非同心的两圆方程相减的几何意义

1 方程 x2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0111222相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙ O 1 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 和⊙ O 2 ：111x 2 + y 2 + D x + E 2 y + F 2 = 0 的 方 程 相 减 所 得 到 的 直 线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线 l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5 种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的 5 种位置关系进行研究。

一．两圆相交设 P (x , y )、 P 2 (x 2 , y 2 )是两圆的交点， 则有 x 2 + y 2 + D x+ E y + F = 0 和111111 11 11x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 成 立 ， 即P (x , y )、 P (x , y) 满 足 方 程221 21 21111222(x 2 + y 2 + D x + E y + F ) - (x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0222111即(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 。

所以直线 l 表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切， 同时与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两外切圆的过同一切 点的公切线。

两圆方程相减与圆的根轴直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减即可，当然前提是x2和y2系数要一样。

并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0两式相减得：L：(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。

那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。

我们当然是不能停留在“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时候的直线L与两圆又有什么关系？我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。

当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处的。

我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O1与圆O2联立出的方程的解的个数是一样的，而O1与O2只有一个解，故L与O1也只有一个交点。

如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。

当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线的关系，可以发现他们斜率之间的关系：L： (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0O1点坐标=(-D1/2，-E1/2);O2点坐标=(-D2/2,-E2/2),简单计算便知，L与O1O2垂直；O1O2的中点坐标为P=(-(D1+D2)/4,-(E1+E2)/4)，结合D12+E12-4F1=D22+E22-4F2(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。

方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++两圆相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和 ⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的5种位置关系进行研究。

一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。

所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。

当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。

圆与圆的位置关系的判断方法李吉文一、圆与圆的位置关系的判断方法有两种，一种是~d r 法，另一种是判别式法D .以下详解这两种方法. 1、~d r 法根据两圆心距与两圆径的大小关系来判断： ①外离Ûd R r >+； ②外切Ûd R r =+；③相交ÛR r d R r -<<+； ④内切Ûd R r =-； ⑤内含Ûd R r <-.其中，R 是大圆的半径，r 是小圆的半径，如果是等圆，那么两圆就没有内含这种位置关系了.2、判别式法D已知22111:0C x y D x E y F ++++=1⊙，半径为r 和222222:0C x y D x E y F ++++=⊙，半径为R ，且R r >判断两圆的位置关系：两圆的方程相减，得 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 将（1）式代入其中一个圆的方程中，消去x 或y ，可得一个关于y 或x 一元二次方程，记为20ay by c ++=或20ax bx c ++=，其中0a >①0D >?两圆有两个公共点（相交）；②0D =?两圆有一个公共点（内切或外切）； ③0D <?两圆无公共点（内含或外离）；以上②③中，如何区分内切和外切，内含和外离呢？请看以下数学思想方法： 将问题转化为小圆的圆心与大圆的位置关系（亦即点圆位置关系）来判断！如果圆心1C 在圆2C 的外面，即d R >，那么两圆外切或外离；如果圆心1C 在圆2C 的内部，即d R <，那么两圆内切或内含.二、两圆方程作差的意义两圆作差后得到的方程：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 其意义为①当两圆相交时，方程（1）是相交弦所在的直线方程； ②当两圆相切时，方程（1）是过切点的公切线的方程； ③当两圆没有公共点时，方程（1）没有特别的含义.三、应用举例例题1 已知22:2440C x y x y ++--=1⊙和222:1090C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程.【解析】方法一：~d r 法圆心1(1,2)C -，半径3r =，圆心2(5,0)C ，半径4R =，则1,7R r R r -=+= 两圆圆心距为(1,7)d =所以，两圆相交，将两圆的方程相减可得 124130x y --= 即为相交弦的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 124130x y --= 即 1334y x =-（2） 将（2）式代入222:1090C x y x +-+=⊙得 21604723130x x -+=24724160313224640D =-创=>所以，两圆相交，相交弦所在直线的方程是124130x y --=.【变式训练】 已知22:650C x y y +-+=1⊙和222:870C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程.例题2 已知22:4210C x y x y +--+=1⊙和222:142410C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 【解析】方法一：~d r 法圆心1(2,1)C ，半径2r =，圆心2(7,1)C ，半径3R =，则1,5R r R r -=+= 两圆圆心距为5d R r ===+所以，两圆外切，将两圆的方程相减可得 4x = 即为所求公切线的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 4x = （3） 将（3）式代入222:142410C x y x y +--+=⊙得2210y y -+= 2(2)4110D =--创=所以，两圆相切.小圆圆心1(2,1)C ，坐标代入222:142410C x y x y +--+=⊙中，有222214241211422141170x y x y +--+=+-??=>所以，两圆是外切关系，所求公切线的方程4x =.【变式训练】1.已知22:1C x y +=1⊙和222:6890C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 2.已知22:46120C x y x y +--+=1⊙和222:680C x y x y +--=⊙，判断两圆的位置关系.。

