高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

高考数学第二轮专题复习平面向量教案一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

第11讲平面几何的向量方法课程标准课标解读1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题.3.体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题.2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题.3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．知识精讲知识点向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．【即学即练1】已知点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案C 解析AB →＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，AC →＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，AB →·AC →＝21－21＝0，∴AB →⊥AC →.则∠A ＝90°，又|AB →|≠|AC →|，∴△ABC 为直角三角形．反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题．能力拓展考法01利用向量证明平面几何问题【典例1】如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于点E ，求BE ∶EC .解析方法一设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1，BD →＝a ＋b .设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a .由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0，即(λb －a )·(a ＋b )＝0，解得λ＝25，所以BE ∶EC ＝25∶35＝2∶3.方法二以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设B (0,0)，C (2,0)，则设E (m ,0)，则BD →AE →－12，－由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0，－32×32＝0，解得m ＝45，所以BE ∶EC ＝45∶65＝2∶3.【变式训练】在四边形ABCD 中，若AC →＝(1,3)，BD →＝(－6,2)，则该四边形的面积为()A.5B ．25C ．5D ．10答案D 解析∵AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×10×210＝10.考法02利用平面向量求几何中的长度问题【典例2】在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解析设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝6.反思感悟用向量法求长度的策略(1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a |2＝a 2求解．(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【变式训练】在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，则BC 边上的中线AD 的长是()A ．25B.552C ．35D.752答案B解析∵BC 的中点为AD →－52，∴|AD →|＝552.考法03平面几何中的平行(或共线)问题【典例3】如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明设AB →＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，∴FO →＝FA →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n .∴FO →＝OE →.又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．反思感悟(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行(共线)等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．(2)通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理素养．分层提分题组A 基础过关练1．在平面四边形ABCD 中， 2,3AC ， 6,4BD ，则该四边形的面积为（）A B ．C ．13D ．262．在ABC 中，若20AB BC AB ，则ABC 的形状是（）A ．C 为钝角的三角形B ．B 为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ．A 为直角的直角三角形故选：D ．3．在ABC 中，若20AB BC AB ，则ABC 的形状是（）A ．∠C 为钝角的三角形B ．∠B 为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ．∠A 为直角的直角三角形【答案】D【详解】因为20AB BC AB ，所以0AB BC AB ，即0AB AC ，所以AB AC ，∠A =90°，则△ABC 的形状是∠A 为直角的直角三角形．故选：D ．4．ABC 中,设,,AB c BC a CA b ,若()0c c a b ,则ABC 的形状是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【答案】C 【详解】解：∵(0)c c a b ，∴()20AB AB BC CA AB AC ，∴角A 为钝角，故选：C ．5．已知ABC 的面积为2,在ABC 所在的平面内有两点P 、Q ,满足0PA PC ,2QA BQ ,则APQ 的面积为（）A ．12B ．23C ．1D ．2故选:B .6．若3,5AB a CD a ,且AD BC ,则四边形ABCD 是A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．非等腰梯形【答案】C 【详解】解：∵3,5AB a CD a ，∴//AB CD ，||||AB CD ，∵||||AD BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故选：C ．7．已知向量(1,3)BA ，向量(4,2)BC ，则ABC 的形状为()A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰非直角三角形8．已知M 是ABC 内的一点，且30AB AC BAC，若,MBC MCA 和MAB 的面积分别为1,,2x y ，则14x y的最小值是A ．20B ．18C ．16D ．99．已知 2,7,,3a b x ，且a 与b 夹角为钝角，则x 的取值范围___________.10．已知向量 1,a， 1,2b R ，若a 与b 的夹角为锐角，则 的取值范围为__________.11．向量(2,3)a 与向量(1,)b x 的夹角为钝角，则x 的取值集合为__.12．已知 1,1a , ,1b d ，a 与b 的夹角为钝角，则d 的取值范围是_____;【答案】,11,1 【分析】a 与b 的夹角为钝角，即数量积小于0.【详解】因为a 与b 的夹角为钝角，所以a 与b 的数量积小于0且不平行.101a b d d 且1d 所以,11,1d 13．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，AB BC CD DE ______．14．已知位置向量 0,1a , 3,3b , 2,2c 的终点分别为A ,B ,C ,试判断ABC 的形状.题组B 能力提升练1．若函数 y f x 的图像按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x 的图像，则向量a （）A ．()1,2-B ． 1,2C ． 1,2 D ．()1,2-【答案】A 【详解】因为函数 y f x 的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数(1)2y f x 的图像，所以a ()1,2-.故选：A2．已知a 和b 是平面内两个单位向量，且,3a b ，若向量c 满足 0a c b c ，则c r 的最大值是（）A ．12 B C D 设OA a ，OB b ，OC 则CA a c ，CB b c ，因为0a c b c ，所以所以C 在以AB 为直径的圆上设AB 的中点为D ，因为a 和所以1AB ，112OD 所以max 11322c OD 故选：B3．已知点,,A B C 在单位圆上运动，且AB BC ，若点P 的坐标为 2,0，则PA PB PC 的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．94．以 0,1,1,5,4,0A B C 为顶点的三角形是（）A ．锐角三角形B ．