第7章 有心力场的运动

本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析目录1.引言 (1)2.有心力基本概念及它的性质： (1)3.推出动力学方程 (2)4.用开普勒定律推出引力公式 (6)5.两体问题 (7)6.结论 (9)7.参考文献 (10)8.致谢......................................................... - 10 -物体在有心力场中运动的分析摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。

关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。

1.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质：一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。

行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为d W B A .⎰= （1）在平面极坐标系中，力所做的功为θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。

例1：从开普勒三定律推导万有引力定律：过焦点垂直于极轴半弦长为p，离心率为e的椭圆，取左焦点为极坐标原点，极轴指向右交点为初始方向，则椭圆上的点r⃗（r(t)，θ(t)）满足方程：r(t)=p1−ecosθ(t)(1)一些符号的意义：角速度公式：ω =dθ(t)dt(2)速度公式：v⃗⃗=ds⃗⃗⃗⃗⃗dt(3)加速度公式：a⃗⃗=dv⃗⃗⃗⃗⃗⃗dt(4)面积微分:dA =12r2d(θ(t))(5)两边除dt，并可得：dA dt =12r2ω根据开普勒第二定律，上式应该为常数，即dA dt =12r2ω=C1(6)因为mr2ω是角动量，从上面这个关系式上看，开普勒第二定律就是角动量守恒。

椭圆面积为：A=πab=∫dAdt dtT 0=∫C1dtT=C1T=12r2ωT所以：πab T =C1=12r2ω(7)(7)式再对t求导，能够得到下面等式：d(r2ω) dt =2rωdrdt+r2dωdt=0即：2ωṙ+rω=0(8) (8)是与径向垂直方向上的加速度，说明行星只受径向的向心力。

极坐标下的弧长公式为ds2=dr2+ r2dθ2同除dt2，注意到角速度公式(2)及速度公式(3)，有：v⃗⃗∙v⃗⃗=ṙ2+ r2ω2(9) (9)式再次对t求导，注意到加速度公式(4)以及矢量点积的可交换性质，有：2v v⃗⃗v ∙a a⃗⃗a=2ṙr+ 2rṙω2+ 2r2ωω利用(8)式，得：v(v⃗⃗v ∙a⃗⃗a)a=ṙ(r̈−rω2)+rω(2ωṙ+ rω)=ṙ(r̈−rω2)因为a⃗⃗与r⃗在同一直线上，容易看出v (v⃗⃗v ∙a⃗⃗a)就是v⃗⃗在r⃗上的投影，也就是ṙ，即：a⃗⃗=(r̈−rω2)e⃗⃗r⃗(10) (1)式可变为：Pr= 1−ecosθ(11) 对t求导，得：−pr2ṙ= ωesinθ同除ω得：−pr2ωṙ= esinθ因r2ω也是常数，继续对t求导，得：−pr2ωr̈= ωecosθ将（11）代入，消去ecosθ，注意到：p=b2a整理得：r̈−rω2=−1r2a(r2ω)2b2=−1r2(4π2a3T2)（12）由于开普勒第三定律：a3T2=C2（13）因此，(4π2a3T2)也是常数，记作k。

有心力轨道方程怎么积分
有心力轨道方程是描述质点在中心力场中运动的方程。

一般来说，有心力场是指力的大小只与质点到场中心的距离有关的力场。

在这种力场中，质点的运动可以由有心力方程描述，一般形式为：
μ(d²r/dt²) = -∇U + μv²/r.
其中，μ是质点的质量，r是质点到场中心的距离，U是势能函数，v是质点的速度。

这个方程可以通过积分来求解。

首先，我们可以将有心力方程化为极坐标系下的形式，然后利用角动量守恒等方法简化方程。

接着，我们可以利用分离变量的方法，将方程分解为径向方程和角向方程。

径向方程可以通过变量代换或者适当的技巧化为一阶微分方程，然后进行积分。

角向方程也可以通过类似的方法进行求解。

在实际应用中，具体的积分方法会根据具体的力场和势能函数的形式而有所不同。

一般来说，需要运用微分方程的解法、变量代换、积分技巧等数学方法来对有心力轨道方程进行积分求解。

总的来说，对有心力轨道方程进行积分求解是一个复杂而繁琐的过程，需要根据具体情况采用不同的数学方法和技巧来完成。

希望这个回答能够帮助你对这个问题有一个初步的了解。

《大学物理学(A1-A2)》教学大纲学时：144 总学分：8学分理论教学：144（两学期）实验学时：54学时（另开）面向专业：电子信息科学与技术课程代码：BB-2大纲执笔人：姜黎霞大纲审稿人：鲍钢飞一、大纲说明1、教学目的和基本要求：本课程是专业基础课，同时还具有自然科学素质教育的意义，因此，要求学生熟练掌握物理学的基本概念和基本规律，正确认识各种物理现象的本质；还应掌握物理学研究问题的思想方法，能对实际问题建立简化的物理模型，并对其进行正确的数学分析。

