定积分复习题

一、选择题

1．设a＝01x－13dx，b＝1－01x12dx，c＝01x3dx，则a，b，c的大小关系为( )

A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a

解析：由题意可得a＝01x－13dx＝| 10＝32x23|

10＝32；b＝1－01x12dx＝1－| 10＝1－23－0＝13；c＝01x3dx＝x44| 10＝14，综上a>b>c，故选A.

答案：A

2．函数y＝ (cos t＋t2＋2)dt(x>0)( )

A．是奇函数 B．是偶函数

C．非奇非偶函数 D．以上都不正确

解析：y＝sin t＋t33＋2t＝2sin x＋2x33＋4x，为奇函数．

答案：A

3．若函数f(x)＝，则f(2 012)＝( )

A．1 B．2

C.43 D.53

解析：依题意得，当x≤0时，f(x)＝2x＋13sin 3t＝2x＋13，故f(2 012)＝f(4×503)＝f(0)＝20＋13＝43，选C.

答案：C

4．由曲线y＝x与直线x＝1，x＝4及x轴所围成的封闭图形的面积为( )

A.143 B.53 C.103 D.163 解析：所求的封闭图形的面积为S＝14xdx＝23x32| 41

＝143.

答案：A

5.设f(x)＝ x2，x∈[0，1]，2－x，x∈，2]，则02f(x)dx＝( )

A.34 B.45

C.56 D．不存在

解析：02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx

＝13x3| 10＋2x－12x2| 21.

＝13＋4－2－2＋12＝56.

答案：C

7．曲线y＝1x＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．

解析：由题意得，所求面积为∫e11x＋2x＋2e2xdx＝∫e11xdx＋∫e12xdx＋∫e12e2xdx＝ln x| e1＋x2| e1＋e2x| e1＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.

答案：e2e

8.图中阴影部分的面积等于________．

解析：所求面积为013x2dx＝ x3| 10＝1.

答案：1

9.如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．

解析：因为曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f(x)＝2x2－2x与x轴的交点为(0,0)和(1,0)，其顶点为12，－12，所以矩形ABCD的面积为4＋12×2＝9，阴影部分的面积为02(2x－2x2＋2x)dx＝2x2－23x3| 20＝83，所以该点落在阴影部分的概率为839＝827.

答案：827

10．求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．

解析：

由 y＝x，y＝2－x，得交点A(1,1)；

由 y＝2－x，y＝－13x，得交点B(3，－1)．

故所求面积S＝01x＋13xdx ＋132－x＋13xdx

＝ 10＋2x－13x2 31

＝23＋16＋43＝136.

11.(2014年大庆模拟)如图求由两条曲线y＝－x2，y＝－14x2及直线y＝－1所围成的图形的面积．

解析： y＝－x2，y＝－1，得交点

A(－1，－1)，B(1，－1)．

由 y＝－14x2，y＝－1，得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．

∴所求面积

S＝2∫10－14x2＋x2x＋12－14x2＋1dx＝43.

12．(能力提升)如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，

所以，抛物线与x轴所围图形的面积

S＝01(x－x2)dx＝x22－13x3| 10＝16. 又 y＝x－x2，y＝kx，

由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，

S2＝∫1－k0(x－x2－kx)dx

＝1－k2x2－13x3| 1－k0＝16(1－k)3.

又知S＝16，所以(1－k)3＝12，

于是k＝1－312＝1－342.

2．由曲线y＝3－x2与直线2x＋y＝0所围成的图形的面积为________．

解析：由 y＝3－x22x＋y＝0，消去y得：x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.所以曲线y＝3－x2与直线2x＋y＝0的交点为A(3，－6)，B(－1,2)．故围成的图形即为图中的阴影部分，其面积为 [(3－x2)－(－2x)]dx

＝ (－x2＋2x＋3)dx＝(－13x3＋x2＋3x)| 3－1

＝－13×33＋32＋3×3－

－13－3＋－2＋－＝9＋53＝323.

答案：323

高二数学微积分练习题 一、选择题：

1．已知自由落体运动的速率gtv，则落体运动从0t到0tt所走的路程为 （ ）

A．320gt B．20gt C．220gt D．620gt

[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功

2、如图，阴影部分的面积是

A．32

B．329

C．332

D．335

[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积

3、 若11(2)3ln2axdxx，且a＞1，则a的值为 （ ）

A．6 B。4 C。3 D。2

[解析]

4、用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )

A．acf(x)dx B．|acf(x)dx|

C．abf(x)dx＋bcf(x)dx

D．bcf(x)dx－abf(x)dx

5、已知f(x)为偶函数且06 f(x)dx＝8，则-66f(x)dx等于( )

A．0 B．4 C．8 D．16

6、函数y＝-xx(cost＋t2＋2)dt(x>0)( )

A．是奇函数 B．是偶函数

C．非奇非偶函数 D．以上都不正确 7、函数f(x)＝ x＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )

A.32 B．1 C．2 D.12

8、03|x2－4|dx＝( )

A.213 B.223 C.233 D.253

二、填空题：

9．曲线1,0,2yxxy，所围成的图形的面积可用定积分表示为

．

10．由xycos及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．

11、若等比数列{an}的首项为23，且a4＝14 (1＋2x)dx，则公比等于____．

12、.已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若-11f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________

一，选择题

二、填空题

9、 10、 11、 12、

三、解答题：． 13．计算下列定积分的值

（1）215)1(dxx； （2）dxx222cos

14．求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积．

1 2 3 4 5 6 7 8 15．已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；

16．设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

参考答案

一、1．C；2．C；3．D；4．D；5 A 6 C 7．D 8；C

二、9dxx102)1( 10．dxx20|cos|；11、3 12、-1或1/3

三、15、[解析] 取F(x)＝23ax3－12a2x2

则F′(x)＝2ax2－a2x

∴f(a)＝01(2ax2－a2x)dx

＝F(1)－F(0)＝23a－12a2

＝－12a－232＋29

∴当a＝23时，f(a)有最大值29.

16．解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，

又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x2+2x+c

又方程f（x）=0有两个相等实根，

∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x2+2x+1.

（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201xxxdxxx.