分线段成比例定理

初二数学学习指导

平行线分线段成比例定理

[学习目标]

知识目标：在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用。会作已知线段成已知比的作图题。

能力目标：通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的

图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力。

德育目标：通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美。

[学习指导]

平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质与判定是本节的重点。平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用是本节的难点，通过比例变形或借助“中间比”来证明线段成比例是又一难点。

[导读提示]

1在四边形一章里我们学过平行线等分线段定理，如图（1）

∵l1∥l2∥ l3 AB=BC

分线段成比例定理

分线段成比例定理

定义

分线段成比例定理是指一条直线上的两个点A、B以及另外一点C，如果AC/BC等于一个常数k，则称A、B、C三点在这条直线上成比例，k为这个比例的常数。

定理表述

在一条直线上，如果有两个点A、B以及另外一点C，使得AC/BC=k，则称A、B、C三点在这条直线上成比例。其中k为常数。

证明

假设有一条直线AB和一个点C，且AC/BC=k。

根据相似三角形的性质，可以得到：

∆ABC ~ ∆ABD

因此，

AC / AB = AB / AD

解得：

AD = AB² / AC

同理，

BD = AB² / BC

因此，

AD / BD = (AB² / AC) / (AB² / BC) = BC / AC = k

因此，A、B、C三点在这条直线上成比例。

应用举例

1. 证明中位线定理：在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的那条边被称为中位线。如果连接三角形的任意两个顶点并将它们延长至交于第四个点，则第四个点到第三个顶点所在边的距离等于第四个点到第二个顶点所在边的距离。这个定理可以通过分线段成比例定理证明。

2. 证明角平分线定理：在一个三角形ABC中，假设有一条从顶点A到边BC上的点D的直线，使得∠BAD和∠DAC相等。则AD被称为角ABC的平分线。这个定理可以通过分线段成比例定理证明。

3. 证明圆周角定理：如果一个角的顶点位于圆心上，则这个角是圆周角，它所对应的弧长是该圆周上与该角相应的弧长的一半。这个定理可以通过分线段成比例定理和同弧度量定理证明。

总结

分线段成比例定理是几何学中非常重要的一个基本概念。它在许多几何问题中都有广泛应用，例如中位线、角平分线、圆周角等问题。因此，深入掌握这个概念对于学好几何学非常重要。

分线段成比例定理

分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理，它是解决线段比例问题的基础。在学习这个定理之前，我们需要先了解一些基本概念。

线段是由两个端点确定的一段直线。我们可以用字母表示一个线段，比如AB表示由点A和点B确定的线段。线段的长度可以用两个端点的坐标计算出来。

比例是指两个数之间的关系。比如，如果A和B两个数的比例为2:3，我们可以表示为A/B=2/3。在这个比例中，2被称为比例的第一项，3被称为比例的第二项。

有了这些基本概念，我们就可以来学习分线段成比例定理了。这个定理的表述如下：

在一条直线上，如果有两个点C和D分别在线段AB的两侧，且AC:CB=AD:DB，那么C和D就把线段AB分成了两个比例相等的线段。

这个定理的意思是，如果我们在一条直线上找到两个点，它们分别在一个线段的两侧，并且它们到这个线段的两个端点的距离之比相等，那么这两个点就把这个线段分成了两个比例相等的线段。

为了更好地理解这个定理，我们可以通过一个例子来说明。假设有一条线段AB，长度为10个单位。现在我们在这条线段的两侧分别找到两个点C和D，它们到A点的距离分别为3个单位和7个单位，到B点的距离分别为7个单位和3个单位。那么根据分线段成比例定理，我们可以得到：

AC:CB=AD:DB

3:7=7:3

也就是说，C和D把线段AB分成了两个比例相等的线段，其中AC:CB=3:7，AD:DB=7:3。

这个定理在解决数学问题时非常有用。比如，我们可以用它来求解线段的长度、坐标等问题。下面我们来看几个例子。

例1：已知线段AB的长度为10个单位，点C在线段AB的左侧，且AC:CB=2:3，求线段AC的长度。

根据分线段成比例定理，我们可以得到：

AC:CB=2:3

设AC的长度为x，则CB的长度为10-x。代入上式，得到：

x/(10-x)=2/3

通过移项和化简，可以得到：

x=20/5=4

因此，线段AC的长度为4个单位。

平行线分线段成比例定理(一)

一、学习目标

1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用。

2．通过学习定理，再一次培养同学们类比的数学思想。

3．渗透理解从特殊到一般的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点、疑点及解析

1．重点是平行线分线段成比例定理及其应用。

2．难点是平行线分线段成比例定理的正确性的说明。

3．疑点是由定理可得到六个比例，如图5－5而言，与横线段无关，这里要知道。定理中“能得的对应线段成比例”，是“被截得的”，要分清是谁截谁。

三、学习过程

(一)复习

自己叙述平行线等分线段定理。

(二)讲解新课

在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理。

首先复习一下平行线等分线段定理，如图5-5：

∵ l1∥l2∥l3，且AB=BC，

∴ DE=EF。

自己可以画三条平行线，并作出两条直线分别与这些平行线相交，用尺子进行测量并计算。

(该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过测量计算可以得到比例仍成立)

由比例性质，还可得到：

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。

根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个参见图5-6～图5-7。

∵ l1∥l2∥l3，

其中图5-8，图5-9两种情况仍然成立，下一节我们会学习这部分更具体的内容。

例1 已知：如图5-6，l1∥l2∥l3，若AB=3，DE=2，EF=4，

求：BC。

解：自己来完成。

注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：