平面向量基本性质总结

平面向量的运算与性质总结平面向量是解决平面几何问题的重要数学工具之一，它具有一些基本的运算和性质。

本文将总结平面向量的运算法则以及相关的性质。

一、平面向量的定义与表示方法平面向量即有大小又有方向的量。

通常用一条有向线段来表示平面向量，线段的长度表示向量的大小，箭头指向表示向量的方向。

平面向量常用大写字母表示，如A、B等。

二、平面向量的加法与减法1. 加法定义：设有平面向量A和B，它们的和A + B定义为一个新的向量C，C的起点与A的起点相同，终点与B的终点相同。

2. 减法定义：设有平面向量A和B，它们的差A - B定义为向量A 与向量-B（即B的反向向量）的和。

三、平面向量的数量乘法1. 数量乘法定义：对一个平面向量A和实数k，将向量A的大小乘以k，得到的新的向量kA，其方向与A的方向相同（若k > 0），或者相反（若k < 0），大小为|k|与|A|的乘积。

2. 数量乘法的性质：a) 0向量的数量乘法：0A = 0，其中0表示零向量。

b) 负向量的数量乘法：(-k)A = -(kA)，其中k为实数。

c) 数量乘法的分配律：(k + l)A = kA + lA，其中k、l为实数。

d) 数量乘法的结合律：k(lA) = (kl)A，其中k、l为实数。

四、平面向量的数量倍分点和向量积1. 数量倍分点定义：设有平面向量A和B，以及实数m、n，将向量A乘以m，向量B乘以n，再将它们的和（mA + nB）表示为另一个向量D，则称D为向量A和向量B的数量倍分点。

2. 向量积的性质：a) 数量倍分点的交换律：mA + nB = nB + mA。

b) 数量倍分点的结合律：(m + n)A + kB = mA + nA + kB。

c) 特殊情况：若m + n = 1，则(mA + nB)称为向量A和向量B的某一点到原点所确定的位置矢量。

五、平面向量的性质1. 零向量的性质：a) 零向量与任意向量的和为该向量本身。

平面向量的概念与性质平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中被广泛应用。

平面向量具有一些独特的性质，其概念和性质对于我们理解和解决许多实际问题至关重要。

一、平面向量的定义平面向量表示平面上的一个有向线段，可以用带箭头的直线段来表示。

平面向量常用字母加箭头上方加粗体来表示，例如向量a表示为→a。

平面向量有大小和方向两个基本属性。

二、平面向量的表示方法1. 分量表示法：平面向量可以由两个分量表示，分别是在x轴和y 轴上的投影。

设平面向量→a的分量分别为a1和a2，那么→a = a1i + a2j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

2. 基点表示法：平面向量还可以通过起点和终点来表示。

以A为起点，B为终点的向量→AB可以简写为→AB。

三、平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种基本的运算方式。

1. 加法运算：向量的加法满足平行四边形法则。

设向量→a的起点为A，终点为B，向量→b的起点为B，终点为C，则向量→a + →b的起点为A，终点为C。

2. 数乘运算：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。

设实数k，向量→a的起点为A，终点为B，则k→a的起点仍为A，终点为D，且AB与AD在同一直线上，且向量BD与向量AB方向相同（k>0）或相反（k<0）。

四、平面向量的性质1. 平行性：如果两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行，那么这两个向量是平行的。

2. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，不具备明确的方向。

3. 模长：向量的模长表示向量的大小，用|→a|来表示。

根据勾股定理，模长可以通过向量的分量计算得到，|→a| = √(a1² + a2²)。

4. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量。

可以通过将向量除以它的模长得到单位向量，→a/|→a|。

5. 共线性：如果两个向量的方向相同、相反或平行，即它们可被放大或缩小到重合或相反方向，那么这两个向量是共线的。

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

平面向量高一数学知识点在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。

它不仅在几何学中有着广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

本文将重点介绍平面向量的定义、性质以及相关定理。

一、平面向量的定义和运算平面向量可以用有序数对表示，也可以用箭头表示。

设点A和点B是平面上的两个点，用A和B表示它们对应的平面向量。

平面向量有两个重要的运算：加法和数乘。

1. 加法：设有平面向量OA和平面向量OB，它们的和记作OA + OB。

根据平行四边形法则，我们可以通过将OA和OB的起点放在同一个点，然后连接它们的终点，得到一个新的平面向量，即OA + OB。

加法满足交换律、结合律和平移律。

2. 数乘：设有平面向量OA和实数k，它们的数乘记作kOA。

根据数乘的定义，kOA的模长是|k|乘以OA的模长，并且kOA与OA的方向相同（当k>0）或相反（当k<0）。

二、平面向量的性质平面向量有多个重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。

1. 零向量：零向量是一个特殊的平面向量，记作O，它的模长为0，方向任意。

对于任意平面向量OA，都有OA + O = OA。

2. 相等条件：平面向量OA和平面向量OB相等的充分必要条件是它们的模长相等并且方向相同。

3. 负向量：平面向量OA的负向量记作-OA，它的模长与OA 相等，方向相反。

4. 平面向量的基本性质：设A、B、C是平面上的三个点，对应的平面向量分别为OA、OB、OC。

有以下基本性质： - OA + O = OA- OA + OA = O- OA + (-OA) = O- OA - OA = O- k(OA + OB) = kOA + kOB (数乘的分配律)- (k + m)OA = kOA + mOA (数乘的分配律)三、平面向量的定理平面向量的定理是高中数学中一些重要的定理。

1. 平行定理：设有两个平面向量OA和OB，当且仅当它们的方向相同或相反时，即OA = kOB（k为非零实数），则表示向量OA和向量OB平行。

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

初二数学平面向量的基本性质平面向量是初中数学中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。

掌握平面向量的基本性质对于深入理解和应用数学知识至关重要。

本文将讨论平面向量的基本性质，包括向量的定义、零向量、相等向量、数量乘法、加法和减法等。

1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

在二维平面上，向量通常由两个有序实数表示，分别为横坐标和纵坐标。

例如，向量AB可以表示为向量→AB=(x, y)。

向量的长度用绝对值表示，即|→AB|=√(x^2+y^2)。

2. 零向量零向量是指所有分量都为零的向量，用→0表示。

它的长度为0，方向是任意的。

对于任意向量→AB=(x, y)，与之相加的零向量满足→AB+→0=→AB。

3. 相等向量两个向量→AB=(x1, y1)和→CD=(x2, y2)相等，当且仅当它们的分量对应相等，即x1=x2，y1=y2。

相等向量具有相等的长度和方向。

4. 数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个实数。

例如，对于向量→AB=(x, y)和实数k，其数量乘法为k→AB=(kx, ky)。

数量乘法满足结合律和分配律，即k(→AB+→CD)=k→AB+k→CD。

5. 加法和减法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

例如，向量→AB=(x1, y1)和向量→CD=(x2, y2)的加法为→AB+→CD=(x1+x2,y1+y2)。

类似地，向量的减法是指将减数的负向量与被减数相加，即→AB-→CD=→AB+(-→CD)。

6. 向量的模向量的模是指向量的长度，用数值表示。

在二维平面上，向量→AB=(x, y)的模为|→AB|=√(x^2+y^2)。

向量的模具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。

7. 向量的方向角向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。

在二维平面上，向量→AB=(x, y)的方向角为θ=arctan(y/x)。

方向角的范围为-π到π。

8. 平面向量的基本性质根据向量的定义和运算规则，平面向量具有以下基本性质：（1）零向量的加法：→AB+→0=→AB。

平面向量的证明平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、力学、物理等领域。

在本文中，我们将介绍平面向量的定义和基本性质，并通过证明来加深对平面向量的理解。

一、平面向量的定义和表示法在平面直角坐标系中，平面向量可以由一个有序数对表示，即(x, y)。

其中，x称为平面向量在x轴上的分量，y称为平面向量在y轴上的分量。

平面向量的表示法有多种，常见的有箭头表示法和坐标表示法。

箭头表示法：用带箭头的小写字母表示向量，例如a，b，c等。

坐标表示法：用有序数对表示向量，例如(a, b)。

二、平面向量的基本性质1. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的分量相等，即(x1, y1) = (x2, y2) 等价于 x1 = x2 且 y1 = y2。

