高中数学椭圆(课堂PPT)

第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第5节　椭　圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升知识诊断基础夯实Z H I S H I Z H E N D U A N J I C H U H A N G S H I知识诊断 基础夯实11.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：①若________，则集合P 为椭圆；②若________，则集合P 为线段；③若________，则集合P 为空集.知识梳理椭圆焦点焦距a ＞c a ＝c a ＜c2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2c(0，1)a2－b2[常用结论]诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)××√√解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.2.(选修一P 115习题3.1T6改编)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆解析　连接QA (图略).由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.A又2a＝2(2b)，即a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2考点一　椭圆的定义及应用C(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.解析　设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.C得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.(2)若△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为_______________________.解析　由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.又A，B，C三点不能共线，考点二　椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；解　若焦点在x轴上，∵椭圆过点A(3，0)，∵2a＝3×2b，∴b＝1，若焦点在y轴上，∵椭圆过点A(3，0)，又2a＝3×2b，∴a＝9，解　设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.BCD解析　依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶点，则|AF|＝a＝3，a＋c＝5，∴c＝2，又a2＝b2＋c2，b2＝5，当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时，|BF|＝a＋c＝5，|AF|＝a－c＝3，当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时，|BF|＝a＝5，|AF|＝a－c＝3，考点三　椭圆的简单几何性质角度1　离心率A易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，解析　∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，角度2　与椭圆几何性质有关的最值、范围问题C解析　若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，D解析　设左焦点F0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.解析　由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.设M(x0，y0)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升31.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝6.若动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A.直线B.线段C.圆D.椭圆解析　动点M 到F 1，F 2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F 1，F 2的距离,则动点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段.B 【A级 基础巩固】DBB所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，C由题可知a＝2，即A(－2，0).又|NA|＝1，∠NAB＝60°，CCD△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确.。

人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程课件（共53张PPT）(共53张PPT)希腊几何学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)最重要的著作是《圆锥曲线论》．著作中将3种圆锥曲线命名为椭圆、抛物线、双曲线的做法便出自该书(分别出自第1卷的命题11,12,13)．《圆锥曲线论》的阿波罗尼奥斯是一位重量级人物．据公元6世纪的希腊数学家欧托修斯(Eutocius)“转发”的公元前1世纪的数学家杰米纽斯(Geminus)的记述，阿波罗尼奥斯被其同时代人称为“大几何学家”；美籍比利时裔科学史学家乔治·萨顿(George Sarton)则称阿波罗尼奥斯为阿基米德之后一个时期里唯一可与阿基米德比肩的几何学家．《圆锥曲线论》的影响却是深远的．后世的知名数学家如吉拉德·笛沙格(Girard Desargues)、布莱兹·帕斯卡(Blaise Pascal)、皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)、詹姆斯·格雷果里(James Gregory)等都直接间接地受过它的影响．著名天文学家约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)更是用圆锥曲线奠定了行星运动定律的基础，并为牛顿万有引力定律的发现埋下了伏笔．阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》虽久已淡出多数人的视野，却完成了很辉煌的历史使命.1.加强对基础知识、基本方法的梳理，要在理解的基础上熟练掌握．虽然高考对圆锥曲线的考查要求较高，但也不回避常规题型，因此必须熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法.2. 重视圆锥曲线的定义在解题中的应用，掌握推导圆锥曲线标准方程的方法.3. 注意平面几何知识的应用．解析几何是用代数的方法解决几何问题，因此在解决有关圆锥曲线问题时，要注意数形转化思想的应用．具体应用时，要综合考虑数转化为形、形转化为数、数转化为数、形转化为形等多种角度，避免思维固化.4. 加强运算能力的同时，关注一些常见的运算技巧．解决圆锥曲线问题的常规思路，一般从几何入手再转化为代数运算．这样最终主要体现在“算”上的功夫．所谓“算”，讲的主要是算理和算法，而不是“硬算”，因此要花一定功夫研究运算、训练运算能力.3.1椭圆3．1.1椭圆及其标准方程第一课时椭圆及其标准方程[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升问题椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？[预习自测]1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析：∵|MF1|＋|MF2|＝10＞|F1F2|＝6，由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．A解析：依题意a＝10，且|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝20 |PF2|＝14. D3．适合条件a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_________________．解析：由椭圆标准方程的含义知，m＞0，n＞0，且m≠n.m＞0，n＞0，m≠n椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为．和焦点两焦点半焦距[例1](1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．直线D．线段(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是() A．圆B．椭圆C．直线D．线段分析：利用定义解决问题．BD[解析](1)因为|PF1|＋|PF2|＝8＞6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是椭圆．(2)因为|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段．平面内动点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数且常数大于|F1F2|，则M的轨迹是椭圆；当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹不存在．1.已知平面上两定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1|＋|MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：由椭圆的定义，乙甲，但甲/乙，只有当2a＞|F1F2|＞0时，动点M的轨迹是椭圆．椭圆的标准方程(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a2＝b2＋c21.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤：(1)定位，确定焦点在哪个轴上；(2)定量，依据条件及a2＝b2＋c2确定a，b，c的值；(3)写出标准方程．1(m＞0，n＞0，m≠n)，再根据条件确定m，n的值．3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)，将点的坐标代入，得到一个方程组，解方程组求得系数．4．已知椭圆上一点的坐标及焦点坐标求椭圆的标准方程常有两种方法：定义法、待定系数法．2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：点P在椭圆内点P在椭圆上点P在椭圆外分析：(1)根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数范围时，考虑两个分式对应的分母都大于0，然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小．CB解析：由题意可知7－k＞0，k－5＞0，且7－k≠k－5，解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值范围为(5,6)∵(6,7)．DACD焦点三角形1．如图所示，椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的∵PF1F2，通常称其为焦点三角形．1.对于涉及椭圆上一点到其焦点的距离问题，常常考虑运用椭圆的定义，即椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值2a.2．与焦点三角形有关的问题，常考虑定义、余弦定理相结合求解，注意方程思想的应用．1．知识清单：(1)椭圆的定义．(2)椭圆的标准方程．(3)点与椭圆的位置关系．(4)焦点三角形．2．方法归纳：坐标法、待定系数法．3．常见误区：(1)忽略椭圆定义中的限制条件．(2)不重视椭圆定义的应用．(3)椭圆标准方程的推导过程中不会化简代数式．课时作业巩固提升。