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(完整版)定积分练习题

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一、选择题

1. 设连续函数f(x)>0，则当a

A．一定是正的

B．一定是负的

C．当0

D．以上结论都不对

解析： 由abf(x)dx的几何意义及f(x)>0，可知abf(x)dx表示x＝a，x＝b，y＝0与y＝f(x)围成的曲边梯形的面积．∴abf(x)dx>0.

答案：A

2. 若22223000,,sinaxdxbxdxcxdx，则a，b，c的大小关系是( )

A．a

解析：a＝13x3 |20＝83，b＝14x4 |20＝4，c＝－cosx |20＝1－cos2，∴c

答案：D

3. 求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )

A．S＝01(x2－x)dx B．S＝01(x－x2)dx

C．S＝01(y2－y)dy D．S＝01(y－y)dy

[答案] B

[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝01(x－x2)dx.

4. 11(sin1)xdx的值为( )

A. 2 B.0 C.22cos1 D. 22cos1

【答案】A

【解析】1111(sin1)cos(cos11)cos(1)12xdxxx

5. 由曲线22yxx与直线yx所围成的封闭图形的面积为 （ ）

A．16 B．13 C．56 D．23

【答案】 A

【解析】在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，

由22,xxx解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），

利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:

x y

yx 22yxx

1 O

023201111111((2)()|().32326Sxxxdxxx

二、填空题

6. 已知f(x)＝0x(2t－4)dt，则当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为________．

解析： f(x)＝0x(2t－4)dt＝(t2－4t)| x0＝x2－4x＝(x－2)2－4(－1≤x≤3)，

∴当x＝2时，f(x)min＝－4.

答案： －4

7. 一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，在前30 s内的平均速度为________．

解析：由定积分的物理意义有：s＝3020(38)ttdt＝(13t3－32t2＋8t)|300

＝7890(m)．∴v＝st＝789030＝263(m/s)．

答案：263 m/s

三、解答题

8.求下列定积分：

(1)12x－x2＋1xdx；(2) 0(cose)dxxx＋；

(3)49x(1＋x)dx；(4)0πcos2x2dx.

解析： (1)12x－x2＋1xdx＝12xdx－12x2dx＋121xdx＝x22| 21－x33| 21＋ln x|21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56.

(2)0(cose)dxxx＋＝00cosxdedxxx＝sin x||0－π＋ex0－π＝1－1eπ.

(3)49x(1＋x)dx＝49(x12＋x)dx＝ 23x32＋12x249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516.

(4)0πcos2x2dx＝0π1＋cosx2dx＝12x|0π＋12sinx|0π＝π2.

9. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图：

直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f(x)．

解：由f(0)＝0得c＝0，

f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

由f′(0)＝0得b＝0，

∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，

由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.

∴f(x)＝x3－3x2.

10.已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．

解析： (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b.

由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得 a－b＋c＝2b＝0，即 c＝2－ab＝0.

∴f(x)＝ax2＋(2－a)．

又01f(x)dx＝01[ax2＋(2－a)]dx

＝13ax3＋2－ax| 10＝2－23a＝－2，

∴a＝6，∴c＝－4.

从而f(x)＝6x2－4.

(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，

所以当x＝0时，f(x)min＝－4；

当x＝±1时，f(x)max＝2.

B卷：5+2+2

一、选择题

1. 已知f(x)为偶函数且601(),2fxdx则66()fxdx等于( )

A．2 B．4

C．1 D．-1

解析：∵f(x)为偶函数，∴60061()(),2fxdxfxdx∴6660()2()1.fxdxfxdx

答案：C

2. (改编题)已知()2fxx，则21()fxdx( )

A． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5

【答案】C

【解析】

2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,022323.5.2xxxxfxxfxdxxdxxdxxxxx

3. 已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k等于( )

A．2 B．1

C．3 D．4

答案：C

解析：由 y＝x2y＝kx消去y得x2－kx＝0，

所以x＝0或x＝k，则阴影部分的面积为

∫k0(kx－x2)dx＝(12kx2－13x3) |k0＝92.