2. 零向量：所有分量都为0的向量称为零向量，记作0或(0, 0)。

对于任意向量a，有 a + 0 = 0 + a = a。

3. 负向量：对于任意向量a，存在唯一向量-b，使得a + b = b + a = 0。

向量-b称为向量a的负向量，记作-a。

4. 平行向量：向量a和向量b平行，当且仅当它们的分量比成比例，即(x1, y1) || (x2, y2) 等价于 x1/x2 = y1/y2。

5. 共线向量：向量a和向量b共线，当且仅当它们的分量成比例，即(x1, y1) ⊥ (x2, y2) 等价于 x1/y1 = x2/y2。

三、平面向量的证明下面，我们通过证明两个平面向量的相等性来加深对平面向量性质的理解。

假设有两个向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2)。

证明：若 a = b，则 (x1, y1) = (x2, y2)。

根据向量相等的定义，我们需要证明 x1 = x2 且 y1 = y2。

由 a = b，可得 (x1, y1) = (x2, y2)，即 x1 = x2 且 y1 = y2。

证毕。

通过以上证明，我们可以看出，平面向量的相等性与其分量的相等性密切相关。

平面向量的定义和基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的向量。

它由起点和终点确定，并且可以用箭头表示。

平面向量常用字母加上一个右箭头来表示，例如AB→表示起点为A，终点为B的向量。

平面向量的定义：定义1：若平面上两个点A和B，可以唯一确定一个向量AB→。

其中向量AB→的起点为点A，终点为点B。

点A称为向量AB→的起点，点B称为向量AB→的终点。

向量AB→可以记作AB→或者→AB。

定义2：若平面上某个向量的起点是原点O，则称该向量为单位向量。

单位向量的长度为1，方向可以是任意的。

基本性质：性质1：平面向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。

对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相同时，向量→AB和向量→CD相等。

性质2：平面向量相反的条件是它们的长度相等且方向相反。

对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相反时，向量→AB和向量→CD互为相反向量。

性质3：平面向量的运算法则。

3.1 平面向量的加法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB+→CD的终点是链接→AB和→CD的链条的终点。

3.2 平面向量的减法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB-→CD的终点是链接→AB的起点与→CD的终点的链条的终点。

3.3 数乘：设k是一个实数，→AB是平面上的一个向量，则k→AB的长度是|k||→AB|，方向与→AB相同。

性质4：平面向量的共线性。

对于平面的两个非零向量→AB和→CD，若存在实数k，使得→CD=k→AB，则称向量→AB和→CD共线。

同样地，若存在实数k1和k2，使得→CD=k1→AB+k2→EF，则称向量→AB、→CD和→EF共线。

性质5：平面向量的数量积。

对于平面的两个向量→AB和→CD，它们的数量积定义为|→AB||→CD|cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。

性质6：平面向量的数量积与夹角的关系。

平面向量的数学知识点总结一、向量的定义及基本性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

在平面坐标系中，向量可以用有序数对表示。

向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

2. 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。

即向量a=b当且仅当|a|=|b|且a与b的方向相同。

3. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

4. 向量的数乘向量的数乘满足结合律和分配律。

即k*(a+b)=k*a+k*b，(k+m)*a=k*a+k*m。

5. 向量的减法向量的减法可以用加法和数乘表示。

即a-b=a+(-1)*b。

6. 向量的数量积向量的数量积（又称点积、内积）是向量的一种乘法。

定义为a·b=|a|*|b|*cos(θ)，其中θ为a和b之间的夹角。

7. 向量的性质（1）向量的模长：|a|=√(a1²+a2²)；（2）向量的共线：如果向量a与向量b共线，那么它们的数量积为0，即a·b=0；（3）向量的夹角：cos(θ)=a·b/(|a|*|b|)。

二、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示。

如向量a可以表示为(a1,a2)。

2. 平面向量的坐标运算（1）向量的加法：a+b=(a1+b1,a2+b2)；（2）向量的数乘：k*a=(k*a1,k*a2)；（3）向量的减法：a-b=a+(-1)*b。

