南京市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(含解析)
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2017-2018学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷
一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置
上
1. 2sin15 °os15° _____________ .
2•经过两点 A (1, 1), B (2, 3)的直线的方程为 __________________ .
3. _______________________________________________________ 在等差数列｛an｝中，已知ai=3, a4=5，贝卩a7等于 ________________________________________ .
4. _____________ 在平面直角坐标系 xOy中，若直线I : x - 2y+m -仁0在y轴上的截距为=,贝U实数m的 值为 ___ .
5. 不等式一> 3的解集是 ______________ .
6. 在平面直角坐标系 xOy中，若直线I: y -仁k (x-二)不经过第四象限，则实数 k的
取值范围是 ______________ .
7. _______________________________________________ 如图，正方形 ABCD的边长为1，忑所对的圆心角/ CDE=90 °将图形ABCE绕AE所 在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为 .
&在△ ABC中，角A , B, C的对边分别为 a, b, c,若2csinA=atanC，则角C的大小
是 _____________ .
9. 记数列｛ch｝的前n项和为Sn，若对任意的n€ N*，都有Sn=2an - 3,则数列｛an｝的第6项
a6= __________ .
10. 正三棱柱ABC - A1B1C1的底面边长为2，高为3,点P为侧棱BB 1上一点，则三棱锥
A - CPC1的体积是 ____________ .
11. 设m, n是两条不同的直线， _____________________________ a, 丫是三个不同的平面.在下列命题中，正确的是 ____________
(写出所有正确命题的序号)
① 若 m // n, n //a,贝 U m // a 或 m? a;
② 若 m// a, n //a, m? 3, n? 3,贝 U a// 3；
③ 若a丄Y, 3丄Y,贝y all 3；
④ 若 a// 3, 3〃 Y m丄 a ,贝y m± Y
12 .在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数 f (x) =x +bx+c与x轴交于A (- 1 , 0), B (2 , 0)两点，则关于 x的不等式x2+bx+c< 4的解集是 ______________________________.
1 %
13. 在平面直角坐标系 xOy中，已知第一象限内的点 P(a,b)在直线x+2y -仁0上，则.+ 的最小值是
2
14. ______________________________ 已知等差数列｛an｝是有穷数列，且R,公差d=2，记｛a“的所有项之和为 S,若ai +S <96，则数列｛an｝至多有 项.
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明，证明过程或演算步骤
15. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A (2, 4),直线I: x - 2y+1=0 .
(1) 求过点A且平行于I的直线的方程；
(2) 若点M在直线I上，且AM丄I，求点M的坐标.
3
16. ( 1)已知COSa=m, a为锐角，求tan2 a的值； 5
jr 只
(2)已知sin (肝 )=——,B为钝角，求cos B的值. 4 13
17. 如图，已知直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且/ BCD=60 ° P为AD 1 的中点，Q为BC的中点
(1) 求证：PQ//平面 D1DCC1;
(2) 求证：DQ丄平面B1BCC1.
18. 某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框， 其内框与外框均为矩形， 并用木条
相互连结，连结木条与所连框边均垂直. 水平方向的连结木条长均为 8cm,竖直方向的连结 木条长均为4cm，内框矩形的面积为 3200cm2 1 3.(不计木料的粗细与接头处损耗)
(1 )如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？
(2 )如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？
19. 如图，在△ ABC 中，/ BAC=120 ° AC=3 , △ ABC
上-一•占
—I~*■ 八 '、♦
(1 )求BC的长；
(2)当AD= 时，求cos/ CAD的值. a+b b
:,D为边长BC
20. 记等比数列｛an｝前n项和为Sn,已知a〔+a3=30, 3Si, 2S2, S3成等差数列.
(1) 求数列｛an｝的通项公式；
(2) 若数列｛bn｝满足bi=3，bn+1- 3bn=3an,求数列｛bn｝的前n项和Bn；
(3) 删除数列｛an｝中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，余下的项按原来的顺序组
T 成一个新数列，记为｛Cn｝ , ｛Cn｝的前n项和为Tn，若对任意n € N*，都有」!_>a,试求实 T 1 n
数a的最大值.
20仃-2018学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置 上
1. 2sin15 °os15° 丄 . —
【考点】二倍角的正弦.
【分析】根据式子的特点直接代入倍角的正弦公式求解即可.
