关于质点在有心力场中

利用圆锥曲线性质巧解有心力运动问题厉守清摘要：质点在有心力作用下的运动轨迹是圆、椭圆、抛物线或双曲线，本文从这四种圆锥曲线的性质出发，巧妙的求解物理竞赛中的运动时间、射程、运动方向等问题。

关键词：质点有心力圆椭圆抛物线双曲线运动时间射程运动方向运动质点在某力场中运动时始终受到来自某定点的力的作用，且力的作用线为运动质点和该定点的连线，运动质点所受的这种力统称为有心力，这个定点则称作力心。

质点在这样的有心力作用下的运动就叫做有心力运动。

有心力运动的现象，在自然界中是大量存在的。

例如行星绕太阳的运动，人造卫星绕地球的运动，以及小到我们肉眼直接看不到的原子内部的电子绕原子核的运动和a粒子的散射等等都属于有心力运动。

有心力运动的基本特点：在有心力场中，对力心的角动量守恒；在有心力场中质点作平面运动；有心力运动的面积速度是恒定的；有心力存在势能。

运动质点在在有心力场中的运动轨迹为圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线或双曲线。

物理竞赛中常常涉及这四中圆锥曲线的运动问题，我们可以利用它们的性质，巧妙的求解运动时间、射程、运动方向等问题。

一、利用椭圆的性质，巧解时间问题天体运动轨迹往往是圆或着是椭圆，求解运动时间的问题，对于圆或椭圆半个周期的整数倍，利用开普勒第三定律是比较容易求解的，但对于椭圆运动中一般时间的求解往往要用高等数学求解，比较麻烦，这里我们介绍一种利用圆和椭圆的性质，用初等数学来巧妙求解椭圆冠的面积，根据开普勒第二、第三定律求解椭圆轨道中的运动时间问题。

例1．竖直上抛中，以T表示到达最高点所需时间，以H表示最高点离地球表面的距离，R为地球半径，M为地球质量，G为万有引力常数，不计阻力，从考虑万有引力是“平方反比力”出发，确定时间T的数学表达式。

【解析】通常在H 比较小时，我们将竖直上抛运动看作加速度为g 的匀变速运动，上升高度H 历时：GMHR g H t 222== 从考虑万有引力出发，物体在“平方反比力”作用下的“竖直上抛运动”，其轨迹应是以地心为焦点的一个狭长的椭圆上的一部分，该椭圆的长轴可取为R+H ，假设该椭圆是许多绕地卫星可能的开普勒轨道中的一个，如图1所示。

第一章 质点力学填空1. 已知某质点沿x 轴的运动学方程为) cos()(t A t x ω=，其中ω ,A 为常数, 则其沿x 轴的速度分量为v x (t ) =__________, 加速度分量a x (t ) =______________.2. 质量为m 的质点受力F的作用沿x 轴的负方向运动，若已知力沿x 正向的分量为)(x F , 则质点的沿x 轴的运动微分方程为_____________.3. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k. 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为_________.4. 杆AB 的两端分别被限制在水平和竖直的导槽Ox 和Oy 上滑动（如图）。

