(()(11δδ<−≤−=−∑∞=∞=k k k k F E m F E m E E m ∪由于每个k f 都在δE 上连续并且}{k f 在δE 上一致收敛于f , 因此f 在δE 上连续. ■例3 仍考虑例1中的Dirichlet 函数).(x D 设},,{21 r r Q =是有理数集. 对任意,0>δ 令.2,2(1111∪∞=++−−−=i i i i i r r R E δδδ则δE 是闭集, 并且.2)2,2()2,2()(11111111δδδδδδδ==−−≤−−=−∑∑∞=++∞=∞=++i ii i i i i i i i i i r r m r r m E R m ∪由于δE 中不含有理数, 因此)(x D 在δE 恒为零. 所以)(x D 在δE 上连续.下面我们将给出鲁津定理另一种形式. 为此, 先作一些准备.引理3 若⊂B A ,n R 是两个闭集并且,∅=∩B A ∈b a ,,1R .b a <则存在nR 上的一个连续函数f , 使得,a fA= b fB=并且∈≤≤x b x f a ,)(n R .证明 容易证明, 若A 是闭集, 则),(A x d 作为x 的函数在nR 上连续, 并且0),(=A x d 当且仅当A x ∈(见第一章习题第34题). 因此, 若令.),(),(),(),()(A x d B x d A x bd B x ad x f ++=容易验证f 满足所要求的性质.■定理4 (Tietze 扩张定理)设F 是nR 中的闭子集, f 是定义在F 上的连续函数. 则存在n R 上的连续函数,g 使得,f gF= 并且.)(sup )(sup x f x g Fx R x n∈∈=证明 先设.sup +∞<=∈M f Fx 令},3{M f M A −≤≤−=}.3{M f MB ≤≤= 则B A ,是两个闭集并且.∅=∩B A 由引理3, 存在nR 上的连续函数,1g 使得,31Mg A−= .31Mg B=并且 ∈≤x Mx g ,3)(1.n R .,32)()(1F x M x g x f ∈≤−对函数1g f −应用引理3, 注意此时g f −的上界是.32M 因此存在nR 上的一个连续函数2g , 使得∈⋅≤x M x g ,3231)(2.n R.,323232)()(221F x M M g x g x f ∈=⋅≤−−这样一直作下去, 得到nR 上的一列连续函数},{k g 使得∈⋅≤−x M x g k k ,3231)(1,n R ,,2,1 =k (4),,32)()(1F x M x g x f kki i ∈≤−∑= ,2,1=k . (5)由(4)知道级数∑∞=1)(k kx g在n R 上一致收敛. 记其和为),(x g 则)(x g 是n R 上的连续函数.而(5)表明在F 上).()(x f x g = 并且,323)()(111M Mx g x g k k k k =≤≤∑∑∞=−∞= ∈x .n R因此当f 有界时, 定理的结论成立.若)(x f 无界, 令),(tg )(1x f x −=ϕ 则≤)(x ϕ.2π由上面所证, 存在n R 上的连续函数,ψ 使得.ϕψ=F令)(tg )(x x g ψ=. 则g 是n R 上的连续函数并且.f gF=■定理5 (Lusin 鲁津) 设E 是n R 上的Lebesgue 可测集, f 是E 上a.e.有限的Lebesgue 可测函数. 则对任意,0>δ 存在n R 上的连续函数g ,使得.)})()(:({δ<≠∈x g x f E x m并且.)(sup )(sup x f x g Ex R x n∈∈≤证明 由定理2, 对任意,0>δ 存在E 的闭子集F , 使得f 在F 上连续并且.)(δ<−F E m 由定理4, 存在n R 上的连续函数,g 使得当F x ∈时, ).()(x f x g =并且.)(sup )(sup )(sup x f x f x g Ex Fx R x n∈∈∈≤=由于.)}()(:{F E x g x f E x −⊂≠∈ 因此.)()})()(:({δ<−≤≠∈F E m x g x f E x m ■思考题: 在直线上的情形, 用直线上开集的构造定理给出定理5的另一证明.小 结 本节考察了欧氏空间上的可测函数和连续函数关系.本节的主要结果是Lusin 定理(有两个等价形式). Lusin 定理表明, Lebesgue 可测函数可以用连续函数在某种意义下逼近. 由于连续函数的具有较好的性质, 比较容易处理, 因此这个结果在有些情况下是很有用的. 本节还证明了Tietze 扩张定理, 它也是一个很有用的结果. 习 题 习题三, 第29题—第31题.。
可测函数与连续函数【摘要】本文从是什么，为什么，怎么样三个角度出发，首先介绍了一些相关的基本概念，之后叙述了将可测函数与连续函数联系起来的必要性和实际方法。
【关键词】可测函数连续函数几乎处处逼近1.是什么——什么是可测函数第三章主要围绕可测函数展开，那么本文首先对可测函数进行一个简单的概述，同时对之后证明是需要用到的一些定义和引理进行描述。
1.1基本定义可测函数：设f ( x)是定义在可测集E< Rn 的实函数. 如果对于任何有限实数a, E [ f > a ]都是可测集,则称f ( x)为定义在E上的可测函数连续函数：设f ( x)是定义在集U ( x) ∩E< E [ f > a ] E上的有限函数,如果对Pε > 0, v 5 > 0,使得P x∈∪( x0 ; 5) ,有| f ( x) - f ( x0 ) | <ε,那么称函数f ( x)在点x0 处连续. 如果f ( x)在E中每一点都连续,则称f ( x)在E上连续.几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
几乎处处有限的可测函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。
1.2基本定理定理3.3.1 设是一个紧集，是一列沿连续的函数。
若在上一致收敛于，则也沿连续。
定理3.3.2（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。
若在上几乎处处收敛于，则对任何，有的闭子集，使，并且在上一致收敛于。
引理3.3.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。
引理3.3.2设是可测集上的简单函数。
则对任何，有沿连续的函数使。
2.为什么——为什么把可测函数与连续函数联系起来数学分析中，我们关注的是函数的分析性质：连续性，可微性，可积性。
但是一旦我们发现一个函数不连续，就认为这个函数性质不好，不再关心他。
可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。
由于连续函数不是本章所学的容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。
特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。
一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P 在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
2、可测函数：设是Lebesgue可测集，是上的实值函数。
假如对于任意实数都是可测集，则称是上的Lebesgue可测函数（简称是上的可测函数）。
3、几乎处处有限的可测函数：设是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集，，在上有限，假如对于任意实数都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿任意一点都连续，则称沿连续。
5、预备定理、引理定理2.2设是一个紧集，是一列沿连续的函数。
