第一节平面向量的概念及运算性质

平面向量的运算与性质总结平面向量是解决平面几何问题的重要数学工具之一，它具有一些基本的运算和性质。

本文将总结平面向量的运算法则以及相关的性质。

一、平面向量的定义与表示方法平面向量即有大小又有方向的量。

通常用一条有向线段来表示平面向量，线段的长度表示向量的大小，箭头指向表示向量的方向。

平面向量常用大写字母表示，如A、B等。

二、平面向量的加法与减法1. 加法定义：设有平面向量A和B，它们的和A + B定义为一个新的向量C，C的起点与A的起点相同，终点与B的终点相同。

2. 减法定义：设有平面向量A和B，它们的差A - B定义为向量A 与向量-B（即B的反向向量）的和。

三、平面向量的数量乘法1. 数量乘法定义：对一个平面向量A和实数k，将向量A的大小乘以k，得到的新的向量kA，其方向与A的方向相同（若k > 0），或者相反（若k < 0），大小为|k|与|A|的乘积。

2. 数量乘法的性质：a) 0向量的数量乘法：0A = 0，其中0表示零向量。

b) 负向量的数量乘法：(-k)A = -(kA)，其中k为实数。

c) 数量乘法的分配律：(k + l)A = kA + lA，其中k、l为实数。

d) 数量乘法的结合律：k(lA) = (kl)A，其中k、l为实数。

四、平面向量的数量倍分点和向量积1. 数量倍分点定义：设有平面向量A和B，以及实数m、n，将向量A乘以m，向量B乘以n，再将它们的和（mA + nB）表示为另一个向量D，则称D为向量A和向量B的数量倍分点。

2. 向量积的性质：a) 数量倍分点的交换律：mA + nB = nB + mA。

b) 数量倍分点的结合律：(m + n)A + kB = mA + nA + kB。

c) 特殊情况：若m + n = 1，则(mA + nB)称为向量A和向量B的某一点到原点所确定的位置矢量。

五、平面向量的性质1. 零向量的性质：a) 零向量与任意向量的和为该向量本身。

平面向量的概念与性质平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中被广泛应用。

平面向量具有一些独特的性质，其概念和性质对于我们理解和解决许多实际问题至关重要。

一、平面向量的定义平面向量表示平面上的一个有向线段，可以用带箭头的直线段来表示。

平面向量常用字母加箭头上方加粗体来表示，例如向量a表示为→a。

平面向量有大小和方向两个基本属性。

二、平面向量的表示方法1. 分量表示法：平面向量可以由两个分量表示，分别是在x轴和y 轴上的投影。

设平面向量→a的分量分别为a1和a2，那么→a = a1i + a2j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

2. 基点表示法：平面向量还可以通过起点和终点来表示。

以A为起点，B为终点的向量→AB可以简写为→AB。

三、平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种基本的运算方式。

1. 加法运算：向量的加法满足平行四边形法则。

设向量→a的起点为A，终点为B，向量→b的起点为B，终点为C，则向量→a + →b的起点为A，终点为C。

2. 数乘运算：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。

设实数k，向量→a的起点为A，终点为B，则k→a的起点仍为A，终点为D，且AB与AD在同一直线上，且向量BD与向量AB方向相同（k>0）或相反（k<0）。

四、平面向量的性质1. 平行性：如果两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行，那么这两个向量是平行的。

2. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，不具备明确的方向。

3. 模长：向量的模长表示向量的大小，用|→a|来表示。

根据勾股定理，模长可以通过向量的分量计算得到，|→a| = √(a1² + a2²)。

4. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量。

可以通过将向量除以它的模长得到单位向量，→a/|→a|。

5. 共线性：如果两个向量的方向相同、相反或平行，即它们可被放大或缩小到重合或相反方向，那么这两个向量是共线的。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量的定义与运算规则在几何学中，平面向量是描述平面上移动、力、速度等物理量的重要工具。

平面向量具有方向和大小两个属性，通常用箭头表示。

本文将介绍平面向量的定义以及常用的运算规则。

一、平面向量的定义平面向量由两个点确定，这两个点称为向量的起点和终点。

起点为A，终点为B的平面向量常用符号表示为AB。

根据平面向量的定义，向量的大小用线段AB的长度来表示，记作|AB|或者AB。

二、平面向量的运算规则1. 向量的加法设有平面向量AB和CD，若从向量A到向量B的位移量与从向量C到向量D的位移量方向相同，则向量AB+CD的起点为A，终点为D。

即两个向量相加，其结果是由两个向量的位移量之和得到的新的位移量。

2. 向量的减法设有平面向量EF和GH，若从向量E到向量F的位移量与从向量G到向量H的位移量方向相反，则向量EF-GH的起点为E，终点为H。

即两个向量相减，其结果是由两个向量的位移量之差得到的新的位移量。

3. 向量的数量积（点乘）设有平面向量IJK和LMN，向量IJK与向量LMN的数量积记作IJK·LMN。

数量积的计算方法为：IJK·LMN=|IJK| × |LMN| × cosθ，其中θ为IJK与LMN之间的夹角。

数量积的结果是一个实数。

4. 向量的向量积（叉乘）设有平面向量PQR和STU，向量PQR与向量STU的向量积记作PQR×STU。

向量积的计算方法为：PQR×STU=|PQR| × |STU| × sinθ × n，其中θ为PQR与STU之间的夹角，n为一个垂直于平面的单位向量。

向量积的结果是一个向量，其大小为两个向量所组成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成的平面。

