(完整版)函数极限习题与解析
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同济大学第六版高等数学)
、填空题
设 f(x) 2 x lglg x ，其定义域为 。
设 f(x) ln(x 1) ，其定义域为 。
设 f(x) arcsin( x 3) ，其定义域为 。
设 f (x)的定义域是 [0 ， 1] ，则 f(sin x)的定义域为
设 y f ( x)的定义域是 [0，2] ，则 y f (x2 )的定义域为
x 2x k lim 4 ，则 k= x 3 x 3
x 函数 y 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 sinx
sin2x
若当 x 0时 ， f(x) ，且 f (x)在x 0处连续 ，则 f (0)
x
、函数 f(x)在 x0处连续是 f(x)在 x0连续的 条件。
(x3 1)(x2 3x 2)
53 2x5 5x3
lim (1 2)kn e 3 ，则 k= n
x2 1
2 的间断点是 x 3x 2
、当 x 时， 1 是比 x 3 x 1 的无穷小。 x 1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10
11
12
13
14 lnim(n2 1 n
n2 2 n2n n) nn
、函数 y 15 、当 x 0时，无穷小 1 1 x 与 x 相比较是 无穷小。
1
16、函数 y ex 在 x=0 处是第 类间断点。
x0
若 lim f (x) 存在 ，则 a=
(1 ax) x x 0
x sin x
20、曲线 y 2 2 水平渐近线方程是
x
21、 f (x) 4 x x1 22 1的连续区间为
a=
、计算题
1、求下列函数定义域
2 ) y sin x ；
2
3) y e x ；
2、函数 f (x) 和 g(x) 是否相同？为什么？ 17 、设 y 3 x 1
x1 ，则 x=1 为 y 的 间断点。
18 、已知 f 3， 则当 a 为
3 时，函数 f (x) asinx sin3x在 x 3 3处连续。
sin x
19、设 f (x) 2x
xa,x
22 、设 f (x) cosx , x 0
00 在 x 0连续 ，则常数
1
1 x2
3) f (x) 1 g(x) sec2 tan 2
x；
3、判定函数的奇偶性
22 1) y x2 (1 x2) ； 2) 2
y 3x 2 3
x；
3) y x(x 1)( x 1)
4、求由所给函数构成的复合函数
u2 sin v x2
u,
sin x
5、计算下列极限
1) 1 lnim (1 12 lim n 12 3 (n 1) ；
2；
n
3) lim x2 5
x2x 4) lxim1 x 2 2x 1
x 2 1 ；
5) lim
(1 x 1 )(2 x 1
2) x 6) lxim2 x3 2x 2 ；
(x 2) 2 ；
7) lim x 2
x0 1 sin x 8) x2 1
lxim1 3 x 1 x
9) lim x( x2
x 1 x)
6、计算下列极限
sin wx 1) lim x 0 x sin 2 x lim ； x 0 sin 5 x
3) lim xcot x
x0 4) lxim(1xx)x；
x 1 x 1
(5) lim ( )x 1 ；
x x 1
7、比较无穷小的阶 1 6)lim (1 x)x ； x0
(1) x 0时 ， 2x x2与 x2 x3 4 ；
12
(2) x 1时 ， 1 x与 (1 x2) ；
8、利用等价无穷小性质求极限
2) lim sin(x m) (n , m是正整数 ) ； x 0 (sin x)m
9、讨论函数的连续性 10、利用函数的连续性求极限
B)
1、设 f(x) 的定义域是 [0 ，1] ，求下列函数定义域
4)lim (1 1)2x
x 1) lim ln(2cos2x)
x
6 2) lim ( x2 x
x x2 x) ；
3) lim ln sin x ；
x 0 x
5) 设f (x) lim(1
n xn)n n ,求 lim
t1 f(t 1
11)
6) lim xln( x 1) x x 1
11 、设函数 f(x) a x0
x0
应当怎样选择 a ，使得 f (x)成为在 ( ) 内的连续函数。
12、证明方程 x5 3x 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间。 1 ) lim
x0 tanx sin x 3 sin x 1) y f (ex) 2) y f(ln x)
0
2、设 f(x) x xo
x0 g(x) 0,x0 x2 , x 0
求 f[f (x)] , g[g(x)] f[g(x)] , g[f (x)]
3、利用极限准则证明：
1) lnim 1 1 2) lim x[1] 1 ； x 0 x
3 )数列 2 , 2 的极限存在 ；
4、试比较当 x 0 时 ，无穷小 2x 3x 2与 x的阶。
5、求极限
1) lim x( x2 1
x x) 2)lim(2x 3)x 1
x 2x 1
3) tanx sin x lim 3 x 0 x3
4) x
lim(a x0 (a 0,b 0,c 0) ；
6、设 f(x) 1 xsin x
2 ax 要使 f(x)在 ( ) 内连续，
应当怎样选择数
7、设 f(x) 1
ex1
求 f (x) 的间断点，并说明间断点类型。 ln(1 x)
C)
1、已知 f(x) x2
e f[ (x)] x ，且 (x) 0 ，求 (x) 并写出它的定义域。
2、求下列极限：
1)、 lim [cos ln(1
x x) cosln x] ；(2)、 m li xsinx cosx
； x
3 )、求 lim
x 3x2 5
5x 3 2 sin x x 已知 lim ( xx a)x
a 9 ，求常数 a
5）、设 f （x）在闭区间 [a,b]上连续 ，且 f （a）
a f(b) b
证明：在开区间 （a , b）内至少存在一点 ，使 f
（ ）
第一章 函数与极限
习题解析
（A）
一、填空题
（1）（1 , 2] （2）
（
（ 4） x 2k x （2k 1）
（6）-3 （7） x k ,k
1
（10 ）充分 （11）
2
（15 ）同阶 （16）二
（20 ）y=-2 （21 ）[
二、计算题 12)
17 ）可去
2 ,1] (1,2] （3） [2 ，4]
（5）[ 2, 2]
0 ( 8)2 （9）1
(13 ) x=1 , x=2 ( 14 ）高阶
（18）2 （19） -ln2
22)1
)
z
x
3
2
1、(1) ( , 1) ( 1,1) (1, )
2) [ 0, ) 3)( ,0) (0, )