方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的5种位置关系进行研究。

一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。

所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。

当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。

两圆方程相减的几何意义稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊两圆方程相减这个有趣的话题，你知道它有啥几何意义不？想象一下，两个圆摆在那里，它们都有自己独特的方程。

当我们把这两个方程相减的时候，就好像打开了一个神奇的数学魔法盒。

其实呀，两圆方程相减得到的方程，代表的是一条直线哦！这条直线和这两个圆有着很特别的关系。

比如说，如果两个圆相交，那相减得到的直线就通过这两个交点。

就好像这条直线是两个圆相遇时留下的“足迹”，是不是很有意思？要是两个圆相切，那这条直线就和切点以及两个圆心在同一条线上。

就像是一条隐形的纽带，把这些关键的点都连在了一起。

而且哦，如果两个圆相离，相减得到的直线也和这两个圆有着神秘的联系。

虽然它们没有直接接触，但这条直线像是在默默传递着它们之间的某种信息。

怎么样，是不是觉得数学里也有这么多好玩的东西？稿子二：嗨喽！今天咱们来深入探讨一下两圆方程相减的几何意义，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？当我们面对两个圆的方程，然后大胆地把它们相减，这可不是简单的数学操作，背后藏着好多有趣的秘密呢！假设这两个圆是两个可爱的小伙伴，它们各自有着自己的位置和特点。

那相减之后得到的直线，就像是它们之间的“友谊线”。

如果这两个圆大小差不多，位置也比较接近，相减得到的直线可能就像是它们互相靠近时的“通道”。

要是一个圆大，一个圆小，那这条直线也许就是它们在比较大小和位置时产生的“裁判线”，能告诉我们很多关于它们之间关系的信息。

有时候，这条直线还能帮助我们判断两个圆是亲密相交，还是保持一定距离的相离。

呢，两圆方程相减得到的直线，就像是数学世界里的一个神奇密码，只要我们用心去解读，就能发现两个圆之间那些隐藏的故事和联系。

是不是超级有趣呀？。

两圆方程相减后所得方程的几何意义两圆方程相减后所得方程的几何意义
作为数学中的重要概念，圆的概念和方程一直是人们最多的研究内容。

在初等
数学中，学习到的圆的数学模型就是圆的标准方程。

根据圆的特性，圆的标准方程为： $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 其中，x0和y0是圆心的坐标，r是圆的半径。

因此，圆的方程与半径和圆心有关，可以用来描述圆的几何形状。

如果相减两个圆的方程，也就是方程的差，它的几何意义就是两个圆之间的距离。

例如，$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2$$
$$(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2$$
相减，即可得到两圆之间的距离：
$$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2$$
因此，从数学上讲，相减两个圆方程，即可得到两圆之间的距离，这就是相减
两个圆方程后所得方程的几何意义。