【解答】解：原式=sin30 ° , 2
故答案为：'. 2
2•经过两点 A (1, 1), B (2, 3)的直线的方程为 2x - y-仁0
【考点】直线的两点式方程.
【分析】 直接利用直线的两点式方程求解即可.
【解答】 解：经过两点A (1, 1), B (2, 3)的直线的方程为：
即 2x - y - 1=0 . 故答案为：2x - y -仁0 .
3.在等差数列｛an｝中，已知a1=3, a4=5，则a等于 7 .
【考点】 等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列通项公式先求出公差，由此能求出第 7项.
【解答】解：•••在等差数列｛an｝中，a1=3 , a4=5,
3+3d=5，解得 d=〒,
3=3+6 x4r=7.
故答案为：7.
4.在平面直角坐标系 xOy中，若直线I : x- 2y+m -仁0在y轴上的截距为=,贝U实数m的 值为 2 .
【考点】直线的截距式方程.
【分析】将直线方程化为斜截式，根据条件列出方程求出 m的值.
【解答】 解：由x-2y+m-仁0得，y==x+—^―-
•••直线l: x - 2y+m -仁0在y轴上的截距为y_ 3 x-2
3-1=2Z1
=，解得 m=2 ,
2 2
故答案为：2.
5 •不等式一＞ 3的解集是 （0,）.
【考点】其他不等式的解法.
【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式， 由一元二次不等式的解法求出不等式的解
集.
1 1 — 3 x
【解答】解：由一＞■二得—— ■■ ■ I, * K
则 x （1 - 3x）＞ 0,即 x （ 3x- 1）v 0,解得 Q".，•, 3
所以不等式的解集是（0,'）, 3
故答案为：（0,）. 3
6•在平面直角坐标系 xOy中，若直线I: y -仁k （x-二）不经过第四象限，则实数 k的 取值范围是 ［0,—二］•
3
【考点】 直线的一般式方程.
【分析】由直线I不经过第四象限，得到xw 0, y＞0,求出k的最小值，经过原点时k最大, 求出k的最大值，则实数 k的取值范围可求.
【解答】 解：•••直线I: y-仁k （x-二）不经过第四象限，则 xw 0, y＞0,
• k的最小值为kmin=0 ,
经过原点时k最大，
7•如图，正方形 ABCD的边长为1，忑所对的圆心角/ CDE=90 °将图形ABCE绕AE所 在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为 5 n . • k的最大值为 厂1 0-1迟
k忙 = 二,
则实数k的取值范围是［0,
故答案为:
【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意判断形成的几何体是组合体： 上面半球、下面是圆柱，由球和圆柱的表面积
公式求出形成的几何体的表面积.
【解答】 解：由题意知，形成的几何体是组合体：上面半球、下面是圆柱，
•••正方形ABCD的边长为1,/ CDE=90 °
•••球的半径是1，圆柱的底面半径是 1、母线长是1 ,
•••形成的几何体的表面积 S= -I •乜一「「J
=5 n,
故答案为：5 n
&在△ ABC中，角A , B, C的对边分别为 a, b, c,若2csinA=atanC，则角C的大小是
n
-
【考点】正弦定理.
【分析】根据正弦定理和商的关系化简已知的式子， 由内角的范围和特殊角的三角函数值求
出C的值.
【解答】解：T 2csinA=atanC ,
•••由正弦定理得， 2sinCsinA=sinAtanC ,
贝U 2sinCsinA=sinA
cosC
由 sinCsinA 丰 0 得，cosC=, 2
0 v C v n, •• C=—, 3
n
故答案为：.
9•记数列｛为｝的前n项和为Sn，若对任意的n€ N，都有Sn=2an - 3,则数列｛an｝的第6项 a6= 96 .
【考点】数列递推式.
【分析】当n >2时通过Sn=2an - 3与Sn- 1=2an-1 - 3作差，进而整理可知数列｛ an｝是首项为 3、公比为2的等比数列，计算即得结论.
【解答】解：T Sn=2an - 3,
•••当 n> 2 时，Sn - 1=2an-1 - 3,
两式相减，得：an=2an - 2an- 1，即卩 an=2an -1,
又••• S1=2a1 - 3, 即 a1=3,
•数列｛an｝是首项为3、公比为2的等比数列，
. 6-1 …a6=3 X 2 =96,
故答案为：96.
10. 正三棱柱ABC - A1B1C1的底面边长为2,高为3,点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥
A - CPC1的体积是 .
