尺规作图篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训

知识回顾专题13尺规作图

1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决

不同的平面几何作图题．2.基本要求

它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．

①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，

不可以在上画刻度．

②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：

（1）作一条线段等于已知线段．

（2）作一个角等于已知角．

（3）作已知线段的垂直平分线．

具体步骤：

①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①

②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如

图②

（4）作已知角的角平分线．

具体步骤：

①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

（5）过一点作已知直线的垂线．专题练习4.复杂作图：

复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．

解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基

本作图，逐步操作。5.设计作图：

应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．

首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作

图。1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．

【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半

径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．

【解答】解：如图，△ABC为所作．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．

（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：AD＝AE．

【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．

（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．

【解答】（1）解：如图所示．

（2）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，∠A＝∠A，

∴△ACE≌△ABD（ASA），

∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．

（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；

②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．

（2）当AC＝4，a＝2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．

【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上

方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，

两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．

（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．

【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．

（2）∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵a＝2，

∴AB＝CD＝2，

∴BC＝AD＝＝＝，

∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．

（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；

（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．

【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．

（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，

可证得四边形ABCE为菱形．

【解答】（1）解：如图所示．

（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，

∴BC＝EC，

∵AB＝BC，

∴AB＝EC，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∵AB＝BC，

∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写

出结论．

（1）在图1中画一条线段垂直AB．

（2）在图2中画一条线段平分AB．

【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；

（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可．

【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；

（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．

6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城

河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车

带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．

（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；

（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系

式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．

【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；

（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；

（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而

解决问题．

【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；

（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；

（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，

∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，

当x＝4时，y＝﹣4，

∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC

的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）网格中△ABC的形状是；

（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；

（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；

（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，

且相似比为1：2．

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；

（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；

（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；

（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．

【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，

∴AC2+AB2＝BC2，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC是直角三角形；

故答案为：直角三角形；

（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；

（3）如图②中，点E即为所求；

（4）如图③，点P，点Q即为所求．

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．

（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．

【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；

（2）连接OB，OC．证明∠ACB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求

出CH可得结论．

【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；

（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．

∵AD是切线，

∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，

∵∠DAB＝75°，

∴∠OAB＝15°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝15°，

∴∠BOA＝150°，

∴∠BCA＝∠AOB＝75°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

∵OB＝OC＝2，

∴∠BCO＝∠CBO＝30°，

∵OH⊥BC，

∴CH＝BH＝OC•cos30°＝，

∴BC＝2．

9．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于21AD的长为半径作弧，两

弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．

（1）由作图可知，直线MN是线段AD的．

（2）求证：四边形AEDF是菱形．

【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；

（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是可判断四边

形AEDF是平行四边形，加上FA＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．

【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；

故答案为：垂直平分线；

（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，

∴∠FAD＝∠FDA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠FDA＝∠BAD，

∴DF∥AB，

同理DE∥AF，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵FA＝FD，

∴四边形AEDF为菱形．

10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．

（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．

【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，

然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．

【解答】解：（1）如图，DH为所作；