以B 为直角顶点的直角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．钝角三角形5．在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则A AD M B G （）A ．GMB ．2MGC ．3GMD ．3MG【答案】D【详解】因为M ，G 分别是BC ，CD 的中点，由三角形中位线的性质可得：2BD MG，又因为D AB AD B，所以23AD MG MG MG AB MG ，故选：D .6．在ABC中，满足AB AC，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且AB AC ，则OA OB OC的最小值为（）A ．0B ．C ．12D ．20,0A ，2,0B，M ∵是BC 的中点，M O 是线段AM 上任意一点，可设 ,O x x ，0x2,OB x x，OC22,OB OC xOA OB OC x7．已知平面向量a ，b，c满足2a b a b ，且12a b c ，则c r 的最大值为________．【答案】52##2.58．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形ABC 的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知2AB ，点P 为 AB 上一点，则PA PB PC的最小值为______.【答案】10 10【详解】设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，9．边长为4的正三角形ABC ，M 为边AC 的中点，若P 在边AB 上运动（点P 可与,A B 重合），则MP CP 的最小值为___________.【答案】234##5.7510．已知O 是ABC 内部一点，且满足0OA OB OC ，又30AB AC BAC ，则OBC △的面积为______.11．在ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若3AM ，则()OA OB OC 的取值范围是_____．故答案为：9[,0]2.12．已知向量 2,1a ，(1,)b m ，(1,2)c ，若()//a b c，则m ________；若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围为_________.题组C 培优拔尖练1．在梯形ABCD 中，//AB CD ，90A ，23AB CD ，2AD ，若EF 在线段AB 上运动，且1EF ，则CE CF的最小值为（）A ．5BC ．4D ．154则3(0,0),(3,0),,22A B C,设3,2,2CE x CF x 31422CE CF x x 215(1)4x故当1x 时,CE CF 的最小值为故选：D.2．已知平面向量,,a b c 满足a b ，且||||2,||1a b c a b ，则||2||c a c b的最小值为（）A ．2B C ．172D 3．（多选）已知向量 1,1,3,1,1,1a b a b c ，设,a b的夹角为 ，则（）A ．a cB ．a cC ．b ac ∥D ．135【答案】ABD【详解】根据题意， 1,1a b4．（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为1，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则（）A ．AH 与CF能构成一组基底B ．OA OCC ．AG在AB向量上的投影向量的模为2D ．PA PB的最大值为3则 20,0,1,0,,2A B H 故22,,22AH CF 故22211222所以AH 与CF平行，不能构成一组基底，121,22O ，1,2OA 12111,0,222OB 故22,222OA OC22,122G ，AG 故AG 在AB 向量上的投影向量的模长为取AB 的中点M ，则PA PB 则224PA PBPM ， PA 两式相减得：2PA PB PM 当点P 与点E 或F 重合时，最大值为221AM AF5．已知2cos15,2sin15A ，(0,0)O ，且||||2OB OC ，则AB AC 的取值范围是___________.综上可得AB AC u u u r u u u r的取值范围是故答案为：[2,16]6．已知OA OB 与OC 为相反向量，若2OA ，4OB OC ，则OA ，OB 夹角的余弦的最小值为______．【答案】-1【详解】OC OA OB ，故因为4OB OC ，所以OC 所以242OB OB OB7．若1,3a b ，则a b a b 的取值范围是______.8．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a ，b 所成角的余弦值是__；向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__．9．在△ABC 中，已知3AB ，1AC ，1AB AC ，设点P 为边BC 上一点，点Q 为线段CA 延长线上的一点，且(0)AQ t AC t .(1)当1t 且P 是边BC 上的中点时，设PQ 与AB 交于点M ，求线段CM 的长；(2)若3PA PQ AP AB，求BQ 的最小值.【答案】(1)263；(2)2623 .。

极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1. 极化恒等式： 221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦ 2. 极化恒等式三角形模型：在中，D 为BC 的中点，则ABC ∆221||||4AB AC AD BC ⋅=- 3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221(||||)4AB AD AD BD ⋅=-类型一 利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，则4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-值为______.BE CE ⋅【答案】78【解析】设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-= 2222||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=- 解得22513,88b a == 22227||||48BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=高三数学复习微专题之平面向量篇第二讲：极化恒等式问题类型二 利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且90,4,3C AC BC ︒∠===EF=1，则最小值为______DE DF ⋅【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则 1||2CM =即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---= ≧类型三 利用极化恒等式求参数典例3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有14,则三角形ABC 形状为_______.00PB PC P B P C ⋅≥⋅【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B P C ⋅⋅ …2222011||||||44PD BC P b BC ∴-- …,设O 为BC 的中点，0||PD P D ∴…0P D AB ∴⊥OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.模拟：1.已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是_____ABC ∆()PA PB PC ⋅+【答案】 32-【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,当且仅当M 与P 重合时取等号222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥-2．直线与圆相交于两点M,N,若，P 为圆O 上任意一点，则0ax by c ++=220:16x y +=222c a b =+的取值范围为_______PM PN ⋅【答案】【解析】[6,10]-圆心O 到直线的距离为0ax by c ++=1d ==设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-||||||||||OP OA PA OP OA -+ (2)3||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈- ……3．如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，12,||,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+，则的最大值为______1()2CN CD CA =+CM CN ⋅【答案】【解析】14)4+设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4CM CN CG ⋅=- 221||||16MN CG =-21111||||||4)22164CG CH HG CM CN ⎛+=+⋅+-= ⎝……所以的最大值为CM CN ⋅14)4+4.