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函数及极限习题

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1页 第一部分 函数、极限、连续

[选择题]

容易题 1—47，中等题48—113，难题114—154。

1．设fx()的定义域是[0,4]，则fx()2的定义域是( )

A. [,]04 B. [-2,2]

C. [0,16] D. [0,2]

2．设函数yfx()的定义域为[0,2]，a0，则yfxafxa()()

的定义域为( )

A.[,][,]aaaa22

B. 

C. 当a1时，定义域：axa2；当a1 时，；

D. [,][,]aaaa22

3．若Zyfx()31，且已知当y1时，zx.则fx()（ ）

A.()x113 B.x1

C.()t113 D.t1

4． 下列不正确的是（ ）

A.fg,在(,)上都为单调增（减）函数，则fgfgfgfgg,,,()0都

为单调增（减）函数

B.fg,在(,)上都为单调增（减）函数，则fgfgfg,max(,),min(,)都

为单调增（减）函数

C.若fxgxx(),(),()在其公共定义域上均为单调增函数，且满足：

gxxfx()()()，又设 ggxxffx[()],[()],[()]均有意义，

则必有：ggxxffx[()][()][()]

D.若函数fx()在(-,+)上为奇函数，且在[0,+)上是严格单调增加的，

则fx()在(-,+)上一定是严格单调增加的。

5．设fx()的定义域为(-,+)，则gxfxfx()()()是( )

A. 偶函数 B. gx()0

C. 非奇非偶函数 D. 奇函数

6．反函数保持原来函数的( )性质。

A. 单调性 B. 奇偶性

C. 周期性 D. 有界性 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

2页 7．设fx()为奇函数，gx()为偶函数，则( )为奇函数。（ ）

A.fgx[()] B.gfx[()]

C.ffx[()] D.ggx[()]

8．yxsin在[,]232上的反函数是( )

A.xyarcsin B.xyarcsin C.xyarcsin D.xyarcsin

9．yxcos在[,]0上的反函数是( )

A.xyarccos B.xyarccos C.xy2arccos D.xy2arccos

10．Axnnlim的定义“AxNnNNn恒有,,,”中,N是（ ）

A. 唯一的 B. 任意的

C. 不唯一，但与有关 D. 是的函数

11．Axnnlim的定义“AxNnNNn恒有,,,”中是（ ）

A. 一个很小很小的正数 B.无穷小量

C. 任意给定的正数 D.一个不确定的正数

12．设fxaa()(,)在上单调,则fafa()()00与（ )

A.都存在且相等 B.都存在，但不一定相等

C.至少有一个不存在 D.都不存在

13．设函数fx()为定义在(,)的任何不 恒等于零的函数，则（ ）必是偶函数。

A.Fxfxfx()()()；

BFxfxfx()()()；

C.Fxfxfx()()()；

D.Fxfxfx()()() 。

14．设fxx(),() 都是偶函数，且它们的定义域、值域均为(,)，则（ ）。

A.[()]fx与fx[()]都是偶函数；

B.[()]fx与fx[()]都是奇函数；

C. [()]fx与fx[()]都是非奇非偶函数；

D. [()]fx 是偶函数，fx[()]是非奇非偶函数。

15．若数列xn在(,)aa邻域内有无穷多个数列的点，则（ ）。（其中为

某一取定的正数。）

A.数列xn必有极限，但不一定等于a; 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

3页 B.数列xn极限存在且一定等于a；

C.数列xn的极限不一定存在；

D.数列xn 一定不存在极限。

16．设lim()xxfx0存在，lim()xxgx0不存在，则（ ）。

A.lim[()()]xxfxgx0及lim()()xxgxfx0一定都不存在；

B.lim[()()]xxfxgx0 及lim()()xxgxfx0一定都存在；

C.lim[()()]xxfxgx0 及lim()()xxgxfx0中恰有一个存在；

D.lim[()()]xxfxgx0 及lim()()xxgxfx0不一定都不存在。

17．limsinsinxxxx021的值为（ ）。

A.1; B. ; C.不存在； D.0 。

18．当x0时，与sinx2等价的无穷小量是( )。

A. ln()1x; B tanx; C. 21(cos)x; D. ex1。

19．设)(xf在),0(上定义，0a，0b，若xxf)(单调减少，则 ( )

)()(afbafA； )()()(bfafbafB；

babafC)(； 均不成立CBAD,,。

20．设0x，)(xf满足关系式 xaxfxf)1()(2 )(为常数a，则 )(xf为 ( )

A单调函数； B奇函数；

C偶函数； D周期函数。

21．0，最多只有有限个),(AAan是Aannlim的 ( )

