知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC
（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；
AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a
的相反向量
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a
的终点的向量（a 、b
有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）a a
⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的
方向相反；当0=λ时，0
=a λ，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ
6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)
(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅
若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x
三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=
2向量的投影：︱b ︱cos θ=
||
a b
a ⋅∈R ，称为向量
b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：22
||a a a a ⋅==
5乘法公式成立：
()()
2
2
22a b a b a b a b +⋅-=-=-；
()2
2
2
2a b a a b b
±=±⋅+2
2
2a a b b =±⋅+
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：a b b a ⋅=⋅
②对实数的结合律成立：()()
()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈
③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；
（2）消去律不成立a b a c
⋅=⋅不能得到
b c =⋅
（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +
8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a
与b 的夹角
cos θ=cos ,a b a b a b
•<>=
•
=
当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00
，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800
，同时0与其它任何非
零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果a 与b 的夹角为900
则称a 与b 垂直，记作a ⊥b
10两个非零向量垂直的充要条件：
a ⊥
b ⇔a ·b
＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质
【练习题】 1、给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3、设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
4、已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35
，－45 B.⎝⎛⎭⎫－35，4
5 C.⎝⎛⎭
⎫－45，35
D.⎝⎛⎭⎫45
，－35 5、在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.1
3 C.14
D ．1
6、已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.
7、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，a ＋b ＋c ＝0，则a 与c 的夹角为( ) A ．150° B ．90° C ．60°
D ．30°
8、已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.