5. 向量的数量积与向量积的关系对于平面向量ABC和DEF，有ABC·DEF=|ABC| × |DEF| × cosθ = 0，其中θ为ABC与DEF之间的夹角。

教学目标理解平面向量的概念与性质一、平面向量的定义平面向量是指在平面内，既有大小又有方向的量。

平面向量一般用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量通常用字母加上箭头来表示，比如向量a可以表示为→a。

二、平面向量的性质1. 平面向量的加法：平面向量的加法满足交换律、结合律和零向量律。

- 交换律：→a + →b = →b + →a- 结合律：(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)- 零向量律：→a + →0 = →a2. 平面向量的数乘：数乘是指将向量的长度扩大或缩小的运算。

- 数乘的定义：k→a表示将向量→a的长度变为原来的k倍。

- 数乘的性质：k(→a + →b) = k→a + k→b，(k+m)→a = k→a +m→a，k(m→a) = (km)→a。

3. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，且模不为零，则称这两个向量为平行向量。

- 判断平行向量的条件：设→a和→b是两个非零向量，则→a和→b平行的充分必要条件是有实数k，使得→a = k→b。

4. 零向量：零向量是长度为零的向量，通常表示为→0。

- 零向量的性质：对于任意向量→a，有→a + →0 = →a，0→a =→0。

5. 相等向量：如果两个向量的模相等，方向相同，就称这两个向量相等。

- 相等向量的性质：若→a = →b，则有→a + →c = →b + →c，k→a = k→b。

6. 平面向量的分解：任意一个平面向量→a都可以分解为两个平行于已知向量→b的向量→p和垂直于→b的向量→q的和。

- →a = →p + →q，其中→p = k→b，→q与→b垂直。

7. 平面向量的数量积：数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角余弦的乘积。

- 定义：→a·→b = |→a| |→b| cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。

- 性质：- →a·→b = →b·→a（交换律）- →a·→a = |→a|^2（模的平方）- →a·→0 = 0（零向量的数量积）- 若→a·→b = 0，则→a与→b垂直。

平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。

平面向量的定义和基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的向量。

它由起点和终点确定，并且可以用箭头表示。

平面向量常用字母加上一个右箭头来表示，例如AB→表示起点为A，终点为B的向量。

平面向量的定义：定义1：若平面上两个点A和B，可以唯一确定一个向量AB→。

其中向量AB→的起点为点A，终点为点B。

点A称为向量AB→的起点，点B称为向量AB→的终点。

向量AB→可以记作AB→或者→AB。

定义2：若平面上某个向量的起点是原点O，则称该向量为单位向量。

单位向量的长度为1，方向可以是任意的。

基本性质：性质1：平面向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。

对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相同时，向量→AB和向量→CD相等。

性质2：平面向量相反的条件是它们的长度相等且方向相反。

对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相反时，向量→AB和向量→CD互为相反向量。

性质3：平面向量的运算法则。

3.1 平面向量的加法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB+→CD的终点是链接→AB和→CD的链条的终点。

3.2 平面向量的减法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB-→CD的终点是链接→AB的起点与→CD的终点的链条的终点。

3.3 数乘：设k是一个实数，→AB是平面上的一个向量，则k→AB的长度是|k||→AB|，方向与→AB相同。

性质4：平面向量的共线性。

对于平面的两个非零向量→AB和→CD，若存在实数k，使得→CD=k→AB，则称向量→AB和→CD共线。

同样地，若存在实数k1和k2，使得→CD=k1→AB+k2→EF，则称向量→AB、→CD和→EF共线。

性质5：平面向量的数量积。

对于平面的两个向量→AB和→CD，它们的数量积定义为|→AB||→CD|cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。

性质6：平面向量的数量积与夹角的关系。

平面向量与平面几何平面向量是数学中的重要概念，与平面几何有着紧密的联系。

通过研究平面向量的性质和运算规律，可以更好地理解和解决平面几何的问题。

本文将从定义、性质、基本运算和应用等方面介绍平面向量与平面几何的关系。

一、平面向量的定义与性质1.1 平面向量的定义平面向量是指在平面内具有大小和方向的有序对。

通常用箭头或者加粗的字母表示，如→a或者a。

平面向量的起点和终点分别代表向量的始点和终点，向量的方向由起点指向终点。

平面向量常用坐标表示，如（a, a）。

两个平面向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。

1.2 平面向量的性质（1）平面向量的模或长度：平面向量→a的模表示为|→a|，计算公式为|→a|=√(a²+a²)。

（2）平面向量的零向量：长度为0的平面向量，记作→0或者a。

（3）平面向量的相反向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量，记作−→a。

（4）平面向量的平行：如果两个非零向量→a和→b的方向相同或者相反，则称其平行，记作→a∥→b；如果两个向量方向垂直，则称其互相垂直。

（5）平面向量的共线：如果两个向量→a和→b的起点在同一直线上，则称其共线。

二、平面向量的基本运算2.1 平面向量的加法平面向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的平面向量。

