两圆相减后所得的直线方程的几何意义演示教学

两圆方程相减的几何意义稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊两圆方程相减这个有趣的话题，你知道它有啥几何意义不？想象一下，两个圆摆在那里，它们都有自己独特的方程。

当我们把这两个方程相减的时候，就好像打开了一个神奇的数学魔法盒。

其实呀，两圆方程相减得到的方程，代表的是一条直线哦！这条直线和这两个圆有着很特别的关系。

比如说，如果两个圆相交，那相减得到的直线就通过这两个交点。

就好像这条直线是两个圆相遇时留下的“足迹”，是不是很有意思？要是两个圆相切，那这条直线就和切点以及两个圆心在同一条线上。

就像是一条隐形的纽带，把这些关键的点都连在了一起。

而且哦，如果两个圆相离，相减得到的直线也和这两个圆有着神秘的联系。

虽然它们没有直接接触，但这条直线像是在默默传递着它们之间的某种信息。

怎么样，是不是觉得数学里也有这么多好玩的东西？稿子二：嗨喽！今天咱们来深入探讨一下两圆方程相减的几何意义，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？当我们面对两个圆的方程，然后大胆地把它们相减，这可不是简单的数学操作，背后藏着好多有趣的秘密呢！假设这两个圆是两个可爱的小伙伴，它们各自有着自己的位置和特点。

那相减之后得到的直线，就像是它们之间的“友谊线”。

如果这两个圆大小差不多，位置也比较接近，相减得到的直线可能就像是它们互相靠近时的“通道”。

要是一个圆大，一个圆小，那这条直线也许就是它们在比较大小和位置时产生的“裁判线”，能告诉我们很多关于它们之间关系的信息。

有时候，这条直线还能帮助我们判断两个圆是亲密相交，还是保持一定距离的相离。

呢，两圆方程相减得到的直线，就像是数学世界里的一个神奇密码，只要我们用心去解读，就能发现两个圆之间那些隐藏的故事和联系。

是不是超级有趣呀？。

两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减得：①
当即两圆不同心时，上述方程代表一条直线，记作
将①两边除以2得到：
②
由②可知是的一个法向量，所以，也就是说：
性质，非同心两圆方程相减所得直线必定是连心线的垂线。

另外，注意到对于等圆（），连心线中点满足②，也就是说：
结论甲：非同心等圆方程相减，所得直线为连心线中垂线。

把①变形为
即，即
即③
这里是上的点。

由③我们可以看到，上的点必然同在两圆之外或两圆之内，也就是说如果两圆内含，则必然与两圆相离。

当在两圆之外时，③告诉我们到两圆的切线长相等。

下面我们结合③和性质1来讨论外离内含两种情况下，的位置。

结论乙：非同心外离（内含）两圆方程相减，所得直线垂直连心线且直线上的点到两圆切线长相等。

(等切线)
下面结合图形说明结论乙。

如图，只要确定了连心线上的等切点，就可以画出
根据③，及，可以解得的值，然后即有的位置，从而有。

内含的情况与外离类似，前面已经解释过必定与两圆相离，且必定在连心线靠近小圆圆心一侧（证明从略），具体的坐标计算方法与外离情况一样。

结论丙：非同心相交两圆方程相减，所得直线包
含公共弦。

结论丁：非同心相切(内切外切)两圆方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。

结论丙可以用两点确定一条直线来说明，结论丁可以用切点在直线上以及前文性质来说明，较简单，从略。

1 方程 x2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0111222相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙ O 1 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 和⊙ O 2 ：111x 2 + y 2 + D x + E 2 y + F 2 = 0 的 方 程 相 减 所 得 到 的 直 线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线 l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5 种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的 5 种位置关系进行研究。

一．两圆相交设 P (x , y )、 P 2 (x 2 , y 2 )是两圆的交点， 则有 x 2 + y 2 + D x+ E y + F = 0 和111111 11 11x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 成 立 ， 即P (x , y )、 P (x , y) 满 足 方 程221 21 21111222(x 2 + y 2 + D x + E y + F ) - (x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0222111即(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 。

所以直线 l 表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切， 同时与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两外切圆的过同一切 点的公切线。

两圆方程相减与圆的根轴直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减即可，当然前提是x2和y2系数要一样。