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n上，且，则的最大值为______||5AB AC +=AB AC ⋅【答案】【解析】连接BC ，取BC 的中点D ，则，21422AB AC AD BD ⋅=- 又故15||22AD AB AC =+= 2225251444AB AC BD BC ⋅=-=- 又因为所以min312BC =-=21()4max AB AC ⋅= 5.在半径为1的扇形AOB 中，,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则的最小值为60AOB ︒∠=OP BP ⋅_____【答案】 41-【解析】取OB 的中点D ，连接PD ，则于是只要求求PD 的最小值即可，22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-由图可知，当时，即所求最小值为 PD AB ⊥ min PD =41-6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足（为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，为半径的CA CB λ⋅= λ12圆内，则负数的最大值为______ λ【答案】 43-【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则21CA CB CD λ⋅=-=又由点C 总不在以点B 为圆心，为半径的圆内，，则负数的最大10CD λ=-< (1212)λ值为43-7.已知A(0,1)，曲线横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且的最小值为2，则4:log C y x =AB AP ⋅α=______ 【答案】 e 【解析】如图，B （1，0），则，连接BP ，取BP 的中点C ，连接AC,AB =因为的最小值为2，则有上式等价于，AB AP ⋅ ()2222max2AC BCAB -===222AB BC AC +…即当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1，90ABP ︒∠…即11n ,e l a α==8.若平面向量满足，则的最小值为_____,a b |2|3a b -≤a b ⋅ 【答案】98-【解析】222222(2)(2)|2||2|0398888a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-当且仅当，即时取最小值|2|0,|2|3a b a b +=-=33||,||,,42a b a b π==<>= a b ⋅ 98-9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则的最大值为_____OC OB ⋅【答案】 2【解析】如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，所以222224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=- 214OC OB OE ⋅=- 而，113|||||||||||1222OE OF FE AD FE ≤+=+=+= 当且仅当时取等号，所以的最大值为2,OF AD OA OD ⊥=OC OB ⋅10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF上的动点，则的最小值为______PC PD ⋅【答案】5-【解析】如图取CD 的中点M.222224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=- 所以21PC PD PM ⋅=-而，当且仅当P,Q 重合时等号成立||1||||||PM PM AP AE +=+≥=所以的最小值为PC PD ⋅21)15--=-11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求的范围.PM PN ⋅【答案】 [0,2]【解析】如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，所以222224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=- 21PM PN PO ⋅=-而，所以的范围为1||PO ≤≤PM PN ⋅ [0,2]。

第5讲平面向量极化恒等式和矩形大法【考点分析】考点一：极化恒等式极化恒等式:()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a 证明：()2222b b a a b a +⋅+=+①；()2222b b a a b a +⋅-=-②两式相减得：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a特别地，如图在ABC ∆中，若M 为BC 的中点，AC AB =⋅.AB CM 考点二：平面向量的矩形大法如图：若四边形ABCD 为矩形，O 为矩形所在平面内任一点，则2222OD OB OC OA +=+。

证明：()()()()OD OC OD OC OB OA OB OA OD OC OB OA OD OB OC OA -++-+=-+-=--+22222222()()OD OC DC OB OA BA +++⋅=()()()OD OC OB OA BA OD OC BA OB OA BA --+=+-+⋅=()=+=CB DA BA 所以2222OD OB OC OA +=+。

【题型目录】题型一：极化恒等式的应用题型二：极化恒等式之矩形大法【典型例题】题型一：平面向量的坐标运算【例1】已知向量a ，b 满足+a b -a b ，则 a b =（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【详解】由平行四边形模拟得()16104141=-=⎪⎭⎫=⋅b a 【例2】如图，在ABC △中，︒=∠90C ，4=AC ，3=BC ，D 是AB 的中点，E 、F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF =1，则DF DE ⋅的最小值等．【答案】415【详解】414222-=-=⋅DH EF DH DF DE （H 为EF 的中点），因CD DH CH ≥+，所以22125=-=-≥CH CD DH ，所以415414412=-≥-=⋅DH DF DE 【例3】边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅ 的取值范围是_________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，计算可得出214PM PN PO ⋅=- ，计算出PO 的取值范围，即可得解.【详解】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，()()22214PM PN PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅-=-=- ，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，min 12OP = ，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，max 22OP = 1222OP ≤ 因此，2110,44PM PN PO ⎡⎤⋅=-∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【例4】四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅ 的最小值为________.【答案】27-【解析】【分析】取AC 的中点O ，连接OA ，OC ，OP ，应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律可得22PA PC PO OA ⋅=- ，即可求最小值.【详解】由题设，63=AC AC 的中点O ，连接OA ，OC ，OP ，则PA PO OA =+ ，PC PO OC PO OA =+=- ，所以()()2222727PA PC PO OA PO OA PO OA PO ⋅=+⋅-=-=-≥- .故答案为：27-【例5】已知下图中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅ 的取值范围是（）A ．[]11,16B ．[]11,15C ．[]12,15D ．[]11,14【答案】B【解析】【分析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到22P PM P O OM N ⋅=- ，结合r PO R ≤≤ ，即可求解.【详解】由正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，所以正六边形ABCDEF 的内切圆的半径为sin 604sin 60r OA === 外接圆的半径为4R =，又由()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅- 2221PO OM PO =-=- ，因为r PO R ≤≤ ，即4]PO ∈ ，可得21[11,15]PO -∈ ，所以PM PN ⋅ 的取值范围是[]11,15.