设有向量→a=(a₁, a₂)和→b=(a₁, a₂)，则其和向量表示为→c=→a+→b= (a₁+a₁, a₂+a₂)。

（例子和计算过程省略）2.2 平面向量的数乘平面向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的平面向量。

设有向量→a=(a₁, a₂)和实数a，数乘后的向量表示为→b=a→a=(aa₁, aa₂)。

（例子和计算过程省略）2.3 平面向量的减法平面向量的减法运算是指将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的平面向量。

设有向量→a=(a₁, a₂)和→b=(a₁, a₂)，则其差向量表示为→c=→a−→b= (a₁−a₁, a₂−a₂)。

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型【考点分析】考点一：向量的基本概念①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，叫做向量的模，记作||AB ． ③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ④单位向量：长度等于1个单位的向量．⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点二：向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算考点三：向量共线定理①如果λ=a b 且0≠b ，则a b ∥；反之a b ∥且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使λ=a b ． 推论：①三点A ，B ，C 共线⇔AB ，AC 共线（功能：证明三点共线）；①向量PA ，PB ，PC 中三个向量的终点A ，B ，C 共线⇔存在实数λ，μ使得PA PB PC λμ=+，且1.λμ+=①BD DC λ=，111AD AC AC λλλ=+++． 【题型目录】题型一： 平面向量的概念 题型二： 平面向量的加法、减法 题型三： 平面向量的线性运算与共线定理 题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】题型一： 平面向量的概念【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对①：零向量的长度为0，故①正确； 对①：零向量的方向是任意的，故①正确； 对①：单位向量的模都等于1，故①正确. 故选：C.【例2】下列命题中正确的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B ．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D ．若AB 与CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上 【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A 正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B 错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C 错误；AB 与CD 是共线向量，也可能是AB 平行于CD ，故D 错误.故选：A【例3】有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ①若a b ≠，则a ，b 不是共线向量；①若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ①若m n =，n k =，则m k =；①有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5，若a b ≠也有可能a ，b 长度不等，但方向相同或相反，即共线，AB DC =，则AB ，DC 不一定相等，所以四边形，若m n =，n k =，则m k =，①正确；，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，综上，错误的是①①①，共3个. 【例4】设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |0a ；②若a 与0a 平行，则a ＝|a |0a ；③若a 与0a 平行且|a |＝1，则a ＝0a ．上述命题中，假命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【详解】单位向量的模为1，方向可以是不同方向，所以①错 ；若a 与0a 平行，则两个向量可以同向，也可以反向，方向不一定相同，所以①错；①错因此选D 【例5】下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量； ①若,a b 满足||||a b >，且a 与b 同向，则a b >①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ①若,a b b c ∥∥，则a c ∥ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误； 向量有方向，不能比较大小，故①错误；向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故①错误； 当0b =时，可满足,a b b c ∥∥，但a 与c 不一定平行，故①错误； 综上，正确的个数是0， 故选：A ．【例6】下面关于向量的说法正确的是（ ） A ．单位向量：模为1的向量B ．零向量：模为0的向量，零向量没有方向C ．平行（共线）向量：方向相同或相反的向量D ．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ACD【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.【详解】根据向量的定义可得，模为1的向量为单位向量，模为0的向量为零向量，零向量的方向是任意的，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD 均正确， 故选：ACD ．【例7】下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．若a b ∥，则a 与b 的方向相同或相反 C ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥ D ．对任一非零向量a ，||aa 是一个单位向量 【答案】ABC【分析】对于A ，根据向量的概念判断，对于BCD ，举例判断.【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A 错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故，若b 为零向量，则a 与c 可能不是共线向量，故，对任一非零向量a ，||aa 表示与a ABC 【题型专练】1.下列命题正确的是（ ）A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量C ．零向量与任一向量共线D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C【详解】A 选项方向不同，所以错 ；B 选项共线向量是方向相同或者相反，所以错；C 选项，规定零向量的方向是任意的，所以C 对；D 选项向量共线可以在一条直线上，直线平行不能共线，所以D 错 2.下列命题中正确的个数是（ ）①若向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ①若向量a 与向量b 平行，则a ，b 方向相同或相反；①若非零向量AB 与CD 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ①若a b =，则a ，b 是相等向量或相反向量. A ．0 B ．1C ．2D ．3，根据模长的定义，可知方向不确定，可得答案.【详解】①错误，平行向量又叫共线向量，向量AB 与CD 是共线向量，则AB 与CD 平行或共线；错误，a 与b 至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知正确； 错误，由a b =，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了方向.3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①a b =的充要条件是||a b |=|且//a b .其中正确命题的序号是_______.【答案】①【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ①正确 ①AB DC =,①||||AB DC =且//AB DC , 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ①四边形ABCD 为平行四边形.反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则//AB DC 且||||AB DC =,①AB DC =;①不正确,当//a b 且方向相反时,||||a b =,但不能得到a b =,故||||a b =且//a b 不是a b =的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为：①4.