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定积分习题

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- 11 - / 4 一、单项选择题

1、定积分badxxf)(是（ ）．

(A)f(x)的一个原函数 (B) f(x)的全体原函数 (C)确定常数 (D) 任意常数

2、设函数20()ln(2)xfxtdt，则)(xf的零点个数是（ ）．[2008年考研数学一]

(A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3

3、设f(x)为[a,b]上连续函数，则变上限函数xadttf)(（a≤x≤b）是（ ）．

(A))(xf的一个原函数 (B) f(x)的一个原函数 (C) )(xf的全体原函数 (D) f(x)的全体原函数

4、设f(x)为[a,b]上连续函数，F(x),g(x)为可导函数，下列等式中不正确的是（ ）．

(A)).()(xfdttfdxdba (B) ).()(xfdttfdxdxa

(C) ).()(xFdttFdxdxa (D) ).())(()()(xgxgfdttfdxdxga

5、xdttdxd12)1ln(（ ）．

(A))1ln(2t (B) )1ln(22tt (C) )1ln(22xx (D) )1ln(2x

6、设1)()(xtxFdttexF，则（ ）．

(A)xxe (B) xxe (C) xxe (D) xxe

7、设15sin00sin(),()(1)xxttxdtxtdtt，则当0x时，()x是()x的（ ）．[99年考研数学一]

(A)高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 同阶但不等价无穷小 (D) 等价无穷小

8、xxxtdtdtt000sinlim（ ）．

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D)不存在

9、设函数xdttxf0)1()(，则f(x)有（ ）．

(A)极小值21 (B) 极小值21 (C) 极大值21 (D) 极大值21

10、由抛物线y2=x及直线2,xyxy所围平面图形的面积为（ ）．

(A)402dxxx (B) 40dxxx (C) 402dxxx (D) dxxxdxxx411022

11、()fx在闭区间[a,b]上连续是()fx在[a,b]上可积的（ ）．

(A)充分且必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 即非充分又非必要条件

12、设()fx在[a,c]上连续，abc，则()bafxdx（ ）．

(A) ()()ccabfxdxfxdx(B) ()()ccabfxdxfxdx (C) ()()cbacfxdxfxdx (D) [()()]abccfxdxfxdx

13、设()fx在[a,b]上连续，则[a,b]上至少有一点，使()f=（ ）．

(A) ()abfxdx (B) 1()abfxdxba (C) 1()bafxdxba (D) ()bafxdx

14、设4742542226222sincos,(sincos),(sincos)1xMxdxNxxdxPxxxdxx，则（ ）．

(A)NPM (B) MPN (C) NMP (D) PMN

15、设()fx连续，则220()xdtfxtdtdx（ ）．[1998年考研数学一]

(A) 2()xfx (B) 2()xfx (C) 22()xfx (D) 22()xfx

16、20sin()xdxtdtdx=（ ）．

(A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 2sinx

17、设10()2()fxxfxdx，则()fx=（ ）．

(A) x (B) 1x (C) 1x (D) 1x

18、反常积分11pdxx，（ ）．

(A)1p时收敛，1p时发散 (B) 1p时收敛，1p时发散

(C) 1p时收敛，1p时发散 (D) 1p时收敛，1p时发散

19、下列积分中为广义积分的是（ ）．

(A) 11(1)dxxx (B) 11sinxdxx (C) 111arctandxx (D) 111sindxx

20、下列广义积分收敛的是（ ）．

(A) lnexdxx (B) lnedxxx (C) 2(ln)edxxx (D) lnedxxx

二、填空题

21、函数()[,]fxab在上有界是f(x)在[a,b]是可积的_________条件，而f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]是可积的_________条件．