故选：B.【题型专练】1.如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD ，AB =12BC =，则BE BF⋅ 的取值范围为________________.【答案】[]99,148【解析】【分析】首先在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，根据题意得到()()222194BE BF BE BF BE BF BP ⎡⎤⋅=+--=-⎢⎥⎣⎦ ，再根据BP 的最值求解即可.【详解】在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则83DG =，8GC =，()2288316CD =+=，83tan 38BCD ∠=60BCD ∠= .()()()22222112944BE BF BE BF BE BF BP FE BP ⎡⎤⎡⎤⋅=+--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，当BP CD ⊥时，BP 取得最小值，此时12sin 6063BP =⨯= 所以()(2min 63999BE BF ⋅=-= .当F 与D 重合时，13CP =，12BC =，则22211213212131572BP =+-⨯⨯⨯= ，当E 与C 重合时，3CP =，12BC =，则222112*********BP =+-⨯⨯⨯= ，所以()max 1579148BE BF ⋅=-= ，即BE BF ⋅ 的取值范围为[]99,148.故答案为：[]99,1482.如图，在ABC 中,90,2,ABC AB BC ∠===M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据M 为PQ 的中点，将,BP BQ 用,BM MQ 表示出来，然后利用向量运算法则，即可将问题转化为2BM 的最小值，即B 到线段AC 的距离的平方．【详解】解：由题意，MQ MP =- ，且1MP = ，4AC ==，所以BP BM MP =+ ，BQ BM MQ BM MP =+=- ，所以2()()1BP BQ BM MP BM MP BM ⋅=+⋅-=- ，易知，当BM AC ⊥时，BM 最小，所以min BA BC AC BM ⋅=⋅，即24min BM ⨯=⨯，解得min BM =，故BP BQ ⋅ 的最小值为212-=．故选：B ．3.已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且(22)()=+-∈R AP AB AC λλλ，则PA PC ⋅ 的最小值为（）。

平面向量专题 矩形大法一、矩形的性质1.已知点P 为矩形ABCD 所在平面内任意一点，则 ①PD PB PC PA ⋅=⋅ ②2222PD PB PC PA +=+ 证法1：（坐标法）分别以AD AB ,为y x ,轴建系，如图，设),0(),,(),0,(),0,0(b D b a C a B A ，),(y x P ，则),(),,(),,(),,(y b x PD y x a PB y b x a PC y x PA --=--=--=--=（1）)()(y b y x a x PC PA ----=⋅，)()(y b y x a x PD PB ----=⋅， 所以PD PB PC PA ⋅=⋅（2）222222)()(y b x a y x PC PA -+-++=+， 222222)()(y b x y x a PD PB -+++-=+所以2222PD PB PC PA +=+证法2：（极化恒等式）设AC 交BD 于点O ，则O 为AC 和BD 的中点，（1）由极化恒等式知2241AC PO PC PA -=⋅，2241BD PO PD PB -=⋅， 又矩形ABCD 中，BD AC =，所以PD PB PC PA ⋅=⋅（2）因为PB PD PA PC BD AC -=-⇒=，两边平方得PD PB PD PB PC PA PA PC ⋅-+=⋅-+222222，又PD PB PC PA ⋅=⋅ 所以2222PD PB PC PA +=+证法3：（利用平行四边形的性质）设AC 交BD 于点O ，则平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和可知)(2)2(2222PC PA AC PO +=+，)(2)2(2222PD PB BD PO +=+ 又BD AC =，所以2222PD PB PC PA +=+二、平行四边形的性质2.平行四边形的性质：设点P 为平行四边形ABCD 外一点，则有 AD AB PD PB PC PA ⋅++=+22222或BC BA PC PA PD PB ⋅++=+22222证明：如图，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ，则)2()(22AC PO PC PA +=，)2()(22BD PO PD PB +=+ 两式相减得)2)(2BD AC PD PB PC PA =- )21BD AC PD PB PC PA += 又由极化恒等式得AD AB BD AC BD AC AD AB ⋅=-⇒-=⋅4)(412222 所以AD AB PD PB PC PA ⋅++=+22222 同理可得BC BA PC PA PD PB ⋅++=+22222三、例题精讲例 1.已知平面内的四边形ABCD 和该平面内任意一点P 满足：向量2222DP BP CP AP +=+，那么四边形ABCD 一定是（ ）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解法1：（坐标法）以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 设),(),,(),,(),0,(),0,(2211y x P y x D y x C a B a A -，由2222DP BP CP AP +=+得 222222212122)()()()()()(y y x x y a x y y x x y a x -+-++-=-+-+++即0)22()224(222221211221=--++-++-y x y x y y y x x x a ，由点P 的任意性知 ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-=+-0220224222221211221y x y x y y x x a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-===a x a x y y 2121，所以四边形ABCD 为矩形，故选C 解法2：（特殊点法）当点P 在点D C B A ,,,处时有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==++=222222222222BD CD AD CDBC AC BD BC AB AD AB AC ⎩⎨⎧==⇒BC AD CD AB ， 从而⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222222ADAB BD AD CD AC ，所以四边形ABCD 为矩形，故选C解法3：由矩形大法可知四边形ABCD 为矩形，故选C例2.（2013年重庆高考理科）在平面上，21AB AB ⊥，121==OB OB ，21AB AB AP +=，若21<OP ，则OA 的取值范围为（ ） A.]25,0( B.]27,25( C.]2,25( D.]2,27( 解法1：（坐标法）分别以21,AB AB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设21),0,(AB a AB =),(),,0(y x AO b ==，则),(b a AP =，因为121==OB OB ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-1)(1)(2222b y x y a x ① 由41)()(2122<-+-⇒<b y a x OP ② 联立①②可得4722>+y x 另一方面，由①可知1,122≤≤y x ，从而222≤+y x 故24722≤+<y x ，即∈+=22y x OA ]2,27(，故选D 解法2：（矩形大法）因为21AB AB ⊥，21AB AB AP +=，所以21PB AB 为矩形，所以由矩形大法可2222212222OP OA OB OB OA OP -=⇒=+=+ 又)41,0[212∈⇒<OP OP ， 所以]2,27(]2,47(222∈⇒∈-=OA OP OA ，故选D 例3.（2012年江西高考理科）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则=+222PC PBPA （ ）A.2B.4C.5D.10解析：（矩形大法）作矩形CAED ，则P 为CE 的四等分点，PC PE 3=，由矩形大法可知1091122222222=+=+=+=+PC PE PC PE PC PC PBPA ，故选D例4.已知O 为矩形4321P P P P 内一点，满足7,5,43131===P P OP OP ，则42OP OP ⋅=解析：（矩形大法）设31P P 交42P P 于点M ，则M 为它们的中点，由矩形大法可知44941223123142-=-=⋅=⋅OM P P OM OP OP OP OP 由平行四边形的性质可知433449)2516(2)(2)2(223212312=-+=⇒+=+OM OP OP P P OM 所以4449433449242-=-=-=⋅OM OP OP 例5.