把所有单位向量的起点平移到一点O ,则其终点构成的图形是_____________. 【答案】以O 为圆心的单位圆设终点为A ，则1AO =，则终点构成的图形是以O 为圆心的单位圆. 故答案为：以O 为圆心的单位圆. 5.下列说法中正确的是（ ） A ．若12,e e 为单位向量，则12e e = B ．若a 与b 共线，则a b =或a b =-C ．若0a =，则0a =D ．a a是与非零向量a 共线的单位向量中，向量12,e e 的方向不一定相同，所以中，向量a 与b 的长度不一定相等，所以0a =，根据零向量的定义，可得0a =，所以C 1a a a a =⋅，可得a a与向量a 同向，a a的模等于a a是与非零向量a 共线的单位向量，所以故选：CD.6．下列说法中正确的是（ ）A ．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量B ．若向量//AB CD ，则//AB CDC ．在四边形ABCD 中，若向量//AB CD ，则该四边形为平行四边形 D ．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 【答案】AD【分析】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A 正确； 对于B 中，向量//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，所以B 错误；对于C 中，在四边形ABCD 中，若向量//AB CD 、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C 错误；对于D 中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D 正确. 故选：AD.7．下列结论中正确的是（ ） A ．若a b =，则a b = B ．若,a b b c ==，则a c =C ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件 D ．“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 是不共线的四点，则当AB DC =时，，故且,AB DC 同向，故AB DC =，故C ，当a b 且方向相反时，即使a b =，也不能得到a b =，故D 错误；8．下列结论中正确的是（ ） A ．a 与b 是否相等与a ，b 的方向无关 B ．零向量相等，零向量的相反向量是零向量 C ．若a ，b 都是单位向量，则a b = D ．向量AB 与BA 相等【答案】AB【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项．【详解】对于C ，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D ，向量AB 与BA 互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB 正确． 故选：AB ．题型二： 平面向量的加法、减法【例1】AO OB OC CA BO ++++等于（ ）A ．AB B ．0C ．BCD ．AC【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解：AO OB OC CA BO ++++ ()()AO OC CA BO OB =++++000=+=故选：B【例2】化简下列各式： (1)AO OB CA CB ++-； (2)MN MD NQ DQ -+-.【答案】(1)0；(2)0【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可； （2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；（1）()()AO OB CA CB AO OB CA CB ++-=++-0AB BA =+=；（2）()()MN MD NQ DQ MN MD NQ QD -+-=-++0DN ND =+= 【例3】正方形ABCD 的边长为1，则AB AD +为（ ） A．1 BC ．3D ．根据向量加法的平行四边形法则，AB AD AC +=, 212AB A AD C +==，故选：B.【例4】在ABC 中，M 是BC 的中点，则AB AC +等于（ ） A ．12AM B ．AM C ．2AM D ．MA【答案】C【分析】根据向量的加法法则计算．【详解】如图，作平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，则2AB AC AE AM +==. 故选：C.【例5】如图为正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则OC HG FH ++=（ ）A ．OB B ．ODC ．OFD ．OH【答案】A【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由平面向量的运算法则，可得OC HG FH OC FG OC CB OB ++=+=+=. 故选：A.【例6】设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为平面上任意一点，则OA OB OC OD +++=（ ） A ．4OM B ．3OM C ．2OM D ．OM【分析】分别在OAC 和OBD 【详解】解：在OAC 所以1()2OM OA OC =+，即2OA OC OM +=．在OBD 中，因为M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，所以1()2OM OB OD =+，即2OB OD OM +=． 所以4OA OB OC OD OM +++=． 故选：A ．【例7】若74AB AC ==，，则BC 的取值范围是（ ）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311， D ．(311)， 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量,AC AB 共线时取得最值，即可求得答案74AB AC ==，，且||BC AC AB -=,当,AC AB 同向时，BC 取得最小值，|||||||4||BC AC AB AC AB ===---当,AC AB 反向时，BC 取得最大值，|||||||||4BC AC AB AC AB -+===+当,AC AB 不共线时，BC 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，BC 的取值范围是[]311，， 故选：C【例8】已知ABC 为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）AC AB =-①AB CA BC AB -=-；①AB CA CA BC -=-；①CA BC AB AC -=-. AB AC CB BC -==，故①分别为,,AB BC AC 的中点，32AB ， 23AB CA AB AC AE AB -=+==， 23BC AB BC BA BF BA -=+==，所以AB CA BC AB -=-，故①成立；对于①，23CA BC CA CB CD AB -=+==， 所以AB CA CA BC -=-，故①正确；①，AB AC CB AB CA BC -==≠-，故①不成立故答案为：①①①.【题型专练】1.32AB BC AC +-=（ ） A ．AB AC + B ．AB AC - C ．AB D ．BA【答案】A【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得3222AB BC AC AB BC AB AC +-=++- 2AC CB AB AC =+=+．故选：A.2．下列能化简为PQ 的是（ ） A ．QC QP CQ -+ B ．()AB PA BQ ++C ．()()AB PC BA QC ++- D ．PA AB BQ +-【答案】ABC【分析】根据向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=，A 选项正确. B 选项，()AB PA BQ AB AQ BQ PA PA PQ ++=+=+=+，B 选项正确.C 选项，()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=，C 选项正确. D 选项，()PA AB BQ PB BQ BP BQ BP BQ PQ +-=-=--=-+≠，D 选项错误. 故选：ABC3. 在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ） A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D ．4. 在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则下列向量与AB DC +不相等的是（ ） A ．2EF B ．AC DB + C ．EB EC + D ．