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定积分的概念习题

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。

-可编辑修改-

[学业水平训练]

1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )

A．y＝x2 B．y＝|x|

C．y＝x D．y＝1x

解析：选D．由于函数y＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．

2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )

A．可以是左端点的函数值f(xi)

B．可以是右端点的函数值f(xi＋1)

C．可以是该区间内的任一函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])

D．以上答案均正确

解析：选D．由于当n很大，即Δx很小时，在区间[xi，xi＋1]上，可以认为函数f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值(含端点函数值)．

3．直线y＝2x＋1与直线x＝0，x＝m，y＝0围成图形的面积为6，则正数m＝( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B.由题意，直线围成梯形的面积为S＝12(1＋2m＋1)m＝6，解得m＝2，m＝－3(舍去)．

4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )

A.19 B.125

C．127 D．130

解析：选A.将区间[0,1]三等分为0，13，13，23，23，1，各小矩形的面积和为s1＝03·13＋(13)3·13＋(23)3·13＝19.

5．在求由曲线y＝1x与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于( )

A.2n＋2i B.2n＋2i－2

C．2nn＋2i D．1n＋2i

解析：选A.每个小区间长度为2n，第i个小区间为n＋2i－1n，n＋2in，因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈1n＋2in·2n＝2n＋2i.

6．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________． 。

-可编辑修改- 解析：围成该图形的直线和曲线分别是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.

答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2

7．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．

解析：在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为165，4.

答案：45 165，4

8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为________km.

解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得所求近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．

答案：66

9．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．

解：f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝1n，在[xi－1，xi]＝1＋i－1n，1＋in上取ξi＝xi－1＝1＋i－1n(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，从而Sn＝i＝1nf(ξi)Δxi＝i＝1n (2＋i－1n)·1n＝i＝1n (2n＋i－1n2)

＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·nn－12

＝2＋n－12n＝52－12n.

则S＝limn→∞Sn＝limn→∞ (52－12n)＝52.

如下进行验证：

如图所示，由梯形的面积公式得：

S＝12×(2＋3)×1＝52.

10．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动时，求在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程．

解：将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt＝1n，v(ξi)＝v1＋i－1n

＝31＋i－1n＋2＝3n(i－1)＋5. 。

-可编辑修改- ∴sn＝i＝1n 3ni－1＋5·1n

＝3n[0＋1＋2＋…＋n－1]＋5n·1n

＝3n2·nn－12＋5＝321－1n＋5.

∴s＝limn→∞sn＝32＋5＝6.5.

[高考水平训练]

1．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( )

A.limn→∞i＝1n

11＋in2·2n

B.limn→∞i＝1n

11＋2in2·2n

C．limn→∞i＝1n 11＋i2·1n

D．limn→∞i＝1n

11＋in2·n

解析：选B.将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝2n，第i个小区间为2i－1n，2in(i＝1,2,3，…，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为limn→∞i＝1n

11＋2in2·2n.

2．设函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sin nx在0，πn(n∈N*)上的面积为2n，则y＝sin 3x在0，2π3上的面积为________．

解析：由于y＝sin nx在0，πn(n∈N*)上的面积为2n，则y＝sin 3x在0，π3上的面积为23.而y＝sin 3x周期为2π3，所以y＝sin 3x在0，2π3上的面积为23×2＝43.

答案：43

3．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的面积．

解：∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，

∴所求图形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影． 。

-可编辑修改- 由 y＝x2，y＝4，x≥0，得交点为(2,4)．

如图，先求由直线x＝0，x＝2，y＝4和曲线y＝x2围成的图形的面积．

(1)分割

将区间[0,2]n等分，则Δx＝2n，则ξi＝2i－1n.

(2)近似代替、求和

Sn＝i＝1n 2i－1n2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝83(1－1n)(1－12n)．

(3)取极限

S＝limn→∞Sn＝limn→∞ 83(1－1n)(1－12n)＝83.

∴S阴影＝2×4－83＝163.

∴2S阴影＝323，

即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形的面积为323.

4．一辆汽车做变速直线运动，汽车在时刻t的速度v(t)＝6t2，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．

解：(1)分割：将区间[1,2]n等分，则第i个小区间为n＋i－1n，n＋in(i＝1,2,3，…，n)，每个小区间的长度为Δt＝1n.

(2)近似代替：每个小曲边梯形的面积近似为

Si＝v(n＋i－1n)Δt＝6(nn＋i－1)2·1n＝6nn＋i－12≈6nn＋i－1n＋i(i＝1,2,3，…，n)．

(3)求和：i＝1n 6nn＋i－1n＋i＝

6n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋12n－1－12n

＝6n1n－12n＝3.

(4)取极限：S＝limn→∞3＝3.