设点)0,1(C ，点B A ,在圆422=+y x 上，且满足BC AC ⊥，则线段AB 长度的取值范围为解析：作矩形CADB ，则CD AB =，由矩形大法有7714422222=⇒=-+=⇒+=+OD OD OB OA OD OC由三角不等式得OC OD CD OC OD +≤≤-，所以1717+≤≤-CD ，即1717+≤≤-AB例6.平面向量1,2===c b a ，0)()(=-⋅-c b c a ，则b a -的取值范围是 解析：作OC c OB b OA a ===,,，则由)()()()(OC OB OC OA c b c a -⋅-=-⋅- 0=⋅=CB CA CB CA ⊥⇒，以CB CA ,作矩形CADB ，由矩形大法可知7714422222=⇒=-+=⇒+=+OD OD OB OA OC OD由三角不等式得OC OD CD OC OD +≤≤-即1717+≤≤-CD ，又CD AB =，所以]17,17[+-∈==-=-CD BA OB OA b a例7.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：1622=+y x ，点)2,2(P ，N M ,是圆O 上的相异两点，且PN PM ⊥，若PN PM PQ +=，则PQ 的取值范围是 解析：由题意可知MPQN 为矩形，22=OP ，由矩形大法有62248161622222=⇒=-+=⇒+=+OP OP ON OM OQ OP由三角不等式得OP OQ PQ OP OQ +≤≤-，即22622262+≤≤-PQ例8.已知点)0,1(M ，点A 在圆422=+y x 上，点B 在圆922=+y x 上，若3=⋅MB MA ，则MB MA +的最大值为 解析：（平行四边形大法）构造平行四边形AMBN ，则MN MB MA =+，由平行四边形大法得AM BM ON OM OB OA ⋅++=+22222，即18619422=⇒++=+ON ON 由三角不等式得ON OM MN ON OM +≤≤-，即123123+≤≤-MN即]123,123[+-∈=+MN MB MA ，所以MB MA +的最大值为123+例9.已知向量e b a ,,是平面向量，e 是单位向量，2=a ，3=b ，01)(=+⋅+-⋅e b a b a ，求b a -的取值范围解析：作e OE b OB a OA ===,,，则01)(=+⋅+-⋅e b a b a0)(2=+⋅+-⋅⇒e e b a b a 0)()(=-⋅-⇒e b e a 00)()(=⋅⇒=-⋅-⇒EB EA OE OB OE OA EB EA ⊥⇒作矩形AEBC ，则EC AB =，由矩形大法得321219422222=⇒=-+=⇒+=+OC OC OB OA OC OE由三角不等式得OE OC EC OE OC +≤≤-，即132132+≤≤-EC 所以EC BA OB OA b a ==-=-的取值范围为]132,132[+-。

第四节 平面向量的拓展与应用知识梳理平面向量与数学的许多分支都有联系，在高考中涉及平面向量的应用主要有以下几方面：1．向量在平面几何中的应用：平面几何经常涉及距离(线段的长度)、夹角，而向量运算，特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题．利用向量方法处理几何问题一般有以下“三步曲”：(1)转化：用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．2．平面向量在物理中的应用：物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题．利用向量方法处理物理问题一般有以下“三步曲”：(1)表示：把物理问题的相关量用向量表示；(2)转化：转化为向量问题模型，通过向量的运算使问题得以解决；(3)还原：把运算结果“还原”成物理问题．3．平面向量与其他数学知识的综合应用：(1)向量与三角函数交汇的问题是高考经常出现的问题，命题以三角函数作为背景，是向量的坐标运算与解三角形、三角函数图象和性质综合的问题；(2)平面向量与函数、不等式交汇的问题，主要是向量与二次函数、均值不等式结合的问题为主，要注意自变量的取值范围；(3)向量与解析几何交汇的问题，其基本思想是利用向量的坐标表示，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的相关知识来解答．基础自测1．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49解析：由题知P 为△ABC 的重心，则PB →＋PC →＝－PA →.则PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2＝－|PA →|2＝－49.故选A.答案：A2．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3 D.221.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.解析：由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b .所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故ta n x ＝1.答案：A3．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有( )A ．F 1，F 3成90°角B ．F 1，F 3成150°角C ．F 2，F 3成90°角D ．F 2，F 3成60°角答案：A4．把一个函数的图象按向量a ＝(－3,2)平移后，得到的图象的解析式为y ＝log 2(x ＋3)＋2，则原来的函数解析式为________．答案：y ＝log 2x1．(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A.[]2－1，2＋1B.[]2－1，2＋2C.[]1，2＋1D.[]1，2＋2解析：因为a ，b 是单位向量，所以|a ＋b |＝2，|c －a －b |＝|(a ＋b )－c |＝1，即一个模为2的向量与向量c 之差的模为1，在单位圆中可解得2－1≤|c |≤2＋1.答案：A2．(2013·辽宁卷)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析：易知AB →＝OB →－OA →＝(a ，a 3－b )，且b ≠0，a ≠0，若A 为直角，OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0，∴b －a 3＝0，若B 为直角，OB →·AB →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a＝0，故(b －a 3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0，选C.答案：C1.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( )A ．－92 B.92 C ．2 D ．－2解析：设|PO →|＝x, 则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2|PO →|·|PC →|cos π＝－2x (3－x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－92，当x ＝32时，所求的最小值为－92.故选A.答案：A2．在△ABC 中，向量m ＝(2cos B,1)，向量n ＝(1－sin B ，－1＋sin 2B )，且满足|m ＋n |＝|m －n |.(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解析：(1)由|m ＋n |＝|m －n |，可知m ⊥n ，得m ·n ＝0.而m ＝(2cos B,1)，n ＝(1－sin B ，－1＋sin 2B )，所以有m ·n ＝2cos B －sin 2B －1＋sin 2B ＝2cos B －1＝0，得cos B ＝12，所以B ＝60°.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(120°－A )＝32cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋30°)． 又0＜A ＜120°，则30°＜A ＋30°＜150°，所以12＜sin(A ＋30°)≤1，所以32＜sinA ＋sin C ≤3，即sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.。