)(A充分条件，但不是必要条件； )(B必要条件，但不是充分条件；

)(C充分必要条件； )(D既非充分也非必要条件。

22．0，有无穷多个),(AAan是Aannlim的 ( )

)(A充分条件，但不是必要条件； )(B必要条件，但不是充分条件；

)(C充分必要条件； )(D既非充分也非必要条件。 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

4页 23．设aannlim,则 ( )

收敛数列}{)(naA； aaBnnlim)(；

aaCnnlim)(； 不一定收敛数列}{)(naD。

24．若axnnlim，0)(limnnnxy，则数列}{ny ( )

)(A收敛于a；

)(B不一定收敛；

)(Cayxyxynnnnnnnnnlim,limlim)(lim0；

)(D 不收敛

25．当0x时,Sinxx是2x的

(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但非等价的无穷小.

26．当满足，当时，xxxyx210 ( )才能使410y成立。

（A） 0〈x〈21014； （B）x210140； （C）0〈x〈21014，

（D）0〈x〈,21014

27．极限)sin(limxxx= ( )

（A）不存在； （B）0； （C）1； （D）。

28．(1)若)(xfy与)(1yfx互为反函数，则关系式（ ）成立。

A ))((1xffx B ))((1xffy C ))((yffx D 以上都不对

(2)设n是整数，则nnxxxf)(是（ ）。

A 偶函数 B 既是奇函数又是偶函数 C 奇函数 D 非奇非偶函数

29．xy1sin在定义域内是（ ）

A 单调函数 B 周期函数 C 无界函数 D 有界函数

30．已知数列}))1(1{(}{nnnx，则（ ）

A nnxlim=0 B nnxlim= ∞ C nnxlim∞，但无界 D 发散，但有界

31． )2222(lim284nn= （ ） 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

5页 A 2 B 24 C 22 D 以上都不对

32．若极限axfxx)(lim0（常数），则函数)(xf在点0x ( )

A 有定义且axf)(0 B 不能有定义

C 有定义，但)(0xf可以为任意数值 D 可以有定义也可以没有定义

33．若limlimnnnnxy, 则

(A) xynn (B) n, xynn

(C) N, 使当nN时, xynn (D) xynn与大小关系不定

34．xfxarcx01是()tan 的

(A) 连续点 (B) 跳跃间断点

(C) 可去间断点 (D) 无穷间断点

35． 极限limcosxxx0= ( )

(A) e2 (B) e1

(C) e2 (D) e2

36．若bxaxxf2)(和baxxg)(, 其中0ba, 其图形只能是( )

37．下列关于实数列的命题是正确的为 ( )。

(A) 若序列{}xn收敛, {}yn发散, 则}{nnyx和}{nnyx均发散；

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函数极限的几种求解方法

函数极限的几种求解方法

函数极限的几种求解方法

函数极限是微积分中的一个重要概念，也是许多数学问题的重要工具之一。在实际问题中，任何一个变量的变化都必须到达一个极限值才能意味着问题的解决。因此，求函数极限是应用数学的重要基础。下面介绍几种求解函数极限的方法。

方法一：直接代入法

直接代入法是一种常见的求解函数极限的方法。它的基本思路是将极限中的变量直接带入函数中，然后求出函数的值。这种方法通常适用于简单的函数极限，即使该函数在某些点是不连续的也可以用这种方法求解。

例如：求函数

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

当$x→1$时的极限值。

使用直接代入法，我们将x=1代入$f(x)$中得：

根据这个式子，可以发现除数为零的情况，也就是该函数在$x=1$处不连续。因此，使用直接代入法不能解决这种情况下的函数极限。

方法二：化简法

化简法是另一种求解函数极限的常用方法。其基本思想是通过对函数进行一系列数学加减乘除的运算，将原来等价于某个特定值的函数表示成另一种形式，从而使得求解函数极限的问题变为更加容易的形式。

不难发现，当$x=2$时，函数中的分母为零，因此我们无法使用直接代入法，需要采用其他方法求解。考虑对上式进行化简：

$$\begin{aligned} f(x)&=\frac{x^3-3x^2-4x+12}{x-2} \\

&=\frac{(x^3-8)-3(x^2-4)}{x-2} \\ &=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)-3(x-2)(x+2)}{x-2} \\

&= x^2+2x+4-3(x+2) \\ &= x^2-x+2 \end{aligned}$$

$$f(2)=2^2-2×2+2=4-4+2=2$$

因此，当$x→2$时，函数$f(x)$的极限值为$2$。

方法三：洛必达法则 洛必达法则是一种特殊的求解函数极限的方法。它指出，当一个函数的分子和分母都趋近于零或正无穷时，我们可以用该函数的导数来求出该函数的极限值。

14-函数与极限习题与答案(证明题)

14-函数与极限习题与答案(证明题)