三、向量的线性运算1. 向量的线性相关性如果存在不全为0的实数λ1、λ2，使得λ1a+λ2b=0，则向量a与向量b线性相关。

2. 向量的线性无关性如果向量a与向量b线性无关，那么不存在不全为0的实数λ1、λ2，使得λ1a+λ2b=0。

3. 向量的线性表示对于线性无关的n个向量a1、a2、…、an，可以表示任意向量b的线性组合。

即存在唯一的实数λ1、λ2、…、λn，使得b=λ1a1+λ2a2+…+λnan。

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

平面向量的定义及性质平面向量是向量的一种，它有大小和方向两个属性。

平面向量通常用箭头标识，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

一、平面向量的定义在平面上，我们可以用两个坐标轴来确定一个点的位置，相应地，平面向量可以由坐标轴上两个点之间的坐标差表示。

设点A坐标为（x_1，y_1），点B坐标为（x_2，y_2），则从A指向B的向量通常记作向量AB，并表示为AB向量。

其坐标表示为AB = (x_2 - x_1，y_2 - y_1)。

二、平面向量的性质1. 零向量性质：零向量是长度为0的向量，记作0。

任何向量与零向量的相加都会保持原向量不变，即对任意向量a，有a + 0 = a。

2. 相等性质：两个向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。

3. 负向量性质：给定向量a，其负向量记作-a，它与向量a的长度相等，但方向相反。

即a + (-a) = 0。

4. 平行性质：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的夹角为0度或180度，则称这两个向量平行。

5. 共线性质：如果两个向量共线，则它们可以表示为一个向量的倍数。

设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)共线，则存在实数k，使得a = kb。

6. 向量加法性质：设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)，则向量a + b = (x_1 + x_2，y_1 + y_2)。

7. 向量减法性质：设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)，则向量a - b = (x_1 - x_2，y_1 - y_2)。

8. 数乘性质：设向量a = (x，y)和实数k，则ka = (kx，ky)。

9. 平行四边形法则：如果向量a和向量b的起点相同，则以向量a 和向量b的终点为相对角的四边形ABCD是平行四边形，且向量a + b 等于对角线AC。

10. 三角不等式：对于任意两个向量a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

高中平面向量知识点总结高中平面向量知识点总结一、基本概念和基本性质：1. 平面向量的定义：平面向量是有大小有方向的量，可以用有向线段来表示。

2. 平面向量的表示：一般表示为AB(或→AB)，其中A为向量的起点，B为向量的终点。

可以用坐标表示或分量表示。

3. 向量的相等：当且仅当它们的大小相等且方向相同。

4. 零向量：大小为0的向量，所有向量都与零向量相等，用0或→0表示。

5. 向量的负向量：一个向量的负向量大小相等，方向相反，用−→AB表示。

6. 平面向量的加法：向量相加的结果称为向量的和，可以用平行四边形法则或三角形法则进行计算。

7. 平行向量的性质：平行向量的大小相等或成比例，方向相同或相反。

8. 平面向量的数乘：一个向量乘以一个实数得到的向量。

即向量AB乘以实数k得到的向量为k→AB，大小为|k||→AB|，方向与→AB相同或相反。

二、坐标表示和分量表示：1. 平面向量的坐标表示：设A(x1, y1)和B(x2, y2)为平面上两点的坐标，向量→AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)。

2. 平面向量的分量表示：向量→AB的x轴和y轴的分量分别为→AB的坐标中的x分量和y分量，分别记作comp_x(→AB)和comp_y(→AB)。

三、数量积：1. 定义：设有两个向量→A和→B，它们的数量积（又称内积、点乘）为一个实数，记作→A·→B(或A·B)，表示为|→A||→B|cosθ，其中θ为两个向量的夹角。

2. 性质：a. 交换律：→A·→B = →B·→Ab. 分配律：(→A + →B)·→C = →A·→C + →B·→Cc. 结合律：(k→A)·→B = k(→A·→B)，其中k为实数d. |→A·→B| ≤ |→A||→B|，当且仅当两个向量平行时取等号四、平面向量的夹角和正交：1. 夹角：两个非零向量→A和→B之间的夹角θ的余弦值为→A·→B/|→A||→B|，θ的范围为[0,π]。

初中数学平面向量一、引言数学中的向量是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。

在初中数学中，学习平面向量是数学教学的一个重要内容。

平面向量在几何图形的运动、力的合成以及解析几何中都有广泛的应用。

本文将介绍初中数学中平面向量的定义、性质、运算及应用。

二、平面向量的定义平面向量是有大小和方向的量，可以表示为箭头形式。

假设有向量AB，其中A和B为向量的起点和终点，用→ AB表示。

平面向量可由坐标表示或单位向量表示，坐标表示为(AB) = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。