22、63sin_____.xxdx 23、83_____.1xdxx

24、无穷积分30______.xedx 25、瑕积分10ln______.xdx

26、设连续函数f(x)满足11200()3(),()_____.fxxxfxdxfxdx则

27、已知f(x)的一个原函数为21()ln,_____.efxxxdxx则

28、曲线(1)(2)yxxxx与轴所围成的平面图形的面积用定积分可表示为_________________．

29、反常积分211dxxx______．[04年考研数学二] 30、121221dxx_________________．

31、反常积分2lnedxxx______．[02年考研数学一] 32、240tanxdx_________________．

33、反常积分2(7)2dxxx______．[00年考研数学二] 34、1204dxx_________________．

35、11lnexdxx_________________． 36、2121sinydyy_________________．

37、设20(),()xtFxtedtFx则=________． 38、200coslimxxtdtx_________________．

39、22sin2cosxdxx_________________． 40、广义积分211AdxAx，则=____．

三、计算题

41、120arcsin1xdxx． 42、1154xdxx．

43、20cosxxdx． 44、01(1)(2)dxxx．

45、211(ln)edxxx． 46、120ln(1)(2)xdxx．

47、350sinsinxxdx． 48、40221xdxx．

49、21dxx． 50、220(0)adxaax．

四、应用题

51、求由抛物线42xy与直线0423yx所围成的平面图形的面积．

52、求由曲线,xxyeye及直线1x所围成的平面图形的面积．

53、求抛物线2xy和xy所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积．

54、求星形线222333xya的全长.

55、过曲线2(0)yxx上某点A作切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为112．求（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述图形绕x轴旋转成的旋转体体积V．

五、证明题

56、.)(21)(20023aadxxxfdxxfx

57、设(),()fxgx在区间[a,b]上均连续，证明：222()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx．

58、证明：11221(0)11xxdxdxxxx．

59、设()fx具有连续导数，证明()()()()xadxtftdtfxfadx．

60、设()gx在区间[-a,a]（a>0）上为偶函数，且()fx满足()()fxfxA（A为常数）．证明

0()()()aaafxgxdxAgxdx．

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定积分练习题(打印版)

定积分练习题(打印版)

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一、基础计算题

1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。

3. 计算定积分 \(\int_{0}^{2} (3x - 2) dx\)。

二、换元积分题

1. 计算定积分 \(\int e^{2x} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(\ln

2\)。

2. 计算定积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(1\)。

三、分部积分题

1. 计算定积分 \(\int x e^x dx\)，上下限为 \(0\) 到 \(1\)。

2. 计算定积分 \(\int \sin x \cos x dx\)，上下限为 \(0\) 到

\(\pi\)。

四、几何应用题

1. 利用定积分计算圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 在第一象限内围成的面积。

2. 利用定积分计算抛物线 \(y = x^2\) 与直线 \(y = 4\) 所围成的面积。

五、物理应用题

1. 假设一物体的加速度 \(a(t) = 2t\)，计算从 \(0\) 到 \(1\) 秒内物体的位移。

2. 假设一物体的力 \(F(x) = 3x + 1\)，计算从 \(0\) 到 \(2\) 米内物体所做的功。

六、综合题

1. 利用定积分计算函数 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(x\) 轴，以及直线

\(x = 1\) 所围成的面积。

2. 利用定积分计算函数 \(y = \ln x\) 与 \(x\) 轴，以及直线 \(x

= e\) 所围成的面积。

七、挑战题

1. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)。

2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx\)。

定积分练习题

定积分练习题

第九章 定 积 分

练 习 题

§1定积分概念

习 题

1．按定积分定义证明：baabkkdx).(

2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集i，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：

（1）1012233)1(41:;ninnidxx提示 （2）10;dxex

（3）baxdxe; （4）12(0).(:)biiiadxabxxx提示取

§2 牛顿一菜布尼茨公式

1．计算下列定积分：

（1）10)32(dxx； （2）102211dxxx； （3）2lneexxdx；

（4）102dxeexx； （5）302tanxdx （6）94;)1(dxxx

（7）40;1xdx （8）eedxxx12)(ln1

2．利用定积分求极限：

（1）);21(1334limnnn

（2）;)(1)2(1)1(1222limnnnnnn

（3）);21)2(111(222limnnnnn

（4）)1sin2sin(sin1limnnnnnn 3．证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F＇（x）=f(x),则有

()()().bafxdxFbFa

§3 可积条件

1．证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则'.''TTiiii

2．证明：若f在[a,b]上可积，上也可积在则,,,,afbaa.