所以汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程为3. 。

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定积分习题与答案

定积分习题与答案

第 1 页 第五章 定积分

(A)

1．利用定积分定义计算由抛物线12xy，两直线)(,abbxax与横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式：

3．估计下列各积分的值

4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小

21ln)1xdx与dxx212)(ln dxex10)2与10)1(dxx

5．计算下列各导数

6．计算下列极限

7．当x为何值时，函数xtdttexI02)(有极值？

8．计算下列各积分

20)()8dxxf，其中2211)(xxxf 11xx

9.设k，l为正整数，且lk，试证下列各题：

10.计算下列定积分

11.利用函数的奇偶性计算下列积分

12．设f（x）在ba,上连续，证明：babadxxbafdxxf)()(

13．证明：)0(1111212xxdxxdxxx

14．计算下列定积分

15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。 第 2 页 1）14xdx 2）0dxeax 0a

3）dxeexx01 4）0)0,0(sinptdtept

5）1021xxdx 6）211xxdx

7）222xxdx 8）exxdx12ln1

(B)

1．填空：

1）________)12111(limnnnnn。

2）估计定积分的值：_____sin1____342xdx。

3）运用积分中值定理可得：xaaxxfdttfax)(()(1lim是连续函数）＝________，______)0(sinlimadxxxannn。

定积分的概念

定积分的概念

定积分的概念教学设计

1 授课题目 定积分的概念

课时数 1课时

教学目标 理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。

重点与

难点 重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。

难点：定积分概念的理解。

学情分析 我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。

教材分析 本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面，本次课在教材中都处于重要的地位。

教学方法 根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 定积分的概念教学设计

2 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册

教学内容与过程

一、定积分问题举例

1、曲边梯形的面积

设)(xfy在区间],[ba上非负连续。由)(,0,,xfyybxax所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A，具体计算步骤如下：

（1）分割：在区间],[ba中任意插入1n个分点bxxxxxann1210

把],[ba分成n个小区间

],[,],,[],,[12110nnxxxxxx

它们的长度依次为：nxxx,,,21

（2）近似代替：区间],[1iixx对应的第i个小曲边梯形面积,)(iiixfA ]).,[(1iiixx

（3）求和：曲边梯形面积niiiniixfAA11)(

定积分定积分的概念与性质

定积分定积分的概念与性质

1 / 4 第五章 定积分

本章重点: 1 定积分计算: 1.用牛一莱公式

2.用“特性”(奇偶对称)

3.分段函数的定积分

2 积分上限函数求导及应用

3 定积分计算中应注意的问题

第一节．定积分的概念与性质

教学内容和重点: 1 理解定积分定义

2 掌握性质和几何意义

一. 定积分的引入

1. 数学上: 求曲边梯形的面积

① 曲边梯形

② 面积的求法

ⅰ分割 ⅱ近似 ⅲ 求和 ⅳ 取极限

ix既表示第i个小区间,也表示长度. A=01lim()niifix

max{}ix

2.物理上: ① 作变速直线运动的路程. V(t) [1,2TT]

② 求法: S=01lim()niiiVt

③ 分析: ⅰ 含义不同,但处理的方法完全一样

ⅱ 式子均为特定和式结构的极限

二. 定积分的概念

1. Def: 设f(x)在[a,b]上有界(有界才有极限)

若01lim()niiifx ,则称01lim()()nbiiaifxfxdx

2. 定积分存在的两个充分条件

① 若f(x)C[a,b]()bafxdx (f(x)在[a,b]上可积)

② 若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点(非无穷,振荡)(工类的)()bafxdx

3. 几个注意的问题

① 定积分,对任意分法和任意取法都成立采取特殊的分法,取法(比如等分)

② 0n等分

③ 定积分的值,只与f(x)和积分区间[a,b]有关,与积分变量无关 2 / 4 ()()()bbbaaafxdxfuduftdt

《定积分的概念》

《定积分的概念》

1 尊敬的各位专家，老师们：

大家好！

我是数学与计算机科学学院的汤秀芳，我说课的内容是《定积分的概念》。下面我将从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程、教学设计、板书设计等六个方面谈一谈我对这节课的理解和认识。

首先对教材进行分析。

这节课是高职高专“十一五”规划教材《应用数学》第五章第一节的内容，本节课是定积分的开始部分，是积分学的基本概念，也是高等数学中的经典理论。在学生已经学习了导数、不定积分的基础上，通过“四步曲”的定积分思想体会定积分的定义和几何意义，为定积分在几何学和物理学中的应用提供了理论依据。

根据上述教材分析，制定了如下教学目标：

认知目标：理解定积分的定义与几何意义，会用定义与几何意义求简单函数的定积分。

能力目标：培养学生的抽象思维能力、探索能力和高等数学的语言表达能力。

情感目标：培养学生勇于探索新知的科学态度,克服畏难心理。

依据教学目标，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学重点和教学难点：

教学重点是理解并掌握定积分的定义和几何意义、“四步曲”的定积分思想。

教学难点是理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限。

为了突出重点，突破难点，我的解决办法是遵循循序渐进的认知规律，以案例引入概念，淡化理论，借助多媒体手段，以问题驱动的方式来完成教学。

良好教学理念的实施，离不开对学生实际状况的掌握。我的授课对象是计算机各专业的学生，学生从知识结构上来说好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本是听不懂，基于这些特点，结合教学内容，以图形方式，把概念较强的课本知识直观化，形象化，引导学生探索性学习。

为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，再从教法和学法上谈一谈：

“教学有法，教无定法，贵在得法”，数学的教学必须建立在学

2 生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。对于我的学生来说，他们的知识和思维都有一定的局限性，缺乏有序性和准确性，针对这种情况，我注重联系实际生活，创设问题情境，采用的教法是案例教学法引入概念、问题驱动法加深理解、直观教学法变抽象为具体。