并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0两式相减得：L：(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。

那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。

我们当然是不能停留在“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时候的直线L与两圆又有什么关系？我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。

当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处的。

我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O1与圆O2联立出的方程的解的个数是一样的，而O1与O2只有一个解，故L与O1也只有一个交点。

如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。

当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线的关系，可以发现他们斜率之间的关系：L： (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0O1点坐标=(-D1/2，-E1/2);O2点坐标=(-D2/2,-E2/2),简单计算便知，L与O1O2垂直；O1O2的中点坐标为P=(-(D1+D2)/4,-(E1+E2)/4)，结合D12+E12-4F1=D22+E22-4F2(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。

方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++两圆相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和 ⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的5种位置关系进行研究。

一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。

所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。

当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。

直线与圆的方程的应用直线与圆的方程是高中数学中的基础知识点，它们在几何图形的研究中起到重要作用。

本文将介绍直线和圆的方程的基本概念，并以实际应用为例，展示它们在解决实际问题中的应用。

直线的方程在平面几何中，直线可以用不同的方程表示，常见的有一般式、点斜式和斜截式方程。

•一般式方程：一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。

•点斜式方程：点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。

•斜截式方程：斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线在y轴上的截距。

直线的方程可以通过给定的条件进行推导和转换。

通过直线的方程，我们可以确定直线在平面上的位置、斜度和与其他几何图形的关系等。

圆的方程圆是一个由一组离一个固定点的距离相等的点所组成的集合。

在平面几何中，圆的方程有多种表示方式。

•一般式方程：一般式方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径。

•标准方程：标准方程表示为(x - a)² + (y - b)² = R²，其中(a, b)表示圆心的坐标，R表示圆的半径。

•参数方程：参数方程表示为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径，θ为参数。

圆的方程描述了圆心坐标、半径和点与圆的关系等信息。

通过圆的方程，我们可以确定圆的位置、形状和与其他几何图形的关系等。

直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题是直线和圆的方程应用的一个重要部分。

在解决直线与圆的相交问题时，我们需要先将直线的方程和圆的方程联立，求解它们的交点。

当直线与圆相交时，交点可以有两个、一个或没有。

我们可以通过解方程组来求解直线与圆的交点坐标，进而得到它们之间的关系。

两圆方程作差所得直线与两圆的位置关系圆的一般方程是022=++++F Ey Dx y x )04(22>-+F E D ，对于两个圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。

设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 。

现在的我想探讨的问题是：所得直线l 与已知两圆1C 、2C 的位置关系如何？一、几个重要定理定理一：直线l 与过两圆心的直线垂直，且垂足到两圆心距离的平方差等于相应两圆半径的平方差。

先证明直线l 与过两圆心的直线垂直。

圆1C 的圆心坐标是2,2(11E D --，圆2C 的圆心坐标是2,2(22E D --，得过两圆心的直线的斜率是2121D D E E --，而直线l 的斜率是2121E E D D ---，故直线l 与过两圆心的直线垂直。

下面证明垂足到两圆心距离的平方差等于相应两圆半径的平方差。

为了便于证明，这里两圆的方程设为标准方程。

设圆2121211)()(:r b y a x C =-+-，圆2222222)()(:r b y a x C =-+-。

两圆方程相减消去二次项后得直线l 的方程为：0)()()()(2)(22122212221221212=-+-----+-r r b b a a y b b x a a 过两圆心的直线方程为：121121a a a x b b b y --=--第2页共2页即0)()()()(1121121212=---+---a b b b a a y a a x b b 设这两直线的交点为P ，即垂足P 满足⎩⎨⎧=---+---=-+-----+-0)()()()(0)()()()(2)(211211212122122212221221212a b b b a a y a a x b b r r b b a a y b b x a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+----+=-+----+=])()[(2))((2])()[(2))((22122122122122121221221221221b b a a r r b b b b y b b a a r r a a a a x 故垂足P 的坐标为])()[(2))((2,])()[(2))((2(2122122122122121221221221221b b a a r r b b b b b b a a r r a a a a P -+----+-+----+又),(111b a C ，),(222b a C ，所以])()[(4)(24])()[(||212212221222122221221221b b a a r r r r b b a a PC -+--+---+-=])()[(4)(24])()[(||212212221222122221221222b b a a r r r r b b a a PC -+--+-+-+-=所以21222122||||r r PC PC -=-故垂足到两圆心距离的平方差等于相应两圆半径的平方差。