M 为杆上一点，且已知AM=a, BM=b. 设θ=∠OBA 。

则在图示坐标系下，M 点的轨道方程为_________________.5. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其速度的径向分量表示为=r v _______，横向分量表示为=θv _________.6. 质点在平面内运动，采用平面极坐标),(θr 描述，则其加速度的径向分量表示为=r a _________，横向分量表示为=θa __________.7. 质点在平面内运动，采用平面极坐标描述，已知其运动学方程为Bt e r At==θ,，其中A , B 为常数, 则其速度的大小v =_________., 加速度的大小a =____________.8. 质点在空间运动，其速率保持为常数v . 在轨道上某处曲率半径为ρ，则在该处质点的切向加速度分量=τa _______, 法向加速度分量=n a ___________.9. 已知河流速率为1v ，且沿河宽不变. 一小船以相对于水的速率2v 始终朝着岸上A 点行驶. 如图所示，采用平面极坐标描述，则小船的绝对速度的径向分量为__________，横向分量为__________.10. 某船向东航行，速率为15km/h. 另一船以同样的速度向北航行. 两船的相对速率是__________km/h.11. 光滑楔子以匀加速度0a沿水平面向右运动，同时质量为m 的质点在其斜面上运动，则该质点所受惯性力可表示为___________.12. 力的作用线如果恒通过空间某一定点，则此力称为 有心力 , 该定点称为 力心 13. 质点在有心力场中的势能为r k r V /)(=，k 为常数. 则质点所受有心力=)(r F ______.14. 质点受到引力2)(r kr F =作用，k 是常数. 取无穷远处为势能零点，则势能=)(r V __________. 单选1. 在极坐标系下，下列哪一式表示的是质点的运动学方程( )A. )(θθf d dr= B. )(θr r = C. ⎩⎨⎧==)()(t t r r θθ D. 0),(=θr f 2. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的横向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θθr a = D. θθθ r r a 2+= 3. 采用极坐标系),(θr 描述质点的运动，其加速度的径向分量表达式为( )A. r a r =B. 2θ r r a r -= C. θ r a r = D. θθ r r a r2+=4. 以下关于自然坐标系的说法错误的是( ) A. 自然坐标系的坐标变量称为弧坐标B. 自然坐标系只能描述质点运动轨道上的点C. 內禀方程是只能在自然坐标系下成立的方程D. 弧坐标随时间变化，只会增大，不会减小5. 对于一个相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系，它的内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本身匀速直线运动的影响. 这一原理称为( )A. 爱因斯坦相对性原理B. 伽利略相对性原理C. 牛顿相对性原理D.惯性定律6. 若某场力F 是保守力，则F必定满足( )A. 0=∇FB. 0=⨯∇FC. 0=⋅∇FD. 02=∇F7. 下列哪一条，不是场力F为保守力的判据( )A. 该场力沿任何闭合路径做功为零B. 该场力沿任何路径所做功的大小，只取决于路径的初末位置.C. 该场力构成的力场的梯度F∇为零.D. 存在某标量函数)(r V , 满足F r V=∇)(.8. 质点在有心力作用下运动，下列哪一条描述是错误的( ) A. 质点的机械能必定守恒.B. 质点对力心的动量矩必定守恒.C. 质点做的必定是平面运动.D. 质点的运动轨道必是圆锥曲线.9. 下列哪一条不是质点在有心力作用下运动的基本性质( )A. 机械能守恒.B. 动量矩守恒.C. 动量守恒.D. 做平面运动10. 行星绕太阳做椭圆运动，太阳视为静止不动，无穷远处为势能零点，下列说法错误的是( )A. 行星的机械能0<E ，且守恒B. 