单位向量表示为ā，即平面上的一个长度为1的向量。

三、平面向量的性质1. 平行性质：若两个向量的方向相同或相反，则它们平行；若两个向量的方向垂直，则称它们垂直。

2. 大小性质：向量的大小由向量的模表示，模记作|AB|。

向量的大小与其坐标的绝对值相关。

3. 零向量：零向量记作o，表示起点和终点相同的向量。

4. 逆向量：若向量AB的模为a，则向量BA的模为a，称其为向量AB的逆向量。

5. 直角三角形法则：若有两个向量AB和AC，则向量AB与向量AC的合向量为向量AD，其中D为以AC为一边，高为AB的直角三角形的顶点。

四、平面向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即，若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量CD+向量AB。

2. 向量的减法：若有向量AB和向量CD，则向量AB-向量CD = 向量AB+向量DC。

3. 数乘：数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

若有向量AB和实数k，则k倍的向量AB表示为kAB。

4. 向量的共线与共点：向量AB与向量CD共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB = k向量CD。

向量AB与向量CD共点的充分必要条件是向量AB-向量CD为零向量。

5. 平移向量：平移向量是指一个向量加上同一个平移向量后仍保持平行关系。

若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量AD，其中AD代表向量AB平移向量CD得到的新向量。

高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。

2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。

（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。

（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。

2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。

3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。

4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。

（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。

2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。

平面向量一、向量的基本概念1.向量的概念2.零向量：3.单位向量：长度为一个单位长度的向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ， 规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.二、向量的表示方法1.几何表示：2.符号表示：3.坐标表示三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当21e e ⊥时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e = D.1(2,3)e =-，213,24e⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC上的中线,且AD a=，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （3）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1. （3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____.（4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30. 3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件； 当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例 6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭； （3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=； 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同. 举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果： （3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120. 2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y . （1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.60举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4. （3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12P P 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a = . 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+；（3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .知识应用1.（2018•卷Ⅰ）在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则( )A. B. C. D.2.（2018•浙江）已知a ， b ， e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为 ，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A. −1B. +1C. 2D. 2−3.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.4.（2018•卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ⋅=−1 ，则·(2-)=（）A.4B.3C.2D.05.过点()0,2-且斜率为的直线与抛物线：交于，两点，若的焦点为，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.7.抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.AAABDCB8.已知向量，，则________．9.（2018•江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点，若,则点的横坐标为________ 310.（2018•卷Ⅲ）已知向量，，，若，则________。

平面向量与几何应用知识点总结一、平面向量的定义与基本性质平面向量可以用有向线段表示，具有大小和方向两个特征。

向量的相等与几何位置无关，只与大小和方向相同有关。

平移、伸缩和旋转都不改变向量相等的性质。

二、平面向量的表示方式1. 数学表示法：用字母加上一个箭头（→）表示向量，如AB→表示从点A到点B的向量。

2. 列向量表示法：用一个有序数对表示向量，该数对的第一个数是向量在水平方向上的分量，第二个数是向量在垂直方向上的分量。

三、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。

2. 向量的减法：向量的减法可看作加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中- B表示B的相反向量。

3. 向量的数乘：向量的数乘就是将向量的每个分量乘以一个常数，如kA表示向量A的每个分量都乘以k。

4. 平面向量的数量积：向量的数量积（内积）是向量的一个重要运算，数量积是一个标量。

它的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角。

四、向量的线性运算1. 在平面内，若A、B和C为三个向量，m和n为实数，则m(A +B) = mA + mB，(m + n)A = mA + nA，(mn)A = m(nA)。