两圆方程相减后所得方程的几何意义两圆方程相减后所得方程的几何意义
作为数学中的重要概念，圆的概念和方程一直是人们最多的研究内容。

在初等
数学中，学习到的圆的数学模型就是圆的标准方程。

根据圆的特性，圆的标准方程为： $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 其中，x0和y0是圆心的坐标，r是圆的半径。

因此，圆的方程与半径和圆心有关，可以用来描述圆的几何形状。

如果相减两个圆的方程，也就是方程的差，它的几何意义就是两个圆之间的距离。

例如，$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2$$
$$(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2$$
相减，即可得到两圆之间的距离：
$$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2$$
因此，从数学上讲，相减两个圆方程，即可得到两圆之间的距离，这就是相减
两个圆方程后所得方程的几何意义。

相减两个圆方程所得方程的几何意义不仅可以应用于两个圆之间的距离的计算，而且可以运用于其他圆形的几何形状的描述。

例如，圆的外接矩形也是一种圆形几何形状，可以根据相减两个圆方程的结果，求出其外接矩形的四个顶点的坐标。

总而言之，相减两个圆方程后所得方程的几何意义既可以应用于圆心之间的距
离的计算，也可以应用于圆形几何形状的描述。

它在几何上是一种简单而有效的方法，为我们提供了一种方便的解决方案
相减两个圆方程后所得方程的几何意义是可以用来求得两个圆之间的距离。

由
此可以求得他们之间所形成的圆形几何形状，如圆的外接矩形等形状，从而可以求得所有形状的参数，让我们能够用最简单的数学模型解决复杂的几何问题。

方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的5种位置关系进行研究。

一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。

所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。

当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。

两圆方程相减后所得直线与两圆的位置关系作者：岳彩平来源：《商情》2013年第06期在高中数学必修2的学习中知道，如果两圆相交，把两圆的方程相减所得到的直线表示两圆公共弦所在直线方程。

有的同学就提出：如果两圆不相交，两圆方程相减照样可以得到一条直线，这条直线的几何意义是什么？与两圆的位置关系又如何呢？因而我就两圆的5种位置关系进行讨论直线的几何意义和直线与两圆的位置关系。

两圆方程直线两圆连心线两圆相交一、直线与两圆连心线垂直二、两圆相交时，直线的几何意义就是公共弦所在直线三、两圆相切（内切或外切）时，直线的几何意义就是两圆的过同一切点的公切线四、两圆相离或内含时，直线的几何意义是到相离两圆的切线长相等的点的轨迹五、结论1、直线与两圆连心线垂直。

2、两圆相交时，直线的几何意义就是公共弦所在直线。

3、两圆相切（内切或外切）时，直线的几何意义就是两圆的过同一切点的公切线。

4、两圆相离或内含时，直线的几何意义是到相离两圆的切线长相等的点的轨迹。

六、用上述结论解题研究了上述问题后，对于解析几何上的某些问题特别是有关直线与圆的问题有很大的指导意义。

下面以几道解析几何题来说明。

说明：第（1）题中，两圆的公共弦所在直线就是过两圆交点的直线。

一般的方法是：先由两圆的方程求出它们的交点坐标，然后由两点式求出过两圆交点的直线方程。

但是，这里两圆相交，如果根据推论一，可易得所求直线方程为2x+6y-3=0。

第（2）题中，首先可由两圆的方程求出它们的切点坐标，然后由两圆的圆心坐标确定切线的斜率，由点斜式可求出过两圆切点的公切线方程。

但是，这里两圆外切，如果根据推论二，可易得所求直线方程为3x-4y-3=0。

第（3）题中，可设出所求直线方程的斜截式y=kx+b，先由所求直线与两圆心连线垂直确定斜率k，再由点P引两圆的切线长相等进而确定b的值。

但是，这里两圆外离，如果根据推论三，易得所求直线方程为11x-6y+3=0。

参考文献：[1]中等数学.2004，（01）.[2]数学通报.2006，（11）.[3]数学通讯.2005，（8）.[4]圆周的幂与根轴.。