FA FD +所以11,22AE ED AD BF FC BC ====， 因为EF EA AB BF =++，EF ED DC CF =++ 2EF ED DC CF EA AB BF AB DC =+++++=+, A 正确，因为,DC DA AC AB AD DB =+=+，所以DC AB DA AC AD DB AC DB +=+++=+，所以B 正确，因为,DC DE EC AB AE EB =+=+，所以DC AB DE EC AE EB EC EB +=+++=+，所以因为()FA FD FB BA FC CD BA CD AB DC +=+++=+=-+， D 错误， 故选：D5．在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ） A ．AB BC CA +=B ．AB AD BD -=C．AB AD AC+=D．BC CD BD+=【答案】D【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.【详解】根据三角形法则可得AB BC AC+=，所以A错误；根据向量减法的运算法则可得AB AD DB-=，所以B错误；四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有AB AD AC+=，C错误；根据三角形法则可得BC CD BD+=正确，所以D正确.故选：D.6．在四边形ABCD中，AB DC=，若AD AB BC BA-=-，则四边形ABCD是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定【分析】由AB DC=，可得四边形为平行四边形，又BD AC=，从而即可求解【详解】解：在四边形ABCD因为AB DC=，所以四边形AD AB BC BA-=-，即BD AC=，所以平行四边形ABCD为矩形，故选：B.7．在ABC中，D，E，F分别是边BC,CA,AB的中点，点G为ABC的重心，则下列结论中正确的是（）A．AB BC CA-=B．1()3AG AB AC=+C．0AF BD CE++=D．0GA GB GC++=【答案】BCD【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．【详解】解：如图：，2AB BC AB CB EB AC-=+=≠，即选项为ABC的重心，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC==⨯+=+，即选项，1()02AF BD CE AB BC CA++=++=，即选项C正确；，122()2GA GD GB GC=-=-⨯+，即0GA GB GC++=，即选项D正确，8．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB++；(2)EG CG DA EB+++.【答案】(1)GE；(2)0.【分析】（1）（2）根据图形中相关线段的位置关系，结合向量加法的几何意义化简目标式.（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE+++++===；（2）EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE==+=++++++.题型三：平面向量的线性运算与共线定理【例1】[多选题]下列命题是真命题的是（）．A．若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量B．若A，B，C，D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量C．若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D．若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上【答案】AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上，则向量AB，CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD 是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD 两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ， 且AB 与AC 是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线． 故选：AD ．【例2】已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ） A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B 则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确； 选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，不存在，故该选项错误；，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，48(72)a b a b λ+=-，解得λ不存在，故该选项错误； 故选：A.【例3】下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线 【答案】ABC选项：根据向量共线的性质，可知A 、选项：a 与b 同向，则a 与b -反向，显然正确; 选项：如果0λμ==，则无法得知a 与b 共线.【详解】a 与b 同向，但a 不一定与b 相等，∴a b ≠，若a b =，则a 与b 同向， a =b ，∴a 与b 同向是a b =的必要不充分条件，A 正确.AB 与BC 共线，则有AB =BC λ，故一定有,,A B C 三点在同一条直线上，B 正确.a 与b 同向，则a 与b -反向，C 正确.0λμ==时，a 与b 不一定共线，D 错误.故选：ABC【例4】“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的________条件． 【答案】必要不充分【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当AB CD ∥时，直线AB 与CD 的位置关系有可能是平行或共线， 当二者平行时A ，B ，C ，D 四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线， 则“AB CD ∥”无法推出“A ，B ，C ，D 四点共线”；当A ，B ，C ，D 四点共线时，直线AB 与CD 的位置关系为重合，此时，AB CD ∥， 则“A ，B ，C ，D 四点共线”可以推出“AB CD ∥”，因此“AB CD ∥”是“A ，B ，C ，D 四点共线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分.【例5】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 【答案】21 【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a b a μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ 【例6】已知P 是①ABC 所在平面内的一点，若CB PB PA λ-=，其中λ①R ，则点P 一定在（ ） A ．AC 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．①ABC 的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】①CB PB PA λ-=，PB PC CB =+①()CB PC CB PA λ-+=，则PC -=λPA ，则CP PA λ= ①CP PA ∥①P 点在AC 边所在直线上． 故选：A ．【例7】在①ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+① 所以3144EB AB AC =-①故选A.【例8】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-，即34λ=，14μ=-. 故答案为：34；14-.【例9】在ABC 中，4AC AD =，P 为BD 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．38【答案】C 【解析】4AC AD =，14AD AC ∴=，则14BD AD AB AC AB =-=-， 1233BP AP AB AB AC AB AC AB λλ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭，由于P 为BD 上一点，则//BP BD ，设BP k BD =，则21344kAC AB k AC AB AC k AB λ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 所以423k k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.【例10】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A．12+ B1 C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP -=-，1344AP AB AC∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AM λ∴=，1AC ANμ=， 1344AP AM ANλμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=. ()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选：B. 