2. 若向量A与向量B共线，且m为实数，则m(A + B) = mA + mB。

五、平面向量的几何应用1. 向量共线及坐标计算：两个向量共线的充要条件是它们的分量成比例，即A = k × B，其中k为常数。

2. 向量的模计算：向量的模定义为向量的大小，计算公式为|A| =√(x² + y²)，其中x和y分别为向量A的水平和垂直分量。

3. 向量的投影：向量A在向量B上的投影定义为A在B方向上的分量，计算公式为A在B上的投影= |A|cosθ。

平面向量及其应用知识点总结
一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平
面向量。

2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。

（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。

（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。

二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。

2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。

三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。

2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。

3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。

4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。

5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。

四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。

2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作
用力等物理量，通过分解力求解问题。

3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。

4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。

平面向量的性质及运算平面向量是代表平面上的位移或力的量，它具有方向和大小两个特征。

在数学和物理学中，平面向量是一个重要的概念，对于解决各种问题都起着重要的作用。

本文将探讨平面向量的性质及其运算。

一、平面向量的性质1. 零向量：零向量是一个特殊的平面向量，表示没有位移或力的作用，通常用0来表示。

它的大小为0，方向任意。

2. 平等向量：如果两个平面向量的大小相等且方向相同，则称它们为平等向量。

3. 负向量：对于一个平面向量a，如果找到一个平面向量-b，使得a与-b的和为零向量，则称-b为a的负向量。

负向量具有相同的大小，但方向相反。

4. 平面向量的加减法：对于两个平面向量a和b，它们的和用a+b表示，它的大小等于两个向量的大小的和，方向是从a的起点到b的终点的箭头。

差向量用a-b表示，它的大小等于两个向量的大小的差，方向是从a的起点到b的起点的箭头。

5. 数乘：对于一个平面向量a和一个实数k，a乘以k得到的向量ka，它的大小等于a的大小乘以k的绝对值，方向与a相同（k为正数）或相反（k为负数）。

二、平面向量的运算1. 点乘：对于两个平面向量a和b，它们的点乘（内积）用a·b表示。

点乘的结果是一个标量，等于两个向量的大小的乘积与它们的夹角的余弦值。

点乘有几个重要的性质：a) a·b = b·a（交换律）b) a·（b+c）= a·b + a·c（分配律）c) a·a = |a|^2（平方的模）d) 如果a·b = 0，则a和b互相垂直点乘的几何意义是计算两个向量在同一方向上的投影的乘积。

2. 叉乘：对于两个平面向量a和b，它们的叉乘（外积）用a×b表示。

叉乘的结果是一个向量，大小等于两个向量大小的乘积与它们夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量所在的平面。

a) a×b = - b×a（反交换律）b) a×（b+c）= a×b + a×c（分配律）c) a×a = 0（零向量）叉乘的几何意义是计算两个向量所构成的平行四边形的面积和法向量。

平面向量性质平面向量是线性代数中的重要概念，具有许多独特的性质。

本文将介绍平面向量的基本定义和性质，并探讨一些与平面向量相关的应用。

首先，我们来回顾一下平面向量的定义。

平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

用有向线段来表示平面向量，其中起点表示向量的起点，而终点表示向量的终点。

平面向量通常用小写字母加箭头表示，如a→。

两个平面向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

平面向量的性质包括加法、数乘、数量积和向量积等。

首先，我们来看加法。

设有两个平面向量a→和b→，它们的和记作a→+b→。

两个平面向量相加的结果是一个新的平面向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量相同。

接下来，我们来看数乘。

设有一个平面向量a→和一个实数k，它们的数乘记作ka→。

数乘的结果是一个新的平面向量，它的大小等于原向量的大小乘以实数k，方向与原向量相同（如果k大于0），或者与原向量相反（如果k小于0）。

然后，我们来看数量积。

设有两个非零平面向量a→和b→，它们的数量积记作a→·b→。

数量积的结果是一个实数，它等于两个向量的大小之积乘以它们夹角的余弦值。

特别地，当夹角为直角时，数量积等于0；当夹角为锐角时，数量积大于0；当夹角为钝角时，数量积小于0。

最后，我们来看向量积。

向量积是指用两个平面向量的数量积构成的新向量。

设有两个非零平面向量a→和b→，它们的向量积记作a→×b→。

向量积的结果是一个新的平面向量，它的大小等于两个向量大小之积乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于原两个向量所在的平面。

平面向量不仅在数学中有重要的用途，还广泛应用于物理学、计算机图形学等领域。

在物理学中，平面向量可以表示力和位移等物理量，通过研究平面向量的性质，可以更好地理解物体的运动和相互作用。

在计算机图形学中，平面向量常用于描述图形的位置、方向和大小，通过对平面向量的操作，可以实现图形的平移、旋转和缩放等变换。

总结来说，平面向量具有许多重要的性质，包括加法、数乘、数量积和向量积等。