2020年高考文科数学一轮总复习 第 1 页 共 13 页 2020年高考文科数学一轮总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系 几何法 代数法
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．
方法
位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交
|r1－r2|
内切 d＝|r1－r2|
(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
常用知识拓展
1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2020年高考文科数学一轮总复习 第 2 页 共 13 页 3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋12l2.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
直线和圆的方程
一、直线方程
1. 直线的倾斜直角和斜率:
(1) 倾斜角:一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫直线的倾斜角.范围为0,
(2) 斜率:不等于的倾斜角的正切值叫直线的斜率,即k=tana(a≠90°).
(3) 过两点P1(x1.y1)、P2（x2.y2）(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=tana=2121yyxx
2. 直线方程的五种表示形式：
斜截式：y=kx+b； 点斜式：y-y0=k(x-x0)； 两点式：112121yyxxyyxx
截距式：1xyab； 一般式：Ax+By+C=0
3. 有斜率的两条直线的平行期、垂直的充要条件：
若L1: y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 则: (1) L1∥L2k1=k2且b1≠b2; (2) L1⊥L2k1×k2 = -1
4. 两条直线所成的角的概念与夹角公式
两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线L1、L2的斜率分别是k1、k2，L1和L2所成的角是，且090 则有夹角公式：tan=12121kkkk
5. 点到直线的距离公式：点P（x0.y0）到直线Ax+By+C=0（A、B不同时为零）的距离d=0022AxByCAB
题型1 直线的倾斜角与斜率
1.（2004.湖南）设直线ax+by+c=0的倾斜角为a，且sin+cos=0,则a,b满足（ ）
A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0
2.（2004.启东）直线经过点A（2.1），B（1，m2）两点（mR），那么直线L的倾斜角取值范围是（ ）
A.0, B0,,42 .C 0,4 . D ,,422 .
3.（2004.上海）函数y=asinx+bcosx的一条对称轴方程是x=4，那么直线ax+by-c=0的倾斜角为 。
高考数学复习讲义与习题
第九章直线与圆的方程
本章知识结构图
第一节直线的方程
考纲解读
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）了解斜
截式与一次函数的关系。
命题趋势探究
1.从考查内容上看，主要考查直线方程的基本概念，倾斜角和斜率
相离
相切
相交＜0，或d＞r
＝0，或d＝r
＞0，或d＜r,相交弦长
222rd倾斜角和斜率
直线的方程位置关系
直线方程的形式21
21tan,0,,,=
222yy
kk
xx
当时，不存在
重合
平行
相交垂直A
1B
2－A
2B
1＝0
A
1B
2－A
2B
1≠0A
1A
2＋B
1B
2＝0
点斜式：y－y
0＝k(x－x
0)
斜截式：y＝kx＋b
两点式：y－y
1
y
2－y
1＝x－x
1
x
2－x
1
截距式：x
a＋y
b＝1
一般式：Ax＋By＋C＝0注意各种形式的
转化和运用范围.
两直线的交点
距离点到线的距离：d＝|Ax
0＋By
0＋C|
A2
＋B2，平行线间距离：d＝|C
1－C
2|
A2
＋B2
圆的方程圆的标准方程
22
2+xaybr
圆的一般方程
22+0xyDxEyF
直线与圆的位置关系
两圆的位置关系截距注意：截距可正、可负，也可为0.2.从考查形式上看，以选择题和填空题为主，解答题中常以与圆锥曲线相交出现
3.从考查能力上看，侧重对基本知识和技能的考查，考生一定要体会数学思想与方法，特
别是数形结合思想提高综合解题能力
4.从近几年高考情况来看，预测2015年高考本专题主要考查以下内容。
（1）根据条件确定直线方程
（2）考查直线性质，如倾斜角与斜率关系、方程与充要条件等；
（3）直线与圆锥曲线的相交问题
知识点精讲
一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线ykxb
中k
的系数k
（kR
）叫做这条直线的斜率，垂直于x
轴的直线，
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C＝0
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d
2.圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 公切线条数
4 3 2 1 0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝1＋k2·（xM＋xN）2－4xM·xN.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( )
