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等比数列的前n项和一、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
二、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
三、教学设想本节课采用问题导学式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探四、教学过程（一）创设问题情景课前给出复习：等比数列的定义及性质课首给出引例：某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗？请在座的同学思考讨论一下,建筑队长能否向砖厂借砖?[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
学生直觉认为队长可以向砖厂借砖，教师引导学生自主探求，得出：队长30天借到的砖：465230)301(3021'30=⨯+=+++= S （万） 队长需要还的砖：=++++=292302221 S ?[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究，292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到302923022222++++= S ②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万) ＞ 465（万）答案:穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
2.5.1 等比数列的前n项和一、教学内容分析1.教材的地位和作用《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体2．教学的重点等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．二、学情分析1.学情分析知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．2.教学难点基于上述分析，确定本节课教学难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．三、教学目标的确定课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”，结合本课教材的特点、学生的认知水平，我从三个方面确定教学目标：①知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．②过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．③情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.四、教法和学法课程标准明确指出“要注重提高学生的数学思维能力”，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。
等比数列前n项和（第2课时）等比数列前n项和（第2课时）一、教材分析等比数列的前n 项和（第2 课时）是普通高中课程标准实验教科书《数学（必修5）》（人教A 版）第二章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差、等比数列及其前n 项和”内容的延续，另一方面又是对本章内容的一个初步综合，与前面学习的知识有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用.等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神, 是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第二课时，重在学习了等差、等比数列后利用等差、等比数列的前n 项和公式进行一些简单非等差、等比数列的求和，初步学会分组求和和错位相减法求和。
二、教学目标知识与技能目标：掌握等差、等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过体会分组求和、错位相减求和在数列求和中的应用，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感态度与价值观目标：通过对公式应用的探索与体会，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等差、等比数列的前n项和公式在数列求和中的简单应用．难点：比较熟练的利用分组求和法、错位相减法进行数列求和。
四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究- 建构教学相结合的教学模式.五、教学过程（一） 复习导入上一节课我们学习了等比数列前 n 项和公式，至此，我们本章内容学习了数 列的概念和简单表示法，等差数列，等差数列前 n 项和，等比数列，等比数列前 n 项和，并布置了预习任务，下面，同学们翻开新教材新学案。
《等比数列的前n项和》教案一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是人教A版高中数学必修5第二章“数列”第五节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.六、教学设计说明1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2．问题探究活动化．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．辨析质疑结构化．在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.4．巩固提高梯度化．例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；例2由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.5．思路拓广数学化．从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．6．作业布置弹性化．通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．介绍相关网站让学生查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．。
课题：2.5 等比数列的前n 项和（第一课时）一 教学目标:1. 知识与技能目标:掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。
通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。
2.过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
二 教学重点难点重点：等比数列项前n 和公式的推导与简单应用。
难点：等比数列n 项和公式的推导。
三 教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。
五 学情分析本节课是在学习了有关数列的知识如等差数列概念及通项公式和等差数列的前n 项和公式以及等比数列的概念，本课是为了进一步学习数列知识并能够解决一类求和问题。
学生具有初步的自主探究能力，思想活跃，敢于猜想，在老师的引导下能够独立的解决问题，但学生缺乏冷静容易片面不严谨，并且在推导过程中学生容易将等比数列前n 项和的推导方法与之进行类比，要将此点突破。
六 教学过程：1．创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q ，从而为“错位相减法”求等比数列前n 和埋下伏笔。