通过对本课程的学习，学生应养成科学的思维习惯，并为理解专业知识打下良好的基础。

2、内容提要：本课程分在两个学期内讲授。

前一学期内容分为四部分：第一部分是“力学的物理基础”，包括质点运动的描述方法，质点动力学和刚体定轴转动的基本规律和概念，以及量纲和非惯性系问题的一般处理方法等；第二部分是“分子物理学和热力学”，介绍热平衡态、热量和内能等基本概念，以及气体状态方程、分子的速率分布、热力学基本定律、卡诺定理等；第三部分是“静电场与稳恒电流”，介绍静电场的基本概和基本原理，并讨论导体和电介质在静电场中的基本性质，进而引出电路理论的基本关系式。

后一学期内容分为三部分：第一部分是“磁场与电磁感应、电磁场”，介绍磁场的基本性质，讨论磁场与电流间的联系以及电磁感应现象的物理内涵，进而建立起电磁场的基本概念；第二部分是“波动光学”，从波动的角度认识光的干涉和衍射现象，讨论光的偏振和双折射，由此深化对电磁波基本性质的理解；第三部分是“近代物理学基础”，包括狭义相对论的基本假设和主要结论，量子物理学基础知识，以及激光原理和固体的能带等。

根据实际情况，教学内容的次序可作适当调整。

二、大纲内容第一章质点运动学§1.1 参照系和坐标系质点质点的概念，参考系坐标系，时间和空间，运动方程§1.2 位置矢量位移位矢，位移，速度，加速度，匀速直线运动§1.3 圆周运动圆周运动的切向加速度和法向加速度，圆周运动的角量描述，角量和线量的关系§1.4 曲线运动的矢量形式运动阶家原理，圆周运动的矢量形式，抛体运动的方程的矢量形式§1.5 相对位移和相对速度伽利略变换式，速度变换公式，加速度变换公式本章重点：参照系的概念，位置矢量、位移矢量、速度矢量、加速度矢量及其在不同坐标系中的分量表达式，质点的运动方程，相对运动的概念。

大学普通物理（第五版）目录（程守洙）第一篇力学第一章质点的运动§1.1质点参考系运动方程§1.2位移速度加速度§1.3圆周运动及其描述§1.4曲线运动方程的矢量形式§1.5运动描述的相对性伽利略坐标变换第二章牛顿运动定律第二章牛顿运动定律§2.1牛顿第一定律和第三定律§2.2常见力和基本力§2.3牛顿第二定律及其微分形式§2.4牛顿运动定律应用举例§2.5牛顿第二定律积分形式之一：动量定理§2.6牛顿第二定律积分形式之二：动能定理§2.7非惯性系惯性力阅读材料A 混沌和自组织现象第三章运动的守恒定律第三章运动的守恒定律§3.1保守力成对力作功势能§3.2功能原理§3.3机械能守恒定律能量守恒定律§3.4质心质心运动定理动量守恒定律火箭飞行§3.5碰撞§3.6质点的角动量和角动量守恒定律§3.7质点在有心力场中的运动§3.8对称性和守恒定律阅读材料B 宇宙的膨胀第四章刚体的转动第四章刚体的运动§4.1刚体的平动、转动和定轴转动§4.2刚体的角动量转动动能转动惯量§4.3 力矩刚体定轴转动定律§4.4定轴转动的动能定理§4.5刚体的自由度刚体的平面平行运动§4.6定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律§4.7进动第五章相对论基础第五章相对论基础§5.1伽利略相对性原理经典力学的时空观§5.2狭义相对论基本原理洛伦兹坐标变换式§5.3相对论速度变换公式§5.4狭义相对论时空观§5.5狭义相对论动力学基础§5.6广义相对论简介阅读材料C 超新星爆发和光速不变性第六章气体动理论第二篇热学第六章气体动理论§6.1 状态过程理想气体§6.2分子热运动和统计规律§6.3气体动理论的压强公式§6.4理想气体的温度公式§6.5能量均分定理理想气体的内能§6.6麦克斯韦速率分布律§6.7玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度的分布§6.8分子的平均碰撞次数及平均自由程§6.9气体内的迁移现象§6.10真实气体范德瓦耳斯方程§6.11物态和相变阅读材料D 非常温和非常压第七章热力学基础第七章热学基础§7.1热力学第一定律§7.2热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用§7.3绝热过程多方过程§7.4焦耳－汤姆孙实验真实气体的内能§7.5循环过程卡诺循环§7.6热力学第二定律§7.7可逆过程与不可逆过程卡诺定理§7.8熵§7.9熵增加原理热力学第二定律的统计意义阅读材料E 熵与能源第三篇电场和磁场第八章真空中的静电场§8-1 电荷库仑定律§8-2 电场电场强度§8-3 高斯定理§8-4 静电场的环路定理电势§8-5 等势面电场强度与电势梯度的关系§8-6 带电粒子在静电场中的运动阅读材料F电子的发现和电子电荷量的测定第九章导体和电介质中的静电场§9-1 静电场中的导体§9-2 空腔导体内外的静电场§9-3 电容器的电容§9-4 电介质及其极化§9-5 电介质中的静电场§9-6 有电介质时的高斯定理电位移§9-7 电场的边值关系§9-8 电荷间的相互作用能静电场的能量§9-9 铁电体压电体永电体阅读材料G静电现象的应用第十章恒定电流和恒定电场§10-1 电流密度电流连续性方程§10-2 恒定电流和恒定电场电动势§10-3 欧姆定律焦耳一楞次定律§10-4 一段含源电路的欧姆定律。

