垂径定理(1)

9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）

课题组

一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；

2. 垂径定理解读：

（1）条件：“弦”可以是直径；

（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；

3. 垂径定理的三种语言：

文字语言 图形语言 几何语言

是直径（AB过圆心）

二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）

1.回顾（补充）学习：

轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.

2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.

3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答.

三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）

【典例】如图，已知圆O的半径为mm30，弦AB=mm36，求点O到AB的距离及OAB的正弦值．

一读：关键词：半径,弦.

二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.

重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.

三解：解： 过 圆心O作 于M

;DMAM;ADAC;BDBCABMCDAB,于18362121ABAMABOM ABOM

在 中，

由勾股定理得：

在 中，

所以，点 到AB的距离为mm24，OAB的正弦值为

DCEOBA垂径定理(第2课时)

课题 垂径定理(第2课时) 备课时间 第9周1课时

课型 习题提高课 执教时间

教

学

目

标 知识与技能 1. 进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.

2. 利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题

过程与方法 1. 经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论。

2. 在利用垂径定理解决数学问题的过程中，注意运用迁移和数形结合等数学思想与方法。

情感态度价值观 学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。

教学重点 垂径定理的推论

教学难点 垂径定理及推论的应用

教具

教

学

过

程 问题与情境 师生行为 备注与修改

示标导学 1. 一节课学习的垂径定理及推论的内容是什么？你能结合图形利用符号语言来说明吗？

2. 在垂径定理及其推论中，条件有几个，结论有几个？你知道知二得三的含义吗？

3. 如图，若AB是⊙O中的一条弦，而另一条弦CD是它的垂直平分线，则CD过圆心，即是否是这个圆的直径？如何说明。 问题1复习上节课所学，主要由教师提出问题，学生回顾后进行回答。

问题2由学生思考后进行总结和体会。

问题3由教师提出，学生思考，教师并不急于得到答案，只是作为问题情境，引出本节课的内容。

自学解疑 1. 垂径定理的其它推论

（1） 如上图，若弦CD垂直平分另一条弦AB，则是否可以根据圆的对称性得到，BC是圆的直径？且CD是否平分弦所对优弧和劣弧？

（2） 如果条件为CD平分AB所对的优弧和劣弧，则CD是直径吗？CD平分且垂直于弦AB吗？

（3） 根据“知二得三”规律，你还能变化出结合刚才得出的问题，教师引导学生利用圆的对称性来解决问题1。

可以继续利用对称性来解释问题2。

教师循序渐进提出问题3，引导学生进行思考。

教学反思：

“垂直于弦的直径”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点，由于垂径定理的题设和结论都较复杂，因此，理解和证明定理是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课。

专题2.3 垂径定理【十大题型】

【苏科版】

【题型1 利用垂径定理求线段长度】....................................................................................................................1

【题型2 利用垂径定理求角度】............................................................................................................................5

【题型3 利用垂径定理求最值】............................................................................................................................9

【题型4 利用垂径定理求取值范围】..................................................................................................................13

【题型5 利用垂径定理求整点】..........................................................................................................................18

【题型6 利用垂径定理求面积】..........................................................................................................................22

垂径定理

1.弦心距：

（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.垂径定理及推论：

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦

（5）平行弦夹的弧相等。

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。

2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。

3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径

1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1 ⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC的长为（ ）

A 3cm B 2.5cm C 2cm D 1cm

2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是( )

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

3、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC的内部，090,1,6BACOABC，则圆O的半径为（

）

Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213

A