2）问题情境，引出课题：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO ．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，孙悟空很爽快地同意，答应每天给他第一天1万元，，第二天2万元，第三天3万元，连续一个月（30天），但是有一个条件，第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元…后一天返还数为前一天的2倍，假如你是八戒养猪集团的总裁秘书，请你帮八戒决策一下！注：师生合作分别给出两个和式：万46530321S 30=++++= ①②①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n 和的问题但却感到不会解！问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）希望通过本节课的学习我们能帮八戒算出到底需要还多少钱？到底是它占了大便宜还是悟空更有谋略呢？2．师生互动，新课探究：对于一个一般的等比数列，我们如何求出它的前n 项和呢？()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--====-⋅-=--=≠⋅-=--⋅+⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅+=++++=--1,1111,S 1111112121S 11111111111211112111321q q q a a q q a q na na S q qq a a q q a S q qa a S q q a q a q a q a qS qq a q a q a a S a a a a n nn n nnn n n n n n n nn 式采用错位相减法推导公时，当时，当分类讨论等式两边同乘公比 告知学生推导公式的方法（错位相减法），需要注意事项3．师生共同解决遗留问题公式推导完后由学生解答刚才遗留问题？如何计算八戒需要还钱数？亿1010737418241-22-122-122221S 3029293230≈≈=⋅=++++= 因此是悟空更有谋略4．例题讲解例一. 课本63页(叫学生上黑板完成)()()0,81,121618*********<==q a a ，，，，项的和求下列数列的前()()[]()-1640313118,30,181,81,1288451=----⨯==-=<⨯===S n q q q a a 由于可得又由可得解：由5．牛刀小试：练习例1教师板演示范，强调解题的规范。
2.5《等比数列的前n项和》教学设计一、教学理念依照数学课程标准的“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”即我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值，我们数学教师应该创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材内容分析从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高.本节之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点.三、学生学情分析我校在吉林市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力较强，基础知识较为扎实。
通过前几节的学习，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼且奠定了必要的知识和经验基础。
四、教学目标在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学目标：知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。
能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。
情感目标：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点；培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神.教学重点：公式的推导和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
等比数列的前n 项和公式【学习目标】1．学会推导等比数列前n 项和公式的方法；2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.【学习重点】探索推导等比数列的前n 项和公式.【学习过程】一、新课引入：国际象棋起源于古代印度，棋盘上共有8行8列，构成64个格子，关于国际象棋有这样一个传说：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求。
发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到放满第64个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求。
”国王觉得这很好办，就欣然同意了他的要求。
问：(1)发明者要多少颗麦粒？(2)每个格子里放的麦粒数构成一个什么数列？(3)能否用求等差数列前n 项和的方法求这个数列的前 64项和？二、方法回顾 等差数列的前n 项和——倒序相加法三、类比探究 等比数列的前n 项和对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢?探究一：小组讨论：（1）为什么两边同乘以 2？（2）同乘以(-2)可以吗？（3）由（1）、（2）你感悟到了什么？探 究二：等比数列的前n 项和公式（1）讨论：(1)解法对吗？为什么？ 23631+2+22...2=++？123...=n n S a a a a =++++？(2)当q=1时，等比数列的前n 项和是什么？这种把两式位置错开相减的推导方法，称之为错位相减法.探 究三：等比数列的前n 项和公式（2）探究成果：等比数列的前n 项和公式的两种形式五、题组训练：题 组 训 练1： 题 组 训 练2：求下列等比数列的前8项和：六、自我小结：1、这节课你学到了哪些知识？有哪些收获？ （一种方法，两个公式）2、这节课你存在的主要问题是什么？七、分层作业八、拓展训练{}()()1113261128,22n n n q n q a s a a a ======等比数列中,根据下列条件,求、，，、，11(1)1(1)n a q q Sn q na q a -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩11(1)(1)1(1)n a q q Sn q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩19111(1),,...;2481(2)a 27,a ,0.243q ==<. ...?2.“”--⋯135123124510必做:选作习题求等比数列，，，中从第项到第项的和； 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这个问题：的答案是多少？36948,60,n a s s s ==等比数列中,求。
《数列求和》教学设计【课例解析】1、教材的地位和作用本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。
通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。
2、学情分析在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。
在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。
本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。
【方法阐释】本节课的教学采用“学力课堂”模式，分为“自学、互学、展学、导学、练学”五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。