即12k3－13k3＝92，解得k＝3.

4. 一物体在力F(x)＝ 10 0≤x≤23x＋4 x>2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)作的功为( )

A．44 B．46

C．48 D．50

解析： W＝04F(x)dx＝0210dx＋24(3x＋4)dx＝10x| 20＋32x2＋4x| 42＝46.

答案：B

5. 函数xf满足00f，其导函数xf的图象如下图，则xf的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

A．31 B．34 C．2 D．38

【答案】B

【解析】由导函数xf的图像可知，函数xf为二次函数，且对称轴为1,x开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,fxaxbxcafcfxaxb因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1,2.ababab2()2fxxx，

则xf的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为x y

O 2

1

0232032-22114(2)()|=2)(2).333Sxxdxxx（-

二、填空题

6.（改编题）设20lg,0(),3,0axxfxxtdtx若((1))1,ff则a为 。

【答案】1

【解析】23300(1)lg10,((1))(0)03|1,1.aafffftdttaa

7. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为________．

[答案] －1

[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．

S阴影＝－a0(－x3＋ax2)dx＝112a4＝112，∴a＝－1.

三．解答题

8.（改编题）画出曲线2yx与直线1yx及4x所围成的封闭图形，并且其面积.

解析:如图所示，封闭图形的区域为ABC.

由2yx与1yx联立可得C(2,1),

由2yx与=4x联立可得B(4,12),

由1yx与=4x联立可得A(4,3).

所求封闭图形ABC的面积：

44244222221(1)()|2ln|2Sxdxdxxxxx

84222ln42ln242ln2.

9. 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112.

(1)求切点A的坐标． x y

2 4 O A

B C

(2)求过切点A的切线方程．

解析：设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为

y－y0＝2x0(x－x0)，

即y＝2x0x－x02.

令y＝0，得x＝x02.即C(x02，0)．

设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，

S曲边△AOB＝0023001|3xxxdxx13x03，

S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12(x0－x02)·x02＝14x03.

∴S＝13x03－14x03＝112.∴x0＝1，

从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.

C卷：2+2+1

一、选择题

1.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线2xy和曲线xy围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是

A．21 B. 61 C. 41 D. 31

【答案】D

【解析】312312002111()()|,=1.3333OBCAOBCASSxxdxxxSPS阴阴正方形正方形，

2. 设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，则mng(x)dx的值是( )

A．－52 B．－43

C．－54 D．－76

[答案] A

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学而思高中题库完整版导数及其应用[1].板块五.微积分与定积分的应用.学生版

学而思高中题库完整版导数及其应用[1].板块五.微积分与定积分的应用.学生版

.板块五.微积分与定积分的应用.题库.学生版 1

1．函数定积分：

设函数()yfx定义在区间[,]ab上．用分点0121nnaxxxxxbL，把区间[,]ab分为n个小区间，其长度依次为10121iiixxxinL，，，，，．

记为这些小区间长度的最大值，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i，作和式10()nniiiIfx．

y=f (x)Oyxba 当0时，如果和式的极限存在，我们把和式nI的极限叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作()bafxdx，即100()lim()nbiiaifxdxfx．

其中()fx叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．()fxdx叫做被积式．此时称函数()fx在区间[,]ab上可积．

2．曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．

根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数()yfx在区间[]ab，上的定积分，即()baSfxdx．

求曲边梯形面积的四个步骤：

第一步：分割．在区间ab，中插入1n各分点，将它们等分成n个小区间1iixx，

12inL，，，，区间1iixx，的长度1iiixxx，

第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．

第三步：求和．

第四步：取极限．

3．求积分与求导数互为逆运算．

()()()baFxdxFbFa，即()Fx从a到b的积分等于()Fx在两端点的取值之差．

4．微积分基本定理

如果()()Fxfx，且()fx在[,]ab上可积，则()()()bafxdxFbFa，其中()Fx叫做()fx的一个原函数．

由于[()]()Fxcfx，()Fxc也是()fx的原函数，其中c为常数． 知识内容

(完整版)经典的微积分习题库

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1 习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

