高中数学人选修1-1 第二章2.1.1 椭圆及其标准方程课件

2．1椭__圆2．1.1椭圆的定义与标准方程[读教材·填要点]1．椭圆的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程[小问题·大思维]1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的定值，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆x2＋y22＝1的焦点坐标是什么？提示：∵x2＋y22＝1，∴a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，∴c＝1. ∴焦点坐标为(0，±1)．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．[自主解答] 如图，∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .椭圆上的点到两定点F 1，F 2的距离的和为定值，所以知道椭圆上点到一个焦点的距离就可以利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a >|F 1F 2|求出该点到另一个焦点的距离．1．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，求线段ON 的长．解：由椭圆方程x 225＋y 29＝1，得a ＝5.设椭圆的另一个焦点为F ′，则|MF |＋|MF ′|＝10，∴|MF ′|＝10－|MF |＝8. ∵N 为MF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴ON ＝12|MF ′|＝4.求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，并且经过点(5,0)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[自主解答] (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∴2a ＝(5＋3)2＋0＋(5－3)2＋0＝10. ∴a ＝5. 又∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵P (0，－10)在椭圆上， ∴a ＝10.又∵P 到离它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2， 故c ＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.求椭圆标准方程的一般步骤为：2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)a ＝5，c ＝2，焦点在y 轴上；(2)经过定点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． 解：(1)∵a ＝5，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝25－4＝21. 又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴椭圆的标准方程为y 225＋x 221＝1.(2)由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1.∴椭圆的焦点坐标为(0，±5)． 设椭圆标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1，∴9a 2＋4b 2＝1.又a 2－b 2＝5.∴a 2＝15，b 2＝10. ∴所求椭圆的标准方程为y 215＋x 210＝1.求经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.在求椭圆的标准方程时，若椭圆焦点的位置未确定，可分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .3．若椭圆的焦距为2，且过点P (－5，0)，求椭圆的标准方程． 解：①若椭圆的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.②若椭圆的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5.∴椭圆方程为y 26＋x 25＝1.综合①②可得，椭圆的标准方程为 x 25＋y 24＝1或y 26＋x 25＝1.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程．[解] 法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由x 29＋y 24＝1⇒c 2＝5，∴a 2－b 2＝5.①又Q (2,1)在椭圆上，则4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得：a 2＝5＋5，b 2＝5， 即所求的方程是x 25＋5＋y 25＝1.法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是： x 29＋k ＋y 24＋k ＝1(k >－4)． 则49＋k ＋14＋k＝1， 整理得：k 2＋8k ＋11＝0，解得k ＝－4±5， 又∵k >－4， ∴k ＝－4＋5，故所求的椭圆的标准方程是x 25＋5＋y 25＝1.[点评] 利用点Q (2,1)在椭圆上，以及a ，b ，c 之间的关系求得a ，b 的值，从而求得椭圆的标准方程．1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7. 答案：B2．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5， ∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3. 答案：B3．满足条件a ＝13，c ＝5的椭圆的标准方程为( ) A.x 2169＋y 2144＝1 B.y 2169＋x 2144＝1C.x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1 D ．不确定解析：∵a ＝13，c ＝5， ∴b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144.∴椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或x 2144＋y 2169＝1.答案：C4．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于________．解析：由题意得m －2＞10－m ＞0，解得6＜m ＜10，且a 2＝m －2，b 2＝10－m ，则c 2＝a 2－b 2＝2m －12＝4，m ＝8.答案：85．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：∵方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.即⎩⎪⎨⎪⎧k <5，k >3，k ≠4.∴3<k <5且k ≠4. 答案：(3,4)∪(4,5)6．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，求椭圆C 的标准方程． 解：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12. 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、选择题1．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定解析：|F 1F 2|＝2c ＝225－9＝8， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. ∴△PF 1F 2的周长为18. 答案：B2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：m >n >0⇒1n >1m >0⇒方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；反之，若方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m >n >0.答案：C3．已知椭圆x 24＋y 2＝1上一点P 的横坐标为－3，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－3，12 B.⎝⎛⎭⎫－3，12或⎝⎛⎭⎫－3，－12 C.⎝⎛⎭⎫－3，－12 D.⎝⎛⎭⎫12，－3或⎝⎛⎭⎫－12，－3解析：依题意知点P 的横坐标为－3，代入椭圆方程得(－3)24＋y 2＝1，y ＝±12，从而点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12或⎝⎛⎭⎫－3，－12. 答案：B4．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：B 二、填空题5．椭圆25x 2＋16y 2＝400的焦点坐标为________． 解析：由25x 2＋16y 2＝400， 得x 216＋y 225＝1. ∴a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2－b 2＝9. 又∵焦点在y 轴上，∴焦点坐标为(0,3)，(0，－3)． 答案：(0,3)，(0，－3)6．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________． 解析：∵椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴c ＝1.又∵2a ＝6，即a ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.答案：x 29＋y 28＝17．已知x 216＋y 2m 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为________．解析：由题意知0<m 2<16，即0<m <4或－4<m <0. 答案：(0,4)∪(－4,0)8.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且P Q ⊥PF 1.若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，则椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义得，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4， 故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1三、解答题9．求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫63，3和⎝⎛⎭⎫223，1， ∴⎩⎨⎧m ·⎝⎛⎭⎫632＋n ·(3)2＝1，m ·⎝⎛⎭⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1. ∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.。