第3讲 矩形大法知识与方法矩形大法:已知P 为矩形ABCD 所在平面内任意一点(即使在矩形外也成立,甚至在空间中),则有2222PA PC PB PD +=+,我们可以用三种方法来证明:方法一:勾股定理如图,P 是矩形ABCD 里的一点,连接,,,PA PB PC PD ,过P 做两条直线,EF GH 分别平行于,AB AD .由勾股定理可知,22222,PH PF PA PH PE +=+2222222,,PB PF PG PD PG PE PC =+=+=,易知2222PA PC PB PD +=+方法二:建立直角坐标系以,AB AD 所在的直线分别为,X Y 轴建立平面直角坐标系,设()0(,),(0,0),,0,P x y A B x C ()()000,,0,x y D y ,则:()()22222200PA PC x y x x y y +=++-+-()()22222200PB PD x x y x y y +=-+++-所以2222PA PC PB PD +=+所以2222PA PC PB PD +=+方法三:向量法如图:PA PC ⋅221()()4PA PC PA PC ⎡⎤=+--⎣⎦221(2)4PO CA ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 222211()()(2)44PB PDPB PD PB PD PO DB ⋅⎡⎤⎡⎤=+--=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 在矩形ABCD 中,22CA DB =所以PA PC PB PD ⋅=⋅又因为||||cos PA PC PA PC APC ⋅=⋅∠()222222||||||1||||22||||PA PC AC PA PC PA PC PA PC AC PA PC +-⋅=⋅⋅=+-⋅典型例题【例1】已知圆221:9C x y +=,圆222:4C x y +=,定点(1,0)M ,动点,A B 分别在圆2C 和圆1C 上,满足90AMB ∠=︒,则线段AB 的取值范围________.【例2】在平面直角坐标系xOy 中,已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=,又点A 坐标为(3,1) ,M N -、是1C .上的动点,Q 为2C 上的动点,则四边形AMQN 能构成矩形的个数为( )A.0个B.2个C.4个D.无数个【例3】在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则 222||||||PA PB PC +=( ) A.2 B.4 C.5 D.10【例4】若平面向量,,a b e 满足||2,||3,||1a b e ===,且()10a b e a b ⋅-++=,则||a b -的最小值是（ ）A.1【例5】已知||||2,|1,()()0a b c a c b c ===-⋅→=,则|a b -的取值范围是（ ）A.1]B.⎣⎦C.1]D.⎣⎦强化训练1.在平面上,121212,1,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+.若1||2OP <,则||OA 的取值范围是（ ）A.⎛⎝⎦ B.⎝⎦ C.⎝ D.⎝ 2.已知向量,,a b c 满足||||2,||1,()()0a b c a c b c ===-⋅-=,则||a b -的取值范围为_____.3. 已知圆22:4O x y +=,圆内有定点(1,1)P ,圆周上有两个动点,A B ,使PA PB ⊥,则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为_____________.4. 在平面直角坐标系xOy 中,已知,B C 为圆224x y +=上两点,点(1,1)A ,且AB AC ⊥,则线段BC 的长的取值范围为_________.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为,(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.6.已知向量a 、b 、c 满足:||1,()(),(2)a a c b c a a b =-⊥→⊥-若37,|b c =的最大值和最小值分别为,m n ,则m n +等于（ ）A.327. 已知向量:||3,||2,||1,()()0a b c a c b c ===→⋅→=,则||a b -的取值范围是__________.8. 在平面直角坐标系中,若动点(,)P a b 到直线12:,:1l y x l y x ==-+的距离分别为12,d d ,且满足122d d +=则22a b +的最大值为_____________.9. 过圆:224x y +=外一点(2,1)P 作两条互相垂直的直线AB 和CD ,分别交圆O 于A 、B和C、D两点,则四边形ABCD面积的最大值为____________.。

专题二 第1讲 平面向量【要点提炼】考点一 平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14【答案】 A【解析】 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn ＝________.【答案】 －2【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴mn＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】 由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k<1)，又A ，D ，B 三点共线，所以k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.【答案】 12【解析】 由题意可设CG →＝xCE →(0<x<1)， 则CG →＝x(CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线， 所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．【答案】 [1,3]【解析】 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C(cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3. 则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g(θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g(θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g(θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【要点提炼】考点二 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点突破】【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935【答案】 D【解析】 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 【答案】 C【解析】 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．【拓展训练】2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 【答案】 B【解析】 方法一 设a 与b 的夹角为θ， 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B.方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3， 即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)【答案】 A【解析】 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)． 设P(x ，y)，则AP →＝(x ，y)，AB →＝(2,0)，且－1<x<3. 所以AP →·AB →＝(x ，y)·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C.2－1 D ．1【答案】 A【解析】 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题训练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( ) A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →【答案】 A【解析】 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 【答案】 B【解析】 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69 kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D.12【答案】 A【解析】 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P(3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 【答案】 D【解析】 由P(3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， ∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q(－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C【解析】 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23 B.34 C.56 D ．1 【答案】 A【解析】 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC→＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3 【答案】 D【解析】 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →. 