经典力学概论内容简介:《经典力学概论》是根据作者在中国科学技术大学讲授理论力学的讲义整理而成的，采用了较传统教科书更加自然的逻辑体系和简单易记的符号系统，从基本定律出发，循序渐进地引入抽象的数学方法，充分展示了物理理论简洁、抽象的美，在不删减课程主要内容，甚至较传统内容略丰的前提下，大大缩减了授课学时。

全书共分6章：牛顿力学、拉格朗日力学、小振动、刚体力学、哈密顿力学、有心力场，每章后附有一定数量难度适中的习题，《经典力学概论》论述严谨、精练，并对多个问题有独到的见解，可作为综合性大学和师范院校物理类专业的本科生教材，同时也适合有关专业研究人员和工程师阅读。

[1]图书目录前言第1章牛顿力学1.1 质点运动的描写1.2 坐标系1.3 质点力学1.4 运动参考系1.5 质点组力学1.6 变质量物体的运动习题1第2章拉格朗日力学2.1 约束2.2 虚功原理2.3 力学变分原理2.4 拉格朗日方程2.5 运动积分2.6 全变分习题2第3章小振动3.1 单自由度体系的小振动3.2 多自由度体系的小振动. 习题3第4章刚体力学4.1 刚体运动分析4.2 正交变换与张量4.3 欧拉角4.4 凯利-克莱茵参量4.5 惯量张量4.6 欧拉陀螺4.7 拉格朗日陀螺4.8 拉莫尔进动4.9 定轴转动与平面平行运动习题4第5章哈密顿力学5.1 哈密顿正则方程5.2 劳斯方法5.3 泊松括号5.4 相空间中的哈密顿原理5.5 正则变换5.6 哈密顿一雅可比方程5.7 作用变量与作用角变量5.8 正则微扰论习题5第6章有心力场6.1 质点在有心力场中的运动6.2 轨道6.3 平方反比力6.4 胡克力6.5 经典散射6.6 两体问题习题6习题参考答案。

“有心力”及其做功特点的简介
作者：马剑
来源：《中小学实验与装备》 2017年第4期
１有心力
质点受力通常与质点的位置、速度和时间有关.如果一确定的质点所受的力仅与质点位置有关,即:
F ＝F(r)
则称作场力,存在场力的空间称为力场.如图１所示,一点电荷受到另一固定电荷的静电力仅取决于该电荷相对于固定电荷的距离和方位,静电力为场力;将弹簧一端固定,另一端与质点相连,质点所受之力仅与弹簧受压情况相关,亦为场力.以上两种情况中,质点受力作用线总是通过某一固定点,则将该场力称为有心力.
图１(a)为正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力.图１(b)为弹簧固定于O点,运动质点A受到弹性场力;黑点处表示弹簧自由伸展,弹性力为零.
高中物理知识体系中,除静电力外万有引力也是有心力,其大小是距离的单值函数.在课堂教学的过程中,也会时常遇到有心力做功的问题.例如:①(只考虑中心天体的万有引力作用)按椭圆轨道运行的行星机械能守恒问题;②库伦力做功时的电势能改变问题.
２有心力做功的理论推导
鉴于教师的长足发展,很有必要去弄清楚有心力做功的过程.不难证明,所有有心力场所做的功都与路径无关.在此作如下证明.
如图２所示,设想把质点沿任意路径L 从点P搬运到点Q,计算有心力F 所做的功.由于有心力的大小和方向沿路径L 逐点变化,在此将L 分割成许多小线元.考虑其中任一线元dl,在其上的元功为:
只考虑中心天体的万有引力作用,绕椭圆轨道运行的行星机械能守恒得证.
收稿日期:２０１７－０５－３０。