【例11】已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+，则AMN BCNS S =△△（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC =， 所以MN ①BC ，又因为 M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离， 所以13AMN BCN MN S S BC==△△,【题型专练】1.已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线 【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得2AC CD =，从而可求解.【详解】解：()()1221123422AC AB CB e e e e e e CD -=-=+-=+=,所以A ，D ，C 三点共线.故选:C.2.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ 法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =． 3.设12e e ，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则 A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k = 【答案】D【解析】因为向量12=-+m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ， 所以有2211(2)λ-+=-e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =. 4.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=225.在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC =，则DP =( )A ．1144AB AC + B ．1144AB AC -- C ．1144AB AC - D ．1144AB AC-+ 【答案】B【解析】①点P 为AC 中点，①12AP AC =,①3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=-, ①1344AD AB AC =+,①113244DP AP AD AC AB AC =-=--=1144AB AC --,故选：B. 6.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=( ) A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC 【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A7.设D 为①ABC 所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CB λμ==+,则μλ=_____. 【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD =+=+，CA =+3(CD CB -)，即有CD =﹣1322CA CB +， 因为CD CA CB λμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3. 8.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+， M 、O 、N 三点共线，122m n ∴+=，2m n ∴+=.故选：C.9.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．23C ．38 D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =，4BC =，∴14BD BC =， ∴14AD AB BD AB BC =+=+，O 为AD 中点， ∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，AO AB BC λμ=+， ∴1128AB BC AB BC λμ+=+，∴12λ=，18μ=， ∴115288λμ+=+=. 10.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ） A ．AO OD = B ．2AO OD = C ．3AO OD = D ．4?AO OD【答案】A【解析】D 为BC 边中点，①2OB OC OD +=，①20OA OB OC ++=，①0OA OD =+，即AO OD =.11．设,,D E F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 上的点，且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===，则AD BE CF ++与BC （ ）A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 首先根据平面向量基本定理表示2133AD AB BD AB AC =+=+，2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+，【详解】()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 同理：2133BE BA BC =+，2133CF CB CA =+， 所以212121333333AD BE CF AB AC BA BC CB CA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13CB , 所以AD BE CF ++与BC 反向平行.故选：A【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型题型四：由平面向量的性质判断图形的形状【例1】若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆的形状为____【答案】直角三角形=OC OA OC +=+=-+，+= 所以ABC ∆的形状为直角三角形【例2】若113e ,5e AB CD ===，则四边形ABCD 是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形 ，结合AD BC =，即可判断四边形【详解】解：因为113e ,5e AB CD ==，所以35AB CD =-，所以//AB CD AB CD ≠，AD BC =，所以四边形ABCD 为等腰梯形.故选：C.【题型专练】1．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2323OA OC OD OB +=+，则四边形ABCD 一定是（ ）A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形 【答案】B【分析】由2323OA OC OD OB +=+化简可得23DA CB =，结合向量共线定理判断四边形ABCD 的形状.【详解】① 2323OA OC OD OB +=+，① 2()3()OA OD OB OC -=-，① 23DA CB =，① 四边形ABCD 一定是梯形． 故选：B.2．四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，若a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 【分析】由向量知识可知//AD BC ，AD BC ≠可得答案【详解】由已知得，2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=+----=--= ， 故//AD BC ，由AD BC ≠，所以四边形ABCD 是梯形.故选：C.3．在四边形ABCD 中，若CA CB CD =+，则（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；【详解】解：CA CB CD =+，CA CB BA =+，∴CB BA CB CD +=+ ∴BA CD =，//AB DC ∴且AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形． 故选：D ．4．下列有关四边形ABCD 的形状判断正确的是（ ）A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形 C ．若AB DC =，且AB AD =，则四边形ABCD 为菱形D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．【详解】AD BC =，则AD 13AD BC =，则//AD BC 若AB DC =，四边形ABCD AB AD =，即AB 若AB DC =，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，即AC 故选：ABC ．。