太阳位于椭圆的一个焦点上C. 在远日点行星的速度达到最大D. 行星对太阳中心的动量矩是守恒的.11. 质量为m 的质点在空中下落时，受到空气阻力的大小正比于其速率的平方，比例系数为k . 现采用竖直向上为正方向的一维x 坐标系描述该质点的运动，则其下落的运动微分方程为( )A. mg x k x m +=2B. mg x k xm -=2C. mg x k x m --=2D. mg x k xm +-=212. 某质点在平面极坐标系下的运动方程为cte r =，bt =θ，其中b, c 均为常数. 则其加速度的横向分量为( )A ．r b c )(22- B. r b c )(22+ C. bcr 2 D. br13. 下列关于惯性系的说法错误的是( )A. 牛顿定律能成立的参考系是惯性参考系B. 相对于惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系C. 惯性系的定义隐含在牛顿第一定律中D. 惯性系中的物体还受到惯性力 *******************************第二章 质点组力学填空1. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r，N i ,...,2,1=. 则质心的位矢=C r_________2. 两质点的质量分别为1m 和2m ，速度分别是1v 和2v，则由此两质点构成的质点组的质心的速度为=C v________.3. 两质点的质量分别为1m 和2m ，构成质点组，相对于质心的速度分别为1v ' 和2v ', 则='+'2211v m v m________. 4. 含N 个质点的质点组，质点i 的质量记为i m ，位矢记为i r ，速度记为i v，N i ,...,2,1=,则该质点组对参考点的总动量矩=J_________.5. 柯尼希定理说的是：质点组的动能等于_______的动能与________的动能之和.6. 质量分别为M 和m 的两质点构成两体系统，此系统的折合质量=μ .7. 质点组中质点i 与质点j 之间的内力记为ij f , 相对位矢记为ij r，则=⨯ij ij r f _______.8. 两体碰撞，若动能守恒，则这种碰撞称为_______碰撞.9. 均匀扇形薄片，半径为a ，所对圆心角为θ2，则其质心C 到圆心O 的距离为______.单选1. 关于质点组的内力，所述正确的是( ) A. 质点组的内力做功之和必为零 B. 质点组的内力之和为零C. 质点组的内力对质点组的动能没有影响D. 质点组的内力对质点组的势能没有影响2. 下列关于质点组质心的说法错误的是( )A. 质心即质量中心，它是质点组内确实存在的一个的质点.B. 质心的动量等于整个质点组的动量C. 质心相当于是在质点组外力之和的作用下运动D. 根据质心的运动定理，质心相当于一个集中了质点组总质量的质点3. 对质点组的总动量描述错误的是 ( ) A 是所有质点的动量的矢量和 B. 等于质点组质心的动量C. 对时间的变化率等于质点组所受外力之和D. 质点组的内力对总动量也有影响.4. 如果一个质点组不受任何外力，则下列描述错误的是( ) A. 质点组的质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒 C. 质点组的角动量守恒 D. 质点组机械能守恒5. 在质心系中观察质点组的运动，则下列说法错误的是( )A. 质点组的总动量为零B. 惯性力对质点组的动量矩定理有影响C. 惯性力对质心的总力矩无贡献D. 惯性力对质点组的动能定理无影响6. 若质点组所受外力矢量和为零，则下列说法错误的是( ) A. 质心做惯性运动 B. 质点组动量守恒C. 质点组动量矩守恒D. 质点组动量是个常矢量*************************************************第三章 刚体力学填空1. 刚体以角速度ω 绕某定点O 转动，其上某质点P 相对于O 的位矢为r，则该质点P 的线速度为=v________.2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则=dtG d__________.3. 作用在刚体上的任意力系总可简化为通过某定点P 的一个单力F 及一力偶矩为M的力偶. 