本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。
接下来的课堂探究题组、课堂练学题组又更进一步加强几种求和法的应用。
【目标定位】1 、知识与技能目标掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。
进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。
2 、过程与方法目标经历数列几种求和法的探究过程、深化过程和应用过程。
培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 、情感与价值观目标通过数列几种求和法的归纳应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。
激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
感悟数学的简洁美﹑对称美。
【教学重、难点】本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、错位相减求和的方法和形式。
数列求和【学习目标】1．掌握等差、等比数列求和．2．掌握错位相减，裂项相消法求和．3．掌握一些特殊数列通过转化，化成等差(比)求和，掌握转化技巧，提升化归能力．【学习重点】重点掌握错位相减，裂项相消法求和．【学习难点】会用各种方法求数列的前n 项的和。
【学习用时】一课时【教学过程】【知识要点回顾】1．求数列前n 项和的基本方法(1)直接求和法(公式求和)①数列{a n }为等差或等比数列时直接运用其前n 项和公式求和．若{a n }为等差数列，则S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝_________________． 若{a n }为等比数列，其公比为q ，则当q ＝1时，S n ＝_______________({a n }为常数列)； 当q ≠1时，S n ＝________________．②一些常见的前n 项和公式a ．1＋2＋3＋4＋…＋n ＝_____________．b ．1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝___________．c ．2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝_____________．d ．12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝________________________．e ．13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝_____________________________．(2)并项求和法数列{a n }满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时，运用_____________求其前n 项和．(3)裂项相消数列{a n }满足通项能分裂为两式之差，且分裂后相邻的项出现正负抵消的规律时，运用_______________求和．(4)拆项求和数列{a n }满足其通项能分拆为若干个特殊数列(等差数列、等比数列、常数列)的通项的代数和时，运用_________________求和．(5)错位相减数列{a n}满足a n＝b n·c n，其中b n是等差数列，c n为等比数列，则{a n}前n项求和可用“错位相减法”．(6)倒序相加数列{a n}满足与首末距离相等的项的和为常数或等差、等比数列时，运用_________________求和(如等差数列前n项和公式的推理方法)．2．求和的思想等差(比)数列直接用公式求和，非等差(比)数列的转化为等差(比)数列求和．【例题讲解】1．若数列{a n}的通项公式是a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和为( C )A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2【解析】∵a n＝2n＋2n－1，∴S n＝2（1－2n）1－2＋n（1＋2n－1）2＝2n＋1＋n2－2，拆项后直接用等差、等比求和．2．若数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )A．15 B．12C．－12 D．－15【解析】并项求和a1＋a2＝a3＋a4＝…＝a9＋a10＝3，故a1＋a2＋…＋a10＝3×5＝15.故选A.3．S＝11＋3＋13＋5＋…＋12 013＋ 2 015＝．一、裂项相消求和例1已知数列{}a n的前n项和为Sn，满足a n＋1＝S n＋2n，n ∈N*，且a1＝0，记b n＝a n＋2.(1)求a2，a3;(2)求证：数列{}b n是等比数列；(3)若c n ＝1log 2b n ＋1log 2b n, 求数列{}c n 的前n 项和T n .【解析】(1)a 2＝2，a 3＝6；(2)证明：由a n ＋1＝S n ＋2n ，n ∈N *，得：n ≥2时，a n ＝S n －1＋2(n －1)，n ∈N *；以上两式相减得：a n ＋1－a n ＝a n ＋2，整理得：a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即b n ＋1＝2b n (n ≥2)；又b 2b 1＝a 2＋2a 1＋2＝2， 所以，数列{}b n 是以2为首项，2为公比的等比数列．(3)由(2)得，b n ＝2n ，则c n ＝1log 2b n ＋1log 2b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 【点评】使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．二、拆项、并项求和例2数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n .【解析】(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1)，a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，n >1，a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1.∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋（1＋n ）n 2. 【点评】(1)对于不能由等差数列、等比数列的前n 项求和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分成若干等差数列或等比数列或可求和的数列，求和时，可用“分组求和”法，分别求和后再相加减．(2)一个数列的前n 项和可两两结合求解，则称之为“并项求和”法，形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．三、错位相减法求和例3.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，【解析】(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32，又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n . (2)依题意，b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， ②∴①－②得，S n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1 S n ＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，【点评】数列{a n }满足a n ＝b n ·c n ，其中b n 是等差数列，c n 为等比数列，则{a n }前n 项求和可用“错位相减法”．课后小结：课后作业：复习资料《金太阳》p178数列求和专题练习。