平面向量的基本概念与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的物理量，它可以用有向线段来表示。

平面向量的基本概念和运算是研究平面向量性质的基础，对于解决平面力学问题和几何问题具有重要的应用价值。

一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用大写字母表示，如 A、B、C。

2. 零向量：长度为零的向量称为零向量，记作 O。

3. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。

4. 直角向量：互相垂直的向量称为直角向量。

二、平面向量的表示方法1. 端点表示法：使用有向线段的起点和终点来表示向量，如 AB 表示从点 A 到点 B 的向量。

2. 坐标表示法：使用坐标表示向量的起点和终点，在平面直角坐标系中，向量 A 的坐标表示为 (x, y)。

三、平面向量的运算1. 加法运算：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 减法运算：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。

3. 数乘运算：向量与一个实数的乘积称为数乘运算。

设有向量 A 的坐标表示为 (x, y)，实数 k，则 kA 的坐标表示为(kx, ky)。

4. 内积运算：两个向量的内积（数量积）是它们对应分量的乘积之和。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A · B 的坐标表示为 x1 * x2 + y1 * y2。

四、平面向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 数乘分配律：k(A + B) = kA + kB4. 数乘结合律：(kl)A = k(lA)，其中 k、l 为实数五、平面向量的应用1. 向量共线性判定：若两个向量的模与它们的夹角满足 a = kb (k 为常数)，则称这两个向量共线。

高考数学中的平面向量基本概念及相关性质随着人们生活中科技的快速发展，数学的地位越来越重要。

高考数学是整个中学阶段最关键的考试之一，考查学生的数学运算能力和逻辑思维能力。

在高考数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及多个方面的知识，而且在实际生活中也有很广泛的应用，因此深入理解平面向量的基本概念及相关性质，对于提高数学水平和应对高考具有重要意义。

一. 矢量的概念和表示平面向量，又称矢量，是由大小和方向决定的量。

矢量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示矢量的大小，而方向则是有向线段的方向。

例如，有向线段AB表示一个矢量，长度为5，方向为从A指向B。

记作$\overrightarrow{AB}$，其中上方的箭头表示矢量方向。

二. 矢量的加法和减法矢量的加法和减法是矢量数乘的特殊情形。

设$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个矢量，$\lambda$是一个实数，则：（1）矢量加法 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$表示从起点为$\overrightarrow{a}$的有向线段终点作为起点，画一条有向线段使之终点与$\overrightarrow{b}$的终点重合，这条线段的长度与方向所表示的量即为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$。

（2）矢量减法 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$表示从起点为$\overrightarrow{a}$的有向线段终点作为起点，画一条有向线段使之终点与$\overrightarrow{b}$的终点重合，这条线段的方向相反，长度为$\left| \overrightarrow{a} \right|-\left|\overrightarrow{b}\right|$，所表示的量即为$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$。

第一节平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理一、向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

有二个要素：大小、方向.二、向量的表示方法：1. 几何表示法：用有向线段表示---(有向线段：具有方向和长度的线段)；2. 字母表示法：用字母、等表示；3. 坐标表示法:分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。

任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作(其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标)特别地，，，。

；若，，则，三、向量的有关概念1.零向量：长度为0的向量叫零向量，记为；2.单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）3.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.4.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相等向量.5.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.性质：是唯一）（其中）6.垂直向量：两向量的夹角为性质：（其中）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。

四、向量的加法、减法：1. 向量的加法（1）平行四边形法则：（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）（2）三角形法则（3）多边形法则（三角形法则的推广）两个以上的非零向量相加：……即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……2.向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。

即：-= + (-)；差向量的意义：= , =, 则=3.平面向量的坐标运算：若，，则，，。

4.向量加法的运算律：交换律：+=+；结合律：(+) +=+ (+)5.常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）||²+||²=2（||²+||²）（3）或G是△ABC的重心，则点G其中A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3）五、向量的模：1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||2、模的求法：若，则 ||若，则 ||3、性质：（1）；（实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4）（当且仅当共线时取“=”）即当同向时，；当反向时，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即六、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（注意：实数与向量不能求和求差）（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ七、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。

平面向量的概念与运算平面向量是解决几何问题中常用的数学工具之一。

本文将介绍平面向量的概念以及常见的运算方法。

一、平面向量的概念平面向量是指具有大小和方向的量。

通常用有向线段来表示，标志有向线段的箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

平面向量常用大写字母表示，例如A、B。

二、平面向量的表示平面向量可以分为简易表示法和坐标表示法两种方式。

1. 简易表示法在平面上，我们可以通过箭头的起点和终点来表示向量的方向和大小。

例如，向量AB表示从点A指向点B的向量，大小为AB的长度。

2. 坐标表示法使用坐标系来表示平面向量。

在二维坐标系中，平面上的向量可以表示为 <x, y> 的形式，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数乘三种运算。

1. 加法运算设有向量A和向量B，它们的和向量记作A + B。

假设A = <a1,a2>，B = <b1, b2>，则A + B = <a1 + b1, a2 + b2>。

2. 减法运算设有向量A和向量B，它们的差向量记作A - B。

假设A = <a1, a2>，B = <b1, b2>，则A - B = <a1 - b1, a2 - b2>。

3. 数乘运算设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA。

假设A = <a1, a2>，则kA = <ka1, ka2>。

数乘可以改变向量的大小和方向，当k大于0时，向量的方向与原向量一致，当k小于0时，向量的方向与原向量相反。

四、平面向量的性质平面向量具有以下性质：1. 相等性两个向量相等表示它们的大小和方向都相同。

2. 平移性向量的平移不会改变其大小和方向。

3. 共线性若两个向量的方向相同或者相反，则它们共线。

4. 三角形法则若将两个向量的起点连结，形成的三角形的第三条边是这两个向量的和向量。

高中数学必考知识点平面向量的运算与性质汇总高中数学必考知识点：平面向量的运算与性质汇总一、平面向量的概念与表示方法我们可以将平面上的一个点A与原点O连接起来，得到一条有方向的线段，这条线段就是平面向量。