3.设f﹑g均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处,gf则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且.dgabdfab

定积分练习题 2

定积分练习题 2

定积分练习题

题型1.定积分与极限的计算

2.计算下列定积分

3.计算下列⼴义积分

内容

⼀．定积分的概念与性质1.定积分的定义

2.定积分的性质

3.变上限函数及其导数

4.⽜顿—莱布尼茨公式

5.换元积分公式与分部积分公式

6.⼴义积分

题型

题型I 利⽤定积分定义求极限

题型II⽐较定积分的⼤⼩

题型III利⽤积分估值定理解题

题型IV关于积分上限函数以及⽜顿—莱布尼茨公式问题

题型V定积分的计算

题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII ⼴义积分的计算

⾃测题五1.根据极限计算定积分

2.根据定积分求导

3.求极限

4.求下列定积分

5.证明题

4⽉21⽇定积分练习题

基础题：

⼀．选择题、填空题1．将和式的极限)0(.......321lim

1

>+++++∞→p n n P p

p p p n 表⽰成定积分 （ ）

A ．dx x

101 B ．dx x p ?10 C ．

dx x p

1

0)1(

D ．dx n

x p

10)(

2

．

将

和式)21.........2111(lim n

n n n +++++∞→表⽰

为定积

分 ．3．下列等于1的积分是

（ ）A ．dx x ?10

B ．dx x ?+1

)1(

C ．

dx ?1

1

D ．

dx ?1

021

4．dx x |4|1

02

-=

（ ）A ．

3

21

B ．322C ．

3

23

D ．

3

25 5．曲线]2

3

,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的⾯积 （ ）

A ．4

B ．2

C ．2

5

D ．3

6．dx e e x x ?

-+1

)(=

（ ）A ．e e 1+

B ．2e

C ．e 2

D ．e

e 1

-

7.若10x

m e dx =?，11e n dx x

=?，则m 与n 的⼤⼩关系是（ ）

A ．m n >

B ．m n <

C ．m n =

D ．⽆法确定

8. 按万有引⼒定律，两质点间的吸引⼒2

2

1r

m m k

F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动⾄离2m 的距离为b处，试求所作之功（b >a ） ．9．由曲线2

复习资料(不定积分定积分)

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1 第四章 不定积分

一、知识小结

1.原函数

定义1 如果对任一Ix，都有)()(xfxF 或 dxxfxdF)()(

则称)(xF为)(xf在区间I 上的原函数。

原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I 上连续，则)(xf在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(xF，使得对任一Ix，有)()(xfxF。

注1：设)(xF是)(xf的原函数，则CxF)(也为)(xf的原函数，其中C为任意常数。

注2：如果)(xF与)(xG都为)(xf在区间I 上的原函数，则

CxGxF)()(（C为常数）

(1) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为 ( )。

A..1Sinx B..1Sinx C.Cosx1 D..1Cosx

2.什么是不定积分？

)(xf的全体原函数。

(2) dxex( )。

A.2cex B.2cex C.cex D.cex1

3.两者的联系与区别？

联系：它们的导数相同，都是 f (x).

区别：不定积分是函数族；

原函数是不定积分中的一个函数。

4.由原函数与不定积分的概念可得：

1) )()(xfdxxfdxd

2) dxxfdxxfd)()(

3) CxFdxxF)()(

2 4) CxFxdF)()(

5) Cxdx

5.积分公式

1) Ckxkdx (k为常数)；2) Cxdxx11 (1)

3) Cxxdx||ln；4) Cxxdxarctan12

5) Cxxdxarcsin12；6）Cxxdxsincos

7）Cxxdxcossin；8）Cxxdxxdxtanseccos22