（1）912xy； （2）xyaarcsinlog； （3）xysin2；

（4）)32(log213xxya；（5）)4(log21arccos2xxya

2．求函数

)0(0)0(1sinxxxy

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数)(xf和)(xg是否相同？

（1）2)(,)(xxgxxf； （2）2sin21)(,cos)(2xgxxf；

（3）1)(,11)(2xxgxxxf； （4）0)(,)(xxgxxxf。

4．设xxfsin)(证明：

2cos2sin2)()(xxxxfxxf

5．设5)(2bxaxxf且38)()1(xxfxf，试确定ba,的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

（1）)1(22xxy （2）323xxy； （3）2211xxy；

（4）)1)(1(xxxy； （5）1cossinxxy （6）2xxaay。

7．设)(xf为定义在),(上的任意函数，证明：

（1）)()()(1xfxfxF 偶函数； （2）)()()(2xfxfxF为奇函数。

8．证明：定义在),(上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

9．设)(xf 定义在),(LL上的奇函数，若)(xf在),0(L上单增，证明：)(xf在)0,(L上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：

（1）)2cos(xy （2）xy4cos； （3）xysin1；

（4）xxycos； （5）xy2sin （6）xxytan3sin。

11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

(完整版)定积分在经济中的应用

(完整版)定积分在经济中的应用

定积分在经济中的应用

一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[,]ab上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]ab上的定积分：

()()()baRbRaRxdx （1）

()()()baCbCaCxdx （2）

()()()baLbLaLxdx （3）

例1 已知某商品边际收入为0.0825x（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入()Rx，总成本C()x，利润()Ix的改变量（增量）。

解 首先求边际利润

()()()0.082550.0820LxRxCxxx

所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：

300250(300)(250)()RRRxdx300250(0.0825)xdx=150万元

300300250250(300)(250)()CCCxdxdx=250万元

300300250250(300)(250)()(0.0820)LLLxdxxdx=100万元

二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率

设某经济函数的变化率为()ft，则称

2121()ttftdttt

为该经济函数在时间间隔21[,]tt内的平均变化率。

例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数： ()0.080.015rtt

求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解 由于

2200()(0.080.015)rtdttdt200.160.010.160.022tt

所以开始2年的平均利息率为

20()0.080.01220rtdtr 0.094

复习资料(不定积分定积分)

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1 第四章 不定积分

一、知识小结

1.原函数

定义1 如果对任一Ix，都有)()(xfxF 或 dxxfxdF)()(

则称)(xF为)(xf在区间I 上的原函数。

原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I 上连续，则)(xf在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(xF，使得对任一Ix，有)()(xfxF。

注1：设)(xF是)(xf的原函数，则CxF)(也为)(xf的原函数，其中C为任意常数。

注2：如果)(xF与)(xG都为)(xf在区间I 上的原函数，则

CxGxF)()(（C为常数）

(1) 若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为 ( )。

A..1Sinx B..1Sinx C.Cosx1 D..1Cosx

2.什么是不定积分？

)(xf的全体原函数。

(2) dxex( )。

A.2cex B.2cex C.cex D.cex1

3.两者的联系与区别？

联系：它们的导数相同，都是 f (x).

区别：不定积分是函数族；

原函数是不定积分中的一个函数。

4.由原函数与不定积分的概念可得：

1) )()(xfdxxfdxd

2) dxxfdxxfd)()(

3) CxFdxxF)()(

2 4) CxFxdF)()(

5) Cxdx

5.积分公式

1) Ckxkdx (k为常数)；2) Cxdxx11 (1)

3) Cxxdx||ln；4) Cxxdxarctan12

5) Cxxdxarcsin12；6）Cxxdxsincos

7）Cxxdxcossin；8）Cxxdxxdxtanseccos22