平面向量常用小写字母表示，比如a、b、c等。

平面向量可以用两点表示，比如向量AB，其中点A的坐标表示为A(x₁, y₁)，点B的坐标表示为B(x₂, y₂)。

二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。

即将两个向量的起点相连，然后将第二个向量平移至第一个向量的终点，连接起来的向量就是两个向量的和。

向量的加法可以用坐标表示，设向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)。

那么向量A与向量B的和就是C(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 向量的数乘向量的数乘指将向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。

这个新向量的长度是原始向量长度的绝对值倍，方向与原始向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）。

向量的数乘可以用坐标表示，设向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k。

那么向量A与实数k的乘积就是B(kx, ky)。

三、平面向量的性质1. 数乘结合律实数k、l和向量A的乘积满足(kl)A = k(lA)。

2. 数乘分配律实数k和向量A、B的和的乘积满足k(A+B) = kA + kB。

3. 向量加法的交换律向量A和B的和等于向量B和A的和，即A + B = B + A。

4. 向量加法的结合律向量A、B和C的和等于向量A和向量B的和再与向量C相加，即(A + B) + C = A + (B + C)。

5. 零向量的性质任意向量A与零向量的和等于向量A本身，即A + 0 = A。

同时，任意向量A与其相反向量的和等于零向量，即A + (-A) = 0。

四、平面向量的应用1. 线段的中点公式若线段AB的中点为M，向量AM与向量MB互为相反向量，即AM = -MB。

初二数学平面向量的基本概念与运算在初二数学课程中，平面向量是一个重要的概念。

本文将介绍平面向量的基本概念以及常见的运算方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

一、平面向量的基本概念平面向量是指具有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(x, y)。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

二、平面向量的表示与命名方式平面向量通常用代表向量的字母加上一个箭头上方的小写字母来表示，例如向量AB可表示为→AB。

三、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则。

即将两个向量的起点相连，然后以这个线段作为对边，分别以两个向量的方向和大小作为两条边，构成一个三角形。

此时，向量的和就是由三角形的第三条边所代表的向量。

2. 向量的数乘向量的数乘，即将向量的每个分量都与一个实数相乘。

数乘后得到的向量与原向量的方向相同（当数大于0）或相反（当数小于0），而大小则是原向量大小的绝对值与数的绝对值的乘积。

3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来实现。

具体地说，要得到向量AB与向量AC的差向量，可以将向量AC取反再与向量AB相加。

4. 平面向量的模平面向量的模表示向量的长度，通常用|→AB|来表示。

在直角坐标系中，可使用勾股定理来计算模长，即|→AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ -y₁)²)。

5. 平面向量的单位向量单位向量是指模长为1的向量。

可以通过将向量除以自身的模长来得到单位向量。

6. 平面向量的数量积平面向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量对应分量的乘积之和，即→AB·→CD = AB·CD = x₁x₂ + y₁y₂。

数量积有很多应用，如计算两个向量的夹角、判断两个向量之间的关系等。

7. 平面向量的夹角两个非零向量的夹角可以通过数量积的定义来计算。

设向量→AB和→CD的夹角为θ，则有cosθ = (AB·CD) / (|→AB|·|→CD|)。

平面向量的概念和运算法则平面向量是二维空间中的一个有向线段，具有大小和方向。

在数学和物理学中，平面向量被广泛应用于解决各种几何和力学问题。

本文将介绍平面向量的概念以及其相关的运算法则。

概念平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，如 $\vec{a}$，其中箭头表示向量的方向。

平面向量可以用两个定点来确定，即起点和终点。

起点和终点之间的线段表示向量的大小和方向。

平面向量可以写成分量的形式，如 $\vec{a} = a_{x}\vec{i} +a_{y}\vec{j}$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 是向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的分量，$\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 是单位向量，分别指向 $x$ 和 $y$ 轴正方向。

平面向量的表示还可以用坐标形式，如 $\vec{a} = (a_{x},a_{y})$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 分别表示向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的坐标。

运算法则1. 向量的加法平面向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点相连，以第一个向量的终点为起点，第二个向量的终点为终点，所得的向量即为两个向量之和。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的大小进行相乘或相除的操作。

若向量$\vec{a}$ 的大小为 $k$，则数乘后的向量为 $k\vec{a}$。

当 $k$ 为正数时，数乘后的向量与原向量的方向相同；当 $k$ 为负数时，数乘后的向量与原向量的方向相反。

3. 平移法则若有向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$，则向量 $\vec{a}$ 加上向量$\vec{b}$ 的终点得到的向量为向量 $\vec{a} + \vec{b}$。

换句话说，将向量 $\vec{b}$ 平移至向量 $\vec{a}$ 的终点所在位置，所得的向量为向量 $\vec{a}$ 的平移向量。

4. 多个向量的运算对于给定的多个向量 $\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{n}$，可以进行向量的加法和数乘运算。

平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。

本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。

1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。

向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。

平面向量有两个基本属性：方向和大小。

方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。

2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。

在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。

位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。

3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。

4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。

向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。

5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。

计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。

6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。

若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。

8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。

平面向量及运算法则1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。

3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足： （1）()a λμ=（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。

错误!未找到引用源。

若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）DBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．1．平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。