此定点P 叫做__________,4. 把作用在刚体上A 点的力F平移到其作用线外另一点B , 则与原作用效果相比，会多出一个附加力偶，设r是A 相对于B 的位矢，则此力偶的力偶矩=M_________. 5. 一轮的半径为r ，以匀速0v 沿一直线做纯滚动，则轮缘上最高点的速率为_________. 单选1. 下列关于描述刚体运动所需的独立坐标变量数目，叙述错误的是 ( ) A. 一般运动需要六个独立坐标变量 B. 平动只需要一个独立坐标变量 C. 定点转动需要三个独立坐标变量 D. 定轴转动只需要一个独立坐标变量2. 若某空间矢量G 大小不变，而方向以角速度ω绕空间某定点O 转动，则dtG d等于( )A. G ⋅ωB. ω ⋅GC. G⨯ω D. ω ⨯G3. 下列对力偶描述错误的是( )A. 力偶是一对大小相等、方向相反、但作用线不同的力构成的B. 构成力偶的两力的矢量和为零C. 力偶矩的大小依赖于矩心的选择D. 力偶矩的方向总是垂直于力偶面4. 在主轴坐标系下研究刚体的动力学，下列哪一条叙述是错误的( ) A. 对坐标轴的转动惯量均为常数 B. 对坐标轴的惯量积均为零 C. 惯量系数均为常数.D. 惯量张量被简化为单位矩阵5. 某时刻平面平行运动的平板上，如果有一质点的速度为零，则该点是( ) A. 基点 B. 简化中心 C. 质心 D. 瞬心***********************************第四章 转动参考系填空1. 科里奥利加速度是由______运动与________运动相互影响所产生的.2. 一平板绕通过定点O 且垂直于板面的轴线以角速度ω转动，某一时刻一个小虫爬到板上P 点，相对于板面的速度为v ' . 已知P 点相对于O 的位矢为r，则小虫的绝对速度为________.3. 当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、约束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和为零，我们通常把这种平衡叫做___________.4. 北半球一条河流自南向北流，根据科里奥利力判断， 岸的冲刷程度较大.5. 一平板绕垂直于板面的轴以角速度ω 转动，一个质量为m 的小物体以相对速度v '在板面上移动，则该物体所受科里奥利力为 .6. 在南半球地面附近自南向北的气流，受科里奥利力影响，有朝_____的偏转. 单选1. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一只蚂蚁在平板面上爬动，它相对于平板的速度为v ' ，相对于O 点的位矢为r，则蚂蚁的绝对速度为( )A. ω ⨯+'=r v vB. r v v ⨯+'=ωC. ω ⨯=r vD. r v v⨯-'=ω2. 转动参考系以角速度ω转动，一小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体的科氏加速度为( )A. v '⨯ ω2B. ω ⨯'v 2C. v '⋅ ω2D. ω⋅'v 23. 转动参考系以角速度ω转动，一质量为m 小物体相对转动参考系的速度为v '，则该物体所受的科氏力为( )A. v m '⨯ ω2B. ω ⨯'v m 2C. v m '⨯- ω2D. ω ⨯'-v m 24. 一个平板绕通过板上O 点、且垂直于自身板面的固定轴以角速度ω转动，一个蚂蚁在 平板面上爬动，则蚂蚁的绝对速度为r ωv v ⨯+'=，对此问题描述错误的是( ) A. r 是蚂蚁相对于转动定点O 的位矢, 绝对速度dt d /r v =B. 牵连点是平板上被蚂蚁占据的点, r 是牵连点相对于转动定点O 的位矢 C v '是相对速度，r ω⨯是牵连速度D. dt d /v '是相对加速度，dt d /)(r ω⨯是牵连加速度.5. 一质点在转动参考系中处于相对平衡状态，则以下判断错误的是( ) A. 该质点的相对速度为零 B. 该质点不受科里奥利力 C. 该质点的相对加速度为零D. 该质点的绝对加速度这时等于科里奥利加速度6. 北半球原本由北向南的贸易风，由于受到科氏力的作用，产生了偏移而变成了 ( ) A. 东风； B. 东北风； C. 西北风； D. 西南风。