又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO→·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2 【答案】 C【解析】 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r)，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r＝1.易得B(－3，0)，C(3，0)，A(0,3)，D(0,0)， 设M(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y,3x)，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y)2－2xy]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y)2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 【答案】 BC【解析】 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a－b 的夹角为π4，故C 正确．11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A ．若k<－2，则a 与b 的夹角为钝角 B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 【答案】 CD【解析】 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k<2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b|b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76【答案】 BCD【解析】 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形， 所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，设O(0，y)，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y)，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确； |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________.【答案】22【解析】 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.【答案】 5【解析】 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C(a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4.∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ， ∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC→ ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36.∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5.15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．【答案】 19【解析】 ∵△ABC 是锐角三角形， ∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2 ＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|.∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ， ∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．【答案】2829【解析】 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y)， 则a ＝(x ＋1，y)，b ＝(x ＋3，y)． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y)， 故|2e 1－e 2|＝2－x2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤ 1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y2x ＋32＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5 ＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13×34＋5＝2829.。

解析几何——矩形大法性质①：已知点O 是矩形ABCD 所在平面上的任意一点，则OA OC OB OD⋅=⋅ 证明：用极化恒等式易证性质②：矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 所在平面上的任意一点，则OA OC OB OD +=+2222证明：略（建系可证）例1：已知圆:x C y +=2219，圆:x C y +=2224，定点P(1,0)，动点A,B分别在圆C 1和圆C 2上，满足°APB ∠=90，则线段AB 的取值范围是答案：[,]AB ∈-+231231解析：构造如图的矩形，则OA OB OD OP +=+=222213,所以OD =212所以点D 的轨迹方程x y +=2212设(x ,y )M 00，则(,y )D x -00212∴()(y )x -+=220021212，即()(y )x -+=2200132易知[,]PM ∈-+113322∴[,]AB PM =∈-+2231231例2：在平面直角坐标系中，已知B ，C 为圆x y +=224上两点，点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为答案：[,]-+6262解析：构造如图的矩形，则OA OD OB OC +=+=22228∴OD =6所以点D 的轨迹方程x y +=226设(x ,y )M 00，则(,y )D x --002121∴()(y )x -+-=220021216所以[,]AM -+∈626222故[,]BC AM =∈-+26262例3：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,31.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(cc e a b a ca ax yCx yy y k x xx yy k x x yk x k y====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-+=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:200002222220000002222000001222200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kxk y kx y kx k y kx kyx k x y k y k kx x y⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y∴+=程点的轨迹方程为法②：过点F F12、分别做两条切线PA、PB的对称点E、F，分别交PA、PB于点C、D，连接OC、OD、OP、EF FF21、易知EF EA AF AF AF=+=+=22126因为点C是EF1的中点且点O是F F12的中点所以,ODOC EF FF====22113同理322因为四边形PCF D1是矩形，所以OP OF OC OD+=+=2222118又OF=1,所以OP=213故点P的轨迹方程为x y+=2213练习1：在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →的取值范围是)，52，72，2，2练习2：在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD的中点，则222||||||PA PB PC +=A ．2B ．4C ．5D ．10练习2变式：“点P 为线段CD 的中点”改为“点P 为线段CD 的一个动点”，则222||||||PA PB PC +的最小值为。