若在上一致收敛于，则也沿连续。
定理2.3（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。
若在上几乎处处收敛于，则对任何并且在上一致收敛于。
引理2.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。
引理2.2设是可测集上的简单函数。
则对任何有沿连续的函数使。
二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。
证明:对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。
因此，令，则：反之，显然有，因此：从而：但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。
但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。
欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章euclid空间上的点集拓扑16．1euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的使用20．1偏导数在几何上的使用20．2方向导数和梯度20．3taylor公式20．4极值20．5logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3green 公式23．4green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3gauss公式24．4stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3b函数和函数第二十六章lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3lebesgue积分26．4（l）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7fubini定理练习及习题解答? 序言复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
空间函数知识点归纳总结一、空间函数的概念空间函数是指定义在空间上的一种特殊的函数，它将空间中的点映射到实数域上。
通常情况下，空间函数可以用一个或多个自变量来表示，这些自变量可以是空间中的位置坐标，也可以是其他与空间相关的参数。
常见的空间函数包括三维坐标系中的函数、曲面函数、空间曲线函数等。
二、空间函数的表示形式空间函数可以用一般的函数记号f(x, y, z)来表示，也可以用矢量记号来表示。
在矢量记号中，空间函数通常表示为r(x, y, z) = <f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)>，其中f(x, y, z)、g(x, y, z)、h(x, y, z)分别代表函数关于x、y、z的分量。
三、空间函数的性质1. 定义域：空间函数的定义域通常是指空间中所有可能取到的自变量的取值范围。
2. 值域：空间函数的值域通常是指函数可能取到的所有实数的集合。
3. 奇偶性：空间函数的奇偶性可以根据函数关于各自变量的对称性来进行判断。
4. 连续性：通过极限的定义可以判断空间函数的连续性。
5. 导数和偏导数：空间函数的导数和偏导数可用来描述函数在各个方向上的变化情况。
四、空间函数的图像和性质空间函数的图像通常是一个曲面或空间曲线，可以通过图像来了解函数在空间中的变化情况。
通过图像可以直观地描述函数的陡峭程度、平滑程度、凹凸性等性质。
五、空间函数的应用1. 物理学：空间函数在物理学中有广泛的应用，如描述物体在空间中的运动、力的分布等。
2. 工程学：空间函数在工程学中用来描述建筑、水利、地质等领域中的各种空间问题。
3. 计算机图形学：空间函数在计算机图形学中用来描述各种三维图形的形状和表面特征。
六、常见空间函数1. 三维坐标系中的函数：如z = f(x, y)、z = f(x, y)、z = f(x, y)。
2. 曲面函数：如z = f(x, y)、z = f(x, y)、z = f(x, y)。
可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。
由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。
【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。
特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。
一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P 在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。
2、可测函数：设是Lebesgue可测集，是上的实值函数。
假如对于任意实数都是可测集，则称是上的Lebesgue可测函数（简称是上的可测函数）。
3、几乎处处有限的可测函数：设是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集，，在上有限，假如对于任意实数都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。
5、预备定理、引理定理2.2设是一个紧集，是一列沿连续的函数。
若在上一致收敛于，则也沿连续。
定理2.3（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。
若在上几乎处处收敛于，则对任何并且在上一致收敛于。
引理2.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且=。
引理2.2设是可测集上的简单函数。
则对任何有沿连续的函数使。
二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。
证明: 对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。
因此，令，则：反之，显然有，因此：从而：但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。
但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。
可测函数和连续函数是非常重要的数学概念，它们之间存在着一些关联。
首先，可测函数是一种特殊的函数，仅定义在闭集上。
它们有着特殊
的性质，比如，它们可以与许多分支的函数组成一个完整的函数图象，同时可以被定义为可测函数。
这种特殊的性质允许可测函数可以对许
多种函数求积，比如函数的非抛出积分，曲面积分或合成数分析；它
们还可以应用于一些特定的解决方案，如定性单值解，简单论来求解
数学问题。
另一方面，连续函数则是一种常见的函数，可以被定义在任何设定的
实函数域上，比如定义在整个实数域上的函数；它们可以在任何点处
可微分，并且具有可微分性。
它们也有一些其他的性质，比如它们在
其他点处具有双连续性，即使一个函数在一个点上不可微分，它也可
以在另一点处得到微分的结果。
从数学上讲，连续函数和可测函数之间的关系很特殊，即连续函数都
是可测函数，但并非所有的可测函数都是连续函数；一般而言，可测
函数具有更大的函数类别，而连续函数则是其中一类可测函数。
总之，可测函数和连续函数之间有着一种相关关系，而这种关系的研
究可能会是未来数学应用的一个重要方面，它将为我们提供解决各种
科学和技术问题的工具。