高等数学

三、证明题（共 124 小题，）

1、)1()( , 5522)(22tftftttttf证明设。

2、

)1()()(,11ln)(yzzyfzfyfxxxf证明设).1,1(zy式中

3、)()2()2( 1 , )1lg()(2yFyFyFyxxF时有证明当设。

4、)()()( , )(yxfyfxfetft证明　设　。

5、证明是奇函数fxxx()()()2323。

6、

，，设axaxxxxxf1)()( arctan)(

。，验证：，)()()()11(afxfxfxa

7、证明ShxChxChx222。

8、

验证。22ShxChxShx

9、验证ShShChChSh()。

10、验证ShShChChSh()。

11、验证ChChChShSh()。

12、验证ChChChShSh()。

13、验证1122thxchx。

14、验证1122cthxshx。

15、

反例。，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定：，都是无界数列，，设数列nnnnnnzyxzyx

16、

nnnnnbnnnnnnnnnbabanbabbaabalimlimlimlim)21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设

17、

．收敛，并求极限，试证数列，，．，，设nnnnnnxxnxxxxlim)21(2)20(211

18、

．试证明，，且的某去心邻域内若在BABxgAxfxgxfxxxxx ; )(lim)(lim)()(000

19、

0)(lim0)(lim)()(000xfxxxfxxxxx，试证明，且的某去心邻域内若在

函数的极限练习题

函数的极限练习题

函数的极限练习题

1. 求下列函数的极限：

a) 当 x 趋近于 2 时，求函数 f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) 的极限。

b) 当 x 趋近于 0 时，求函数 g(x) = (sin x) / x 的极限。

c) 当 x 趋近于 1 时，求函数 h(x) = (ln x) / (x - 1) 的极限。

2. 利用极限的性质求下列极限：

a) 求函数 f(x) = √(x + 1) - 1 的极限，其中 x 趋近于 0。

b) 求函数 g(x) = (e^x - 1) / x 的极限，其中 x 趋近于 0。

c) 求函数 h(x) = (1 - cos x) / x 的极限，其中 x 趋近于 0。

3. 求下列函数的极限：

a) 当 x 趋近于 0 时，求函数 f(x) = (1 + x)^k - 1 的极限，其中 k 为常数。

b) 当 x 趋近于 ∞ 时，求函数 g(x) = (x^n) / (e^x) 的极限，其中 n 为常数。

c) 当 x 趋近于 0 时，求函数 h(x) = (e^(kx) - 1) / (x^2) 的极限，其中 k 为常数。

4. 求下列函数的极限：

a) 当 x 趋近于 0 时，求函数 f(x) = (1 - cos x) / x^2 的极限。 b) 当 x 趋近于 ∞ 时，求函数 g(x) = (ln(x^2 + 1)) / (x + 1) 的极限。

c) 当 x 趋近于 ∞ 时，求函数 h(x) = (x - e^x) / (x + e^x) 的极限。

思路拓展：

对于极限问题的解答，我们可以利用基本的极限公式、L'Hôpital 法则、夹逼定理等进行求解。其中，基本的极限公式包括：

- 当 x 趋近于 0 时，lim(x→0) sin x / x = 1

- 当 x 趋近于 ∞ 时，lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e

函数的极限

函数的极限

高等数学 函数的极限知识点归纳整理

引语： 函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成

的。

1. 定义

设函数在点

的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值 都 满足不等式：

那么常数A就叫做函数 当 时的极限，记作

2. 概念

函数极限可以分成

以的极限为例， f(x) 在点

以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数

，使得当x满足不等式

时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。

3. 数列的极限形式（1种）和函数极限形式（6种）：

附课堂老师提到的相关概念和知识

1. “ε－N”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往无穷大（小）的方向变化；

“ε－δ”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往某一个点无穷接近的方向变化；

2. 去心邻域：

在高等数学中，我们经常会用到一种特殊的开区间(a

-δ，a + δ)，称这个开区间为点a的邻域，记为U(a，δ)，即

U(a，δ) = (a - δ，a + δ)，

称点a为邻域的中心，δ为邻域的半径 。

通常 δ是较小的实数，所以，a的δ邻域表示的是a的邻近的点 ，如下图所示。

点a的邻域

有时候，我们只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x | a-δ

Ů(a，δ) = {x | a - δ < x < a或a < x < a + δ}，

如下图所示。 点a的去心的邻域

3.函数的有界和无界

函数的有界性指的是函数值取值范围的有限性,例如 正弦函数f(x)=sin x ,取值范围是 -1到1 ,是一个有限的范围,因此可以说这个函数有界,而 y=x 这个函数的取值范围是 R,是一个无限的范围,所以可以说这个函数无界.