函数与极限练习题

函数及极限练习题

1 / 17 第一章 函数及极限

§1 函数

一、是非判断题

1、)(xf在X上有界，)(xg在X上无界，则)()(xgxf在X上无界。 [ ]

2、)(xf在X上有界的充分必要条件是存在数A及B，使得对任一Xx都有

BxfA)( [ ]

3、)(),(xgxf都在区间I上单调增加，则)(·)(xgxf也在I上单调增加。 [ ]

4、定义在（，）上的常函数是周期函数。 [ ]

5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ]

6、)(xf为（，）上的任意函数，则)(3xf必是奇函数。 [ ]

7、设)(xf是定义在aa,上的函数，则)()(xfxf必是偶函数。 [ ]

8、f(x)=1+x+2x是初等函数。 [ ]

二．单项选择题

1、下面四个函数中，及y=|x|不同的是

（A）||lnxey （B）2xy （C）44xy （D）xxysgn

2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。

（A）sin3x （B）x3+1 （C）x3+x （D）x3-x

3、设)(,2)(,)(22xxfxxfx则函数是

（A）x2log （B）x2 （C）22logx （D）2x

4、若)(xf为奇函数，则 也为奇函数。

(A));0(,)(ccxf (B) )0(,)(ccxf (C) );()(xfxf (D) )].([xff

三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。

1、 y=)1arctan(xe

2、 y=xxx

3、 y=xlnlnln

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四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。

（1） f()2x

(2) f(sinx)

(3) f(x+a) (a>0)

(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)

五．设,,2)(xxxf 00xx ，,3,5)(xxxg 00xx，求)]([xgf及)]([xfg。

六．利用xxfsin)(的图形作出下列函数的图形：

1．|)(|xfy 2。|)(|xfy

3．2)(xfy 4。)2(xfy

5．)(2xfy 6。)2(xfy

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§2 数列的极限

一 是非判断题

1、当n充分大后，数列nx及常数A越来接近，则.limAxnx [ ]

2、如果数列nx发散，则nx必是无界数列。 [ ]

3。如果对任意,0存在正整数N，使得当n>N时总有无穷多个nx满足|nx|a，

则 .limaxnn [ ]

4、如果对任意,0数列nx中只有有限项不满足|nx|a，则.limaxnn [ ]

5、若数列nx收敛，列ny发散，则数列nnyx发散。 [ ]

二．单项选择题

1、根据 axnnlim的定义，对任给,0存在正整数N，使得对n>N的一切xn，不等式axn都成立这里的N 。

（A）是的函数N()，且当减少时N（）增大； （ B）是由所唯一确定的

（C）及有关，但给定时N并不唯一确定 （D）是一个很大的常数，及无关。

2、为偶数当为奇数当nnnxn,10,17则 。

（A）;0limnnx （B）;10lim7nnx

（C）;,10,,0lim7为偶数为奇数nnxnn (D) 不存在nnxlim

3、数列有界是数列收敛的 。

（A）充分条件； （B）必要条件；

（C）充分必要条件； （D）既非充分又非必要条件。

4、下列数列nx中，收敛的是 。

（A）nnxnn1)1(（B）1nnxn（C）2sinnxn（D）nnnx)1(

三．根据数列极限的定义证明。

（1） 01lim2nn （2）321312limnnn

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4 / 17 （3）0sinlimnnn （4）21)21(lim222nnnnn

四、若0limnnx，又数列ny有界，则0limnnnyx。

五、若axnnlim，证明||||limaxnn。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出

反例。

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5 / 17 §3 函数的极限

一 是非判断题

1、如果)(0xf=5，但则,4)0()0(00xfxf)(lim0xfxx不存在。 [ ]

2、)(limxfx存在的充分必要条件是)(limxfx和)(limxfx都存在。 [ ]

3、如果对某个,0存在,0使得当0<||0xx时，有,|)(Axf那末

.)(lim0Axfxx [ ]

4、如果在0x的某一去心邻域内，,0)(xf且.0,)(lim0AAxfxx那末 [ ]

5、如果Axfx)(lim且,0A那么必有,0X使x在XX,以外时.0)(xf [ ]

二．单项选择题

1、从1)(lim0xfxx不能推出 。

（A）1)(lim00xfxx （B）1)0(0xf （C）1)(0xf （D）0]1)([lim0xfxx

2、)(xf在0xx处有定义是)(lim0xfxx存在的 。

（A） 充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件

（C） 充分必要条件； （D）既不是充分条件也不是必要条件

3、若,11)(,1)1()(22xxxgxxxf则 。

（A）)()(xgxf （B）)()(lim1xgxfx

（C）)(lim)(lim11xgxfxx （D）以上等式都不成立

4、)(lim)(lim0000xfxfxxxx是)(lim0xfxx存在的 。

（A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件

（C）充分必要条件； （D）既不是充分条件也不是必要条件

四．根据函数极限的定义证明

（1）8)13(lim3xn （2）444lim22xxx

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6 / 17 （3）2121lim33xxx （4）2)4(lim2xxxx

五．求xxx0lim

六．设f(x)=1;21;13xxxx

求（1）)(lim1xfx （2）)(lim2xfx （3）)(lim0xfx

七．设函数||35||3)(xxxxxf，求

（1）)(limxfx （2）)(limxfx （3）)(lim0xfx （4）)(lim0xfx（5）)(lim0xfx

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7 / 17 §4无穷小及无穷大

一、是非题

1、零是无穷小。 [ ]

2、x1是无穷小。 [ ]

3、两个无穷小之和仍是无穷小。 [ ]

4、两个无穷小之积仍是无穷小。 [ ]

5、两个无穷大之和仍是无穷大。 [ ]

6、无界变量必是无穷大量。 [ ]

7、无穷大量必是无界变量。 [ ]

8、0,xx是时的无穷小，则对任意常数A、B、C、D、E，

EDaCBAa22也是0xx时的无穷小。 [ ]

二．单项选择题

1、若x是无穷小，下面说法错误的是 。

（A）x2是无穷小；（B）2x是无穷小； （C）x-0．0001是无穷小；（D）-x是无穷小。

2、在X→0时，下面说法中错误的是 。

（A）xsinx是无穷小（B）是无穷小xx1sin (C)x1sinx1是无穷大; (D)x1是无穷大。

3、下面命题中正确的是 。

（A）无穷大是一个非常大的数； （B）有限个无穷大的和仍为无穷大；

（C）无界变量必为无穷大； （D）无穷大必是无界变量。

三．下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量

（1） lnx )1(x及)0(x （2）)21(sinxx )0(x