相减两个圆方程所得方程的几何意义不仅可以应用于两个圆之间的距离的计算，而且可以运用于其他圆形的几何形状的描述。

例如，圆的外接矩形也是一种圆形几何形状，可以根据相减两个圆方程的结果，求出其外接矩形的四个顶点的坐标。

总而言之，相减两个圆方程后所得方程的几何意义既可以应用于圆心之间的距
离的计算，也可以应用于圆形几何形状的描述。

它在几何上是一种简单而有效的方法，为我们提供了一种方便的解决方案
相减两个圆方程后所得方程的几何意义是可以用来求得两个圆之间的距离。

由
此可以求得他们之间所形成的圆形几何形状，如圆的外接矩形等形状，从而可以求得所有形状的参数，让我们能够用最简单的数学模型解决复杂的几何问题。

两圆相减的几何意义嘿，朋友们！今天咱来聊聊两圆相减这个有趣的几何意义。

你们看啊，这圆啊，就像一个个小世界。

想象一下，一个大一点的圆和一个小一点的圆，它们就像是两个不同的领域。

当我们把这两个圆放在一起，然后去思考它们相减的时候，那可有意思了。

这就好像是在一个大集体中，去掉一个小部分。

比如说，我们把一个大班级看作一个大圆，里面有各种不同性格、不同爱好的同学。

然后呢，有一个小团体，就像是那个小圆。

当我们把这个小团体从整个班级中减去，剩下的是什么呢？是其他那些有着不同特点的同学们呀！或者说，把一个城市看作大圆，其中有一个特定的区域是小圆。

当我们进行两圆相减，得到的就是城市里除了那个特定区域之外的其他地方。

这不就像是我们在生活中，去掉一些特定的元素，然后去观察剩下的部分嘛。

两圆相减也可以让我们看到差异和独特之处。

就好比两个圆，一个代表白天的活动，一个代表夜晚的活动。

它们相减之后，就能清楚地看到白天和夜晚各自独有的那些部分。

这多神奇啊！而且啊，这两圆相减还能让我们更清楚地认识事物的边界呢。

就像两个领域有了明确的划分，减去之后，我们能更准确地知道哪里是属于这个，哪里是属于那个。

在很多实际问题中，两圆相减也有很大的用处呢。

比如说在规划一个区域的时候，我们要去掉一些已经被占用的部分，才能更好地规划剩下的空间。

这不就是在运用两圆相减的道理嘛。

你们想想，是不是这样？两圆相减看似简单，却蕴含着这么多有趣又实用的意义。

它就像一把钥匙，能打开我们对世界更深入理解的大门。

它让我们看到了整体与部分的关系，看到了差异和独特性，也看到了如何更好地去划分和利用空间。

所以啊，可别小看这两圆相减，它真的是几何世界里的一个奇妙之处呢！。

两相交圆方程相减得公共弦方程两相交圆方程相减得公共弦方程在代数几何中，我们经常遇到求解两个相交圆的公共特性的问题。

其中一个问题是求解两相交圆的公共弦方程。

本文将以深度和广度的方式探讨这个问题，并提供一个有价值的解决方案。

1. 了解圆的方程在开始解决问题之前，我们首先需要了解圆的方程。

一个圆可以由其圆心坐标和半径确定。

给定一个圆心坐标为(x0, y0)且半径为r的圆，其方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²2. 两个相交圆的方程我们假设有两个相交的圆，其圆心分别为(x1, y1)和(x2, y2)，半径分别为r1和r2。

我们需要求解这两个圆的公共弦方程。

为此，我们需要找到两个圆的交点坐标。

我们可以将两个圆的方程相减，得到一个含有交点坐标(x, y)的方程：(x - x1)² + (y - y1)² - ((x - x2)² + (y - y2)² = r1² - r2²展开上述方程，我们可以得到如下的表达式：x² - 2x1x + x1² + y² - 2y1y + y1² - (x² - 2x2x + x2² + y² - 2y2y + y2²) = r1² - r2²化简上述表达式，我们可以得到：-2x1x + x1² - 2y1y + y1² + 2x2x - x2² + 2y2y - y2² = r1² - r2²3. 公共弦方程的推导我们希望将上述方程进一步转化为公共弦方程的形式。

为此，我们需要找到公共弦的特征。

由于公共弦是两个圆的一个公共部分，我们可以将公共弦的两个端点表示为坐标(x, y)和(x', y')。