有心力问题的初步研究作者：冯晨来源：《课程教育研究》2018年第40期【摘要】在学习高中物理选修3-5时，我想对于散射的问题（卢瑟福α粒子实验）有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。

本文在开始时研究了极坐标系下的运动方程，得到了速度与加速度的表达式，同时得到了有心力在极坐标系下的表示形式，由有心力F切向方程和径向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。

当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。

当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。

【关键词】极坐标系 ;有心力 ;比耐公式【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0160-021.背景介绍在学习高中物理选修3-5时，我学习了碰撞、反冲等知识，但是课本上有的只是简单的两小球相撞后的轨迹的问题和散射问题（卢瑟福α粒子实验），我想对于散射的问题有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。

2.极坐标系下的运动方程研究有心力问题需要用到极坐标系的一些知识，可是高中数学中的极坐标系的知识还不足够解决这一问题，在《大学物理学》这本书里有这部分的知识。

极坐标系是指在平面内由极点，极轴和极径组成的坐标系。

在平面上取定一点O，称为极点。

从极点O出发引一条射线，称为极轴。

φ表示极轴转过的角度，ρ表示点到极点距离。

极坐标下的位矢A可以表示为：A=Aρeρ+Aφeφ对于有心力问题，如果把有心力的原点就当作极坐标的极点，那么质点的位置矢量就从极点指向质点位置，位矢就退化为：ρ=ρeρ下面我们研究一下极坐标下基矢的求导，利用直角坐标系的基矢来表示极坐标下基矢：eρ=cosφi+sinφjeφ=-sinφi+cosφj对这两个基矢对时间求导：■=（-sinφii+cosφjj）φ=φeφ■=（-cosφii-sinφjj）φ=-φeρ■=■eρ+ρ■=ρeρ+ρφeφ由此得到速度：ρ=ρeρ+ρφeφ进一步对上式速度求导，可以得到加速度：ρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ3.有心力问题的研究3.1 有心力问题质点在有心力场中的运动是自然界的运动之一。

一、填空题 1、质点运动方程为 r = a t ，θ= bt ，则极坐标下的轨道方程为 ，加速度大小为 。

[θbar =；224t b ab +；221t b a +] 1、质点运动方程为t b y t a x ωωsin ,cos ==（b a ,为常数）其轨道方程为 ，速度大小为 。

[t b t a v by a x ωω22222222cos sin ;1+==+] 2、单位质量的两个质点位于xy 平面上运动，在某时刻其位矢、速度分别为j i v j i v j i r j i r52,,32,32121+=-=+=+= 则此时质心位矢=c r ，质心速度为=c v ，质系动量=p，质系动能T= ，质系对原点的角动量=J。

[)43(21j i r c+=)43(21j i v c +=；j i p43+= ；T=31/2；k J 2=] 3、质量均为1的三个质点组成一质系，若其瞬时速度分别为i v k v j v3,2,2321==-=，则质系的动量为 ，质心速度为 。

[k j i223+- ；k j i3232+-]3、质量均为1的三个质点组成一质系，某时刻它们的位矢分别为,2,,32321k j r j i r k j i r+=+=++=，则质系的质心位矢为 。

[k j i r c322++=] 4、已知质点势能为)(2122y x V +=，则保守力=F 。

[j y i x F --=]5、当质点受有心力作用时，其基本守恒律的数学表达式为 和 。

[h r =θ2；E r V r rm =++)()(2122θ ] 6、一个圆盘半径为r ，质量为m ，沿直线作纯滚动，盘心速度为c v，则圆盘的转动角速度=ω ，圆盘的绝对动能T= 。

[r v c /=ω；2224121ωmr mv T c +=] 7、标出下列两图中作平面运动刚体的转动瞬心的位置：7、标出下列两图中作平面运动刚体的转动瞬心的位置：V AV BV V B VV B V A V BcV AV B VV B c V A V BcV V B c8、作用在刚体上的力可沿力的作用线任意移动而不影响它的作用效果，这叫 ，因此作用在刚体上的力是 矢量。

