比例线段和平行线分线段成比例定理

尖子训练营 八年级数学 92 第十三节 平行线分线段成比例

【知识要点】

1．如图1所示，1l∥2l∥3l，则ABDEBCEF．由此运用比例的性质．

结合线段的加减法，可推出一系列的比例式

注意：平行截得的线段注意三类对应关系：

,,上上上上下下下下全全全全（均为同一直线上两线段之比）

根据比例的性质：1l∥2l∥3ABBCAClDEEFDF，此为两直线上对应线段之比，即左比右等左比右．

（2）我们将图1变换为图2，即在ABC中，DE∥BC，则ADAEDEABACBC．

（3）如图3所示，AD是ABC的内角BAC的平分线，则BDABDCAC．

（4）总结：上述3个几何线段比例式命题，它们的逆命题也成立．

（5）要求比例式中有关值或证明有关问题时，较多地运用方程解决；而对几何线段比例式，一般要构造有平行线的图形．

【典型例题】

例1 已知：如图□ ABCD中，F是AB延长线上任一点，DF交BC于E点．BC：BE=（AB：BF）+1.

1l2l3lA

B

C F E D

图1 A

B C E D

图2 A

B C D

图3

A D C

E

F 尖子训练营 八年级数学 93

例2 已知：如图ABC中，AE=CE，BC=CD，求证：3EDEF．

例3 已知：如图，在ABC中，AD为中线，E在AB上，AE=AC，CE交AD于F，EF：FC=3：5，EB=8cm.求AB、AC的长．

例4 已知：如图，矩形DGFE内接ABC，DG：DE=3：5，260DGFEScm矩形，高AH=10cm．求ABCS．

一、比例

1、比例的基本性质：

1),acadbcbd这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;

2)acbdbdac(反比定理);

3)acabbdcd(或dcba)(更比定理);

4)acabcdbdbd(合比定理);

5)acabcdbdbd(分比定理);

6)acabcdbdabcd(合分比定理);

7)(0)acmacmabdnbdnbdnb(等比定理).

2、比例中项：

若::abbc,则b叫做,ac的比例中项.

3、如图,设三条平行线123lll∥∥,则ABDEBCEF.此定理

称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.

l3l2l1FEDCBA

二、平行线分线段成比例定理及其推论

1. 平行线分线段成比例定理

如下图，如果1l∥2l∥3l，则BCEFACDF，ABDEACDF，ABACDEDF.

l3l2l1FEDCBA

2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DEBC∥，则ADAEDEABACBC ABCDEEDCBA

3.

平行的判定定理：如上图，如果有BCDEACAEABAD，那么DE∥BC。

重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容

难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用

关键：掌握好与相似的过渡

板块一、比例的基本性质

【例1】 已知：acbd，求证：abcd是2222acbd和的比例中项。

【例2】 已知：234xyz。求33xyzxy.

【例3】 设14acebdf，则acebdf_______

板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用

【例4】 如图，DEBC∥，且DBAE,若510ABAC，，求AE的长。

EDCBA

平行线分线段成比例

知识梳理

平行线分线段成比例定理及其推论

1.

平行线分线段成比例定理

如下图，如果1l∥2l∥3l，则BCEFACDF，ABDEACDF，ABACDEDF.

l3l2l1FEDCBA

2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DEBC∥，则ADAEDEABACBC

ABCDEEDCBA

3.比例线段的性质

等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，

那么banfdbmeca

合、分比性质：acabcdbdbd．

一、填空题

1. 比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm，则这两城市的实际距离

是 km.

2. 图纸上画出的某个零件的长是32 mm，如果比例尺是

1∶20，这个零件的实际长是

.

3. 正方形的边长与对角线的比为： .

4. 已知b是a，c的比例中项，且a=3cm，c=6cm，则b= cm 5. 如果线段a=3，b=12，那么线段a、b的比例中项x=___________.

6. 线段a=2cm，b=3cm，c=1cm， 那么a、b、c的第四比例项d=____ .

7. 在x∶6= (5 +x)∶2 中的x= ；2∶3 = ( 5-x)∶x中的x= .

8. 若2:3:yx，2:3:zy. 则zyx:: .

9. 若a∶3 = b∶4 = c∶5 , 且a+b-c=6, 则a = ，b = ，c = .

10. 已知x∶y∶z = 3∶4∶5 , 且x+y+z=12, 那么x= ，y= ，z= .

11. 已知x∶4 = y∶5 = z∶6 , 则 ①x∶y∶z = , ② (x+y)∶(y+z)= .

沪教版（五四制）九年级数学上册 第一讲 比例线段 讲义（无答案）

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一、比例线段的定义

如果::abcd（或acbd），那么就说a、b、c、d成比例．．．

在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，

那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段

二、比例线段的性质

名 称 文字叙述 举 例

比例基本性质： ::abcdadbc

acbdadbc 1:24:81824

反比性质： 如果acbd，那么bdac 1428  2814，8421

更比性质： 如果acbd，那么abcd

如果::abcd，那么::acbd 14281248

1:24:81:42:8

合（分）比性质 合比 如果acbd，那么abcdbd 1428124828

分比 如果acbd，那么abcdbd 1428124828

等比性质 如果acbdmn，且0bdn

那么acmkbdn 142814142828

第一讲 比例线段

沪教版（五四制）九年级数学上册 第一讲 比例线段 讲义（无答案）

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比例线段

【例题1】 【基础、提高】⑴ 若32ab，则下列比例式中正确的是（ ）

A. 23ab； B. 32ab； C. 32ab； D. 23ba。

⑵ 求51020、、的第四比例项.

⑶已知线段a=6cm，b=4cm，c=24cm，则a、b、c的第四比例项为（ ）

（A）8cm （B）12cm （C）16cm （D）20cm

【尖子】⑴ 下列各组线段成比例的是（ ）

A. 1,3,2,4cmcmcmcm B. 1,20,5,25mcmcmcm