衡阳市数学学会高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》衡东一中朱亚旸一、问题的提出平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高．近年，高考、模考中有关“等和线定理”（以下简称等和线）背景的试题层出不穷．学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高．在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题．二、等和线定理平面内一组基地 OA, OB 及任一向量 OC ，OC = λOA + μOB(λ，μ ∈ R)，若点C 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ + μ = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及直线 AB 平行的直线称为“等和线”．（1）当等和线恰为直线 AB 时， k =1；（2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k ∈(0,1)；（3）当直线 AB 在 O 点和等和线之间时， k ∈(1,+∞)；（4）当等和线过 O 点时， k =0；（5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数；（6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比；⎛ x y ⎫简证，如图1若 OC = λOD ，那么 OC = xOA + yOB = λ OA + OB⎪ = λOD ，λ λ⎝ ⎭从而有x+y= 1 ，即x+y= λ．另一方面，过C点作直线l // AB，在l上任作一λ λ点 C'，连接 OC'⋂ AB = D'，同理可得，以 OA, OB 为基底时，OC'对应的系数和依然为λ .三、定理运用（一）基底起点相同例1：（2017年全国Ⅲ卷理科第12题）在矩形 ABCD中， AB =1， AD =2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ的最大值（）A .3B .22C . 5D .2【分析】如图2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时，λ + μ最大，此时λ + μ =AF=AB+BE+EF=3AB=3,故选 A .AB AB AB练习 1：(2006年湖南卷15题)如图3所示，OM // AB ，点 P 在由射线 OM 、射线段 OB 及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 OP = xOA + yOB（1）则 x 的取值范围是；（2）当 x = - 1 时， y 的取值范围是.2【分析】(1),根据题意，很显然 x <0；（2）由平面向量基底等和线定理可知，0< x + y <1，结合 x = -12，可得12< y <32.练习2：(衡水中学 2018届高三二次模拟)如图4，边长为 2 的正六边形ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为1，圆心在线段 CD （含短点）上运动， P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP = m AB + n AF(m, n ∈ R)，则 m + n 的取值范围是（）A .(1,2] B .[5,6] C .[2,5] D .[3,5]【分析】如图5，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AG = 2 AB = 2 .此为m+n1 AB AB的最小值；同理，设 AP = m AB + n AF ，由等和线结论，m + n = AH = 5 .此为m+n2 AB的最大值.综上可知 m + n ∈[2,5].（二）基底起点不同例 2：（2013 年江苏高考第 10 题）设 D , E 分别是 ∆ABC 的边 AB , BC 上的点，且有 AD =12 AB , BE = 23 BC , 若 DE = λ1 AB + λ2 AC (λ1 , λ2 ∈ R )，则 λ1+ λ2 的值为【分析】过点 A 作 AF = DE ,设 AF , BC 的延长线交于点 H ，易知 AF = FH ，即 AF = FH ，即 DF 为 BC 的中位线，因此 λ1 + λ2 =12 .练习 3：如图 7，在平行四边形 ABCD 中，M , N 为 CD 的三等分点，S 为 AM 与 BN 的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 ∆SMN 内一点（含边界），若 PQ = x AM + y BN ，则 x + y 的取值范围是 .【分析】如图 8 所示，作 PS = AM ，PT = BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理⎡3 ⎤可知， x + y ∈ ⎢ ,1⎥ .4 ⎣ ⎦（三）基底一方可变例 3：在正方形 ABCD 中，如图 9， E 为 AB 中点， P 以 A 为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，设 AC = x DE + y AP ，则 x + y 的最小值为 .【分析】由题意，作 AK = DE ，设 AD = λ AC ，直线 AC 与直线 PK 相交与点 D ，则有AD = λx AK + λy AP ，由等和线定理，λx + λy =1，从而 x + y =λ1，当点 P与点 B 重合时，如图10，λmax= 2 ，此时，(x+y)min=1 2．练习4：在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P 在曲线Γ：y = 1 -x42(x≥ 0)上，曲线Γ与 x 轴相交于点 B ，与 y 轴相交于点 C ，点 D(2,1)和 E(1,0)满足OD = λCE + μOP(λ,μ ∈ R)则λ + μ的最小值为___.【分析】作CE = OA ，令 OD1= xOD ,有 OD1= xλOA + xμOP ，由等和线定理， xλ + xμ =1，所以λ + μ =1x，如图11，再由等和线定理，得(λ + μ)min=12 .（四）基底合理调节例题4：（2013 年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A, B 满足 OA = OB = OA⋅OB =2，则点集{P OP = λOA + μOB,λ + μ ≤1,λ,μ ∈ R}所表示的区域面积是（）A .22B .23C .42D .4 3【分析】由 OA = OB = OA⋅OB =2可知，OA, OB = π3 .如图 12 所示，当 λ ≥ 0，μ ≥ 0 时，若λ + μ = 1 ，则点P位于线段AB上；当λ ≥ 0，μ ≤ 0 时，若λ - μ = 1，则点P位于线段 AB'上；当λ ≤0，μ ≥0时，若- λ + μ =1，则点 P 位于线段 A' B 上；当λ≤ 0，μ ≤ 0 时，若- λ - μ = 1 ，则点P位于线段A'B'上；又因为λ + μ ≤ 1 ，由等和线定理可知，点 P 位于矩形 ABA' B'内（含边界）.其面积 S =4S∆AOB=4 3 .衡阳市数学学会练习5：如图13所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ,若 OC = mOA + nOB ，则 m + n 的取值范围是.【分析】作 OA, OB 的相反向量 OA1, OB1，如图14所示，则 AB // A1 B1，过 O 作直线 l // AB ，则直线 l ， A1 B1为以 OA, OB 为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别为0，-1 ，由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，所以点C在直线 l 与直线 A1 B1之间，所以 m + n ∈(-1,0).练习6：如图15，在扇形 OAB 中，∠AOB =π3， C 为弧 AB 上的一个动点，若OC = xOA + yOB ，则 x +3 y 的取值范围是．【分析】，令 OB'=OB，依题意， OC = xOA +3 y OB⎪⎛ ⎫⎪3⎝ 3 ⎭重新调整基底 OA, OB'.显然，当 C 在 A 点时，经过 k =1的等和线， C 在 B 点时经过 k =3的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和x+ 3 y∈[1,3].（五）“基底+”高度融合例 5 ：已知三角形∆ABC 中， BC =6 ， AC =2 AB ，点 D 满足AD = 2x AB + y AC ，设f(x,y)= AD ， f (x, y)≥ f (x , y )恒成立，2(x+y)x + y 0 0则 f (x0, y0)的最大值为.【分析】衡阳市数学学会本题为“基底+阿氏圆”交汇命题.思路1：如图16所示，以 BC 为 x 轴，中垂线为 y 轴建立直角坐标系，易知点 B 的轨迹方程是(x -5)2+ y 2 = 16 ．取AC中点F，延长AB 到 E ，且 AB = BE .于是，AD =2xAB +yAC ，∴ AD =x (2 AB)+ y ⎛ 1 AC ⎫⎪ ，即有x + y 2(x+y) x + y (x + y)⎝2 ⎭AD =xAE +yAF ，从而 D ∈ EF ，进一步得到x + y x + yf (x, y)≥ f (x0, y0)= AK ,且有 AK =2 BG ，因为EF恒过∆ACE重心H，所以AK =2 BG ≤2 BH =4，即 f (x0, y0)max=4.思路2：如图17所示，同上分析， D ∈ EF .当 AD ⊥ EF 时，f(x,y)=AD取得最小值，此时 f (x0, y0)= AD .易知∆ABC ≅ ∆AEF ，则AD=AH≤r=4.四、解题总结1、确定等值线为 1 的直线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.五、后记等和线定理巧妙的将代数问题转化为图形关系，将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。