质点在力场中的运动轨迹在物理学中，力是质点运动的关键驱动因素之一。

而力场则是描述力在空间中的分布情况。

质点在力场中的运动轨迹是一个引人深思的问题，它涉及着运动学和动力学的知识，同时也是探索物体运动规律的基础。

首先，让我们来了解力场的概念。

力场是一个在空间中定义的矢量场，它在每个点上都有一个特定的力的大小和方向。

常见的力场有引力场和电场。

当我们考虑引力场时，质点在地球表面上的运动是一个经典的例子。

地球的引力场使质点受到一个向下的力，这导致质点向下运动。

类似地，电场也是通过电荷之间的相互作用来定义的。

质点在力场中的运动轨迹可以通过牛顿第二定律来描述。

牛顿第二定律告诉我们，质点所受合力等于质量与加速度的乘积。

对于质点在力场中的运动，这一定律可以用以下方程表示：F = m * a其中，F是作用在质点上的合力，m是质点的质量，a是质点的加速度。

这个方程可以用来解释质点在力场中的受力情况。

在实际问题中，力场通常可以通过势能函数来描述。

势能函数通常表示为V(x, y, z)，其中(x, y, z)是空间中的一个点。

质点在力场中的运动可以通过求解势能函数的梯度来获得。

梯度是一个矢量，其方向指向势能函数的最大变化率，并且其大小等于最大变化率。

质点在力场中的运动轨迹就是沿着梯度的方向进行的。

我们可以把梯度视为一个箭头，箭头指向能量下降的方向。

质点将沿着梯度逐渐减小的路径移动，并最终达到力场的稳定位置。

在力场中，质点可能会遇到一些特殊情况，比如存在多个稳定位置，或者存在限制条件。

在这些情况下，我们需要考虑额外的因素来确定质点的运动轨迹。

例如，如果存在多个稳定位置，质点可能会经历两个或多个不同的稳定位置之间的来回振荡。

这种运动称为周期运动。

周期运动在自然界中很常见，比如天体运动和钟摆运动。

另一个例子是存在限制条件的情况。

在力场中，质点可能受到约束或限制，使得其运动在某些方向上受到限制。

这种情况下，质点的运动轨迹将沿着限制条件允许的方向进行。

推导平方反比有心力场中质点轨道的一种方
法
心力场作用是物体运动的准则，平方反比定律作为心力场的基础，可以用来推导质点轨道的运动规律。

具体来说，心力场引起的质点轨迹是按照平方反比定律形成的。

平方反比定律表明，物体在受到心力场的作用时，越近心力源的质点
会受到较大的力，距离心力源越远的质点受到的力就越小，且与距离
的平方成反比。

平方反比定律在推导物体轨迹方面具有很大的作用，对质点轨迹
也可以应用。

通过将心力场表示为矢量形式，就可以将质点在心力场
中的加速度方向获取出来。

如果物体受到心力场作用，就可以把它放
入一个新的只由心力场加速度作用的框架，并且按照平方反比定律来
求解质点的运动轨迹。

另外，除了物理运动之外，对心力场的深入研究，也可以解释一
些量子场的现象，比如电子运动，从而推导出量子力学的原理。

使
用平方反比定律，就可以更好地理解这些现象的形成，并且能够为量
子力学的研究带来新的惊喜。

总之，平方反比定律是心力场推导质点轨迹的一个重要准则，物
理学家和量子力学研究者也借助其对物理量子现象有强大的研究作用。

阿第一章思考题解答1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t t t ∆+→内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t ∆对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。

在0→∆t 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。

1.2答：质点运动时，径向速度r V 和横向速度θV 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了r V 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θV 本身大小的改变。

事实上，横向速度θV 方向的改变会引起径向速度r V 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度rV 的方向改变也引起θV 的大小改变，另一个θr 即为反映这种改变的加速度分量，故2θ r r a r -=，.2θθθr r a +=。

这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，n a 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故n a 总是沿助法线方向。

质点沿空间曲线运动时，0,0≠=b b F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。

因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。

有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。

有人也许还会问：某时刻若b b R F 与大小不等，b a 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。

这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2 质点在有心力场中的运动性质 (2)2.1 有心力的意义 (2)2.2 质点在有心力场中的运动性质 (2)3 质点在有心力场中运动的求解方法 (4)3.1 牛顿定律法 (4)3.2 比耐公式 (5)3.3 守恒定律法 (5)3.4 分析力学法 (5)4 应用举例 (7)结束语 (11)参考文献 (12)内容摘要：本题目分析了质点在有心力场中的运动性质和有心力场中质点动力学问题求解方法，并以质点在平方反比引力场中运动为例进行分析比较，以加深对有心力场的理解和对各类方法的合理应用。

关键词：有心力运动性质求解方法Abstract：The title of the particle motion in the nature of the central force field and particle dynamics in the central field problem solving methods,and the inverse square gravitational field of the particle in the case of motion were analyzed and compared in order to deepen the understanding of the central field and the rational application of various methods.Key words：Central force The nature of sports Solution1 引言质点在有心力场中的运动是自然界中的运动之一。

有心力不仅在天文学上有着非常重要的应用，而且在近代物理上也促进了一些新的发现。

对于有心力场中质点动力学问题求解方法在各类教材中介绍了一些不同的方法,其中最常用的是比耐公式法。